Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng (LV01223)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
XUÂN HÒA, 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
XUÂN HÒA, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành
hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Ngọc. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền
Mục lục
Mở đầu 1
1 Biến đổi Fourier 3
1.1 Biến đổi Fourier trong L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Biến đổi Fourier trong L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Một số bài toán biên cho phương trình song điều hòa trong miền
hình dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Bài toán biên thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Bài toán biên thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt trong thanh dài
vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Công thức Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . 19
1.6 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 19

2 Biến đổi tích phân Hankel 23
2.1 Khái niệm về hàm Gamma, hàm Beta và các hàm Bessel . . . . 23
2.1.1 Hàm Gamma và hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai và loại ba . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Biến đổi tích phân Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục . . . . . . . . 27
2.3 Phương trình truyền nhiệt trong mặt phẳng đối xứng trục . . . . 29
2.4 Bài toán Robin đối với phương trình Laplace trong nửa không
gian đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong lớp vô hạn
đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Bài toán rung tự do của màng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Phương trình khuếch tán trong mặt phẳng đối xứng trục . . . . . 36
2.8 Phương trình song điều hòa trong nửa không gian đối trục . . . . 37
3 Biến đổi tích phân Mellin 39
3.1 Biến đổi Mellin thuận và ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Một số tính chất của phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Một số bài toán Dirichlet đối với thế vị trong cái chêm vô hạn . . 43
3.3.1 Bài toán thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Bài toán thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Bài toán biên Dirichlet đối với một phương trình đạo hàm riêng
cấp hai hệ số biến thiên trong miền nửa dải . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giải tích
hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và
các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính. Các biến đổi quan trọng như
biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu đã được sử dụng
trong việc giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân tuyến tính
hệ số hằng số.
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các phương
trình đạo hàm riêng, các phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát thích
hợp có thể được chuyển về các phương trình đại số tương ứng. Từ đó, sử dụng
các công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn.
Hệ thống hóa và phân loại các bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng
phương pháp biến đổi tích phân là việc làm thiết thực cho công việc học tập,
giảng dạy hay nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng. Vì vậy, đề tài luận
văn được lựa chọn là “Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương
trình đạo hàm riêng”.
Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham
khảo. Nội dung chủ yếu của luận văn này là trình bày cơ sở lý thuyết của các
biến đổi tích phân sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel và biến
đổi Mellin. Đối với mỗi phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn đã xét một số
ứng dụng giải các bài toán biên hay bài toán Cauchy cho các phương trình đạọ
hàm riêng cơ bản, đặc biệt là phương trình truyền sóng và truyền nhiệt. Bản
luận văn được hình thành chủ yếu từ tài liệu [2].
2
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các dạng bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương
pháp biến đổi tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến
đổi Hankel, biến đổi Mellin.
Trong chương 1, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và

một số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều
hòa trong miền vô hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài toán
Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trong
một thanh dài vô hạn.
Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel và
xét một số ứng dụng giải bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng
trong hệ tọa độ cực và tọa độ trụ.
Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giải
các phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau
đây: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụng
của chúng trong giải các phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong các
tài liệu tham khảo.
3
Chương 1
Biến đổi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng
dụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn.
Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2, 3].
1.1 Biến đổi Fourier trong L
1
(R)
1.1.1 Khái niệm
Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L
1

(R), λ ∈ R, hàm
ˆ
f định bởi
ˆ
f (λ) = F [f](λ) =
1
√
2π
∞

∞
f (t) e
iλt
dt (1.1)
được gọi là biến đổi Fourier của f. Biến đổi Fourier ngược của hàm f được xác
định bởi công thức
˘
f(λ) = F
−1
[f](λ)
1
√
2π
∞

−∞
f (t) e
−iλt
dt. (1.2)
Biến đổi Fourier thuận và ngược còn được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau,

đặc biệt là bởi các công thức sau đây
ˆ
f (λ) = F [f](λ) =
∞

∞
f (t) e
iλt
dt, (1.3)
˘
f(λ) = F
−1
[f](λ) =
1
2π
∞

−∞
f (t) e
−iλt
dt. (1.4)
4
Định lý 1.1. (Định lý Riemann - Lebegues). Giả sử f ∈ L
1
(R) thì
ˆ
f ∈ C
0
, với
C

0
là không gian các hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa,


ˆ
f


∞
≤ f
1
. (1.5)
Định lý 1.2. (Định lý về công thức Fourier ngược). Giả sử f ∈ L
1
(R) và
ˆ
f ∈ L
1
(R). Đặt
g (x) =
1
√
2π
∞

