Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ TĂNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG
KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin đượcgửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 1 năm 20lị Tác
giả
Nguyễn Thị Tăng
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên
cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa
Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều”, không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.

Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác
giả
Nguyễn Thị Tăng
Mục lục
Kiến thức chuẩn bị
Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Tích phân Bochner
Không gian Bochner-Lebesgue
Không gian Bochner-Sobolev trên không gian một chiều
Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon và sự ổn định của nghiệm toàn
Mở đ ầ u . . .
Chương 1.
1.1.
6
6
6
1
0
1
3
1
6
1.1.1.
1.1.2.
1.
2.
1.3
.
3

1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
Toán tử Dirichlet-Laplace
Toán tử Dirichlet-p-Laplace
Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient
17
2
0
21
2 2
25
Khái niệm gradient
Gradient của dạng toàn phương
Không gian Sobolev trên Í2
Chương 2
2.1.
2.2.
2.3.
41
42
41
4
6
+
Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục của hệ gradient
Sự không ốn định cho nghiệm toàn cục của hệ gradient
Tập cư-giới hạn của một hàm liên tục trên M

P.11P. Pirn hê era.difvnt 49
2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong không gian Hilbert 53
Kfit luân 62
•
Tài lipii tham khản 63
•
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng dụng và toán học
lý thuyết. Đã có rất nhiều phương trình đạo hàm riêng là mô hình toán học của các bài
toán thực tế. Việc nghiên cứu tính chất (định tính, định lượng) của nghiệm các phương
trình đạo hàm riêng có ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán
thực tế.
Đối với phương trình đạo hàm riêng, ngoài việc xét tính đặt đúng của bài toán (sự tồn
tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục), chúng ta còn cần phải nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi biến thời gian T —¥

oo. Đây là một việc làm có ý
nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của
các mô hình thực tế, do đó nghiên cứu dáng điệu nghiệm ta biết sự thay đổi của mô hình
khi thời gian T —>

00.
Trong thực tế, sự mất năng lượng (như nhiệt) mà không thể phục hồi là nguyên nhân
gây nên sự tiêu tán. Có vẻ như đặc tính tiêu tán là một tính chất chung của hầu hết các hệ.
Một trong những hệ tiêu tán điển hình là hệ gradient. Trong hệ này có dạng
Ủ +

V£(m) = 0 , í G / c M
3

trong đó U

: I —> R

D

còn S

: M
d
—>

M là hàm năng lượng.
Dễ thấy, £

là một hàm giảm theo mỗi nghiệm trơn của hệ. Thật vậy,
nếu U

là một nghiệm trơn của hệ thì ta có
= (V£(u(í)),ủ(í)) = - (Ù(T),Ủ(T))

< 0.
nên £

giảm theo mỗi nghiệm, trừ khi nghiệm đó không đổi.
Nhờ cấu trúc gradient mà chúng ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất định tính của
nghiệm, cũng như mở rộng nghiên cứu hệ trong không gian vô hạn chiều.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định
hướng và chỉ bảo tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 01 được dành để đưa ra một số kiến
thức không gian Bochner và hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. Trong chương 02
của luận văn, tôi đã trình bày một cách có hệ thống về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ
gradient trong không gian vô hạn chiều.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều, đặc biệt là
dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều.
Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
3
Tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều,
tính chất định tính của nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. Phạm vi nghiên
cứu: dáng điệu tiệm cận của nghiệm suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như: các không gian hàm, lý thuyết toán tử.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày các kiến thức về hệ gradient một cách hệ thống, bao gồm khái niệm hệ
gradient, khái niệm nghiệm suy rộng, một số tính chất định tính của nghiệm, đặc biệt là
về dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị Banach
và về các không gian Bochner-Lebesgue, không gian Bochner- Sobolev. Đó là
những khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình vi phân trừu tượng
trong không gian Banach, đặc biệt là hệ gradient trong không gian Banach;
7

nghiệm của các phương trình vi phân trừu tượng được tìm trong không gian
Bochner-Lebesgue hoặc không gian Bochner-Sobolev các hàm giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong R
d
với độ đo Lebesgue. Nhưng
hầu hết các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner- Lebesgue vẫn
đúng cho các không gian đo tổng quát.
1.1.1. Tích phân Bochner
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn II ■ II, cho c M
d
là một tập
mở và kí hiệu A

là (7-đại số Lebesgue các tập con của íĩ, nghĩa là, cr-đại số nhỏ
nhất chứa cr-đại số Borel (là Ơ

