Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (592.05 KB, 69 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Đào Thị Kiều Vân
Sự GIÃN NỞ NHANH CỦA vũ TRỤ THỜI KÌ ĐAU TRONG LÝ THUYẾT
TƯƠNG Đối TỎNG QUÁT MỞ
RỘNG f(R)
CHUYÊN NGÀNH:

Vật lý lý thuyết và vật lý toán MÃ SỐ:

60
44 01 03 NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

TS. Đỗ Thị Hương
LUẬN VĂN THẠC Sĩ KHOA HỌC VẬT CHAT
Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn
của TS. Đỗ Thị Hương.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Hương, người đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lí toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
này.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị T á c
g i ả
Đào Thị Kiều Vân
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS.
Đỗ Thị Hương.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các thông tin trích dẫn và tài liệu tham
khảo đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014 T á c
g i ả
Đào Thị Kiều Vân
Mục lục
4
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết tương đối tổng quát mô tả mối liên hệ tính chất hình học của không gian
và vật chất. Mối liên hệ này được thể hiện thông qua phương trình Einstein. Robertson
và Walker đã áp dụng phương trình Einstein và tìm ra được lời giải của metric mô tả
tính chất hình học của không gian là đồng nhất và đẳng hướng, giãn nở đồng đều. Dựa
trên metric Robertson Walker, Friedmann đã tính toán tensor độ cong của không gian
và tìm ra được lời giải mô tả sự tiến hóa của Vũ trụ. Mô hình vũ trụ dựa trên các điều
kiện của không thời gian như trên được gọi là mô hình Vũ trụ chuẩn. Các tiên đoán
của mô hình là hoàn toàn phù hợp với các thời kỳ mà mật độ vật chất và mật độ bức
xạ chiếm ưu thế. Tuy nhiên, mô hình Vũ trụ chuẩn còn gặp phải các vấn đề khó khăn
khi giải quyết các vấn đề:
- Vũ trụ phẳng.
- Vấn đề đường chân trời.
- Vấn đề đơn cực từ.
Để giải quyết được vấn đề này, chúng ta phải giả thiết là Vũ trụ giãn nở nhanh ở thời
kỳ đầu, trước thời kỳ bức xạ. Người ta gọi thời kì này là thời kì lạm phát của Vũ trụ.
Dựa trên kịch bản lạm phát của Vũ trụ, chúng ta không chỉ giải quyết được các khó
khăn trên mà chúng ta còn có thể tiên đoán được các hiện tượng mới như bức xạ nền
của Vũ trụ đã được quan sát bằng thực nghiệm hiện nay. Chính vì lý do trên, chúng ta

cần phải mở rộng mô hình Vũ trụ học chuẩn. Chúng tôi sẽ tiếp cận cách mở rộng mô
5
hình dựa trên cách mở rộng Lagrangian của trường hấp dẫn. Tức là phương trình
Einstien sẽ thay đổi. Lý thuyết này gọi là lý thuyết f(R)
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm lời giải của Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm mũ của thời gian dựa trên lý
thuyết hấp dẫn F(R).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu

lý thuyết tương đối rộng của Einstein.
- Tìm hiểu

hình thức luận F(R).
- Giải quyết bài toán lạm phát trên lý thuyết F(R).
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tính chất hình học của không thời gian và hấp dẫn ảnh hưởng đến sư tiến hóa của
Vũ tru.
5. Phương pháp nghiên cứu
Hình thức luận metric của lý thuyết tương đối tổng quát.
6. Giả thuyết khoa học
Trong lý thuyết tương đối rộng, Lagrangian mô tả hấp dẫn là hàm bậc nhất của độ
cong vô hướng. Dựa trên nguyên lý tác dụng tối thiểu, chúng ta thu được phương trình
Einstein. Tuy nhiên, trong luận văn này, chúng tôi dựa trên giả thiết Lagrangian mô tả
hấp dẫn là hàm bất kỳ của độ cong vô hướng và từ đó chúng tôi sẽ nghiên cứu dạng
tổng quát của phương trình trường hấp dẫn. Chúng tôi sẽ nghiên cứu động học của
thời kỳ lạm phát trong Vũ trụ dựa trên giả thiết này.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương nội dung:
•Trong chương 1, tôi sẽ trình

bày về hình

thức luận

của lý thuyết GR. Dựa trên lý
thuyết GR, tôi sẽ tìm kiếm metric thỏa mãn điều kiện vũ trụ là đồng nhất, đẳng
hướng và đang giãn nở. Các lời giải về sự giãn nở của Vũ trụ trong mô hình Vũ
trụ chuẩn học sẽ được trình bày.
•Trong chương 2, tôi sẽ nghiên cứu phương trình hấp dẫn dựa trên hình thức luận
metric. Tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện biên để rút ra phương trình trường hấp
dẫn trong lý thuyết F(R