−∞
ˆ
f (λ) e
−iλx
dλ, (1.6)

khi đó, g (x) = f (x) hầu hết trên R.
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất 1.1. f
r
(x) = f (rx). Ta có
ˆ
f (λ) =
1
r
ˆ
f

λ
r

.
Chứng minh.
ˆ
f (λ) =
1
√
2π
∞

∞
f (rx) e
iλx
dx
=
1

r
√
2π
∞

−∞
f (t) e
iλt/r
dt
=
1
r
ˆ
f

λ
r

.
Tính chất 1.2. Với y ∈ R, đặt f
y
(x) = f (x + y) . Ta có
ˆ
f
y
(λ) = e
−iλy
ˆ
f (λ) .
Chứng minh.

ˆ
f
y
(λ) =
1
√
2π
∞

∞
f (x + y) e
−iλx
dx =
1
√
2π
∞

−∞
f (t) e
iλ(t−y)
dt
= e
−iλy
ˆ
f
y
(λ) .
5
Tính chất 1.3. Cho f ∈ L

1
(R) thỏa mãn supp f ⊂ [−a, a]. Khi đó,
ˆ
f(z), z = λ+iτ
là hàm giải tích trên C.
Chứng minh. Với mọi m nguyên dương, ta có
D
m
ˆ
f (λ) =
1
√
2π
a

−a
(ix)
m
f (x) e
iλx
dx.
Do f ∈ L
1
(−a, a) nên tích phân bên phải hội tụ với m nguyên dương. Suy ra,
ˆ
f
là hàm giải tích trên C.
Tính chất 1.4. Cho f ∈ L
1
(R) thỏa mãn tính chất f


∈ L
1
(R) và f liên tục
tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó,

f


∧
= −iλ
ˆ
f.
Chứng minh. Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên
f (x) = f (0) +
∞

0
f

(t) dt.
Hơn nữa, f

∈ L
1
(R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x → ±∞.
Ngoài ra, giới hạn đó phải bằng 0 vì f ∈ L
1
(R).
Như vậy,


f


∧
(λ) =
1
√
2π
∞

−∞
f

(x) e
iλx
dx =
1
√
2π
∞

−∞
e
−iλx
df (x)
=
1
√
2π



e
iλx
f (x)|
∞
−∞
+ iλ
∞

−∞
f (x) e
iλx
dx


= iλ
ˆ
f (λ) .
Mở rộng: Nếu đạo hàm f
(m)
∈ L
1
(R) thì
F [f
(m)
](λ) = (−iλ)
m
F [f](λ). (1.7)
Tính chất 1.5. Với f, g ∈ L

1
(R) , tích chập của f và g được xác định theo công
thức
(f ∗g) (x) =
∞

−∞
f (x −t) g (t) dt.
Khi đó, ta có f ∗ g ∈ L
1
(R) và (f ∗ g)
∧
= 2π
ˆ
f ˆg.
6
Chứng minh. Sử dụng định lý Fubini dễ dàng chứng minh được f ∗ g ∈ L
1
(R).
Theo định lý Fubini, ta có
∞

−∞
(f ∗g) (x) e
iλx
dx =
∞

−∞



∞

−∞
f (t) g (x −t) dt


e
iλx
dx
=
∞

−∞
f (t)


∞

−∞
g (x −t) e
iλx
dx


dt
=
∞

−∞

f (t)


∞

−∞
g (u) e
iλu
du


e
iλt
dt
= 2π
ˆ
f (λ) ˆg (λ) .
Tính chất 1.6. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, nghĩa
là f ∈ C
∞
và
∀p, q ∈ N, ∃M > 0, ∀x,



x
p
f
(q)
(x)




< M.
Khi đó,
ˆ
f ∈ S.
Chứng minh. Cho p, q ∈ N bất kỳ, ta có



x
p+2
f
(q)
(x)



≤ M
suy ra với x = 0, thì



x
p
f
(q)
(x)




≤
M
x
2
.
Bất đẳng thức trên cho thấy x
p
f
(q)
∈ L
1
(R).
Tiếp theo, f
(q)
∈ L
1
(R) với mọi q ∈ N nên
ˆ
f mũ giảm nhanh hơn
1
|λ|
q
khi
|λ| → ∞, với mọi q ∈ N. Do đó,


|λ|
q

ˆ
f (λ)


≤ M.
Hơn nữa, ta có
(iλ)
q

ˆ
f

p
(λ) = (iλ)
q

(−ix)
p
f (x)