đại số sinh bởi các tập mở) và tất cả các tập con có
độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo Lebesgue trên được kí hiệu là ỊI.
Hàm / : Q —¥ X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy (A

N

)

c A

các tập đo
được Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy (X

N

)

c X

sao cho / = YLN X

N

,

trong đó 1A

là
hàm đặc trưng của tập A.
Hàm / : ri —► X

là đo được nếu tồn tại một dãy (/
n
) các hàm bậc thang F

N

: íĩ —>• X
sao cho F

N

—> F

hầu khắp nơi. Lưu ý rằng trong trường hợp X

= M, định nghĩa này
tương đương với cách định nghĩa "nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ
định nghĩa ta có Bổ Đ Ề S A U Đ Â Y :
Bổ đề 1.1 (Xem [IJ, Bổ đề 5.1). Cho X,Y ỉà hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàm liên tục f : ÍỈ —>• X đều là hàm đo được.
b) Nếu f : íỉ —»■ X đo được thì 11/11 : ri —»■ R cũng đo được.
c) Nếu f : íỉ —> X đo được và g : X —>• Y liên tục thì hàm hợp g o f : fì Y
đo được.
d) Nếu f : Q ^ X và g : Q —> M đo được thì tích f g : Q ^ X đo được.
e) Nếu f : íỉ X và g : ri —¥ X' đo được thì tích (g, f )
x
,
x
: íỉ M đ o được.
f) Nếu (f
n
) là một dãy các hàm đo được từ X sao cho /n —> / hầu khắp nơi
thì f đo được.
Định lý 1.1 (Pettis, xem [IJ, Định lý 5.2). Hàm f : ri —> X là đo được nếu và chỉ nếu (x ', /) là đo
được với mọi x' e X' (khi đó ta nói f là đo được yếu) và tồn tại một tập có
độ đo Lebesgue không N & A sao cho /(íỉ \ N) là tách được.
Ta nói rằng hàm F : N —¥ X ÌẦ

khả tích nếu / là đo được và
/11/11 < 00, nghĩa là, nếu / là đo được và hàm dương 11/11 : íỉ —>

R là n
khả tích theo nghĩa Lebesgue thông thường.
Với hàm bậc thang khả tích / :—> X, F — Ỵ2N

1-4
X

NI

ta định nghĩa
tích phân (Bochner) của / bởi
J f dịi := y^fi(A
n
)x
n
.
ÍI
n
Chuỗi Ỵ2

A
L

(A

N

)X

N

hội tụ tuyệt đối và có tổng độc lập với dạng biểu diễn
ĩl
của /. Vì vậy, tích phân Bochner của hàm bậc thang khả tích được xác định tốt; tích phân
Ị FDỊI

