Luận văn sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐAI HQC sư PHAM HẢ NÔI 2
ĐÀM THỊ THẢO
Sự KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHAP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON-
RAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC « • •
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tồi. Л.1Г1 bày tỏ lòng; biết ƠI1 í>âu sắc; tới. PGS, TS, Khuất Văn Ninh, người đã đuih. hướng chựii đề tàL và tậu tình, hướng dẩn để
tôi thể hoàn thành Luận văn này,
Tôi. cũng' xiu bày tỏ lòng biết ơu điâu thành, tới các thầy cô phòng Sci.lL đại. hạc, cùng các thầy cô giÁo dạy cao hạc; diuyêu ugàuh
Toán gi-ải. tích., trường Đại. hục Sư phạm hLà Nậi 2 đã giúp đỡ tôi. trong suốt quá trình hạc; tập.
Nhâu dịp uày tỡi cũng X.LU đượt; gửi LỜL üäui ƠI1 điâu thành tới gia. đình, bạn bè và đòng, nghiệp đa luôn động, viên, v ố vũ, tại>
II1ỌL điều kiệu thuận Lợi cho tôi trang suốt quá trình, hục tập và hoàn thành. Luận văn,
Hà Nội, tháíiy 12 năm 201 ị Táo giả
Dàm Thị Thảo
Lời cam đoan
l'ôi. x.i.11 earn đoan., dưới í>ự hưởng dẫn cua PGS, TS, Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc í>ỉ
điuyêii Iigàiih. Toán giài tích. với. đề tài “SỰ HẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI
PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - HAPHSƠN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂRI
PHI TUYẾN
77
được Iioàii thành. bởi. báu thâu
tát; giá,
Trwig quá trình. ughiẽu cứu thực hiệu luận văii
7
tác gi-ả đã kế thừa, những thành, tựu cua
cát; nhà khoa hực; với. sự trân trạng; và bi.ết ƠIL
Hà Nội- tháng 12 năm 20lị
Tác; yiả
Dầm Thi Thảo
Mục lục

9 *
Khâĩig; В.Ш1 Hilbert, không gLa.il L ( X , Y )
Khoug gian Hilbert
1,2
'
Khang y,"Lcui định, điuấii, klmiig gian BiUHiđi
I:
LÍU
Ir‘d
r2r
Khâng g,lcHL L ( X ,
Y )
Tài Liệu tham kh.át>
Chương 2, Một í>6 phương pháp giải
phương trĩnh vi phân phi tuyến 22
21. Phương pháp y-cA-ĩ
phân
22
22. Phương pháp Nevvtaii 25
2:ở' Phương pháp Nevvtou - Ra.ph.sou 2e>
Chương ‘Ầr Sự kết h.Ợp giữa phương pháp
sai phân và phương pháp
Newtou - RcLphson. trong giai
phương trình vi phau phi tuyến

7
0
Mở đầu
lr Lý ck> chạn đề tài
Phương pháp sai ph.ân Là Iiiột phương, ph-áp vơ bản trưng gLảĩ. một số phương,