∧
= (−i)
p
(iλ)
q
[x
p
f (x)]
∧
= (−i)

p

(x
p
f)
(q)
(x)

∧
.
Suy ra,
ˆ
f ∈ S vì



(x
p
f)
(q)
(x)



≤ M và (x
p
f)
(q)
∈ L
1

(R).
7
1.2 Biến đổi Fourier trong L
p
Định lý 1.3. (Plancherel - 1910). Với mọi f ∈ L
2
(R) , N > 0, ta đặt
F
N
{f}(λ) =
1
√
2π
N

−N
f (x) e
iλx
dx.
Khi đó
(a) F
N
{f} hội tụ trong L
2
(R) đến một hàm F {f} khi N → ∞. Hơn nữa,
F {f}
2
2
=
∞


−∞
|F {f}(λ)|
2
dλ =
∞

−∞
|f (x)|
2
dx = f
2
2
.
(b) Nếu f ∈ L
2
(R) ∩L
1
(R) thì F {f } =
ˆ
f hầu hết trên R.
(c) Nếu đặt
φ
N
(x) =
N

−N
F {f}(λ) e
−iλx

dλ
thì φ
N
hội tụ trong L
2
(R) đến f khi N → ∞.
(d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L
2
(R) vào L
2
(R).
Hệ quả 1.1. Nếu f ∈ L
2
(R) và
ˆ
f ∈ L
1
(R) thì
f (x) =
1
√
2π
∞

−∞
ˆ
f (λ) e
−iλx
dλ, với hầu hết x.
Định lý 1.4. (Hausdorff - Young).

Cho f ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R) . Giả sử 1 < p < 2 và q là số đối ngẫu của p, nghĩa là,
1
p
+
1
q
= 1 thì
(2π)
1
2
−
1
q



∞

−∞


ˆ
f (λ)


q

dλ



1
q
≤



∞

−∞
|f (x)|
p
dx



1
q
.
Với hàm f ∈ L
p
(R) , 1 < p < 2, chúng ta còn định nghĩa
ˆ
f như là giới hạn trong
L
q
(R) của dãy hàm

λ → (2π)
1
2
−
1
q
n

−n
f (x) e
iλx
dx, khi n → ∞.
8
Lúc đó, phép biến đổi Fourier là tuyến tính liên tục từ L
p
(R) vào L
q
(R) . Nó
không còn là song ánh và đẳng cự.
1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng
Xét bài toán sau đây. Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn phương trình
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u

∂y
2
= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y < ∞ (1.8)
và các điều kiện
u(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞, (1.9)
u(±∞, y) = 0, u
x
(±∞, y) = 0, u(x, +∞) = 0. (1.10)
Lời giải hình thức. Để giải bài toán (1.8) - (1.10), ta sử dụng phương pháp
biến đổi Fourier. Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) theo x hai
vế của (1.8), ta có
∞

−∞
e
iξx

∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2

dx =

∞

−∞
e
iξx
∂
2
u
∂x
2
dx +
∞

−∞
e
iξx
∂
2
u
∂y
2
dx = 0. (1.11)
Ta có
∞

−∞
e
iξx
∂
2

u
∂y
2
dx =
d
2
dy
2
∞

−∞
e
iξx
u(x, y) dx =
d
2
ˆu(ξ, y)
dy
2
.
Sử dụng điều kiện đầu tiên trong (1.10), bằng cách tích phân từng phần, ta có
∞

−∞
e
iξx
∂
2
u
∂x

2
dx = −ξ
2
ˆu(ξ, y).
Thay vào (1.11), ta có phương trình
d
2
ˆu(ξ, y)
dy
2
− ξ
2
ˆu(ξ, y) = 0. (1.12)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.12) là
ˆu(ξ, y) = A(ξ)e
−|ξ|y
+ B(ξ)e
|ξ|y
,
9
trong đó A(ξ), B(ξ) là các hàm số bất kỳ theo ξ. Từ điều kiện thứ ba trong
(1.10), suy ra ˆu(ξ, +∞) = 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B(ξ) ≡ 0.
Như vậy, ta có
ˆu(ξ, y) = A(ξ)e
−|xi|y
, u(x, y) =
1
2π
∞


−∞
A(ξ)e
−|xi|y
e
−xiξ
dξ. (1.13)
Để tìm hàm A(ξ), ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.9). Ta có
u(x, 0) = g(x) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
−ixξ
dξ ⇒ A(ξ) =
∞