là một phần tử của X.
n
Với hàm khả tích F : N X

bất kỳ, ta định nghĩa tích phân (Bochner) của / bởi
trong đó (FN

) là một dãy các hàm bậc thang từ Q

—>■ X

sao cho Ị|/
n
Ị| < 11/11 và F

N

-» /
hầu khắp nơi.
Chú ý rằng dãy (F

n
) như vậy luôn tồn tại; các hàm bước nhảy /
n

là khả tích, giới hạn
của các tích phân F F

N

DFI

tồn tại và độc lập với cách
ũ ũ
9
chọn của dãy (/n). Tích phân Bochner là một sự khái quát tự nhiên của tích phân
Lebesgue của một hàm giá trị vô hướng. Tích phân Bochner có khá nhiều đặc tính giống
với tích phân Lebesgue. Ví dụ, ta có bất đẳng thức
Ị ỉ dụ. < J 11/11 dụ.
n
và một số định lý quan trọng sau:
Định lý 1.2 (Lebesgue, sự hội tụ trội, xem [1J, Định
lý 5.3). Cho (f
n
) là một dẫy các
hàm khả tích íì X và f : íỉ —»■ X là một hàm. Giả sử tồn tại một hàm khả tích
g : ũ —> R sao cho II/JI < g với mọi n và fn—^f hầu khắp nơi. Khi đó f là khả
tích và
/ ĩ dụ, = lim / f
n
dịi.
a. Nếu f : íỉ —> X khả tích và T : X —»■ Y là ánh xạ tuyến tính liên tục thì
hàm T f : íỉ —>■ Y khả tích và
f T f d ß = T j f d ß .
íì h,

Ta cũng sử dụng những kí hiệu sau cho tích phân Bochner:
J f hoặc Ị f{t)dfi(t), f2
f2
và nếu íĩ = (a, B

) là một khoảng trên M, thì ta viết B B B

Ị F

hoặc J
F(T)DFI(T

) hoặc J F(T)DT
a a a
cho tích phân Bochner của một hàm khả tích / : (a, B

) —¥ X.
Ta cũng đặt
l l / I U » : = m f { C > 0 :
M
( { | | f | | > C } ) = 0 } .
Với 1 < P <

oo ta định nghĩa
Với mỗi hàm đo được / : íì —> X và 1 < p < 00, ta đặt
1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue
1
1
X)

:= {/ : ri —> X

đo được : |Ị/Ị|iP < oo} .
Tương tự như trong trường hợp hàm vô hướng ta có thể thấy rằng £
p
(fỉ;X) là không gian
vectơ và II • \ \

L

P

đó là nửa chuẩn trên Ư{£L]X).

Nếu ta đặt
N
P
:= {/ € C
P
(Q;X) : |Ị/Ị|if = 0}
= {/ G >c
p
(ri; X) : / = 0 hầu khắp nơi}
thì không gian thương
Ư{Q-X) := X)/N
p
:={f + N
p
:fe X)}
trở thành một không gian Banach với chuẩn

IIÍ/1IU* :=№>, ( l f ] = f + N
p
).
Chuẩn của lớp tương đương [/] được xác định tốt, nghĩa là, nó độc lập với biểu diễn /
trong lớp đó. Ta gọi không gian L

P

(X)

là không gian
1
2
Bochner-Lebesgue. Như trong trường hợp vô hướng, ta đồng nhất các hàm / e C

P

{

fi;X)
với lớp tương đương của nó, [/] € L

P

($}-,X)

và ta nói rằng Ư

là một KHÔNG GIAN HÀM.
Đặc biệt ta đồng nhất hai hàm nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi.

Nếu íỉ = (A, B

) là một khoảng trên M, ta viết:
Ư{a,b-X) := Ư{{a,b)-X).
Với ÍÌ

c K
d
bị chặn và nếu l < g < p < o o t a c ó bao hàm
C{TL;X) c L°°(SÌ]X) c L
P
{ÍÌ;X) c L
q
{íì;X) c L
l
{^X).
Đặc biệt, nếu íĩ là bị chặn và / là liên tục trên bao đóng íỉ thì / thuộc Ư{SÌ\X),

VI < p <
oo.
Dưới đây là một số kết quả (không chứng minh) về không gian Bochner-Lebesgue
được sử dụng trong các bài sau.
Định lý 1.3 (xem [iỉj, Định lý 5.5). Nếu 1 < p < oo và nếu X là tách được thì L
p
(íì',x) là tách
được. Chính xác hơn, nếu (h
n
) c L
p
(íì) và (x

n
) c X là hai dãy trù mật thì:
T := {/ : X : / = H
N
X
M
, N, ra e N}
là đếm được và span(J
r
) trù mật trong L
p
{ỹL\X).
thức Holder, V/ £

Ư{Ũ]X) và v<7 € L
p
\ũ]X') hàm (f,g)xx/ là khả
tích và
/
Hơn nữa
\\g\\
ư
= sup [ (f,g)
ÍI
1
3
V
Cho 1 < P < OO

và gọi P'

=
p- 1
là số mũ liên hợp. Theo bất đẳng
X , X '
Như vậy, tương tự như trong trường hợp vô hướng ta có thể đồng nhất Ư{VL\X')

với
một không gian con đóng của L

P

(ÍÌ',XY.

