Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ TĂNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Tăng
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và
sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và
các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham

khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Tăng
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue . . 6
1.1.1. Tích phân Bochner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Không gian Bochner-Sobolev trên không gian một chiều 13
1.3. Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều . . . . . 16
1.3.1. Khái niệm gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Gradient của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3. Không gian Sobolev trên Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.5. Toán tử Dirichlet-p-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ gradient. . 28
1.4.1. Hệ gradient không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng lồi 30
1.4.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng elliptic
33
1.5. Tính chính quy của các nghiệm . . 36
Chương 2. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient. 41
2.1. Tập ω-giới hạn của một hàm liên tục trên R
+

. . 42
2.2. Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục của hệ gradient 43
2.3. Sự không ổn định cho nghiệm toàn cục của hệ gradient . 46
2
2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon và sự ổn định của nghiệm toàn
cục của hệ gradient . . . . . 49
2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong không gian Hilbert 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng
dụng và toán học lý thuyết. Đã có rất nhiều phương trình đạo hàm riêng
là mô hình toán học của các bài toán thực tế. Việc nghiên cứu tính chất
(định tính, định lượng) của nghiệm các phương trình đạo hàm riêng có
ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán thực tế.
Đối với phương trình đạo hàm riêng, ngoài việc xét tính đặt đúng của
bài toán (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục), chúng ta còn cần phải nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm
khi biến thời gian t → ∞. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của
các mô hình thực tế, do đó nghiên cứu dáng điệu nghiệm ta biết sự thay
đổi của mô hình khi thời gian t → ∞.
Trong thực tế, sự mất năng lượng (như nhiệt) mà không thể phục hồi
là nguyên nhân gây nên sự tiêu tán. Có vẻ như đặc tính tiêu tán là một
tính chất chung của hầu hết các hệ. Một trong những hệ tiêu tán điển
hình là hệ gradient. Trong R
d
hệ này có dạng
˙u + ∇E(u) = 0, t ∈ I ⊂ R

trong đó u : I → R
d
còn E : R
d
→ R là hàm năng lượng.
Dễ thấy, E là một hàm giảm theo mỗi nghiệm trơn của hệ. Thật vậy,
4
nếu u là một nghiệm trơn của hệ thì ta có
d
dt
E(u) = ∇E(u(t)), ˙u(t) = −˙u(t), ˙u(t) ≤ 0.
nên E giảm theo mỗi nghiệm, trừ khi nghiệm đó không đổi.
Nhờ cấu trúc gradient mà chúng ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất
định tính của nghiệm, cũng như mở rộng nghiên cứu hệ trong không
gian vô hạn chiều.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
được sự định hướng và chỉ bảo tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã
mạnh dạn nghiên cứu đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 01 được dành để
đưa ra một số kiến thức không gian Bochner và hệ gradient trong không
gian vô hạn chiều. Trong chương 02 của luận văn, tôi đã trình bày một
cách có hệ thống về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn
chiều, đặc biệt là dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều.

Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
5
Tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không
gian vô hạn chiều, tính chất định tính của nghiệm và dáng điệu tiệm cận
của nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
Phạm vi nghiên cứu: dáng điệu tiệm cận của nghiệm suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như: các không gian hàm, lý
thuyết toán tử.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày các kiến thức về hệ gradient một cách hệ thống, bao gồm khái
niệm hệ gradient, khái niệm nghiệm suy rộng, một số tính chất định tính
của nghiệm, đặc biệt là về dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị
Banach và về các không gian Bochner-Lebesgue, không gian Bochner-
Sobolev. Đó là những khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình
vi phân trừu tượng trong không gian Banach, đặc biệt là hệ gradient
trong không gian Banach; nghiệm của các phương trình vi phân trừu
tượng được tìm trong không gian Bochner-Lebesgue hoặc không gian
Bochner-Sobolev các hàm giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong R
d
với độ đo Lebesgue.
Nhưng hầu hết các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner-