trình, vl ph.ẫ.11 thường cũng; Iiliư phương trình, đạo hàm riêng, Sau khi rời. rạc; hóa,
phương trình, vi. phân điuyểii thành. hệ phương trình, đại b>6, Trong trường hợp hệ
phương trình, đại ì>6 là mật hệ phi tuyếii tlii gi-ái. hệ phương' trình. đ6 Là một bài.
toán kh.6, L>ể khắc phục khó ktLăn trên ta. cờ th-ế áp dụng; phương pháp
Newton - Raphsan, Với mong Iiiuốn tìm hiểu sâu về hai phương pháp 116L
trêu và được; sự hưỚLLg dẫu cửa. PGS
r
TS, Khuất Văn Ninh. tôi. đã điụu đề tài;
“SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - HAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN’
7
.
2. Mục; đídi nghiên ctfu
Luận văii sẽ nghiên t.'-ứu sự kết hợp íịiũu phương ph.áp i>cũ phân và phương;
ph.áp Newton - Ra.ph.ijon giải phương trinh vl phân phi tuyến,
3, Nhiêrn vu nghiên cứu
Nghiêu cứu sự kết hợp giữa, phương pháp Scũ ph.au và phương pháp Newton -
Ra.phí>on giai. phương trình. vi. ph.ân phi tuyến.
4, Đồi tượng và phạm vi ughìen c;úTu
- H.B thống một í>6 phương trình, vi. ph.âu
r
- Sự kết hợp giữa. phương ph.áp Scũ phân và phương ph-áp Newton - Ra.phsou giai
phương trinh, vi. ph.ân phi tuyến,
6
!x Phương pháp nghiên cứu
- Vận dụng phương, pháp phân tích., tổng hợp ISẤC phương, phAp của. GLáL tích
hàm, GLẳi. tích. số và Lập trình, máy tính,
- Sưu tầm, nghiên cứu các tàĩ Liệu liêu quau,
Đóng góp của đề tài
- Hệ thống hóa vấn đề nghiên, cứu; phương; ph-áp Scũ ph.âii, phương; pháp Newton -

Raph.ï>ou và sự kết hợp của h.cũ. phương pháp trêu gi-ái. phương trình. vl phân phi
tuyếu,
- Áp dụng giải một í>ố phương trình. vi. phân phi tuyến. i;ụ thể,
GLài. số một số phương trình vi. ph.au phL tuyếu trêu phầri
Iiiềni M&pLe,
7
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
♦
1.1, Không gian Liietric và nguyên lỷ ánh xạ cu
1.1.1, Không gian Metric
Định, nghĩa 1,1, Ta gại là không' gian nietrlc một tập h-Ợp X khác rỗng; cùng với.
một ánh. xạ D đi từ tích. Desoartes X X X vào tập hợp số th-ực M thoa, mãn CẤC
tiêu đề í>au đây;
i) (VX, Y € X) D (X,Y) > 0, D (X, Ỳ) = 0 <=> X = Y, (tiên đề đòng nhất)
Li) (Va;, Y e X) D(X,Y) = D(Y,X), (tiên đề đối xứng;)
LLi) (Vx, Y, Z ẽ X) D(X,Y) < D(X, Z) + D (Z, Y), (tiêu đề tam giác)
Ảnh x.ạ D gại. Là metric; trêu X
R
í>6 D (X,Y) gọi. là khoáng cách, giữa hai phần tử X
và Y
R
CẤC phần, tử cua. X gọi. Là các điếm, uác ti.ẽi.1 đề L), Li.), LLi) gạl Là h-ệ
tiêu đề uietrLc;,
Không gian inetric; được kỹ hiệu. là M = (X, D)R
Ví dụ 1,1, VỚL hai ph.au tử bất kỳ X , y e M ta. đặt;
d ( x , y ) = \ x - y I.
Dựa* vào cát; tính, chất của giá trị tuyệt đối trong' tập số thực; M dê dàng; kiếm tra.
h.ệ thức (1,1) xát; định một nietrLi; trêu R
r
Không gian tương;

ứng,- được kỷ hiệu là M
1
, Ta se gọi nietnc (|L1|) Là metric tự uhiêu trên R
r
(1.
V í d ụ lr2r K ý h i ệ u c ™
6
] l à t ậ p t ấ t c à c á c h . à i i i b - 6 g i á t r ị
t h ự i ; x á i ; đ ị n h , và cố đạo hiuii LLên tục đến uấp M (M £ N,M > 1) trên
đoạn [A, B]R Dối. với. hai hàni ->Ố bất kỳ X (T), Y (T) e ơj
m
&
j ta. đặt
m
Đ (*, У) = У2
г<4
w - w
Dễ thấy D Là niât Iiititrlu trên C™
B
Y
ĐỊNH, NGHĨA lr2r CHX> KHÔNG GIAN METRIC м = (x,d)r MỘT TẬP
COU BẤT kỳ X
0
Ỷ
0
tập X t;ùiig với metric D trên X lập thành niột không gian
metric;, K.hôiig g'icUl metric М = (X
Ữ
,D) gọi. Là khôiig gian metric; can cua không
gian metric; đã cha,