−∞
g(t)e
itξ
dt. (1.14)
Thay (1.14) vào (1.13), sử dụng công thức
∞

−∞
e
−a|ξ|
e
iξλ

dξ =
2a
a
2
+ λ
2
, a > 0, (1.15)
ta được
u(x, y) =
1
π
∞

−∞
yg(t)
(t −x)
2
+ y
2
dt, y > 0. (1.16)
Thiết lập tính đúng đắn của lời giải. Giả sử g(t) là hàm liên tục và bị chặn.
Khi đó dễ dàng thấy, với mọi y > 0, tích phân (1.16) và các tích phân nhận được
từ công thức này bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân theo x và theo y
một số lần tùy ý hội tụ đều trong miền (|x| < ∞, 0 ≤ y < ∞). Ngoài ra, ta cũng
dễ dàng chứng minh rằng biểu thức dưới dấu tích phân (1.16) là hàm điều hòa,
do đó, hàm u(x, y) xác định bởi công thức (1.16) thỏa mãn phương trình (1.8).
Rõ ràng là các điều kiện trong (1.10) cũng được thỏa mãn. Ta cần phải kiểm
tra sự thỏa mãn của điều kiện biên (1.9). Từ (1.15), theo công thức biến đổi
Fourier ngược, ta có:
e

−y|ξ|
=
1
π
∞

−∞
e
iξλ
y
y
2
+ λ
2
dλ, y > 0.
Trong công thức trên cho ξ = 0, ta được
1 =
1
π
∞

−∞
y
y
2
+ λ
2
dλ =
1
π

∞

−∞
y
y
2
+ (t − x)
2
dt. (1.17)
10
Nhân hai vế của (1.17) với g(x), rồi trừ theo từng vế với (1.16), ta được
u(x, y) −g(x) =
1
π
∞

−∞
y[g(t) −g(x)]
y
2
+ (t − x)
2
dt =
1
π
∞

−∞
y[g(λ + x) −g(x)]
y

2
+ λ
2
dλ.
Bằng cách đổi biến λ = yτ, ta biến đổi công thức trên về dạng
u(x, y) −g(x) =
1
π
∞

−∞
[g(yτ + x) −g(x)]
1 + τ
2
dτ. (1.18)
Do g(t) là hàm bị chặn nên tồn tại M > 0, sao cho
|g(yτ + x) −g(x)| ≤ |g(yτ + x)| + |g(x)| ≤ 2M.
Giả sử ε là số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý. Ta có thể tìm được số dương N = N(ε),
sao cho
2M
π
−N

−∞
dτ
τ
2
+ 1
<
ε

3
,
2M
π
∞

N
dτ
τ
2
+ 1
<
ε
3
.
Do g(x) là hàm liên tục nên với mọi y rất gần không và |τ| ≤ N, ta có
|g(yτ + x) −g(x)| ≤
ε
3
.
Từ đó, suy ra
|u(x, y) −g(x)| ≤
2ε
3
+
ε
3
.
1
π

N

−N
dτ
τ
2
+ 1
<
2ε
3
+
ε
3
.
1
π
∞

−∞
dτ
τ
2
+ 1
= ε.
Do tính nhỏ tùy ý của ε, ta suy ra
lim
y→+0
u(x, y) = g(x).
Có thể chứng minh bài toán (1.8) - (1.10) trong lớp hàm bị chặn không thể
có nhiều hơn một nghiệm. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý:

Định lý 1.5. Giả sử g(x) là hàm liên tục thuộc L
1
(−∞, ∞) và bị chặn. Khi đó,
nghiệm của bài toán (1.8)-(1.10) trong lớp hàm bị chặn là duy nhất và được cho
bởi công thức (1.16).
11
1.4 Một số bài toán biên cho phương trình song
điều hòa trong miền hình dải
1.4.1 Bài toán biên thứ nhất
Chúng ta nghiên cứu nghiệm Φ
1
(x, y) của bài toán giá trị biên cho bởi phương
trình song điều hòa
∆
2
Φ
1
(x, y) =
∂
4
Φ
1
∂x
4
+ 2
∂
4
Φ
1
∂x

