Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
NGUYỄN THỊ THUỶ
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
NGUYỄN THỊ THUỶ
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy
Hà Nội-2014
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và
bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá
trình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thủy
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định nghiệm
trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính” được hoàn thành bởi chính sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thủy
v
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt vii
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính 4
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sự tồn tại và cấu trúc tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . 5
2 Phương pháp đơn hình 10
2.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính đơn trị . 16
2.3 Phương pháp đơn hình cho bài toán đa mục tiêu tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong
bài toán tối ưu vectơ có tham số 31
3.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . 36
Kết luận 44
vi
Tài liệu tham khảo 45
vii
Bảng kí hiệu và viết tắt
·, · : Tích vô hướng trong R
n
.
int(A) : Phần trong của tập A.
cl(A) : Bao đóng của tập A.
co(A) : Bao lồi của tập A.
cone(A) : Bao nón lồi của tập A.
∂f (x) : Dưới vi phân của hàm f tại x.
R : Tập hợp các số thực.
R
n
: Không gian thực n chiều.
domA : Miền xác định hữu hiệu của A.
gphF : Đồ thị của ánh xạ F .
.
n
: Chuẩn Euclid trong không gian R
n
.
M
T
: Ma trận chuyển vị của ma trận M.
1
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Cho T là một không gian tôpô compact khác rỗng và L[R
n
, R
m
]
(tương ứng C[T, R]) là không gian các toán tử tuyến tính A : R
n
→ R
m
(tương ứng không gian các ánh xạ liên tục b : T → R) với chuẩn cho
bởi
A
L
:= max
x
n
=1
A x
m
(b
∞
:= max
t∈T
|b(t)| )
ở đó, .
k
là Euclid trong R
k
với k ∈ N.

Cho P := L[R
n
, R
m
] × C[T, R], trong đó P được cho bởi chuẩn
. = .
L
+ .
∞
. Với mỗi p := (A, b) ∈ L[R
n
, R
m
] × C[T, R] ta xét
bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính
(LSV O)
p
: min
R
m
≥
A x , x ∈ C(p),
ở đó, C(p) = {x ∈ R
n
| B(t), x ≤ b(t), t ∈ T }, B : T → R
n
là ánh xạ
liên tục, R
m
≥

= {x = (x
1
, x
m
) ∈ R
m
| x
k
≥ 0 ∀k = 1, , m} là orthant
không âm của R
m
và ký hiệu ., . là tích vô hướng trong R
n
.
Trong trường hợp T là tập hữu hạn phần tử, Naccache [24] đã thiết
lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của
ánh xạ nghiệm Pareto của bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính
dưới nhiễu liên tục chỉ có ở vế phải của miền ràng buộc. Dưới nhiễu tuyến
tính của tập ràng buộc và hàm mục tiêu là hàm đồng nhất, Davidson
[13] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xạ điểm
cực biên tối ưu Pareto (giao của tập nghiệm Pareto và tập các điểm biên
của miền ràng buộc). Trong [10], các tác giả đã thiết lập các điều kiện
2
đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của bài toán tối ưu
vectơ nửa vô hạn tổng quát dưới các nhiễu hàm của cả hàm mục tiêu và
miền ràng buộc.
Gần đây, các điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm
Pareto dưới nhiễu vế phải của các ràng buộc và nhiễu tuyến tính của
hàm mục tiêu đã được trình bày trong [11]. Một câu hỏi mở trong [11]
về điều kiện đặt trên hai vectơ vô hướng của một nghiệm vô hướng bởi

hai vectơ này dường như là không cần thiết. Với mong muốn tìm được
câu trả lời cho câu hỏi này và tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến
tính nên tôi đã chọn đề tài: "Tính ổn định nghiệm trong tối ưu
đa mục tiêu tuyến tính" cho nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại,
cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình và tính ổn định của ánh xạ
nghiệm trong trường hợp đặc biệt tập T chỉ có hữu hạn phần tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về sự tồn tại, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình
và tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, tối ưu có tham số, sự tồn tại
nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giải
tích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Trình bày tổng quan về tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn
tại nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm.
4
Chương 1
Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của
bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính
1.1 Các khái niệm cơ bản
Trước tiên, ta định nghĩa một số tập con của R
n
như sau

i) R
n
>
: =

y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
: y
i
> 0 , ∀i = 1, n

;
ii) R
n
≥
: =

y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
: y
i
≥ 0 , ∀i = 1, n


;
iii) R
n

: =

y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
: y
i
≥ 0 , ∀i = 1, n.
∃i
0
∈ {1, , n} : y
i
0
> 0