) tổng quát. Dựa trên Lagrangian L

= R

+ Ai?
2
, tôi chứng
minh lời giải của vũ trụ biến đổi thỏa mãn điều kiện giãn nở và tăng tốc.
•Chương cuối cùng là các kết luận

của luận văn.
Chương 1
/ / ọ
Lý thuyêt tương đôi tông quát và mô
hình vũ trụ chuẩn
1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát
1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Riemann và metric
a. Sự khác nhau giữa thuyết tương dối rộng và thuyết tương đối hẹp

7
Theo lý thuyết tương đối hẹp, tất cả các hiện tượng vật lí đều diễn ra như nhau
trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Hay, các phương trình mô tả các hiện tượng vật lí
đều bất biến dưới phép biến đổi Lorentz. Lý thuyết tương đối rộng cho rằng, mọi hiện
tượng là diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Tức là, các phương trình mô tả các
quá trình Vật lí là bất biến dưới phép biến đổi tổng quát.
Lý thuyết tương đối hẹp đưa ra các phương trình về chuyển động
của các vật thể chuyển động khác nhau trên CƠ SỞ

hằng số là tốc
độ ánh sáng, đó là một bất biến trong các hệ quy chiếu chuyển
động thẳng đều
tương đối với nhau. Hệ quả của điều này là vật lí không thể tách rời không gian và
thời gian khỏi nhau mà phải xét chúng như một hệ không
- thời gian bốn chiều, phụ thuộc vào chuyển động của người quan sát. Lý thuyết tương
đối rộng bổ sung thêm là không thời gian cục bộ có thể bị bẻ cong do khối lượng của
vật chất trong đó. Do đó, đường thẳng trong không - thời gian có thể được chúng ta
cảm nhận là đường cong trong không gian mà chúng ta trải nghiệm.
b. Mắỉ liên hệ giữa hình học Riemann và thuyết tương dối rộng
Như ta đã biết, trường hấp dẫn trên thực tế là không đồng đều, càng gần các ngôi
sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh. Do đó không gian mô tả trường
hấp dẫn là không gian cong. Tuy nhiên, trong không gian cong mô tả hấp dẫn luôn
phải thỏa mãn tính chất: Khi vùng không gian khảo sát rất gần nhau thì không gian lại
được coi là không gian phẳng. Hình học mô tả tốt tính chất không gian cong của
trường hấp dẫn là hình học Riemann. Chính vì vậy, lý thuyết tương đối rộng của
Einstein chủ yếu sử dụng hình học Riemann để mô tả không gian. Tính chất của
không thời

gian hấp dẫn thể

hiện qua metric G

A
J
1/
.
c. Hình học Riemann
Trong phần này, tôi xin trình bày một vài sự khác biệt về tensor trong không gian
phẳng và không gian cong.
Trong không gian phẳng, đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm
của tensor hạng nhất là tensor hạng hai. Tổng quát: tensor hạng N

+ 1

sẽ được xây
dựng từ tensor hạng N.
9
Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này không đúng. Cụ thể khi giải tích vector,
ta đã chứng minh được đạo hàm thông thường theo thời gian bốn chiều của vector bốn
chiều biến thiên theo quy luật:
(1.1)
So sánh với quy luật biến đổi của tensor hạng hai:
, dx
a
dxp
thì ta thấy đạo hàm của một vector không biến đổi như một tensor hạng hai.
Để tìm hiểu điều này chúng ta xét hai vector A^(X)

và A^(X

+ DX)

= AỰ(X)

+
DAỰỊX)

lần lượt là các vector định xứ tại hai vị trí + DX

F I

.
Vì hai vector định xứ tại hai điểm khác nhau nên biến đổi của hai vector tại hai điểm
khác nhau sẽ khác nhau. Nghĩa là DAN(X

