Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HÀ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HÀ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Xuân Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Lê Ngọc Hà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Lê Ngọc Hà
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haussdorff . 4
1.2. Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Nón . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. . . . . . . 19
2.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan
19
2.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I . . . . . . 19
2.1.2. Các bài toán liên quan . . . . . . . . . 20
2.2. Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . 21
2.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 3. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II . . . . 33
3.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và các bài toán liên quan
33

3.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II . . . . . 33
3.1.2. Các bài toán liên quan . . . . . . . . . 34
3.2. Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . 35
v
3.3. Sự tồn tại của các bài toán liên quan . . . . . . . . . 42
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Các bài
toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài
toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán điểm yên ngựa.
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình
của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để
xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972)
và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994,
Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và
tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau
thành một dạng chung.
Các bài toán tựa cân bằng là những bài toán của giải tích phi tuyến.
Do đó, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải
tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài:
“Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan tới
ánh xạ đa trị”.
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nêu một
số không gian và kến thức cơ bản thường dùng như: không gian tôpô,
không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorf; nón và ánh xạ đa trị;
1

tính KKM.
Chương 2: Đưa ra bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán
liên quan. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại nghiệm của bài toán,
sử dụng kết quả để chứng minh một số bài toán liên quan có nghiệm.
Chương 3: Trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và định lý
điều kiện đủ cho bài toán có nghiệm. Giới thiệu sự tồn tại nghiệm của
một số bài toán liên quan.
2. Mục đích nghiên cứu
Chỉ ra sự tồn tại nghiệm của một số bài toán tựa cân bằng.
Chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán tựa cân bằng và các bài toán khác
trong lý thuyết tối ưu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu một số tài liệu về bài toán cân bằng và những ứng dụng
của chúng đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và tìm những ứng
dụng cho các bài toán liên quan.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu về môn giải tích đa trị để thấy được các tính chất của
ánh xạ đa trị và sử dụng chúng để chỉ ra những điều kiện đủ cho sự tồn
tại nghiệm của một số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị.
2
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các tính chất của ánh xạ đa trị để tìm điều kiện đủ cho sự
tồn tại nghiệm của các bài toán cân bằng.
6. Đóng góp mới của đề tài
Góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán
cân bằng và những bài toán khác trong lý thuyết tối ưu. Đồng thời cho
ta thấy rõ mối liên kết giữa các bài toán trong lý thuyết tối ưu, mối liên
hệ giữa các nghiệm của bài toán tựa cân bằng với sự ổn định của một
số mô hình kinh tế.
3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Việc mở rộng từ ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị là nhu cầu thực
tiễn nảy sinh khi có những bài toán liên quan đến phép chuyển một điểm
của tập này thành tập con của tập kia. Môn giải tích đa trị đã được hình
thành và trở thành công cụ đắc lực trong việc nghiên cứu các bài toán
liên quan đến ánh xạ đa trị. Để nghiên cứu các bài toán liên quan đến
ánh xạ đa trị, trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong giải
tích hàm.
1.1. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hauss-
dorff
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X, gọi τ là các tập con của X, T là
tập bất kỳ. Khi đó X được gọi là không gian tôpô nếu các điều kiện sau
thỏa mãn:
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
(ii) Với U
t
∈ τ, ∀t ∈ T thì

t∈T
U
t
∈ τ;
(iii) Với ∀U
1
, U
2
∈ τ thì U
1
∩ U

2
∈ τ.
Định nghĩa 1.1.2. Tập X khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính
trên trường K, các phần tử x, y ∈ X được gọi là các véctơ nếu trên X
xác định hai phép toán
4
(+) : X × X → X : (x, y) → x + y;
(.) : K × X → X : (λ, x) → λx;
thỏa mãn tám tiên đề sau:
(i) x + y = y + x, (∀x, y ∈ X);
(ii) (x + y) + z = x + (y + z) , (∀x, y, z ∈ X);
(iii) (∃θ ∈ X) : x + θ = θ + x, (∀x ∈ X);
(iv) (∀x ∈ X) (∃ − x ∈ X) : x + (−x) = θ;
(v) λ (x + y) = λx + λy, (∀x, y ∈ X; λ ∈ K);
(vi) (α + β) x = αx + βx, (∀x ∈ X; ∀α, β ∈ K);
(vii) α (βx) = (αβ) x, (∀x ∈ X; ∀α, β ∈ K);
(viii) (∃1 ∈ X) : 1x = x, (∀x ∈ X).
θ và 1 lần lượt được gọi là phần tử không và phần tử đơn vị của X.
Định nghĩa 1.1.3. Một tôpô τ phù hợp với cấu trúc đại số trong không
gian X nếu các phép tính đại số trong X liên tục trong tôpô τ, tức là
nếu:
(i) x + y là một ánh xạ liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, với mọi
lân cận V của điểm x + y đều tồn tại lân cận U
x
của x và lân cận U
y
của y sao cho nếu x