Định. LighĩcL 1,3, Cha không gicUi metric M = (X, D)
R
Day điểm {æ
n
} с X gọi Là
dãy cơ bàn trang M
R
nếu ;
(Ve > 0) (3n
0
e N*) (Vra, n > n
0
) , d ( x
n :
x
m
) < £
lim d ( x
n
, x
m
) = 0.
n,m—> + 00
L)ể thấy inựL dãy điềm {ж
п
} с X hội tụ trong' M đều Là dãy cơ báu,
1,1,2, Nguyên lỷ ánh xạ uo
Giả sử X Là không gia.il metric đũ và ánh xạ T : X —»• X thôa nici.lL điều kiệu;
d ( T x , Ty ) < a d (X , y )
VỚL hang, $0 A < 1 và niọi. X, Y e X. Khi đó tồn tại duy nhất

phần tử X* & X sa.0 cha X* = TX*, hơn Iiữa VỚL X
0
€ X th.1
dãy {X
N
}
eN
X.Ấ.0 địiih.
bởi X
k+
1 = TX
K
,\/K e N Là hội tụ đến X*, đồng- thời ta. uó ướt; Lượng;
a
d ( x
n
, X *) < - d ( X ị , X o ) .
1 — a
Uhứng niiiihr Dê thấy
d ( x
k + 1
, x
k
) = d ( Tx}.,Txỵ-i) < ad (x
k
, x
k
_ ị ) < . . . < a
k
d ( x

1
, x
ữ
) ,\/k €
N.
Từ đó Vn G N, Vp G N, ta. ÓK
Á (^N+PI X
N
) ^ D (íc
n
+p, íc
n
+p_i) + + D (x
n
+i, x
n
)
< (a^P-
1
+ + a
n
)d{
xi
,xo),
da đá
a
n
d { x
n + p
, x

n
) < d ( X ị , X o ) .
1 — a
Ước lượng (1,3) điứng tỏ dãy {^nlneN là day Cauđiy, da X là không giau
nietrLc; đu uêu tồn tạL duy nhất X* & X sao cha lim x
n
= X*,
n—¥ 00
Cho p —> oo trong bất đẳng; thức (Ịõk ta thu được ước Lượng (|L2[} cần
chứng, Iiiuih, Ta Lại. ró X
n+
1 = TX
N
uêu cho N —¥ OO
7
ta c6 X* = TX*
7
vậy X*
Là đlểni mà TX* = X*.
GLả sử ngoài, ra. còn uó X cũng có tính. chất TX = X, khi đó ta có;
D (X*
:
X) = D (TX*,TX) < AD (X*
:
X), với. A < 1.
Từ đó suy ra X* — X, vậy X* Là duy nhất.
1.2, Không gian định chuần, không gian Banach
(1,2
(1,3
□

ĐỊNH, NGHĨA l,4r (Không gian địiih. điuẩu) Một không gi.au địiih. ctLuẩn (lmy
không gian tuyến tính, đinh. cliuẩii) là không; gian tuyến tính X trên
trường P [P = R hoặc P = C) uùug VỚL một ánh. xạl^K, được; gựĩ- Làdiuấn và kỹ
hiệu là ||.|| th-òa. mãn t;át; tiên đề sau;
L) (Væ e X ) ||x|| > 0, ||x|| = 0 < = ï X = в ;
Li.) (\/X e X) (Va e P) ||а;ж|| = \OT\ ■ ||x||;
LLi) (Va:,y g X ) ||ж + y \ \ < ||æ|| + ỊỊyỊỊ,
56 ||ж|| gọi. là điuấu của vectơ XR Га cũng kỷhiệu. không, gian địiih. ctLuần
Là X , Cát; tiên đề L), Li), LLL) gọi Là hệ tiêu đề điuẩib
Định. nghĩa 1,5, (Sự hội tụ trang, không' gian định, diuẩii) Dãy điểni {X
N
} cua. không
gian định, chuẩn X được gọi là hội. tụ tới điểm X e X uếu lim \\X
N
— x|| = 0, kỷ hiệu
lim X
N
= X hay X
N
—Y X (N —> oo)
r
n—>00 ĩl—>00
Định, nghĩa 1,6, (Dây uơ bán) Dãy điểm {X
n
} trong; không gian định, diuắu X đượt;
gựi- là- dãy cơ bàu uếu lim \\X
N
— X
M
\\ = 0.