.
Với y
1
, y
2
∈ R
n

, ta ký hiệu
i) y
1
< y
2
⇔ y
1
k
< y
2
k
∀k = 1, n;
ii) y
1
≤ y
2
⇔ y
1
k
≤ y
2
k
∀k = 1, n;
iii) y
1
 y
2
⇔

y

1
k
≤ y
2
k
∀k = 1, n
∃k
0
∈ {1, , n} : y
1
k
0
< y
2
k
0
.
Định nghĩa 1.1.1. Cho A ⊂ R
n
, A = ∅.
i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu của A nếu x ∈ A sao cho
x  x.
Tập các điểm hữu hiệu của A ký hiệu là E(A).
ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A nếu x ∈ A sao
5
cho x < x.
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là E
W
(A).
Nhận xét 1.1.1.

i) x ∈ A là điểm hữu hiệu của A
⇔ A ∩

x − R
n
≥

= {x} .
ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A
⇔ A ∩ (x − R
n
>
) = ∅.
Cho X = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} là một đa diện lồi mà ở đó A là ma trận
cấp m × n, b ∈ R
m
và hàm vectơ f : R
n
→ R
m
, f(x) = (f
1
(x), , f
m
(x)).
Xét bài toán:
(P ) : min
x∈X

f(x) (1.1)
Ta định nghĩa nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P )
như sau
i) x được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P ) nếu x ∈ X sao cho
f(x)  f(x).
Tập hợp các nghiệm hữu hiệu của bài toán (P ) ký hiệu là S(X, f).
ii) x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P ) nếu x ∈ X sao
cho f(x) < f(x).
Tập hợp các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P ) ký hiệu là S
W
(X, f).
Nhận xét 1.1.2.
i) x ∈ S(X, f) ⇔ f(x) ∈ E(f(X)).
ii) x ∈ S
W
(X, f) ⇔ f(x) ∈ E
W
(f(X)).
1.2 Sự tồn tại và cấu trúc tập nghiệm
Định nghĩa 1.2.1. Cho B ⊆ R
n
, B = ∅, B được gọi là liên thông
đoạn nếu ∀a, b ∈ B, có hữu hạn điểm thuộc B: b
0
= a, b
1
, , b
l+1
= b
6

sao cho các đoạn [b
i
, b
i+1
], i = 0, l chứa trong B.
Xét bài toán (P ) mà ở đó f là hàm tuyến tính từ X vào R
m
.
Định lý 1.2.1. Cho X là đa diện lồi trong R
n
. Khi đó
i) Nếu ∃x
0
∈ R
n
sao cho (x
0
− R
n
≥
) ∩ X là tập compact khác rỗng thì
E(X) = ∅. Do đó, E
W
(X) = ∅.
ii) Nếu E(X) và E
W
(X) là các tập khác rỗng thì chúng là hợp của một
số mặt của X. Do đó, E(X) và E
W
(X) là liên thông đoạn.

Chứng minh.
i) Ta đặt S = ( x
0
− R
n
≥
) ∩ X.
Ta sẽ chứng minh E(S) ⊂ E(X) và E(S) = ∅ để dẫn đến E(X) = ∅
• Lấy x ∈ E(S), giả sử rằng x /∈ E(X). Khi đó, ∃x ∈ X sao cho
x  ¯x. (1.2)
Mặt khác, do ¯x ∈ E(S) nên ¯x ∈ S:
⇒ ¯x ∈ x
0
− R
n
≥
⇒ ¯x ≤ x
0
. (1.3)
Từ (1.2), (1.3) suy ra x  x
0
⇒ x ∈ S. (1.4)
Từ (1.2), (1.4) suy ra ∃x ∈ S sao cho x  ¯x mâu thuẫn với ¯x ∈ E(S)
⇒ E(S) ⊂ E(X).
• Xét
g : S → R
x → g(x) =
n