Lebesgue vẫn đúng cho các không gian đo tổng quát.
1.1.1. Tích phân Bochner
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn  · , cho Ω ⊆ R
d
là một tập mở và kí hiệu A là σ-đại số Lebesgue các tập con của Ω,
nghĩa là, σ-đại số nhỏ nhất chứa σ-đại số Borel (là σ đại số sinh bởi các
tập mở) và tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo
Lebesgue trên Ω được kí hiệu là µ.
7
Hàm f : Ω → X được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một
dãy (A
n
) ⊆ A các tập đo được Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy
(x
n
) ⊂ X sao cho f =

n
1
A
n
x
n
, trong đó 1
A
là hàm đặc trưng của tập
A.
Hàm f : Ω → X là đo được nếu tồn tại một dãy (f
n
) các hàm bậc

thang f
n
: Ω → X sao cho f
n
→ f hầu khắp nơi. Lưu ý rằng trong
trường hợp X = R, định nghĩa này tương đương với cách định nghĩa
"nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ
đề sau đây:
Bổ đề 1.1 (Xem [4], Bổ đề 5.1). Cho X, Y là hai không gian Banach
thực:
a) Mọi hàm liên tục f : Ω → X đều là hàm đo được.
b) Nếu f : Ω → X đo được thì ||f|| : Ω → R cũng đo được.
c) Nếu f : Ω → X đo được và g : X → Y liên tục thì hàm hợp g ◦ f :
Ω → Y đo được.
d) Nếu f : Ω → X và g : Ω → R đo được thì tích fg : Ω → X đo được.
e) Nếu f : Ω → X và g : Ω → X

đo được thì tích g, f
X

,X
: Ω → R đo
được.
f) Nếu (f
n
) là một dãy các hàm đo được từ Ω → X sao cho f
n
→ f hầu
khắp nơi thì f đo được.
Định lý 1.1 (Pettis, xem [4], Định lý 5.2). Hàm f : Ω → X là đo được

nếu và chỉ nếu x

, f là đo được với mọi x

∈ X

(khi đó ta nói f là đo
được yếu) và tồn tại một tập có độ đo Lebesgue không N ∈ A sao cho
f(Ω \ N) là tách được.
8
Ta nói rằng hàm f : Ω → X là khả tích nếu f là đo được và

Ω
||f|| < ∞, nghĩa là, nếu f là đo được và hàm dương ||f|| : Ω → R là
khả tích theo nghĩa Lebesgue thông thường.
Với hàm bậc thang khả tích f : Ω → X, f =

n
1
A
n
x
n
, ta định nghĩa
tích phân (Bochner) của f bởi

Ω
fdµ :=

n

µ(A
n
)x
n
.
Chuỗi

n
µ(A
n
)x
n
hội tụ tuyệt đối và có tổng độc lập với dạng biểu diễn
của f. Vì vậy, tích phân Bochner của hàm bậc thang khả tích được xác
định tốt; tích phân

Ω
fdµ là một phần tử của X.
Với hàm khả tích f : Ω → X bất kỳ, ta định nghĩa tích phân
(Bochner) của f bởi

Ω
fdµ := lim
n→∞

Ω
f
n
dµ,
trong đó (f

n
) là một dãy các hàm bậc thang từ Ω → X sao cho ||f
n
|| ≤
||f|| và f
n
→ f hầu khắp nơi.
Chú ý rằng dãy (f
n
) như vậy luôn tồn tại; các hàm bước nhảy f
n
là
khả tích, giới hạn của các tích phân

Ω
f
n
dµ tồn tại và độc lập với cách
chọn của dãy (f
n
). Tích phân Bochner là một sự khái quát tự nhiên của
tích phân Lebesgue của một hàm giá trị vô hướng. Tích phân Bochner
có khá nhiều đặc tính giống với tích phân Lebesgue. Ví dụ, ta có bất
đẳng thức








Ω
fdµ






≤

Ω
fdµ.
và một số định lý quan trọng sau:
9
Định lý 1.2 (Lebesgue, sự hội tụ trội, xem [4], Định lý 5.3). Cho (f
n
)
là một dãy các hàm khả tích Ω → X và f : Ω → X là một hàm. Giả
sử tồn tại một hàm khả tích g : Ω → R sao cho ||f
n
|| ≤ g với mọi n và
f
n
→ f hầu khắp nơi. Khi đó f là khả tích và

Ω
fdµ = lim
n→∞


Ω
f
n
dµ.
Bổ đề 1.2 (Tính tuyến tính của tích phân Bochner, xem [4], Bổ đề 5.4).
Ta có
a. Với mọi hàm f, g : Ω → X khả tích ta có tổng f + g là khả tích và