) không phải là vector. Tuy nhiên DA

F JI

(X)
có thể viết dưới dạng:
(1.2)
Vì DX

M
là vector và DA

M
cũng phải là vector nên yv không phải là tensor. Như vậy,
đại lượng đặc trưng cho sự khác nhau của một vector định xứ tại hai điểm khác nhau

không phải là tensor hạng hai.
Chính vì vậy, trong không gian cong, người ta mong muốn tìm một đại lượng đặc
trưng cho sự thay đổi của một vector tại hai điểm mà biến đổi như một tensor.
Như ta đã biết, khi tính đạo hàm của một vector thì ta phải quy về cùng một tọa độ
không gian. Tuy nhiên, trong không gian phẳng, khi chúng ta dịch chuyển song song
một vector về cùng một điểm thì vector không
1
bị thay đổi, nhưng trong không gian cong, khi chúng ta dịch chuyển song song
một vector từ điểm này sang điểm kia thì vector sau khi dịch chuyển sẽ bị thay
đổi. Đây chính là lí do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song.
Có rất nhiều cách tiếp cận để đưa ra dịch chuyển song song, trong luận văn này,
tôi không đi sâu vào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhận kết quả và từ đó tìm
hiểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn. Cụ thể, khi dịch chuyển song song vector
dọc theo đường cong thì vector trước khi dịch chuyển và vector sau khi dịch
chuyển khác biệt nhau một đại lượng:
Với:
dx
v
d
2
y
a
dy
a
dx^dxß
Đại lượng Y

V

SS

gọi là hệ thống liên kết không gian giữa hai điểm của không
gian. Được gọi là liên thông Affine (hay chỉ số Christoffel) và nó phụ thuộc vào
tính chất của không gian cong. Do đó, để lấy đạo hàm của

trường vector, ta

phải
dịch chuyển

song song A

S S

(X)

từ

X
đến

X
+

dx
trước khi thực hiện phép trừ. Khi
đó ta thu được:
Aß(x

+ dx)

- A

ß

{x)

- SA^x)

=
A

ß

(x

+ dx)

- A

ß

{x)

_
V
a
A

dxß
x—t
0
dx
v
2J—>0
dx
v
^
a
dx
v
dA

ß
-
D X

:

1

;SS

A
«
Đây chính là đạo hàm, hiệp biến.
Chúng ta dịch chuyển vector từ vị trí
X

đến vị trí
X
+

dx

có thể theo nhiều con
đường khác nhau và kết quả đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng khác nhau là
hoàn toàn khác nhau.
- A

N

a_i.a_.fl í
1
-
4
)
1
Cụ thể, chúng ta khảo sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng
khác nhau. Xét hệ thức giao hoán của đạo hàm hiệp biến [DỤ,-, D

V

]:
[Dịi, D
v
\Ap — Ap.ự.

v
— Ảp.
ĩl/]ịX
Tính Ap.p.y.
Aịì\n\v
—
— r ạ
v
A
ơ
.^ — Tự
U
Aậ.
ơ
= (Aổ,ai - Tp^A
a
), V - T
ơ
p
v
(A
ơtlt
- r^)A
a
-KẲAạ* - r?,4,)
— \Ạp,n,v ~ ^
ơ
p
v
Aa

ĩV
— T
t
ạ
v
A
ơjtl
— — rp
ơ
A
a
)]
-r^A, + r^A, (1.5)
Ta thấy, số hạng trong móc vuông củabiểu thức trên là đối xứng theo
/i, V,

do đó dễ dàng chứng minh được:
As;/ì;i/
—
A
8 \ v , ị i =
—r
p n ^ A a
+
r ^ r ^ A a
—
( — V ^ ^ A a
+
V ạ ^ T ^ A a )
= (-a, + - Y^Y

a
ơv
)Aa) (1.6)
= (1-7)
Với:
R%v = -
r
^
+ r
/^
r
^
+ r
/W
-r
^
r
a,
:
Gọi
là
tensor độ cong Riemann.
*Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:
• Tính phản xứng
Dơ ___ __ TỊƠ
—
\ỊJÌV
• Tính chất hoán vị vòng
^L/i + R

Ơ

ỊI\V

+ RLIIẰ

=

0

(1

-8

)
• Tính chất đối xứng và phản đối xứng của RPXVỤ,
r> ơ ___ pơ D
1
-
rt
A Vịi ~ y t^pXvụ,
Rp\vụ,
=
g
pơ
RL» (1-9)
— Tính chất đối xứng:
RpXvụ, RỊXVỌX

— Tính chất phản đối xứng:
ỉ^p\vỊJ, ỉ^pẰỊXv] ỉ^pXvỊX Ĩ^XpVỊX
(1 • 1 1)
Hình thức luận metric trong lý thuyết tương đối tổng quát.
Xét khoảng không gian vô cùng nhỏ thì không gian được coi gần như phẳng
(Không gian thuần chủng Riemann), khi đó tensor metric không thay đổi nên đạo hàm
hiệp biến của nó bằng không. Do đó ta có:
Trạng thái và tương lai của vũ trụ phụ thuộc hoàn toàn vào Q