i=1

x
i
, x = (x
i
)
n
i=1
.
Ta có g là hàm liên tục trên S. Do S là tập compact nên theo tính chất
hàm số liên tục trên một tập compact thì tồn tại giá trị cực tiểu trên S.
7
Tức là
∃ ¯x ∈ S sao cho: g(¯x) = min
x ∈ S
g(x)
⇔
n

i=1
¯x
i
= min {
n

i=1
x
i
| x = (x
1
, , x

n
) ∈ S}. (1.5)
Ta có, ¯x ∈ E(S). Thật vậy, nếu ¯x /∈ E(S) thì ∃ x ∈ S : x  ¯x
⇔ ∃ x ∈ S :

x
i
≤ ¯x
i
, i = 1, n
∃ i
0
∈ {1, , n} : x
i
0
< ¯x
i
0
⇔
n

i=1
x
i
<
n

i=1
¯x
i

(1.6)
(1.6) mâu thuẫn với (1.5), dẫn đến ¯x ∈ E(S).
⇒ E(S) = ∅ ⇒ E(X) = ∅ ⇒ E
W
(X) = ∅.
ii) Ta biết rằng với mỗi hàm tuyến tính f trên R
n
, tập các điểm cực tiểu
của f trên X là một tập đóng của X. Do đó, khẳng định đầu tiên của
định lý được suy ra từ [22, Theorem 3.3].
Phần hai của định lý có thể thu được từ khẳng định đầu tiên và từ
các kết quả tính liên thông của phần tiếp theo liên quan tới các tập lồi.
Cho X
1
, , X
k
tương ứng là các mặt mở của X, đôi một không giao nhau
và hợp của chúng là E(X). Lấy a
i
∈ X
i
và xét các nón lồi đóng
C
∗
(a
i
) = { f ∈ R
m
: a
i

∈ S(X, f)} , i = 1, k
C
∗
= { f ∈ R
m
: f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
n
≥
}
C
0
= { f ∈ ri(C
∗
) : min { f(x) : x ∈ X} tồn tại}.
Ta có
C
0
⊂ C
∗
(a
1
) ∪ C
∗
(a
2
) ∪ ∪ C
∗
(a
k
). (1.7)

Thật vậy, cho f ∈ C
0
, tập nghiệm S(X, f) là một mặt đóng của X và
nó thuộc E(X). Do đó, có i sao cho X
i
⊆ S(X, f).
Nghĩa là, f ∈ C
∗
(a
i
). Bây giờ, cho a, b ∈ E(X) mà a ∈ X
i
, b ∈ X
j
với i , j ∈ { 1, , k}. Ta phải biểu diễn rằng có b
0
, , b
l+1
∈ E(X) sao
8
cho

a = b
0
, b = b
l+1
[b
r
, b
r+1

] ⊆ E(X) , r = 0, l.
(1.8)
Từ [22, Proposition 3.2], ta có:
f
a
∈ C
0
∩ C
∗
(a
i
)
f
b
∈ C
0
∩ C
∗
(a
j
)
sao cho: a ∈ S(X, f
a
) ; b ∈ S(X, f
b
).
Dễ dàng nhận thấy rằng C
0
là một tập lồi, do đó
[f

a
, f
b
] ⊆ C
0
.
Từ (1.7) ta có f
1
, , f
l
∈ C
0
sao cho







f
1
= f
a
, f
l
= f
b
[f
a

, f
b
] = [f
1
, f
2
] ∪ ∪ [f
l−1
, f
l
]
[f
r
, f
r+1
] ⊆ C
∗
(a
i(r)
)
(1.9)
ở đó, i(r) ∈ { 1, , k} , r =
1, l − 1.
Từ (1.9) dẫn tới
f
r+1
∈ C
∗
(a
i(r)