Ω
(f + g)dµ =

Ω
fdµ +

Ω
gdµ.
b. Nếu f : Ω → X khả tích và T : X → Y là ánh xạ tuyến tính liên
tục thì hàm Tf : Ω → Y khả tích và

Ω
T fdµ = T

Ω
fdµ.
Ta cũng sử dụng những kí hiệu sau cho tích phân Bochner:

Ω
f hoặc

Ω

f(t)dµ(t),
và nếu Ω = (a, b) là một khoảng trên R, thì ta viết
b

a
f hoặc
b

a
f(t)dµ(t) hoặc
b

a
f(t)dt
cho tích phân Bochner của một hàm khả tích f : (a, b) → X.
10
1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue
Với mỗi hàm đo được f : Ω → X và 1 ≤ p < ∞, ta đặt
||f||
L
p
:=



Ω
||f||
p
dµ



1
p
.
Ta cũng đặt
||f||
L
∞
:= inf {C ≥ 0 : µ({||f|| ≥ C}) = 0}.
Với 1 ≤ p ≤ ∞ ta định nghĩa
L
p
(Ω; X) := {f : Ω → X đo được : ||f||
L
p
< ∞}.
Tương tự như trong trường hợp hàm vô hướng ta có thể thấy rằng
L
p
(Ω; X) là không gian vectơ và || ·||
L
p
đó là nửa chuẩn trên L
p
(Ω; X).
Nếu ta đặt
N
p
:= {f ∈ L
p

(Ω; X) : ||f||
L
p
= 0}
=

f ∈ L
p
(Ω; X) : f = 0 hầu khắp nơi

thì không gian thương
L
p
(Ω; X) := L
p
(Ω; X)/N
p
:= {f + N
p
: f ∈ L
p
(Ω; X)}
trở thành một không gian Banach với chuẩn
||[f]||
L
p
:= ||f||
L
p
, ([f] = f + N

p
).
Chuẩn của lớp tương đương [f] được xác định tốt, nghĩa là, nó độc lập
với biểu diễn f trong lớp đó. Ta gọi không gian L
p
(Ω; X) là không gian
11
Bochner-Lebesgue. Như trong trường hợp vô hướng, ta đồng nhất các
hàm f ∈ L
p
(Ω; X) với lớp tương đương của nó, [f] ∈ L
p
(Ω; X) và ta
nói rằng L
p
là một không gian hàm. Đặc biệt ta đồng nhất hai hàm nếu
chúng bằng nhau hầu khắp nơi.
Nếu Ω = (a, b) là một khoảng trên R, ta viết:
L
p
(a, b; X) := L
p
((a, b); X).
Với Ω ⊆ R
d
bị chặn và nếu 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ta có bao hàm
C(Ω; X) ⊆ L
∞
(Ω; X) ⊆ L
p

(Ω; X) ⊆ L
q
(Ω; X) ⊆ L
1
(Ω; X).
Đặc biệt, nếu Ω là bị chặn và f là liên tục trên bao đóng Ω thì f thuộc
L
p
(Ω; X), ∀1 ≤ p ≤ ∞.
Dưới đây là một số kết quả (không chứng minh) về không gian
Bochner-Lebesgue được sử dụng trong các bài sau.
Định lý 1.3 (xem [4], Định lý 5.5). Nếu 1 ≤ p < ∞ và nếu X là tách
được thì L
p
(Ω; X) là tách được. Chính xác hơn, nếu (h
n
) ⊆ L
p
(Ω) và
(x
n
) ⊆ X là hai dãy trù mật thì:
F := {f : Ω → X : f = h
n
x
m
, n, m ∈ N}
là đếm được và span(F) trù mật trong L
p
(Ω; X).

Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và gọi p

=
p
p − 1
là số mũ liên hợp. Theo bất đẳng
thức Holder, ∀f ∈ L
p
(Ω; X) và ∀g ∈ L
p

(Ω; X

) hàm f, g
X,X

là khả
tích và







Ω
f, g
X,X








≤ f
L
p
(Ω;X)
g
L
p

(Ω;X

)
.
12
Hơn nữa
||g||
L
p

= sup
||f||
L
p
≤1








Ω
f, g
X,X







.
Như vậy, tương tự như trong trường hợp vô hướng ta có thể đồng nhất
L
p

(Ω; X

) với một không gian con đóng của L
p
(Ω; X)

. Ánh xạ tuyến
tính cho tương ứng mỗi g ∈ L
p


(Ω; X

) với một dạng tuyến tính liên tục
f →

Ω
f, g là một đẳng cự. Tuy nhiên, khác với trường hợp vô hướng,
ánh xạ này nói chung không phải là toàn ánh, ngay cả khi p < ∞. Việc
đồng nhất L
p
(Ω)

∼
=
L
p

(Ω) (khi p < ∞) là không còn đúng cho không
gian Bochner-Lebesgue nói chung, nghĩa là ta không có sự đồng nhất
đầy đủ của không gian đối ngẫu của L
p
(Ω; X) với không gian Bochner-
Lebesgue. Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng.
Định lý 1.4 (xem [4], Định lý 5.6). Ta có
a) Nếu 1 ≤ p < ∞ và X phản xạ thì L
p
(Ω; X)

∼
=

L
p

(Ω; X

).
b) Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian L
p
(Ω; X) cũng phản xạ.
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian L
2
(Ω; H) là không gian
Hilbert với tích vô hướng
f, g
L
2
(Ω;H)
:=

Ω
f, g
H
, f, g ∈ L
2
(Ω; H).
13
1.2. Không gian Bochner-Sobolev trên không gian
một chiều
Cho X là không gian Banach thực, −∞ ≤ a < b ≤ ∞ và p ∈ [1, ∞].
Không gian Bochner-Sobolev trên (a, b) là không gian:

W
1,p
(a, b; X) ={u ∈ L
p
(a, b; X) : tồn tại v ∈ L
p
(a, b; X)
sao cho với mọi ϕ ∈ C
1
c
(a, b) ta có
b

a
uϕ

= −
b

a
vϕ}.
Rõ ràng, hàm v được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết u

:= v
và ta gọi u

là đạo hàm yếu của u. Không gian W
1,p
(a, b; X) là không
gian Banach với chuẩn

||u||
W
1,p
:= (||u||
p
L
p
+ u


p
L
p
)
1
p
nếu 1 ≤ p < ∞ và
u
W
1,∞
:= sup{u
L
∞
, u


L
∞
}.
Ánh xạ tuyến tính

T : W
1,p
(a, b; X) → L
p
(a, b; X) × L
p
(a, b; X), u → (u, u

),
cho thấy W
1,p
(a, b; X) đẳng cấu với một không gian con đóng của L
p
(a, b; X)×
L
p
(a, b; X). Từ đây và Định lý 1.3 và 1.4 ta có được những tính chất sau
của không gian Bochner-Sobolev.
Định lý 1.5 (Xem [4], Định lý 5.7). a) Nếu 1 ≤ p < ∞ và X tách được,
thì W
1,p
(a, b; X) tách được.
b) Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian W
1,p
(a, b; X) cũng phản
xạ.
14
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian H
1
(a, b; H) := W

1,2
(a, b; H)
là không gian Hilbert với tích vô hướng:
u, v
H
1
(a,b;H)
:=
b

a
u, v
H
+
b

a
u

, v


H
, u, v ∈ H
1
(a, b; H).
Bổ đề 1.3 (Xem [4], Bổ đề 5.8). Cho u ∈ W
1,p
(a, b; X) sao cho u


= 0.
Khi đó u là hằng số hầu khắp nơi.
Bổ đề 1.4 (Xem [4], Bổ đề 5.9). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn,
t
0
∈ [a, b], g ∈ L
p
(a, b; X) và đặt
u(t) :=
t

t
0
g(s)ds, t ∈ [a, b].
Khi đó u ∈ W
1,p
(a, b; X) và u

= g.
Định lý 1.6 (Xem [4], Định lý 5.10). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn
và u ∈ W
1,p
(a, b; X). Khi đó tồn tại một hàm liên tục ˜u : [a, b] → X
bằng với u hầu khắp nơi và với mọi s, t ∈ [a, b],
˜u(t) − ˜u(s) =
t

s
u


(r)dr.
Định lý 1.7 (Định lý nhúng Sobolev, xem [4], Định lý 5.11). Cho (a, b)
là một khoảng bị chặn. Khi đó W
1,p
(a, b; X) chứa trong C([a, b]; X) và
tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho
||u||
L
∞
≤ C||u||
W
1,p
, ∀u ∈ W
1,p
(a, b; X).
Định lý 1.8 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [4], Định
lý 5.12). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn, cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và giả sử
15
u ∈ W
1,p
(a, b; X), v ∈ W
1,p
(a, b). Ta có
a) (Đạo hàm của tích). Tích uv thuộc W
1,p
(a, b; X) và
(uv)