2
∂y
2
+
∂
4
Φ
1
∂y
4
= 0 (1.19)
trong miền
Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}.
Xét bài toán giá trị biên hỗn tạp sau đây.
Tìm nghiệm Φ
1
(x, y) của phương trình (1.19) trong miền Π thỏa mãn điều kiện
biên
Φ
1


y=h
= r
1
(x),
∂Φ
1
∂y




y=h
= g
1
(x), x ∈ R, (1.20)
Φ
1


y=0
= f
1
(x),
∂Φ
1
∂y



y=0
= u
1
(x), x ∈ R. (1.21)
Bài toán này có thể được mô tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh
y = 0 và y = h có điều kiện kẹp.
Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp biến đổi Fourier và rút gọn
về một hệ phương trình kép giải bằng biến đổi Fourier ngược. Cho trực tiếp 1
hàm phù hợp f(x), x ∈ R( ví dụ , f(x) ∈ L
1

(R)) và biến đổi Fourier ngược được
xác định bởi các công thức

f(ξ) = F [f](ξ) =

∞
−∞
f(x)e
ixξ
dx, (1.22)
˘
f(ξ) = F
−1
[f](ξ) =
1
2π

∞
−∞
f(x)e
−ixξ
dx. (1.23)
Lấy biến đổi Fourier theo biến x cho phương trình song điều hòa (1.19), ta thu
được
d
4

Φ
1
(ξ, y)

dy
4
− 2ξ
2
d
2

Φ
1
(ξ, y)
dy
2
+ ξ
4

Φ
1
(ξ, y) = 0, (1.24)
trong đó

Φ
1
(ξ, y) = F
x
[Φ
1
(x, y)](ξ) là biến đổi Fourier theo x của hàm Φ
1
(x, y).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.24) đưa về dạng


Φ
1
(ξ, y) = A
1
(ξ) cosh(|ξ|y) + B
1
(ξ)y cosh(|ξ|y)
12
+C
1
(ξ) sinh(|ξ|y) + D
1
(ξ)y sinh(|ξ|y), (1.25)
trong đó A
1
(ξ), B
1
(ξ), C
1
(ξ), D
1
(ξ) là hàm tùy ý biến ξ. Giá trị

Φ
1
(0, y) là hàm
được hiểu theo nghĩa

Φ

1
(0, y) = lim
ξ→0

Φ
1
(ξ, y).
Cho thỏa mãn các điều kiện biên (1.20) và (1.21), ta được hệ phương trình đại
số tuyến tính để xác định các hàm số A
1
(ξ), B
1
(ξ), C
1
(ξ), D
1
(ξ) sau đây











A
1

(ξ) cosh(|ξ|h) + B
1
(ξ)h cosh(|ξ|h) + C
1
(ξ) sinh(|ξ|h) + D
1
(ξ)h sinh(|ξ|h) = r
1
(ξ),
A
1
(ξ)|ξ|sinh(|ξ|h) + B
1
(ξ)[cosh(|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)] + C
1
(ξ)|ξ|cosh(|ξ|h)
+D
1
(ξ)[sinh(|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h)] = g
1
(ξ),
A
1
(ξ) =

f
1
(ξ),
B
1

(ξ) + C
1
(ξ)|ξ| = u
1
(ξ).
(1.26)
Giải hệ (1.26) ta được
A
1
(ξ) =
ˆ
f
1
(ξ),
B
1
(ξ) =
−|ξ|[sinh (|ξ|h) + |ξ|h cosh (|ξ|h)]ˆr
1
(ξ) + |ξ|h sinh(|ξ|h)ˆg
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
+
[sinh
2
(|ξ|h)]ˆu

1
(ξ) + |ξ|[|ξ|h + cosh (|ξ|h) sinh (|ξ|)h]
ˆ
f
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
,
C
1
(ξ) =
[sinh (|ξ|h) + |ξ|h cosh (|ξ|h)]ˆr
1
(ξ) −h sinh(|ξ|h)ˆg
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
−
(|ξ|h
2
)ˆu
1
(ξ) + [|ξ|h + cosh (|ξ|h) sinh (|ξ|h)]
ˆ

f
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
,
D
1
(ξ) =
[sinh (|ξ|h) −|ξ|h cosh (|ξ|h)]ˆg
1
(ξ) + |ξ|
2
h sinh(|ξ|h)ˆr
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
+
[|ξ|h − cosh (|ξ|h) sinh (|ξ|h)]ˆu
1
(ξ) −[|ξ|sinh
2
(|ξ|h)]
ˆ
f

1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
.
1.4.2 Bài toán biên thứ hai
Xét phương trình song điều hòa
∆
2
Φ
2
(x, y) =
∂
4
Φ
2
∂x
4
+ 2
∂
4
Φ
2
∂x
2
∂y
2
+