Ánh xạ tuyến tính cho tương ứng mỗi G

e
L

P

'(Q; X

') với một dạng tuyến tính liên tục F

I—^ / (/, G)

là một đẳng cự. Tuy nhiên,
khác với trường hợp vô hướng,
ũ

ánh xạ này nói chung không phải là toàn ánh, ngay cả khi P

< oo. Việc đồng nhất L

P

(ÍIY
— L

P ,

(ÍÌ)

(khi P <

00) là không còn đúng cho không gian Bochner-Lebesgue nói
chung, nghĩa là ta không có sự đồng nhất đầy đủ của không gian đối ngẫu của L

P

(Q,]X

)
với không gian Bochner- Lebesgue. Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng.
Định lý 1.4 (xem [IJ, Định lý 5.6). TA CÓ
a) Nếu 1 < p < oo và X phản xạ thì L
P
(Q; X)' = L
p
'(ri; X').

b) Nếu 1 < p < oo và X phản xạ thì không gian L
p
(fỉ; X) cũng phản xạ.
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian L
2
(Q]H) là không gian
Hilbert với tích vô hướng
/ f , g £ L
2
( Ũ ; H )
n
1
4
1.2. Không gian Bochner-Sobolev trên không gian một
chiều
Cho X

là không gian Banach thực, —OO<A<B<OOVẦP£

[1,00]. Không gian
Bochner-Sobolev T R ÊN (A , B ) L À K H Ô N G G I A N :
w
1 ,p
(a, 6; X) ={u €E L
p
(a, 6; X) : tồn tại V €E L
p
(a, 6; X)
6 6
cho với mọi ip £

cị
(a,
b
) ta có
J
M P ' = —
I
V i p } .
a a
Rõ ràng, hàm V được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết U ' := V và ta gọi
U'

là đạo hàm yếu của U.

Không gian W

L ,P

{A

, B; X)

là không gian Banach với
chuẩn
IỊiíỊỊ^i.ĩ, := (IMI^p + IKII^p N Ế U 1 < P <

00 và ||
u||
w
i,» := sup{||w||

L
~, Ml»}.
Ánh xạ tuyến tính
T : w
1, p
(a, 6; X) L
p
(a, 6; X) X ư(a, 6; X), u ^ (u, u
1
),
cho thấy w
1,p
(a, 6; X) đẳng cấu với một không gian con đóng của L
p
(a, 6; X) X
L

P

(A, B;X).

Từ đây và Định lý 1.3 và 1.4 ta có được những tính chất sau
của không gian Bochner-Sobolev.
Định lý 1.5 (Xem [3J, Định lý 5.7). a) Nếu 1 < p <
00
và X tách được, thì
w
1 , p
(a,b-, X) tách được.
b) Nếu 1 < p <

00
và X phản xạ thì không gian w
1 ,p
(a, b',X) cũng
phản xạ.
sao
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian H
1
(a, 6; H) := w
1 , 2
{a
ĩ
6; H) là không gian Hilbert với tích vô hướng:
b b
v
)
H
- { a , b - , H ) ■ =
J
v
) h +
J
(
u
' ’
v
' ) h > ^ #)•
a a
Bổ đề 1.3 (Xem [IJ, Bổ đề 5.8). CHO U

€ VK
1
,p
(a, 6; X) sao CHO U'

= 0. KHI

đó M /à
HẰNG SỐ HẦU KHẮP NƠI.
Bổ đề 1.4 (Xem [3], Bổ đề 5.9). Cho (a,b) là một khoảng bị chặn, t
0
e [a,b],g e L
p
(a,b;X)
và đặt
U(T