= u


v + uv

.
b) (Tích phân từng phần).
b

a
u

v = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b

a
uv

.
Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ và ∀k ≥ 2, ta định nghĩa quy nạp không gian
Bochner-Sobolev cấp k
W
k,p
(a, b; X) :=

u ∈ W
1,p
(a, b; X) : u

∈ W
k−1,p
(a, b; X)


,
Không gian này là không gian Banach với các chuẩn
u
W
k,p
:=

k

j=0
u
(j)

p
L
p

1
p
nếu 1 ≤ p < ∞ và
u
W
1,∞
:= sup

u
L
∞
, u



L
∞
, , u
(k)

L
∞

,
Nếu H là một không gian Hilbert, thì H
k
(a, b; H) := W
k,2
(a, b; H) là
một không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v
H
k
:=
k

j=0

u
(j)
, v
(j)

L

2
.
Cuối cùng ta định nghĩa
W
1,p
0
(a, b; X) := C
1
c
(a, b; X)
·
W
1,p
,
và ta đặt H
1
0
(a, b; H) := W
1,2
0
(a, b; H).
16
Định lý 1.9 (xem [4], Định lý 5.13). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn.
Hàm u ∈ W
1,p
(a, b; X). Khi đó u ∈ W
1,p
0
(a, b; X) nếu và chỉ nếu u(a) =
u(b) = 0.

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức Poincare, xem [4], Định lý 5.14). Cho
(a, b) là một khoảng bị chặn và 1 ≤ p < ∞. Khi đó, tồn tại một hằng số
λ > 0 sao cho
λ
b

a
u
p
≤
b

a
u


p
, ∀u ∈ W
1,p
0
(a, b; X).
1.3. Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Trong mục này, ta nghiên cứu các hàm thực xác định trên không
gian Banach vô hạn chiều, gradient của chúng và hệ gradient tương ứng.
Nhiều khái niệm về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều sẽ lại
xuất hiện ở đây như: đạo hàm, tích vô hướng, và mêtric trên không gian
nền, gradient, hệ gradient, hàm năng lượng và sự tiêu tán. Tuy nhiên
việc phân tích hệ gradient trong không gian vô hạn chiều như sự tồn tại
nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục sẽ phức tạp hơn.
Kí hiệu, V là một không gian Banach với chuẩn ||.||

V
, V

là không
gian đối ngẫu của V . Nếu u

∈ V

thì ta viết:
u

(u) hoặc u

u hoặc u

, u hoặc u

, u
V

,V
là giá trị của u

tại phần tử u ∈ V . Không gian đối ngẫu V

được trang
bị bởi chuẩn
||u

||

V

= sup
||u||
V
≤1
u

, u.
17
1.3.1. Khái niệm gradient
Cho U ⊆ V là một tập mở, E : U → R là một hàm. Ta nói rằng E là
khả vi nếu với mỗi u ∈ U, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
u

∈ V

sao cho:
lim
||h||
V
→0
E(u + h) − E(u) − u

, h
||h||
V
= 0.
Phiếm hàm u


∈ V

, nếu nó tồn tại, là duy nhất. Đạo hàm của E
là hàm E

: U → V

cho tương ứng mỗi u ∈ U với phiếm hàm tuyến
tính u

∈ V

thỏa mãn đẳng thức trên. Ta kí hiệu đạo hàm của E tại
điểm u là E

(u). Ta nói E là khả vi liên tục nếu E khả vi và đạo hàm
E

: U → V

là liên tục. Tập tất cả các hàm khả vi liên tục U → R là
một không gian véctơ được kí hiệu bởi C
1
(U).
Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng ·, ·
H
và chuẩn
tương ứng  ·
H
. Giả thiết V được nhúng liên tục và trù mật trong H.