m,n—>oo
Định. nghĩa lrĩ, (Không gian Bcuicuil) Kliorig еДа.11 định điuấ.ii X được gọi. là
không gia.il Ba.ua.di, uếu UIỰL dãy cơ bàu trong' X đều hội tụ,
Vĩ dụ lr$r Xét không gian fc-đùều R
K
R
với.IIIỖL X € R
K
, X = (XI,X
2
,X
K
)
trong đó XI e R, I = 1,2,K. Dặt ||ж|| = ^\
X
I\
2
' Khi đó R
K
là không gian. BaiiađL
Thật vậy, dể dàng; kiểni tra được Là không gian định. điuẩiL Lấy {ж
п
} Là một dãy uơ
bàu R*\ Та Ш lim \\X
N
— X
M
\\ = 0, nghĩa Là;
m,n—>00
(Ve > 0) {3M <E N*) (Vm, N > M) :

Suy ra. (với môi j € N t;c> đuih), (Ve > 0) (3MJ e N*) (Vm, N > MJ) :
\\
x
n,j ~ •^m,j II < £•
Vậy VỚLII1ỔL J € N cố định thi dãy {X
N
J} Là một dãy i;ơ bảii nêu iió tiậl tụ.
Kỷ hiệu XJ = lim X
N
J,J = 1, Ả; nghĩa Là:
71—>00 ’
(Ve > 0) (Vj = 1,2,Jfe) (3Mj- € N*) (Vn > MJ) : ||z
nij
- Zj|| <
£
y/n
Dặt X = (XJ) -
=
ĨP ta. í>ẽ điứng ĩiiinh. {a:
n
} hội. tụ đến a:.
Dặt M
0
= max {Mi Aí
2
,M ỵ } thì (Vn > M
0
) :
E
2

j = 1,2,k => |x
nj
- - £j|
2
< —
ĩl

k
|a:
nj
j — X j \ < £ = $ ■
3=1
Vậy {x
n
} hội tụ đếii XR
1.3, Không gian Hilberty không gian L(x, Y)
1.3.1, Không gian tLilbert
ĐìllLi Lighĩci 1,8, Cha X là mọt không gian tuyến tính, Ánh. xạ. -0 : I x I ^ M
thoa mãn các điều kiệu;
1) ìp { x , x ) > ữ,\/x e X]
2) ĩp (x, x) = 0 =}- X = 6]
‘ò) ý ( x , y ) = l Ị ) ( y, x ) , V x , y e X;
4) ' ệ ( a x 1 + /3z
2
,y) = a i p ( X ị , y ) + P ý ( x
2
,
y ); VíCi, x
2 ì
y eliVa^eR,