) ∩ C
∗
(a
i(r+1)
) ∩ C
0
và do đó
[a
i(r)
, a
i(r+1)
] ⊆ S(X, f
r+1
) ⊂ E(X) (1.10)
Do f
1
= f
a
, a ∈ S(X, f
1
) và do a ∈ D
i
nên D
i
⊆ S(X, f
1
). Mặt
khác, a
i(1)
= a

i
và
[a, a
i(1)
] ⊆ S(X, f
1
) ⊆ E(X). (1.11)
Tương tự,
[a
i(l)
, b] ⊆ S(X, f
l
) ⊆ E(X). (1.12)
Đặt b
0
= a , b
r
= a
i(r)
, b
l+1
= b , r = 1, l và sử dụng (1.10), (1.11), (1.12)
ta được (1.8). Dẫn tới E(X) liên thông đoạn.
Với E
W
(X) chứng minh tương tự.
9
Hệ quả 1.2.1.
i) Nếu ∃y ∈ R
m

sao cho (y − R
m
≥
) ∩ f(X) = ∅ thì E(f(X)) = ∅.
Do đó, S(X, f) = ∅.
ii) Nếu S(X, f) = ∅ , S
W
(X, f) = ∅ thì chúng là hợp của một số mặt
của X và do đó, chúng là các tập liên thông đoạn.
10
Chương 2
Phương pháp đơn hình
2.1 Một số kết quả bổ trợ
Xét bài toán tối ưu vectơ tuyến tính
(MOLP ) Min Cx (2.1)
với

Ax = b
x ≥ 0.
Ở đó, C là ma trận cấp p × n gồm các hàng c
T
k
(k = 1, p). Tập chấp
nhận được của bài toán MOLP trong không gian R
n
là
X = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0}.
Xác định bởi ma trận ràng buộc A cấp m × n và vectơ b ∈ R

m
. Điểm
x ∈ X được gọi là nghiệm chấp nhận được (hay phương án chấp nhận
được). Tập chấp nhận được trong không gian mục tiêu là
Y = CX = {Cx : x ∈ X}.
Đặt
X
k
= {ˆx ∈ X : c
T
k
ˆx ≤ c
T
k
x, ∀x ∈ X}
11
là tập nghiệm tối ưu của LP với hàm mục tiêu thứ k.
Giả thiết rằng
p
∩
k=1
X
k
= ∅.
Giả thiết này đảm bảo rằng không có phương án chấp nhận được nào
mà tất cả p mục tiêu cùng đạt cực tiểu.
Cho λ ∈ R
p

. Ta xét bài toán tối ưu tuyến tính LP(λ)

min λ
T
Cx (2.2)
với

Ax = b
x ≥ 0.
Định lý 2.1.1. Cho ˆx ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán (2.2). Khi đó
1. Nếu λ  0 thì ˆx là nghiệm hữu hiệu yếu.
2. Nếu λ > 0 thì ˆx là nghiệm hữu hiệu.
Chứng minh.
1. Giả sử rằng x ∈ X tối ưu mạnh hơn ˆx, nghĩa là
c
T
k
x < c
T
k
ˆx; k = 1, p.
Do đó,
λ
k
c
T
k
x ≤ λ
k
c
T
k

ˆx; k = 1, p
mà λ  0 nên tồn tại ít nhất i ∈ {1, , p} sao cho
λ
i
c
T
i
x < λ
i
c
T
i
ˆx.
Do đó, ta có
n

k=1
λ
k
c
T
k
x <
n

k=1
λ
k
c
T

k
ˆx
⇐⇒ λ
T
C x < λ
T
C ˆx.
Mâu thuẫn với giả thiết ˆx là nghiệm tối ưu của bài toán LP tổng trọng
lượng (2.2). Vậy ˆx là nghiệm hữu hiệu yếu của MOLP (2.1).
12
2. Giả sử ˆx không là nghiệm hữu hiệu của MOLP (2.1). Khi đó, ∃x ∈ X
sao cho
c
T
k
x ≤ c
T
k
ˆx ; k = 1, p
và ∃i ∈ {1, , p} sao cho
c
T
i
x < c
T
i
ˆx .
Do λ > 0 nên ta có
λ
k

c
T
k
x ≤ λ
k
c
T
k
ˆx; k = 1, p
và
λ
i
c
T
i
x < λ
i
c
T
i
ˆx
⇒
p

k=1
λ
k
c
T
k

x <
p

k=1
λ
k
c
T
k
ˆx
⇐⇒ λ
T
C x < λ
T
C ˆx.
Điều này cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ˆx là nghiệm hữu hiệu của
MOLP (2.1).
Định lý 2.1.1 cho ta cách tìm nghiệm của MOLP (2.1). Ta xét bài
toán tối ưu tuyến tính đơn trị LP
min c
T
x (2.3)
với