∈ U
x

, y

∈ U
y
thì x

+ y

∈ V .
(ii) αx là ánh xạ liên tục của hai biến α, x, nói rõ hơn, với mọi lân
cận V của αx đều có một số  > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu
|α

− α| < , x

∈ U, thì α

x

∈ V .
Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu
trúc đại số được gọi là không gian tôpô tuyến tính.
5
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không
gian lồi địa phương nếu mọi phần tử của X có cơ sở lân cận thành lập
từ các tập lồi hay tương đương, phần tử 0 ∈ X có cơ sở lân cận thành
lập từ các tập lồi.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian
Haussdorff nếu với mỗi x, y ∈ X, x = y bao giờ cũng tồn tại lân cận U
x

của x và U
y
của y thỏa mãn U
x
∩ U
y
= ∅.
Ví dụ. Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
1.2. Nón và ánh xạ đa trị
1.2.1. Nón
Định nghĩa 1.2.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập
con trong Y . C gọi là nón trong Y nếu tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0.
Nón C gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nếu Y là không gian tôpô tuyến
tính và C là nón trong Y , kí hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần
trong, và bao lồi của nón C, l (C) = C ∩ (−C). Khi nghiên cứu bài toán
liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau:
(i) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.
(ii) Nón C gọi là nón nhọn nếu l (C) = {0}.
(iii) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
(iv) Nón C gọi là nón đúng nếu clC + C \ l (C) ⊆ C.
Dễ thấy rằng nếu C là nón đóng thì C là nón đúng.
6
Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ như sau: x, y ∈ Y, x 
cy nếu x − y ∈ C. Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản
x  y.
Kí hiệu x  y nếu x − y ∈ C \ l (C) và x >> y nếu x − y ∈ intC.
Sau đây là một số ví dụ về nón
Ví dụ.
1. Tập {0} và y là nón trong không gian Y . Ta gọi chúng là các nón

tầm thường.
2. Cho Ω là không gian dãy các số thực: C = {x = {x
n
} ∈ Ω : x
n
≥ 0, ∀n};
C là nón lồi, nhọn. Ta chưa thể nói nó sắc hay đúng vì chưa có tôpô đưa
vào không gian.
3. Cho L
p
[0, 1] , 0 < p < 1 là không gian các hàm trên [0, 1].
L
p
[0, 1]

x (t) , t ∈ [0, 1] ,

1
0
|x|
p
dµ < ∞

, µ là độ đo Lơbe.
Tôpô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các
tập có dạng:

x ∈ L
p
[0, 1] ,



1
0
|x|
p
dµ

1
p
<
1
n

Tập C = {x ∈ L
p
[0, 1] : x (t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]} là lồi, đóng.
Định nghĩa 1.2.1.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
được sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng:
(i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C
nếu y − x ∈ C, ∀y ∈ A.
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được ký hiệu
là IMin (A|C) hay IMinA.
(ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A
7
đối với nón C nếu  ∃y ∈ A để x − y ∈ C \ l (C). Tập các điểm hữu hiệu
Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là P Min (A|C) hoặc đơn giản
hơn là MinA.
(iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi intC = 0 và C = Y ) của
tập A đối với nón C nếu x ∈ Min (A \ ({0} ∪ intC)). Tức là x là điểm

hữu hiệu Pareto đối với nón C
0
= {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu
yếu của A đối với nón C được kí hiệu là W Min (A \ C) hoặc W MinA.
(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối
với nón C nếu tồn tại nón lồi
˜
C khác toàn không gian và chứa C \ l (C)
trong phần trong của nó để x ∈ P Min