∂
4
Φ
2
∂y
4
= 0 (1.27)
trong miền
Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}.
13
Xét bài toán giá trị biên sau. Tìm nghiệm Φ
2
(x, y) của phương trình (1.27) trong
miền Π thỏa mãn điều kiện biên
Φ
2


y=h
= r
2
(x),
∂Φ
2
∂y



y=h
= g

2
(x), x ∈ R, (1.28)
Φ
2


y=0
= f
2
(x), M[Φ
2
]


y=0
= u
2
(x), x ∈ R, (1.29)
trong đó M[Φ
2
] được xác định theo công thức
M[Φ
2
](x, y) =
∂
2
Φ
2
∂y
2

+ ν
∂
2
Φ
2
∂x
2
, 0 < ν <
1
2
. (1.30)
Bài toán này có thể được mô tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh
biên kẹp y = h, còn biên y = 0 có gối tựa bản lề. M[Φ
2
] là momen uốn theo trục
Oy.
Lấy biến đổi Fourier theo biến x cho phương trình (1.27), ta được
d
4

Φ
2
(ξ, y)
dy
4
− 2ξ
2
d
2


Φ
2
(ξ, y)
dy
2
+ ξ
4

Φ
2
(ξ, y) = 0, (1.31)
trong đó

Φ
2
(ξ, y) = F
x
[Φ
2
(x, y)](ξ) là biến đổi Fourier theo biến x của hàm Φ
2
(x, y).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.31) đưa về dạng

Φ
2
(ξ, y) = A
2
(ξ) cosh(|ξ|y) + B
2

(ξ)y cosh(|ξ|y)
+C
2
(ξ) sinh(|ξ|y) + D
2
(ξ)y sinh(|ξ|y), (1.32)
trong đó A
2
(ξ), B
2
(ξ), C
2
(ξ), D
2
(ξ) là hàm tùy ý biến ξ. Giá trị

Φ
2
(0, y) được
hiểu là

Φ
2
(0, y) = lim
ξ→0

Φ
2
(ξ, y).
Ta có

u
2
(ξ) =

M[Φ
2
](ξ, 0) =
d
2

Φ
2
(ξ, 0)
dy
2
− ν|ξ|
2

Φ
2
(ξ, 0) = (1 −ν)|ξ|
2
A
2
(ξ) + 2|ξ|D
2
(ξ),
(1.33)
trong đó u
2

(ξ) là hàm ẩn.
Cho thỏa mãn các điều kiện biên (1.28) và (1.29) ta được hệ phương trình đại
số tuyến tính để xác định các hàm số A
2
(ξ), B
2
(ξ), C
2
(ξ), D
2
(ξ) sau đây











A
2
(ξ) cosh(|ξ|h + B
2
(ξ)h) cosh |ξ|h + C
2
(ξ) sinh(|ξ|h) + D
2

(ξ)h sinh(|ξ|h) = r
2
(ξ),
A
2
(ξ)|ξ|sinh(|ξ|h) + B
2
(ξ)[cosh(|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)] + C
2
(ξ)|ξ|cosh(|ξ|h)
+D
2
(ξ)[sinh(|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h)] = g
2
(ξ),
A
2
(ξ) =

f
2
(ξ),
(1 −ν)|ξ|
2
A
2
(ξ) + 2|ξ|D
2
(ξ) = u
2

(ξ).
(1.34)
14
Giải hệ (1.34), ta được
A
2
(ξ) =
ˆ
f
2
(ξ),
B
2
(ξ) =
2|ξ|
2
[cosh (|ξ|h)]ˆr
2
(ξ) + |ξ|h sinh(|ξ|h)ˆg
2
(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
+
[sinh
2
(|ξ|h)ˆu
2
(ξ) −[2|ξ|
2
+ (1 − v) |ξ|sinh

2
(|ξ|h)]
ˆ
f
2
(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
,
C
2
(ξ) =
2 |ξ|h cosh(|ξ|h)ˆg
2
(ξ) −2 |ξ|[cosh (|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)]ˆr
2
(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
−
(|ξ|h
2
)ˆu
2
(ξ) −|ξ|[(1 − v)(|ξ|h)
2
− 2cosh
2
|ξ|h]
ˆ
f
2

(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
,
D
2
(ξ) =
ˆu
2
(ξ) −(1 −v)|ξ|
2
ˆ
f
2
(ξ)
2 |ξ|
.
1.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
trong thanh dài vô hạn
1.5.1 Công thức Poisson
Bài toán về truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn đồng chất, bề mặt cách
nhiệt với môi trường bên ngoài về mặt toán học được phát biểu như sau
Tìm hàm bị chặn u(x, t), (t ≥ 0, −∞ < x < ∞) thỏa mãn phương trình
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x