Ax = b
x ≥ 0.
Bài toán tuyến tính đối ngẫu của LP (2.3) là
max b
T
u (2.4)

với

A
T
u ≤ c
u ∈ R
m
.
13
Ta ký hiệu U := { u ∈ R
m
: A
T
u ≤ c} là tập chấp nhận được của bài
toán đối ngẫu (2.4). Mối quan hệ giữa bài toán gốc (2.3) và bài toán đối
ngẫu (2.4) được phát biểu ở định lý 2.1.2.
Định lý 2.1.2.
1. (Đối ngẫu yếu) Cho x ∈ X và u ∈ U là các phương án chấp nhận
được của (2.3) và (2.4). Khi đó,
b
T
u ≤ c
T
x.
2. Nếu (2.3) không bị chặn thì (2.4) không thực hiện được và ngược lại.
3. Có thể cả hai bài toán (2.3) và (2.4) đều không thực hiện được.
4. (Đối ngẫu mạnh)
Nếu cả hai bài toán (2.3) và (2.4) đều thực hiện được, nghĩa là, X = ∅
và U = ∅ thì
min

x ∈ X
c
T
x = max
u ∈ U
b
T
u
và b
T
ˆu = c
T
ˆx với bất kỳ nghiệm tối ưu ˆx ∈ X của (2.3) và bất kỳ
nghiệm tối ưu ˆu ∈ U của (2.4).
Bổ đề 2.1.1. Một nghiệm chấp nhận được x
0
∈ X là hữu hiệu nếu và
chỉ nếu bài toán tuyến tính
max e
T
z (2.5)
với







Ax = b

C x + I z = C x
0
x, z ≥ 0
ở đó, e
T
= (1, , 1) ∈ R
p
và I là ma trận đơn vị cấp p × p, có một
nghiệm tối ưu (ˆx, ˆz) với ˆz = 0.
Chứng minh. Cho (x, z) ∈ X × R
p
≥
là một phương án chấp nhận
được của (2.5). Khi đó, C x + I z = C x
0
và do đó, z = C x
0
− C x ≥ 0.
14
Nếu ˆx trong nghiệm tối ưu (ˆx, ˆz) là nghiệm hữu hiệu thì x ∈ X sao
cho C x  C ˆx nên phải có ˆz = 0. Mặt khác, nếu ˆx không là hữu hiệu
thì phải có x ∈ X sao cho: Cx  Cx
0
.
Nhưng khi đó tồn tại z mà có z
k
> 0 (do z = Cx
0
− Cx  0) mâu
thuẫn với tính tối ưu của (ˆx, 0).

Bổ đề 2.1.2. Phương án chấp nhận được x
0
∈ X là nghiệm hữu hiệu
nếu và chỉ nếu bài toán tuyến tính
min u
T
b + ω
T
C x
0
(2.6)
với







u
T
A + ω
T
C ≥ 0
ω ≥ e
u ∈ R
m
có một nghiệm tối ưu (ˆu, ˆω) với ˆu
T
b + ˆω

T
C x
0
= 0.
Chứng minh. Chú ý rằng (2.6) là đối ngẫu của (2.5). Do đó (ˆx, ˆz) là
một nghiệm tối ưu của LP (2.5) nếu và chỉ nếu LP (2.6) có nghiệm tối
ưu (ˆu, ˆω) sao cho
e
T
ˆz = ˆu
T
b + ˆω
T
C x
0
= 0.
Với bổ đề 2.1.2 ta có thể chứng minh rằng tất cả các nghiệm hữu
hiệu của MOLP (2.1) có thể tìm được bằng việc giải LP tổng trọng
(2.2). Trong chứng minh, ta xét một nghiệm hữu hiệu x
0
và xây dựng
một vectơ trọng thích hợp λ ∈ R
p
>
sao cho x
0
là một nghiệm hữu hiệu
của bài toán tổng trọng LP (λ)(2.2).
Định lý 2.1.3. <Isermann (1974)>
Một phương án chấp nhận được x