) := / G(S)DS

, í € [a,6].
to
KHI ĐÓ U

e VF
1
,p
(a, 6; X) và ĩ/ = g.
Định lý 1.6 (Xem [ij, Định lý 5.10). ơ/ỉo (a, 6) /à raợí khoảng bị chặn và u e w
1
,p

(a, 6; X). Khi đó tồn
tại một hàm liên tục ũ : [a,b] —>■ X bằng với u hầu khắp nơi và với mọi
s, t G [a, 6],
Định lý 1.7 (Định lý nhúng Sobolev, xem [3], Định lý 5.11). Cho (a, b) /à một khoảng bị chặn. Khi đó
w
1 , p
(a,b', X) chứa trong C([a, b]',X) và tồn tại hằng số c >
0
sao cho
Vu € w
1 , p
(a, b ] X ) .
Định lý 1.8 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [IJ, Định lý 5.12). CHO

(a,
B

) LÀ MỘT KHOẢNG BỊ CHẶN, CỐ ĐỊNH

1 < P <

oo VÀ GIẢ SỬ
U

G W

1 , P

(A,B; X),V

e vr
1
,p
(a, 6). Ta có
a) (Đạo hàm của tích). Tích uv thuộc W
1, p
(a,b;X) và
(uvỴ — úv + uv'.
b) (Tích phẫn từng phần).
b b I u'v = u(b)v(b) — u(a)v(a) — J uv'.
a a
Với mỗi 1 < P

< oo và \/K

> 2, ta định nghĩa quy nạp không gian Bochner-Sobolev
C Ấ P K
w
k , p
(a, b; X) := {u e 6; X) : u'<E 6; X)},
Không gian này là không gian Banach với các chuẩn
:= (Ề
\ j = 0
:
=
S U
P I K I U ~ , - , | | W
( Í : )
| | L - I ,
Nếu H

là một không gian Hilbert, thì H

K

(A

, 6; H

) := M^
fc,
2
(a, 6; iJ) là một không
gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v)
H k
:=^2(u
{j )
,v
{j )
^ .
3 = 0
Cuối cùng ta định nghĩa
W^(a,b-,X) ■.= C
1
e
(a,b-
1
X)
Hw

‘"’
ĩ
rà ta
đặt Hị(a, b; H) := wl'
2
(a, b; H).
MI ty*,, := II^-^IIỈP nếu 1 < p < oo và
Định lý 1.9 (xem [3ị, Định lý 5.13). Cho (a,b) là một khoảng bị chặn. Hàm u e w
1, p
(a,b;
X). Khi đó u e WQ
,p
(a,b; X) nếu và chỉ nếu u(a) = U ( B) = 0.
Định lý 1.10 (Bất đẳng thức Poincare, xem Ị3J, Định lý 5.14). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn và
1 < p < 00. Khỉ đó, tồn tại một hằng số X > 0 sao cho
1.3. Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Trong mục này, ta nghiên cứu các hàm thực xác định trên không gian Banach vô hạn
chiều, gradient của chúng và hệ gradient tương ứng. Nhiều khái niệm về hệ gradient
trong không gian hữu hạn chiều sẽ lại xuất hiện ở đây như: đạo hàm, tích vô hướng, và
mêtric trên không gian nền, gradient, hệ gradient, hàm năng lượng và sự tiêu tán. Tuy
nhiên việc phân tích hệ gradient trong không gian vô hạn chiều như sự tồn tại nghiệm địa
phương hay nghiệm toàn cục sẽ phức tạp hơn.
Kí hiệu, V

là một không gian Banach với chuẩn ||.||y, V'

là không gian đối ngẫu của V.
Nếu U'

ẽ V'

thì ta viết:
U'(Ù)

hoặc U'U

hoặc (U',U

) hoặc (U',U}Y,

V
là giá trị của U'

tại phần tử U

€ V.