A \
˜
C

.
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu
là P rMin (A \ C) hay P rMinA.
Từ định nghĩa trên ta luôn có IMinA ⊂ P rMinA ⊆ MinA ⊆
W MinA.
1.2.2. Ánh xạ đa trị
Cho X là tập hợp bất kì. Kí hiệu 2
X
là tập gồm các tập con của
X. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.2.1. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào Y được gọi là ánh xạ
đa trị từ X vào Y , kí hiệu F : X → 2
Y
.
Như vậy mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y , không loại trừ
khả năng với một số phần tử x nào đó của F (x) là tập rỗng. Nếu x ∈ X,

F (x) gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y .
Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của F được định nghĩa lần
8
lượt như sau:
domF = {x ∈ D|F (x) = ∅} ;
Gr (F ) = {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ F (x)} ;
rgeF = {y ∈ Y |∃x ∈ X : y ∈ F (x)} .
Ví dụ. Cho a, b là các số thực, F : R → 2
R
được xác định bởi
F (x) =



(a, b) , khi x = 0 ;
{a} , khi x = 0 ;
khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho F : X → 2
Y
, ánh xạ F
−1
: Y → 2
X
được xác định bởi
F
−1
(Y ) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}
được gọi là ánh xạ ngược của F . Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ
đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập F
−1

(Y ) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}
mở thì F được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh
xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.2.2. Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kì. F
1
, F
2
; X →
2
Y
, F : X → 2
Y
, G : Y → 2
Z
là các ánh xạ đa trị.
a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F
1
, F
2
và ánh xạ bù của F là các
ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi
(F
1
∪ F
2
) (x) = F
1
(x) ∪ F
2

(x) ;
(F
1
∩ F
2
) (x) = F
1
(x) ∩ F
2
(x) ;
F
0
(x) = Y \ F (x) .
9
Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G ◦ F (x) : X → 2
Z
cho bởi công
thức
G ◦ F (x) =

x∈X
G (F (x)) .
Tích Decarde của F : X → Y và G : W → Z là ánh xạ G × F :
X × W → 2
Y ×Z
cho bởi công thức
(G × F) (x, y) = G (x) × F (y)
b) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính, tổng đại số của hai ánh xạ
F
1

, F
2
và phép nhân một số với ánh xạ F
1
là các ánh xạ đa trị từ X vào
Y được xác định bởi
(F
1
+ F
2
) (x) = F
1
(x) + F
2
(x) ;
(λF
1
) (x) = λF
1
(x) .
Định nghĩa 1.2.2.3. Cho F : X → 2
Y
, kí hiệu F, F
◦
là các ánh xạ bao
đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi F (x) = F (x), (F
◦
) (x) =
(F (x))
◦

.
Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và
bao lồi đóng của F là: (coF ) (x) = coF (x) , (coF) (x) = coF (x) .
Định nghĩa 1.2.2.4. Cho F : X → 2
Y
là ánh xạ đa trị từ không gian
tôpô X vào không gian tôpô Y .
a) F gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ Y thỏa
mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U.
b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi V mở,
F (x) ∩ V = ∅ đều tồn tại tập mở U ⊃ x sao cho F (x) ∩ V = ∅, ∀x ∈ U.
10
c) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục
tại mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.2.5. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2
Y
là
ánh xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong
X × Y .
Nếu F (X) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với
bất kỳ dãy {x
a
} , {y
a
} , x
a
→ x, y
a

→ y, y
a
∈ F (x
a
) thì y ∈ F (x
a
). Nếu
F (x) là tập đóng ∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị
là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.2.2.1. Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa
liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là
ánh xạ đóng và Y compact thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.2.2.2. a) Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. F là nửa liên
tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ
dãy {x
β
}
β∈Λ
, x
β
∈ D, x
β
→ x, tồn tại dãy {y
β
}

β∈Λ
, y
β
∈ F (x
β
) sao cho
y
β
→ y trong đó Λ tập các chỉ số.
b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở thì ánh xạ coF cũng có nghịch
ảnh mở.
Chứng minh. b) Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )
−1
(y) thì y ∈ co (F (x)),
y =

n
i=1
α
i
y
i
với 0 ≤ α
i
≤ 1,

n
i=1
α
i

= 1, y
i
∈ F (y). Khi đó x ∈
F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n. Từ F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n là tập mở, ta suy
11
ra tồn tại lân cận U (x) của x sao cho U (x) ⊆ F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n.
Điều này dẫn đến y
i
∈ F (z) với z ∈ U (x) , ∀i = 1, 2, , n. Do đó
y =

n
i=1
α
i
y
i
∈ (coF ) (z) với z ∈ U (x) nên U (x) ⊆ (coF )