y/Ụ
\
j
đượi; gựi- Là một tíu-h. vô hướng trêu X , uàn ĩ p { x , y ) đượi; gựĩ- l-à
tídi vô hướng của. h.ai ph.an tử X , y và thường- được kỷ hiệu là ( x , y ) .
Nhậu xét 1,1, Giá isử X lầ một khỡug' giun tuyến tính trêu đó có xấc định một
tích vô hướug (.), Khi đó ấuh xụ II.II : X —^ R xáv địuh bởi ||:rỊỊ = y/(X, X) lầ một
vhuầii trêu X vầ X vùng với vhuấu đó lầ một không gĩau tuyến tính định chu ấli,
ChuẩR xấư định uhư trêu đượv gợi lầ chuấR cấm biuh bởi tích vô hưởugr Cho
liêu ấuh xạ d : X X X —> R. xắc định bởi;
d ( x , y ) = \ \ x - y II = y / { x - y, x - y )
ỉầ một hầm khoáng' cếich trên X vầ (X, d) là một không■ giun Metricr Khưảug
cắch d vừâ xác định đượv gại lầ khoắng vách cẩm mil1 bởi tích vô hướng.
Định. ughlcL l
r
ỉ), Cha kh.ôiig gia.il tuyến tính. X uùiig với tíđi vô hướug, (.), Nếu
cùng với khoáng cáđi D cẳni ĩàiih. bởi. tích, vô hướng; mà (X, D)
trở thành một không- gLcUl Metric; đủ thì lứcđó Xcùng' với tích vô hướng'
(.) được; gọi- 1-à. một không gian Hilbert.
Ví dụ 1 AR Xét X = R\ với
X = ( x
u
x
2
, . , x
k
) e R
k
, y = (</1,2/2, ,2/fc) e R
k

.
k ^
Dặt (X,Y) = J2
X
IVI- Cố thể thấy R
K
cùng VỚL tí^h. vô hướng đượt; xác; i=l
định. như trêu Là một không gian tỉilbert,
Định. nghĩa 1,10, Ta gạĩ. một tập H Ỷ Ỡ g.ồm những phần tử X, Y,
nào đấy là khâng gian Hilbert, nếu tập H thoa, mân CẤC điều kiện;
s
L) H Là không, gmu tuyến tính, trêu trường; P\
LL) H đượi; trang bị mọt tíđi vô hướng'
ui) H là không gia.il Bcmadi với. diuẩn ||x|| = \ J (X , X ), X e H
r
IU gọi- mại không; gian tuyến tính. C0I1 đóng cua. khàng gia.il tLilbert H
là không' gian hLLlbert can của không gi.au H
R
Ví dụ l
r
5r Ký hLệu R
K
là không gi.au vectơ thực; K chiều,
VỚLII1ỌL X =
(.XJ) e Y = ( y j ) € M
fc
ta. đặt;
Dê dàng; thấy hệ thức (|L4| thỏa mãn h.ệ tiên đề tích vô h.ướug,\ Chuẩn
sinh. ra- bởi tích vô hướng; (1,4)
||x|| = \J{x, x ) = . ^2

x
p
x =
i
x
j )
e
^
k
M 3=1
ị~
k
trùng' với điuẳii ỊỊa^ll = \ IXJ\
2
đã bLết trêu không' gia.il R
K
J
iiêii không'
V j=i
gian vectơ thực; R
K
cùng với. tích vô hướng' (1-41 là một không; gian tLiLbert,
lr’òr2r Không gian L(X,Y)
Uh.0 h.ai. không gian đuih diuẩu X và y, Ta kỷ hiệu L (X, Y) Là tập hợp tất cả các
toán tử tuyến tính, liêu tục từ X vào Y,
IU trang; bị c;h.o L (X, Y) hcũ. phép toán ì>ciu;
a) Tổng của. hai. toán tữ A, B e L (X, Y) là toán tử, kỷ hiệu. A + B
?
xiu; định
bằng; hệ thức;;