Không gian đối ngẫu V'

được trang bị bởi chuẩn
1.3.1. Khái niệm gradient
Cho И

ç V

là một tập mở, £ :

И

—>• R là một hàm. Ta nói rằng £

là khả vi
nếu với mỗi И

ẽ U,

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục U'

€ V'

sao cho:
S{u + h)

- £(u)

- ( u\h)


=
6 b
a a
11*1™ 0 llÂllv
Phiếm hàm U'

G У', nếu nó tồn tại, là duy nhất. Đạo hàm của S
là hàm E'

: И

V'

cho tương ứng mỗi И

G И

với phiếm hàm tuyến
tính U'

G V'

thỏa mãn đẳng thức trên. Ta kí hiệu đạo hàm của S

tại
điểm И

là £'{U).

Ta nói £

là khả vi liên tục nếu £

khả vi và đạo hàm
£' : U —> V'

là liên tục. Tập tất cả các hàm khả vi liên tục И

—>

M là
một không gian véctơ được kí hiệu bởi C

L

{U).
Cho H

là một không gian Hilbert với tích vô hướng (•, -)

H

và chuẩn
tương ứng II ■IU. Giả thiết V

được nhúng liên tục và trù mật trong H.
Nghĩa là ta đồng nhất V

với một không gian con trù mật của H

(qua
đơn ánh V —> H)

và tồn tại С

> 0 sao cho
IMI я < ơ||w||y, MU

G V.
Ta viết V H.
Với hàm đã cho £

: И

—»■ M, ta định nghĩa gradient Vtf£ đối với tích vô
hướng (•, -)

H

bởi
Dịy
H
S) := {u G u : 3v G H sao cho s'(u)ip = (v,ự))
H
, với mọi và
V
H
£{u) := V, tức là, VH£{Ù)

là phần tử duy nhất trong H

(nếu tồn tại) biểu
diễn đạo hàm £'{Ù)

theo tích vô hướng trong H
£'(u)ip = ỰV
H
£{u),(p)
H
, V^ey. (1.1)
Từ "nếu nó tồn tại" trong định nghĩa trên là quan trọng. Nó đánh dấu một sự khác biệt so
với gradient trong không gian hữu hạn chiều. Thực tế chúng ta xét hai không gian V

và H
nên ta cần phải xác định miền xác định D(Vtf£) của gradient VỊỊ£-

Miền này nói chung
chứa thực sự T R O N G T / ; K H Ô N G P H Ả I M Ọ I ĐẠ O H À M £'( U ) Đ Ề U C Ó T H Ể B I Ể U
D I Ễ N B Ở I M Ộ T phần tử thuộc H

(vì £'{U

) e V'

D H'

= H).
Khi V

nhúng liên tục và trù mật trong H,

thì H'

nhúng liên tục trong V'\

hạn chế trên
V

của một phiếm hàm tuyến tính liên tục H —>

M cho ta một phiếm hàm tuyến tính liên
tục V

—>• K. Phép tương ứng đó xác định một toán tử từ H'

—>■ V'

là tuyến tính, liên
tục và đơn ánh do V

trù mật trong H.

Tuy nhiên nói chung phép nhúng H' —> V'

không
toàn ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục U'

G V'

đều thác triển
được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H.

Do đó, có thể tồn tại £'{Ù)

ẽ V'

nhưng
không thác triển liên tục được lên H.
Tuy nhiên nếu U'

€ V'

có thể thác triển liên tục lên H,

tức là U' £ H'

thì nó có thể
biểu diễn bởi một phần tử U

€ H.