−1
(y) là tập
mở. Vậy (coF )
−1
(y) là tập mở.
Mệnh đề 1.2.2.3. [4] Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ
nửa liên tục dưới.
Ví dụ sau chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.2.2.3 không đúng.
Ví dụ. Cho F : R → 2
R
xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có
F
−1
(y) = {x : y ∈ (−∞, −x]} = {x : y ≤ −x} = (−∞, −y] không là
tập mở. Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó
U
y∈V
F
−1
(y) = {x : F (x) ∩ V = ∅}. Đặt b = inf {v : v ∈ V }. Ta sẽ
chứng minh (−∞, −b) ⊆ U
y∈V
F
−1
(y).
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x. Theo cách xác
định của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y < −x. Vì
vậy x ∈ (−∞, −b] ⊆ U
y∈V
F

−1
(y). Từ kết luận này ta có (−∞, −b) ⊆
U
y∈V
F
−1
(y) hay U
y∈V
F
−1
(y) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục
dưới.
Ta nhắc lại, hàm vô hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên
(hoặc dưới) tại x nếu với bất kỳ c > 0 đều tồn tại lân cận U  x sao
cho f (x) ≤ f (x) + c (hoặc f (x) ≤ f (x) − c). Khái niệm này có thể mở
rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa
phương với nón C.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. D, K
là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị
12
từ D vào Y . Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.2.2.6. a) F là C- liên tục trên (hoặc C- liên tục dưới)
tại x
0
∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận
U của x
0
trong X sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0

) +V + C (hoặc F (x
0
) ⊂ F (x) +V − C), ∀x ∈ U ∩ domF;
b) F là C- liên tục x
0
nếu F vừa là C- liên tục trên vừa là C- liên tục
dưới tại x
0
. F là C- liên tục trên, C- liên tục dưới hoặc C- liên tục trên
D nếu nó là C- liên tục trên, C- liên tục dưới hoặc C- liên tục tại mọi
x thuộc D;
c) Trường hợp C = {0} ta nói liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói
{0}- liên tục trên {0}- liên tục dưới).
Định nghĩa 1.2.2.7. Cho F : K × D × D → 2
Y
, C : K × D → 2
Y
là
ánh xạ nón. F gọi là một C- liên tục trên (hoặc C- liên tục dưới) tại
(y, x, z) ∈ domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân
cận U của (y, x, z) sao cho: F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C (y, x) (hoặc
F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C (y, x)), ∀ (y, x, z) ∈ U ∩ domF.
Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C- liên tục
trên.
Mệnh đề 1.2.2.4. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng
khác rỗng. Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x) hoặc C (x) là tập compact
thì F là C- hemi liên tục trên.
Chứng minh. Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] →
2
Y

bởi f (α) = F (αx + (1 − α) y) và c (α) = C (αx + (1 − α) y) , α ∈
[0, 1]. Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục
13
trên tại 0. Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U
của 0 trong [0, 1] sao cho
F (αx + (1 − α) y) ⊆ F (y) + V ;
C (αx + (1 − α) y) ⊆ C (y) + V, ∀α ∈ U.
Do đó, nếu F (αx + (1 − α) y) ∩ C (αx + (1 − α) y) = ∅, ∀α ∈ (0, 1) thì
(F (y) + V ) ∩(C (y) + V ) = ∅. Điều này dẫn đến F (y) ∩ (C (y) + 2V ) =
∅. Giả sử F (y) là tập compact ta sẽ chứng minh F (y) ∩ C (y) = ∅.
Thật vậy, giả sử V
β
là lân cận bất kỳ của gốc trong Y , lấy α
β
∈ F (y) ∩
(C (y) + 2V
β
) , α
β
= b
β
+ v
β
, trong đó b
β
∈ C (y) , v
β
∈ V
β
. Ta có thể