Nghĩa là ta đồng nhất V với một không gian con trù mật của H (qua
đơn ánh V → H) và tồn tại C ≥ 0 sao cho
u
H
≤ Cu
V
, ∀u ∈ V.
Ta viết V → H.
Với hàm đã cho E : U → R, ta định nghĩa gradient ∇
H
E đối với tích
vô hướng ·, ·
H
bởi
D(∇
H
E) :=

u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E

(u)ϕ = v, ϕ
H
, với mọi ϕ ∈ V

và
∇
H
E(u) := v,
18
tức là, ∇

H
E(u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo
hàm E

(u) theo tích vô hướng trong H
E

(u)ϕ = ∇
H
E(u), ϕ
H
, ∀ϕ ∈ V. (1.1)
Từ "nếu nó tồn tại" trong định nghĩa trên là quan trọng. Nó đánh dấu
một sự khác biệt so với gradient trong không gian hữu hạn chiều. Thực
tế chúng ta xét hai không gian V và H nên ta cần phải xác định miền
xác định D(∇
H
E) của gradient ∇
H
E. Miền này nói chung chứa thực sự
trong U; không phải mọi đạo hàm E

(u) đều có thể biểu diễn bởi một
phần tử thuộc H (vì E

(u) ∈ V

⊃ H

= H).

Khi V nhúng liên tục và trù mật trong H, thì H

nhúng liên tục trong
V

; hạn chế trên V của một phiếm hàm tuyến tính liên tục H → R cho
ta một phiếm hàm tuyến tính liên tục V → R. Phép tương ứng đó xác
định một toán tử từ H

→ V

là tuyến tính, liên tục và đơn ánh do V
trù mật trong H. Tuy nhiên nói chung phép nhúng H

→ V

không toàn
ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u

∈ V

đều
thác triển được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H. Do đó, có
thể tồn tại E

(u) ∈ V

nhưng không thác triển liên tục được lên H.
Tuy nhiên nếu u


∈ V

có thể thác triển liên tục lên H, tức là u

∈ H

thì nó có thể biểu diễn bởi một phần tử u ∈ H. Theo định lý biểu diễn
Riesz (xem [3], Định lý 2.23 ), phần tử u ∈ U thuộc miền D(∇
H
E) khi
và chỉ khi E

(u) có thể thác triển liên tục lên H.
Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa gradient đối với một mêtric.
Kí hiệu L
2
(H; R) là không gian tất cả các dạng song tuyến tính bị chặn:
19
a : H × H → R, tức là: ∀u, v, w ∈ H và ∀λ ∈ R ta có
a(λu + v, w) = λa(u, w) + a(v, w), và
a(u, λv + w) = λa(u, v) + a(u, w),
và ∃C ≥ 0 : |a(u, v)| ≤ Cu
H
v
H
, ∀u, v ∈ H.
L
2
(H; R) là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với vô
hướng thông thường. Hơn nữa, nó là không gian Banach với chuẩn

a := sup
u
H
≤1
v
H
≤1
|a(u, v)|.
Bên cạnh sự hội tụ theo chuẩn trong L
2
(H; R) ta cũng xét cả sự hội
tụ mạnh của dãy. Ta nói dãy (a
n
) ⊂ L
2
(H, R) hội tụ mạnh tới phần
tử a ∈ L
2
(H; R) nếu
lim
n→∞
a
n
(u, v) = a(u, v), ∀u, v ∈ H.
Rõ ràng mọi dãy hội tụ theo chuẩn trong L
2
(H; R) đều hội tụ mạnh.
Tập tất cả các tích vô hướng trên H kí hiệu là Inner(H) là một tập
con của L
2

(H; R) nên ta có khái niệm hội tụ theo chuẩn và sự hội tụ
mạnh của dãy các tích vô hướng.
Một mêtric trên tập con mở U ⊆ V là một hàm g : U → Inner(H)
ánh xạ mọi dãy hội tụ theo chuẩn thành dãy hội tụ mạnh, tức là nếu
u
n
, u ∈ U và lim
n→∞
u
n
− u
V
= 0 thì (g(u
n
)) hội tụ mạnh tới g(u).
Với mọi u ∈ U tích vô hướng g(u) và chuẩn tương ứng cũng được kí
hiệu bởi ·, ·
g(u)
và  · 
g(u)
.
Cho hàm khả vi E : U → R và cho một mêtric g, ta định nghĩa
20
gradient ∇
g
E đối với g bởi
D (∇
g
E) :=


u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E

(u)ϕ = v, ϕ
g(u)
, ∀ϕ ∈ V

và
∇
g
E(u) := v,
tức là, ∇
g
E(u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo
hàm E