Theo định lý biểu diễn Riesz (xem PJ, Định lý 2.23 ),
phần tử U

e u thuộc miền D(Ụ

H

£)

khi và chỉ khi £'{Ù)

có thể thác triển liên tục lên H.
Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa gradient đối với một mêtric. Kí hiệu C

2

{H-

K)
là không gian tất cả các dạng song tuyến tính bị chặn: A

: H

X H

—»■ R, tức là: Vu, г>,
ги G H

và VA e R ta CÓ
a(Xu + v,w) = Xa(u, w;) + a(î;, w;), và a(u, Ai! + -ш) =
Aa(w, г;) + а(и, w), và 3Ơ > о : |а(и,г?)I < С||и||
яЦг’Ця, \/u,v £ н.
là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông
thường. Hơn nữa, nó là không gian Banach với chuẩn
II а II := sup IA(U,

г?)I.
||и||я<1
1М1я<1
Bên cạnh sự hội tụ theo chuẩn trong С

2

(Н;Ш)

ta cũng xét cả sự hội tụ mạnh của dãy.
Ta nói dãy (A

n
) с £
2

(я, M) hội tụ mạnh tới phần tử a G С

2

{Н',Ш)

nếu
lim a
n
(u, v) = a(u, v), Vu,v G H.
n — > o o
Rõ ràng mọi dãy hội tụ theo chuẩn trong đều hội tụ mạnh.
Tập tất cả các tích vô hướng trên H

kí hiệu là Inner(ií) là một tập con của £
2
(#;R) nên
ta có khái niệm hội tụ theo chuẩn và sự hội tụ mạnh của dãy các tích vô hướng.
Một metric trên tập con mở И

ç V

là một hàm G

:

И

—»• Inner(#) ánh xạ mọi dãy hội
tụ theo chuẩn thành dãy hội tụ mạnh, tức là nếu U

N

,U

G U

và lim IIU

N

— U\\V

= 0 thì
(G(U

n
)) hội tụ mạnh tới G(U).
71—» ОС
Với mọi И

G U

tích vô hướng G(U

) và chuẩn tương ứng cũng được kí hiệu bởi (•,-)
5
(
u)
và

II • \\G(UY
Cho hàm khả vi s : И Ш

và cho một metric G

, ta định nghĩa
gradient VG£

đối với G

bởi
D

(V
s
£) := ỊU

e u : 3V

€ H

sao cho £'(U)IP

= (V, <P)G(

U

),

V<y9 € y I và

V
g
E(u) := V
tức là, VGS(U)

là phần tử duy nhất trong H

(nếu tồn tại) biểu diễn đạo hàm £'(U)

đối với
tích vô hướng (•, -)G^ ■
£'(u)ip = {Vg£(ù),<p)
g{u)
, € V.
Nếu với mỗi U

e u, tích vô H Ư Ớ N G (■, •) ( ) tương đương với tích vô hướng (•, -)

H

thì
phần tử U £ DỊYG£)

khi và chỉ khi đạo hàm 8'{Ù)

có thác triển liên tục lên H.
1.3.2. Gradient của dạng toàn phương
Hàm s : V —»■ M là một dạng toàn phương nếu tồn tại một dạng song tuyến tính,
đối xứng a : F x y - } R sao cho:
S(u) = ịa(u,u),

trong đó A

là đối xứng nếu A(U,V

) = A(V,U), VU,V

e V.
Mệnh đề 1.1. Dạng toàn phương £ : V —¥

M liên tục khi và chỉ khi dạng song
tuyến tính a liên kết với nó liên tục.
CHỨNG MINH.

Rõ ràng, nếu A

liên tục thì S

liên tục. Ngược lại, giả sử
A(U, V

) = —(A(U

+ V, U

+ V)

— A(U

— V, U

— V

)) nên
A

cũng liên tục.
(1.2)
□
Từ định nghĩa ta dễ dàng kiểm tra được
Mệnh đề 1.2. Nếu £

: V —

> M là dạng toàn phương liên tục tương ứng với
dạng song tuyến tính a : V X V —>■ M thì s khả vi liên tục và
£'{ù)v = a(u,v), Vu,v e V.
Cho dạng toàn phương £ : V —>

M gắn với dạng song tuyến tính A : V

X V

M, H

là
không gian Hilbert với tích vô H Ư Ớ N G (•, -)

H

,

sao cho V

nhúng liên tục và trù mật trong
H.