0
∈ X là một nghiệm hữu hiệu của
(2.1) nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ R
p
>
để
λ
T
Cx
0
≤ λ
T
Cx (2.7)
15
với mọi x ∈ X.
Chứng minh.
⇐ ) Ta rút ra từ định lý 2.1.1 rằng một nghiệm tối ưu của LP tổng trọng
với vectơ trọng dương λ ∈ R
p
>
là hữu hiệu.
⇒ ) Cho x
0
∈ S(X, Cx). Từ bổ đề (2.1.2) dẫn tới LP(2.6) có nghiệm
tối ưu (ˆu, ˆω) để
ˆu
T
b = −ˆω
T
C x

0
. (2.8)
Dễ dàng nhận thấy rằng ˆu cũng là một nghiệm tối ưu của LP
min

u
T
b : u
T
A ≥ −ˆω
T
C

(2.9)
mà ở đó (2.6) với ω = ˆω cố định. Do đó, một nghiệm tối ưu của bài
toán đối ngẫu của (2.9)
m
ax

−ˆω
T
C x : A x = b , x ≥ 0

(2.10)
là tồn tại. Do đối ngẫu yếu nên
u
T
b ≥ −ˆω
T
C x

với mọi phương án chấp nhận được u của (2.9) và mọi phương án chấp
nhận được x của (2.10) và ta biết rằng ˆu
T
b = −ˆω
T
C x
0
từ (2.8), từ đó
mà x
0
là một nghiệm tối ưu của (2.10). Ta chú ý rằng (2.10) là tương
đương với
min

ˆω
T
C x : A x = b , x ≥ 0

và từ miền ràng buộc của (2.6), ˆω ≥ e > 0. Do đó, x
0
là một nghiệm
tối ưu của LP tổng trọng (2.2) với λ = ˆω là vectơ trọng.
Liên quan đến Bổ đề 2.1.1, ta có điều kiện dưới đây cho sự tồn tại
nghiệm hữu hiệu của (2.1).
16
Mệnh đề 2.1.4. Cho x
0
∈ X. Khi đó, (2.5) là thực hiện được và có
các phát biểu sau
1. Nếu (ˆx, ˆz) là một nghiệm tối ưu của (2.5) thì ˆx là một nghiệm hữu

hiệu của (2.1).
2. Nếu (2.5) không bị chặn thì S(X, Cx) = ∅.
2.2 Phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính
đơn trị
Mục đích phần này là xem xét phương pháp đơn hình cho bài toán
tuyến tính đơn trị. Nhiều thông tin và chứng minh tham khảo sách viết
về bài toán tuyến tính như [14].
Xét bài toán tối ưu tuyến tính đơn trị
min {c
T
x : A x = b , x ≥ 0} (2.11)
ở đó, c ∈ R
n
và A là ma trận cấp m × n. Ta giả thiết rank A = m và
b ≥ 0.
Ma trận con A
B
cấp m × m của A được gọi là ma trận cơ sở, ở đó B
là tập các chỉ số cột của A xác định A
B
, B được gọi là một cơ sở. Cho
N : = {1, , n} \ B là tập các chỉ số cột phi cơ sở. Biến x
i
và chỉ số i
được gọi là biến cơ sở và chỉ số cơ sở nếu i ∈ B, ngược lại là phi cơ sở.
Với khái niệm cơ sở, có thể tách A, c và x thành các phần cơ sở và
phi cơ sở, sử dụng B và N là tập các chỉ số, nghĩa là, A = (A
B
, A
N

);
c
T
= (c
T
B
, c
T
N
) và x = (x
T
B
, x
T
N
). Ta viết A x = b dưới dạng
(A
B
, A
N
) (x
T
B
, x
T
N
)
T
= b.
Do A

B
khả nghịch nên
x
B
= A
−1
B
( b − A
N
x
N
). (2.12)
17
Cho x
N
= 0 trong (2.12) ta được x
B
= A
−1
B
b ; (x
B
, 0) được gọi là
nghiệm cơ sở của LP (2.11). Nếu x
B
≥ 0 thì nó được gọi là một nghiệm
cơ sở chấp nhận được (ký hiệu BF S). Cơ sở B cũng được gọi là cơ sở
chấp nhận được.
Ta có thể tính hàm mục tiêu như sau


c
T
B
, c
T
N
 
x
T
B
, x
T
N

T
= c
T
B
x
B
+ c
T
N
x
N
= c
T
B
A
−1

B
b +

c
T
N
− c
T
B
A
−1
B
A
N

x
N
.
(2.13)
Vectơ c
T
= c
T
− c
T
B
A
−1
B
A được gọi là vectơ giá thu gọn. Chú ý rằng