(u) đối với tích vô hướng ·, ·
g(u)
:
E

(u)ϕ = ∇
g
E(u), ϕ
g(u)
, ∀ϕ ∈ V. (1.2)
Nếu với mỗi u ∈ U, tích vô hướng ·, ·
g(u)
tương đương với tích vô hướng
·, ·
H

thì phần tử u ∈ D(∇
g
E) khi và chỉ khi đạo hàm E

(u) có thác
triển liên tục lên H.
1.3.2. Gradient của dạng toàn phương
Hàm E : V → R là một dạng toàn phương nếu tồn tại một dạng
song tuyến tính, đối xứng a : V × V → R sao cho:
E(u) =
1
2
a(u, u),
trong đó a là đối xứng nếu a(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ V.
Mệnh đề 1.1. Dạng toàn phương E : V → R liên tục khi và chỉ khi
dạng song tuyến tính a liên kết với nó liên tục.
Chứng minh. Rõ ràng, nếu a liên tục thì E liên tục. Ngược lại, giả sử
hàm u →
1
2
a(u, u) liên tục. Khi đó:
a(u, v) =
1
4
(a(u + v, u + v) − a(u − v, u − v))
nên a cũng liên tục.
21
Từ định nghĩa ta dễ dàng kiểm tra được
Mệnh đề 1.2. Nếu E : V → R là dạng toàn phương liên tục tương ứng
với dạng song tuyến tính a : V × V → R thì E khả vi liên tục và

E

(u)v = a(u, v), ∀u, v ∈ V.
Cho dạng toàn phương E : V → R gắn với dạng song tuyến tính
a : V × V → R, H là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, ·
H
, sao
cho V nhúng liên tục và trù mật trong H. Khi đó, ta có thể tính gradient
của E đối với tích vô hướng trong H, bằng cách sử dụng định nghĩa của
gradient và Mệnh đề 1.2 ta có
D(∇
H
E) =

u ∈ V : ∃v ∈ H thỏa mãn a(u, ϕ) = v, ϕ
H
, ∀ϕ ∈ V

và
và ∇
H
E(u) = v.
Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương E đối với tích vô
hướng ·, ·
H
là một toán tử tuyến tính trên H. Miền xác định D(∇
H
E)
là một không gian tuyến tính con của H và ánh xạ u → ∇
H

E(u) là tuyến
tính. Tuy nhiên, gradient của một dạng toàn phương đối với một mêtric
nói chung là không tuyến tính.
1.3.3. Không gian Sobolev trên Ω
Cho Ω ⊆ R
d
là một tập mở với biên ∂Ω. Với mỗi hàm liên tục ϕ :
Ω → R ta định nghĩa giá của ϕ là tập:
suppϕ := {x ∈ Ω : ϕ(x) = 0},
trong đó, bao đóng được lấy trong Ω. Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ và k ≥ 2, ta
định nghĩa không gian Sobolev cấp k:
22
W
k,p
(Ω) :=

u ∈ W
1,p
(Ω) : ∀1 ≤ i ≤ d ta có
∂u
∂x
i
∈ W
k−1,p
(Ω)

là không gian Banach với chuẩn
u
W
k,p

:=

u
p
L
p
+
d

i=1

∂u
∂x
i

p
W
k−1,p

1
p
, nếu 1 ≤ p < ∞,
u
W
k,∞
:= sup

||u||
L
∞

, ||
∂u
∂x
1
||
W
k−1,∞
, , ||
∂u
∂x
d
||
W
k−1,∞

nếu p = ∞.
Không gian H
k
(Ω) := W
k,2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v
H
k
:= u, v
L
2
+
d


i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i

H
k−1
.
1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên
kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử Laplace. Cho Ω ⊆ R
d
là
tập mở và xét không gian Banach V = H
1
0
(Ω), hàm E : H
1
0
(Ω) → R cho
bởi
E(u) =
1
2


Ω
|∇u|
2
, u ∈ H
1
0
(Ω).
Hàm này là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính
a(u, v) =

Ω
∇u∇v, u, v ∈ H
1
0
(Ω).
Xét không gian Hilbert H = L
2
(Ω), với tích vô hướng thông thường.
Khi đó V được nhúng liên tục và trù mật trong H. Gradient của E ứng