chọn

V
β
= {0}, giả sử v
β
→ 0 khi β → 0. Từ α
β
∈ F (y) và F (y)
là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng
α
β
→ α ∈ F (y) khi β → 0. Vì vậy, b
β
cũng hội tụ đến α. Mặt khác, C (y)
đóng nên α ∈ C (y). Ta suy ra α ∈ F (y) ∩ C (y) hay F (y) ∩ C (y) = ∅.
Nếu C (y) compact, chứng minh tương tự ta cũng có F (y) ∩ C (y) = ∅.
Vậy F là C- hemi liên tục trên.
Định nghĩa 1.2.2.8. Cho ánh xạ F : X → 2
Y
, C là nón lồi trong Y .
a) F được gọi là C- lồi trên (hoặc C- lồi dưới) nếu
αF (x) + (1 − α) F (y) ⊂ F (αx + (1 − α) y) + C
hoặc F (αx + (1 − α) y) ⊂ αF (x) + (1 − α) F (y) − C,
với mọi x, y ∈ domF, α ∈ [0, 1].
b) F được gọi là C- lõm trên (hoặc C- lõm dưới) nếu
αF (x) + (1 − α) F (y) ⊂ F (αx + (1 − α) y) − C
14
hoặc F (αx + (1 − α) y) ⊂ αF (x) + (1 − α) F (y) + C,
với mọi x, y ∈ domF, α ∈ [0, 1].

Chú ý:
a) Nếu C = {0} thì {0}- lồi trên và {0}- lõm trên của F đồng nhất
với nhau và được gọi là dưới tuyến tính.
b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì C- lồi trên và C- lồi dưới
(C- lõm trên và C- lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C- lồi (hoặc C-
lõm).
Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là
lồi hoặc lõm. Ta có thêm khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.2.9. Cho F là ánh xạ đa trị từ D ⊂ X vào 2
Y
là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C.
a) F được gọi là C- tựa giống như lồi trên trên D nếu với bất kỳ
∀x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1] ta luôn có:
F (x
1
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α) x
2
) + C;
hoặc F (x
2
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α) x

2
) + C.
b) F được gọi là C- tựa giống như lồi dưới trên D nếu với bất kỳ
∀x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1] ta luôn có:
F (αx
1
+ (1 − α) x
2
) ⊆ F (x
1
) − C;
hoặc F (αx
1
+ (1 − α) x
2
) ⊆ F (x
2
) − C.
Các khái niệm C- lồi trên (dưới) hay C- tựa giống như lồi trên
(dưới) là dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp
đơn trị.
15
Dưới đây là một định nghĩa về tính KKM.
Định nghĩa 1.2.2.10. Ánh xạ đa trị F : D → 2
X
được gọi là KKM nếu

với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ D, ta luôn có
co {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊆
n

j=1
H(t
j
)
Dưới đây là một số khái niệm mở rộng của khái niệm KKM trong một
số trường hợp.
Định nghĩa 1.2.2.11. Cho F : K × D × D → 2
X
, Q : D × D → 2
K
là
các ánh xạ đa trị. F được gọi là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn
{t
1

, t
2
, , t
n
} ⊂ D, x ∈ co {t
1
, t
2
, , t
n
} có t
j
∈ co {t
1
, t
2
, , t
n
} sao cho
0 ∈ F (y, x, t
j
) , ∀y ∈ Q (x, t
j
).
Định nghĩa 1.2.2.12. Cho F : K ×D×D → 2
X
, Q : D×E → 2
K
là các
ánh xạ đa trị. F được gọi là Q- KKM tổng quát nếu với bất kỳ tập hữu

hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ E có một tập hữu hạn {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ D để bất kỳ
x ∈ co {x
1
, x
2
, , x
n
} có t
i
j
∈ {t
i
1
, t
i
2
, , t
i

n
} sao cho 0 ∈ F (y, x, t
j
) , ∀y ∈
Q (x, t
j
).
Ta nhắc lại khái niệm quan hệ hai ngôi, ba ngôi và quan hệ KKM.
Định nghĩa 1.2.2.13. Cho R ⊆ K × D, R gọi là một quan hệ hai ngôi
và (x, y) ∈ R, ta nói x có quan hệ với y hay R (x, y) xảy ra.
Định nghĩa 1.2.2.14. Cho R ⊆ K × D × D, R gọi là một quan hệ hai
ngôi và (x, y, z) ∈ R ta nói x có quan hệ ba ngôi với y, z hay R (x, y, z)
quan hệ xảy ra.
Định nghĩa 1.2.2.15. Cho R là quan hệ hai ngôi trên K × D. Chúng
ta nói rằng, R là đóng nếu với bất kỳ dãy suy rộng (y
α
, x
α
) → (y, x) và
16
R (y
α
, x
α
) xảy ra với mọi α thì R (y, x) xảy ra.
Định nghĩa 1.2.2.16. Cho R là quan hệ trên K × D × D. Chúng ta
nói rằng R là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, t
2

, , t
n
} ⊂ D
và x ∈ co {t
1
, t
2
, , t
n
} có t
j
∈ {t
1
, t
2
, , t
n
} sao cho R (y, x, t
j
) xảy ra
∀y ∈ Q (x, t
j
).
Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động KyFan.
Định lí 1.2.2.1. (Định lý điểm bất động S.Park([3])) Cho X là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, K ⊂ X là một tập con lồi, compact.
F : K → 2
K
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác
rỗng. Khi đó tồn tại x ∈ K sao cho x ∈ F (x).