c = (c
B
, c
N
) thì c
B
= 0.
Cho (x
B
, 0) là nghiệm cơ sở chấp nhận được. Từ (2.13) thấy rằng có
s ∈ N sao cho c
s
< 0 thì giá trị của c
T
x giảm khi x
s
tăng từ 0. Đặt
˜
A := A
−1
B
A và
˜
b := A
−1
B
b.
Xét (2.12) với một biến cơ sở x
j
, j ∈ B, nghĩa là

x
j
=
˜
b
j
−
˜
A
js
x
s
≥ 0 (2.14)
ở đó,
˜
A
js
là phần tử của
˜
A ở hàng j, cột s (s ∈ N ). Nếu
˜
A
js
≤ 0
thì (2.14) đúng với bất kỳ x
s
≥ 0. Trái lại, x
s
phải được chọn sao cho
x

s
≤
˜
b
j
˜
A
js
, ∀j ∈ B. Giá trị chấp nhận được lớn nhất của x
s
trong
nghiệm chấp nhận được là
x
s
= min {
˜
b
j
˜
A
js
: j ∈ B ,
˜
A
js
> 0}. (2.15)
Ở giá trị này, một biến cơ sở x
j
, j ∈ B sẽ trở thành 0 và ngăn cản sự
tăng của x

s
. Cho r ∈ B là một chỉ số mà giá trị nhỏ nhất trong (2.15)
đạt được. Biến x
s
được gọi là biến vào, x
r
được gọi là biến ra. Cơ sở mới
B

= (B \ {r}) ∪ { s }. Xác định nghiệm cơ sở, chấp nhận được (x
B

, 0)
với giá trị mục tiêu tốt hơn (x
B
, 0) miễn là
˜
b
j
> 0 mà ta sẽ giả thiết
cho bây giờ.
18
Định lý 2.2.1.
1. Nếu (2.11) thực hiện được, nghĩa là, X = ∅ thì một nghiệm cơ sở
chấp nhận được tồn tại.
2. Nếu có thêm hàm mục tiêu c
T
x bị chặn dưới trên X thì tồn tại một
nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu.
3. Một nghiệm cơ sở chấp nhận được (x

B
, 0) là tối ưu nếu ¯c
N
≥ 0.
Nếu (x
B
, 0) là nghiệm tối ưu thì B được gọi là cơ sở tối ưu.
Cho B là một cơ sở và (x
B
, 0) là một nghiệm cơ sở chấp nhận được
của (2.11). Bắt đầu từ cơ sở và nghiệm cơ sở chấp nhận được này, thuật
toán đơn hình tìm một cơ sở tối ưu và một nghiệm tối ưu là nghiệm cơ
sở chấp nhận được.
Thuật toán 2.2.1. <Thuật toán đơn hình cho bài toán tuyến tính>
Vào : Cơ sở B và BF S(x
B
, 0)
Khi {i ∈ N , ¯c
i
< 0} = ∅
Chọn s ∈ { i ∈ N : ¯c
i
< 0}}.
Nếu
˜
A
js
≤ 0 , ∀j ∈ B dừng, LP (2.11) không bị chặn.
Ngược lại, chọn r ∈ argmin { j ∈ B :
˜

b
j
˜
A
js
,
˜
A
js
> 0}
Cho B := (B \ r) ∪ { s } và cập nhật
˜
A := A
−1
B
A ;
˜
b := A
−1
B
b .
Ra : Cơ sở tối ưu B và nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu
(x
B
, 0).
Giả thiết rằng
˜
b
r
> 0 trong mỗi bước lặp và thuật toán kết thúc sau

hữu hạn bước lặp với một nghiệm tối ưu hoặc kết luận rằng LP(2.11)
không bị chặn.
Mặt khác, nếu
˜
b
r
= 0, nghĩa là x
r
= 0, cơ sở mới sẽ có x
s
= 0.
Thực tế, tất cả các cơ sở xác định cùng một BF S. Các cơ sở chứa một
biến có giá trị 0 được gọi là suy biến. Ở đó, thuật toán đơn hình lặp lại
giữa một dãy các cơ sở suy biến mà không chấm dứt. Quy luật để tránh