Khi đó, ta có thể tính gradient của £ đối với tích V Ô hướng trong H , bằng cách S Ử
dụng định N G HĨ A C Ủ A
gradient và Mệnh đề L2 ta có
-D(V
H

£) — ỊU

G V

: 3V

G H

thỏa mãn A(U,ÍP

) = (V,IP}

H

,

Ví^ £

và và VH£{

U

)

= V-
Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương s đối với tích vô hướng (-,-}

H

là một
toán tử tuyến tính trên H.

Miền xác định DIY

H

£)

là một không gian tuyến tính con của H
và ánh xạii 14 V

H

£(U

) là tuyến tính. Tuy nhiên, gradient của một dạng toàn phương đối
với một mêtric nói chung là không tuyến tính.
1.3.3. Không gian Sobolev trên íì

Cho íỉ c là một tập mở với biên DFÌ.

Với mỗi hàm liên tục IP

: íỉ —>

M ta định nghĩa
giá của IP

là tập:
suppy? := {x € Q

: (PỊX) Ỷ

0}
5
trong đó, bao đóng được lấy trong íỉ. Với mỗi 1 < P <

oo và K >

2, ta định nghĩa không
giãn Sobolev cấp K:
w
k
’
p
(íl) := ju e W
1
’
p

{íì) : VI < * < d ta có 1^- <E VF
fc_1
’
p
(íỉ)|
là không gian Banach với chuẩn
1
Không gian H

K

(Q)

:= W

K , 2

(Q)

là khônggian Hilbert với tích vô hướng
du dv \
d Ị
(u,v)
H k
:= (U,V)
l2
+ ^2(
i=l '
1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên kết với bài toán

biên Dirichlet đối với toán tử Laplace. Cho íỉ c M
d
là tập mở và xét không gian Banach
V

= HQ(Q),

hàm £ : HQ(Q)

—>• M cho bởi
£(u)=
l
-j\Wu\\ usH
l
ữ
( ũ).
ũ
Hàm này là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính
a{u,v) = J ViíVĩ;, u
:
v & Hq(Q). n
Xét không gian Hilbert H

= L

2

(ÍÌ),

với tích vô hướng thông thường. Khi đó V

được
nhúng liên tục và trù mật trong H.

Gradient của £

ứng
d
+Ê
i=l
dxị' dxị/
ỈỊ k
.
1
với tích vô hướng thông thường trên L

2

là
D{Y

L

2S)

= {U

€ : 3V

€ L

2
(íỉ) sao cho
L
'ỤuỤip =
J
V(f} và íì
Vi2£(w) = V.
Ta viết ^A := —Vi2£ và gọi là toán tử Dirichlet-Laplace trên L
2
(íỉ). Sở dĩ ta gọi như
vậy là vì:
Thứ nhất, toán tử Laplace là toán tử vi phân
Ỡĩl Ỡ^U
Thứ hai, nếu U

ẽ H

2

(ÍÌ),

thì các đạo hàm riêng yếu ^

tồn tại
Ơ X ị d X i ơ X j
và thuộc L

2

(Q).

Đặc biệt, AU

e £
2
(fi), nếu ta hiểu AU

là tổng các đạo
d
2
u
hàm riêng yếu cấp hai 7—= Theo đinh nghĩa đao hàm yếu (hoăc theo
dxị
định nghĩa của H
1
và ií
2
), với mỗi ip € ơ*(fỉ),
/
/• ^ o rv d fk
ẺỀ-M-Ế
n n
Í_1 Í_1
n
Ị
ũ
Do CỊ(

ri) trù mật trong HQ(Q),

nên đẳng thức trên đúng với mọi TP

€ HỊ(ÍÌ).
Từ đây và định nghĩa của toán tử Q A ta có, mỗi U E H

2

(Q)

n HQ(£Ì)
d
A= divV = ^
i= 1
d

2
dx
2
;
ỠM
Ỡ<yơ
ỠXị
ỠXị
d
2
u
dẳ'
p
n
Í_1 í_i

n
=
" § / ^
=
" / 5
i_1
ỉí íí
i_1
= — /