( A + B ) (X ) = A x + B x , \ / x E X .
(1.4
X
iV
i
x
>y) =
3=1
b) Tí dl ша. vô h.ướiig a e p [ p = R hx>ặo p = c) V Ớ L toán tử A
e L ( X , Y ) Là toán tử, kỷ hiệu a A , xếu; định. bằng; hệ th-úTc: ( a A )
(X ) = a ( A x ) , У х £ X .
Dể dàng kLểni tra А 4- в G L (X, y), a A e L (X, y) va ha-i. phép toán trêu thòa. niãii
hệ tiêu đề tuyếii tính Da vậy L (X, Y) cùng' với. hai phép toán trên Là Iiiột không
gicUl veutơ trên trường, P.
Với. toán tử bất k ỳ A e L (X , y) ta. đặt:
И1 = sup IIАжII . (1,5)
DS thấy công thức; (L5> thoa niãn hệ tiên đề điuẩiL Như vậy L { X , Y )
là một khỡiig gla.il đuih diuấu,
Sự hội. tụ trang; không gian định chuẩn L {X,Y) gựi là h.ộl tụ đều cua dãy toán tử bị
chặn,
Dãy toán tử (A
N
) с L (X, Y) gại Là. hội. tụ từng; đlểrn tớL toán tử A e L (X, Y) uếu
với. IIIỔL X € X, lim \\A
N
X — AX\\ = 0 trang; không gian Y,
n—¥ 00
Một dãy toán tử ( A
n
) с L (X, Y ) h-ậi tụ đều tới toán tữ Ả e L (X ,

Y ) thi dãy ( A
n
) h.ậi. tụ từng' đLểui tớL toán tử A trong không gian Y r
Đinh, lý 1,1, N ế u Y l ầ không gicui Bäüädi
7
thì L (X, Y) cũng lầ không' gian
Bcimich.
Uhtfug liiLulb Lấy ülôt dãy t;ơ báu bất kỷ ( A
n
) с L ( X , Y ) r Theo
định, lighia,
(Ve > 0) ( 3n
ữ
e N*) (Vn, m > n
0
) IIA
n
- Am II < e. (1,6) T ừ đ ó V Ớ L
n i ạ i X e X t a œ
IIA
n
x - A
m
x II = II(Л
п
- A
m
) x II < II A
n
- i4

m
||. \ \ x \ \ < £ ||
ж||. (1,7)
l í )
Xừ(|rg và ( Ị l T Ị ) s u y ra. dãy điểm ( A
n
x ) c Y Là dày c ơ b ả n trong' Y r Mà
theo giả thiết Y Là không gìa.11 Bcưiadi, I10I1 tồn tại giới hạn
lim A
n
x = y € Y.
n—>00
Dặt Y — AXR Nh-Ờ tính, diất ứia. ph-ép diuyếu qua giới hạn, ta. Iiliậri được toán
tử tuyến tính A từ khang- gian định, điuẩu X vào khôĩig gian
Ba.ua.di Y. Chx> qua. g,Lớĩ hạn M —> +00 trong; hệ thứt; (1,7) và kết h-Ợp
VỚL hẹ thức (1,6) ta được
I I A
n
x — A x II < £ ||:c|| , Vn > n
0
, Va : G X ,
hay
\\(A
n
— A ) xỊỊ < £ ||xỊỊ, Vn > 1ĨQ, Va? € X .
D o đố
\\Ả
n
- A\\ < e,Vn > n
0

.
Từ đó suy ra A = A
n i
— ( A
n i
— Á ) e L (X , Y ) với.
711 > 77,0 và
IIA„ — A \ \ — > 0 khi n —»• 00.
Vì vậy dãy toán tử ( A
n
) c L ( X , Y ) hội. tụ tới toán tử A trang; không;
gia.11 L (X, Y)r Vậy L (X, Y) Là không; gia.il Ba.ua.dL □
Bây giờ ta già sử I = y, nghĩa. Là ta X.ÉT không gLd.il L (X,X) các toán tử tuyếu
tính. LLên tụt; trong XR K.h.1 ấy ta cố thể định nghĩa, phép uhâii hai toán tữ như í>au;
Tíđi t;ua. hai. toán tử A , B trong X là toán tử A B tiwg
X ^h.0 { A B ) X = A ( B x ), Va: <E X.
1
Dê thấy A B сшш, Là toán tử tuyếu tíulb Mặt
khác;, ta œ
\ \ ( A B ) x \ \ = \ \ A ( B x ) \ \ < \ \ A \ \ . \ \ B x \ \ < \ \ A \ \ . \ \ B\ \ и,
suy га A B cũng bị điặu [tức; Là liêu tục) và
\ \ A B \ \ < \ \ A \ \ . \ \ B \ \ .
Như vậy trang không gian L (X, X) có XẤC địĩih phép uộug và phép uhâu hcũ
ph.au tử. L>§ klein tra. Lại. rằng, ph-ép ũộug và phép nhâiL này thỏa, Iiiãn các;
tiên đề cua. mật vành., Da vậy ta cố L (X, X) Là:
L) Một vành;
Li.) Một không gian địiih ciiuẩii;
LLi) Thòa. niãu điều kiệu II AB II < Il A II . \ \ B II ;
Lv) C6 ph.ầu tử đơn vị Là toán tử đầiig nhất I với. \ \ I \ \ = L
Người, ta Iiói. L(X,X) Là mật vành, định điuầii, Trong vành. L(X, X)