2
, (t > 0, −∞ < x < ∞) (1.35)
và điều kiện ban đầu
u


t=0
= ϕ(x), (−∞ < x < ∞), (1.36)
trong đó, ϕ(x) là hàm liên tục và bị chặn.
Vận dụng nguyên lý cực trị có thể chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài
toán (1.35)-(1.36).
Định lý 1.6. Bài toán Cauchy (1.35) - (1.36) không thể có nhiều hơn một
nghiệm bị chặn.
Chứng minh. Tác động biến đổi Fourier theo biến số x hai vế của phương trình
(1.35), ta được phương trình vi phân thường theo biến t
U
t
(λ, t) = −a
2
λ
2
U(λ, t), U(λ, t) = F
x
[u(x, t)](λ).
15
Từ đây, ta tìm được
U(λ, t) = A(λ)e
−a
2
λ

2
t
, (1.37)
trong đó, A(λ) là một hàm bất kỳ.
Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế của (1.37), ta được
u(x, t) =
1
2π
∞

−∞
A(λ)e
−a
2
λ
2
t
e
ixλ
dλ. (1.38)
Trong (1.38) cho t = 0, sử dụng (1.36), ta có
ϕ(x) = u(x, 0) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
ixξ
dλ.

Từ đây, suy ra
A(λ) =
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−iξλ
dξ. (1.39)
Thay (1.39) vào (1.38), ta được
u(x, t) =
1
2π
∞

−∞

∞

−∞
ϕ(ξ)e
−iλξ
dξ

e
−a
2
λ
2
t
e

ixλ
dλ.
Để thuận tiện, chúng ta biến đổi biểu thức trên đây về dạng:
u(x, t) =
1
2π
∞

−∞
dλ
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dξ
=
1
π
∞

0
dλ
∞

−∞

ϕ(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dξ.
Đổi thứ tự lấy tích phân trong vế phải của biểu thức trên, ta có
u(x, t) =
1
π
∞

−∞
ϕ(ξ) dξ
∞

0
e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dλ. (1.40)
Tích phân bên trong vế phải của (1.40) có thể tính được. Thật vậy, đổi biến
aλ
√
t = z, λ(ξ −x) = µz, dλ =
dz

a
√
t
, µ =
ξ −x
a
√
t
.
16
Vì thế,
∞

0
e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dξ =
1
a
√
t
∞

0
e
−z

2
cos µz dz =
1
a
√
t
J(µ).
Lấy đạo hàm J(µ) theo µ, ta được
J

(µ) = −
∞

0
e
−z
2
z sin µz dz.
Việc lấy đạo hàm là hoàn toàn được phép vì tích phân trên đây hội tụ đều. Tích
phân từng phần, ta được
J

(µ) = −
µ
2
∞

0
e
−z

2
cos µz dz = −
µ
2
J(µ).
Suy ra,
J(µ) = Ce
−
µ
2
4
.
Ta có
C = J(0) =
∞

0
e
−z
2
dz =
√
π
2
.
Do đó,
J(µ) =
√
π
2

e
−
µ
2
4
.
Thay giá trị này vào (1.40), ta được
u(x, t) =
1
2a
√
tπ
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−
(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.41)
Công thức (1.41) được gọi là công thức Poisson, còn hàm
E(x, t) =
1
2a
√
πt
e

−
(ξ −x)
2
4a
2
t
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (1.35).
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng với mọi hàm liên tục và bị chặn ϕ(x),
17
hàm u(x, t) được xác định theo công thức (1.41) thỏa mãn phương trình truyền
nhiệt (1.35) với điều kiện đầu (1.36). Để chứng minh, ta chỉ cần chứng tỏ rằng
tích phân (1.41) và các tích phân nhận được bằng cách đạo hàm hình thức dưới
dấu tích phân hội tụ đều trong mọi hình chữ nhật [−l ≤ x ≤ l, t
0
≤ t ≤ T ], trong
đó t
0
> 0. Thật vậy, đạo hàm (1.41) theo t và theo x một số lần, ta nhận được
tổng của các tích phân dạng
I =
1
t
k
∞

−∞
ϕ(ξ)(ξ −x)
m
e
−

(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.42)
Trong (1.42) thực hiện đổi biến
α =
ξ −x
2a
√
t
, (t > 0), (1.43)
ta được
I = (2a)
m+1
t
m + 1
2
−k
∞