Định lí 1.2.2.2. (Fan – Browder, 1968([5])) Cho X là một không gian
vectơ tôpô. K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2
K
là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) ∀x ∈ K và F (x) là tập lồi;
b) ∀y ∈ K, F
−1
(x) là tập mở trong K.
Khi đó tồn tại điểm x ∈ K sao cho x ∈ F (x).
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan – Browder.
Định lí 1.2.2.3. Cho X là một không gian vectơ tôpô, K ⊂ X là một
tập con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2
K
là ánh xạ đa trị thoả mãn
các điều kiện:
a) ∀x ∈ K, x /∈ F (x) và F (x) là tập lồi;
b) ∀y ∈ K, F
−1
(y) là tập mở trong K;
Khi đó tồn tại điểm x ∈ K sao cho F (x) = ∅.
Một ánh xạ F : D → 2
X
được gọi là ánh xạ KKM nếu với bất kỳ tập
17
hữu hạn {t
1
, t
2
, , t
n

} ⊂ D luôn có co {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊆

n
j=1
H (t
j
). Ngoài
khái niệm trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này
vào một tập khác. Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau:
Định nghĩa 1.2.2.17. Cho X, Z là các không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆
Z, F : K × D × D → 2
X
, Q : D × D → 2
K
là các ánh xạ đa trị.
F được gọi là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂
D và x ∈ co {t
1

, t
2
, , t
n
} tồn tại chỉ số j ∈ {1, 2, , n} sao cho 0 ∈
F (y, x, t
j
) , ∀y ∈ Q (x, t
j
).
Định nghĩa 1.2.2.18. Cho X, Z, W là các không gian tôpô D ⊆
X, K ⊆ Z, E ⊆ W, F : K × D × E → 2
X
, Q : D × E → 2
K
là các
ánh xạ đa trị. F được gọi là Q- KKM suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu
hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ E tồn tại tập hữu hạn {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊆ D sao cho

với bất kỳ x ∈ co {x
i
1
, x
i
2
, , x
i
k
} tồn tại t
i
j
∈ {t
i
1
, t
i
2
, , t
i
k
} thoả mãn
0 ∈ F

y, x, t
i
j

, ∀y ∈ Q


x, t
i
j

.
Định lí 1.2.2.4. (Bổ đề Fan – KKM) Giả sử D là một tập con lồi khác
rỗng trong không gian vectơ tôpô X. F : D → 2
X
là ánh xạ KKM. Nếu
với mỗi x ∈ D, F (x) là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm x ∈ D,
sao cho F (x) là tập compact thì

x∈D
F (x) = ∅.
18
Chương 2
Bài toán tựa cân bằng tổng quát
loại I
2.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các
bài toán liên quan
2.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I
Xét bài toán thực tế sau:
Nhà máy sản xuất bia A và đại lý tiêu thụ B có quan hệ hợp tác
với nhau. Nhà máy A có tập chiến lược sản xuất D, đại lý tiêu thụ B
có tập chiến lược tiêu thụ K. Sự thành hay bại của nhà máy sản xuất
và đại lý tiêu thụ phụ thuộc nhiều vào chiến lược của người lãnh đạo.
Với mỗi chiến lược x ∈ D và y ∈ K, lãnh đạo nhà máy A có tập chỉ đạo
S (x, y), đại lý B có tập chỉ đạo T (x, y). Mục đích của nhà máy A và
đại lý B là tìm một phương án sản xuất thông qua chỉ đạo của lãnh đạo
cơ sở mình và đối tác để việc sản xuất và tiêu thụ luôn được cân bằng

hay nói cách khác luôn đạt mục tiêu sản xuất ổn định.
Về toán học, vấn đề trên có thể mô hình hoá như sau:
Cho X, Y , Z là các không gian tuyến tính, các tập con D ⊆ X, K ⊆
Z. Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2
D
, T : D × K → 2
K
, F :
K × D × D × D → 2
Y
với giá trị khác rỗng.
19