?
đương iihiêii ró thể nối đến uác; Lũ-У thừa cửa Iiiột toán tử
A ° = I , A
n
= Ả
n
~
x
A ( n = 1,2, ).
1.4, Một í>6 không gian hàm
LARLR Không gian R
n
LARLRLR R
N
là không gian vectơ,
Г"
L4,L2, M
n
Là không gian metric VỚL niêtrĩu D{X,Y) = A I
X
J ~ УЗ)
2
■
V j
= i
Thật vậy, với hai. vectơ bất KỲ X, Y € м
п
,ж = (XI,X
2
, ,X

N
); У =
(У1,У2,—,УП)
ta. đăt;
Dê dàng
klein tra
hệ thức
(LSI
ttma. mail
các tiêu
đề L) và
2) về
metric;.
Dể kiểin
tra hệ
thức (|
L8|) thỏa
Iiiãu tiêu
đề ‘Ò) về
metric,
trước hết
ta, chứng'
niLuh bất
đẳng
thức;
Ccbudiy
-
BuuhLa
(L8
d ( x , y )

\
n
^ 2 { X j -
Уз )
2
-
copski;
VỚL 2n
$0 thực;
d j , b j
(J =
1 , 2 , n )
ta. œ :
Ệ
«
A
s
*
Ẻ
4,
Ệ
*ỉ
j
=
1
\
j
=
1
\

3
=
1
(1.
Thật vậy,
1 <
(
ữi
&
j
“
a
i
b
i
ì
2
i=
1
Lj
=1
= Ê Ê ^ -
2 Ẻ Ê ^ A
+ Ê Ê ^
i=l j=l
i= 1 j
= li=l
j = l
Từ đố
i>uy ra

bất đẳng,
thức;
(L^>
r
Với ba
vectơ bất
kỳ, X, Y,
z € M
n
,Æ
= (ж
ь
a?
2, ж „ )
, у = (yi,
Ỉ/2, •••,
Уп), 2
(•^l) ^2J
•••) ^п)
< d
2
(
ж
,
z
)
+

2
D

(X,
Z
)
.
D

(
z
,
Y
)
+

d
2
(
z
,
Y
)
=
[ d
( x
,
z )
+
d
( z
,

y )
]
2
l ' S
d ( x , y )
<
d ( x , z )
+
d ( z , y )
Do đố hệ
thức (|L^
th.6a mau
tiêu đề 3)
về
mêtric;.
Vì vậy h-
ệ thức
(L9)
XẤJC
định, một
Iiiêtrĩc
trên
không
gian M
n
r
Không;
gian
mêtric;
M

n

thường
gọi là
không
gian
EudicL
Mêtric
(Lí^)
gụi- là
mêtric
Eu.di.c
L
LA,L,‘Ở
R M
n
Là
không
gian
Iiiêtdc
đầy,
1AẢA,
M
n
là
không
gian định
điu-ẩii,
VỞL các;
chu-ấii;

1,4.1.
5, R
n

Là
khôn
g;
gian
đinh
chuẩ
n đu
(khô
ng
n
ll =
Ễ
i = l
n
Ẻ * ỉ
i =1
\
X i I , | | z | |
2
=
\
1 Imloo = M-