−∞
ϕ(x + 2aα
√
t)α
m
e
−α
2

dα.
Dễ thấy rằng, tích phân hội tụ đều khi t ≥ t
0
> 0, bởi vì
|ϕ(x + 2aα
√
t)e
−α
2
α
m
| ≤ M|α|
m
e
−α
2
là hàm khả tích trên (−∞, ∞). Vì hàm dưới dấu tích phân (1.41) là nghiệm cơ
bản E(x, t) của phương trình truyền nhiệt nên hàm u(x, t) được xác định bởi
tích phân(1.41) thỏa mãn phương trình (1.35). Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm (1.41)
cũng thỏa mãn (1.36) theo nghĩa
lim
t→0+
u(x, t) = ϕ(x), −∞ < x < ∞.
Bằng phép đổi biến (1.43), ta biến đổi (1.41) về dạng
u(x, t) =
1
√
π
∞


−∞
ϕ(x + 2aα
√
t)e
−α
2
dα. (1.44)
Ta có
|u(x, t)| ≤
1
√
π
∞

−∞
|ϕ(x + 2aα
√
t)|e
−α
2
dα ≤
M
√
π
∞

−∞
e
−α
2

dα = M.
18
Vì
1 =
1
√
π
∞

−∞
e
−α
2
dα. (1.45)
Nhân hai vế của (1.45) với ϕ(x) và trừ theo từng vế (1.44) cho đẳng thức nói
trên, ta được
u(x, t) − ϕ(x) =
1
√
π
∞

−∞
[ϕ(x + 2aα
√
t) −ϕ(x)]e
−α
2
dα. (1.46)
Do tính bị chặn của ϕ(x), ta có

|ϕ(x + 2aα
√
t) −ϕ(x)| ≤ 2M, ∀(x, t).
Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý. Ta tìm được số N đủ lớn, sao cho
2M
√
π
−N

−∞
e
−α
2
dα ≤
ε
3
,
2M
√
π
∞

N
e
−α
2
dα ≤
ε
3
. (1.47)

Do tính liên tục của ϕ(x) nên với mọi t đủ nhỏ (t → 0) và |α| ≤ N, thì
|ϕ(x + 2aα
√
t) −ϕ(x)| <
ε
3
. (1.48)
Từ (1.46) - (1.48), suy ra
|u(x, t) − ϕ(x)| <
2ε
3
+
ε
3
1
√
π
N

−N
e
−α
2
dα <
2ε
3
+
ε
3
= ε

với mọi t > 0 đủ nhỏ. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Vì bài toán (1.35) - (1.36) theo định lý (1.6) không thể có quá một nghiệm
bị chặn nên tích phân (1.41) cho công thức nghiệm duy nhất của bài toán. Như
vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý sau:
Định lý 1.7. Nếu ϕ(x) là hàm liên tục bị chặn trên (−∞, ∞) thì bài toán (1.35)
- (1.36) trong lớp các hàm bị chặn có duy nhất nghiệm và nghiệm đó được cho
bởi công thức
u(x, t) =
1
2a
√
tπ
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−
(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.49)
Công thức (1.49) được gọi là công thức Poison của phương trình truyền nhiệt.
19
1.5.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
Ta ký hiệu
E(x, t) =




1
(4πa
2
t)
1/2
e
−x
2
/4a
2
t
, t > 0,
0, t < 0.
(1.50)
Hàm E(x, t) có các tính chất sau đây
1. E
t
− a
2
E
xx
= 0, x ∈ R, t > 0.
2. E(x, t) > 0, với mọi x ∈ R, t > 0.
3. E(x, t) ∈ C
∞
(R ×(0, +∞)).
4.

R

E(x, t)dx = 1, với mọi t > 0.
Hàm E(x, t) được gọi là hàm cơ bản của phương trình tuyền nhiệt (1.35).
Ngoài nghiệm u(x, t) của bài toán Cauchy (1.35) - (1.36) được xác định theo
công thức (xem công thức (1.49))
u(x, t) =

R
E(x −y, t)ϕ(y)dy. (1.51)
1.6 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt
không thuần nhất
Xét bài toán không thuần nhất

u
t
− a
2
u
xx
= f(x, t), x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = φ(x).
(1.52)
Trong mục trước, chúng ta đã biết rằng nghiệm của bài toán cho phương trình
thuần nhất

u
t
− a
2
u
xx

= 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = φ(x).
(1.53)
được cho bởi công thức (1.51). Nghĩa là, chúng ta có toán tử giải
S(t)φ(x) =

R
E(x −y, t)φ(y)dy.