ịxi/
5
và có thể được tính
qua các chỉ số liên kết không thời gian và ngược lại, đồng thời tensor metric thỏa mãn
điều kiện QỊII/'

0

T

= 0. Hình học thỏa
1
mãn điều kiện này được gọi là hình học Riemann.
Như vậy, tensor metric quyết định tính chất hình học của không thời gian. Tuy
nhiên, yếu tố nào gây nên sự cong của không gian? Điều này sẽ được trình bày
trong phần tiếp theo.
1.1.2 Phương trình Einstein
Xét tác động:
ỖS = Ị éx[ỗ{ự^)R + ự=gỗR] + ỖS
M
Với:

• Tính ỖG:

Ta
có:
—-—ố(det g^) = g^ỗg^ det g
ụv
Mà det = G

nên:
-Sg = g^ỏg^
9
ỗg = gg^Sg^ = -gg^ỗg^
= ~^\F
I
gg
ií
vỏg
ilv
• Tính ỎR:
5R = S^R^)
= ỗg^R,, + g^SR^
(1.13)
(1.14)
(1.15)
1
• Tính ỎR

S S V

:

SR
M
= ỖRl„
a
= 5(д„т:„ - ỡ„ry (1.16)
= a„(íry - a„(íry
Mặt khác, từ định nghĩa:
= \э
Ха
{д^ + d
v
g
aß
- d
a
g
ßV
)
lấy biến phân hai vế:
<jr*„ = ^g
Xa
(d
ß
g
a
„ + d
v
g
afl
- d

a
g
ßV
) + ịg
Xa
5{d
ß
g
av
+ d
v
g
afl
- d
a
g
ßV
) =29
Xa
{9
ß
5g
av
+ d
v
ỗg
aỊi
- daỏg
ßV
) - 8g

aX
Y
aßv
(1.17)
Vì ốr là sự khác nhau giữa hai trường liên kết nên biếnđổi giống như
một tensor. Do đó, chúng có thể viết dưới dạng đạo hàm hiệp biến:
= 29
Xa
(õg
a
w,n + ^ỔW - ög
ß
u;a) (1-18)
Khi đó:
ỒRpv iß9av\a “Ь ^9aơ\ụ. 9ơụ.\ot)\
-d
ơ
[ịg
ơa
{ỏg
ơfll
u + Sg
ƠVỈIi
- ỗg
Vịl
.
ơ
)] (1.19)
Ta có:
ỖS

H
= [ ềxl-ịự^g^Sg^R + ự^ỊịSg^R^]
+ Ị ềxự^gTSR,,, (1.20)
=> ỎS
H
= Ị d
ị
x[-^ự^gg^
v
5g
ịlv
R + y/-gỗg
/iV
Rf
lv
ị
+ J d
4
xự^gg^[d
v
[^g
ơa
(ỗg
av
.
ơ
+ ỗg
aơ
.„
1

^9ơfj ,a)] {.&9ơịi-,v ~\~ ồQơv-,ụ, ^Ỡ^MỈO-)]]
= í cPxị-ịự^g^Sg^R + ự^Sg^R^ + I ( 1.21)
Tích phân I =

0 do tích phân của một đạo hàm hiệp biến lấytrên toàn
bộ không gian là bằng không.
ỖS
H
= J d
i
xự=gSg
llv
(-'ịg
liV
R +R^) ( 1.22)
Nếu không kể đến tương tác hấp dẫn thì SM =

0

, khi đó:
ss = ỖS
H
(1.23)
Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu thì:
ỖS =
0
ỖS
H

=

0
2 9ịivR Rụ,v 0 ^ ~
Rựv
=
0 ( 1 - 2 4 )
Đây là phương trình Einstein trong chân không.
Nếu kể đến trường hấp dẫn thì:
SSm = Ị d
ẩ
xô(ự^gL
M
)
= I + ự^
ĩ
ặ^5(ff‘
s
r)]
= Ị + ^jỆ^-f{sr)\
=
Ị
éx
ậWỆL
ỉíl + ír(
^-
g
_ỆM_
]sr ( 1 2 5 )
1
Đặt:
m ^

____
r
*(v

9^M)

________ rq/^ív^

D^M^Ỵ

I
là tensor năng xung lượng trường hấp dẫn thì:
5S
M
= SiĩG Ị d
l
xự^jT
v
Jrf'' (1.27)
5S = Ị ^xV^Sg^ị-ịg^R + R„„ + ÌnGT^} (1.28)
Với ỖS

= 0 ta được:
~lị9ụ.vR + Rịiv + 87ĩGTựv = 0
=> - R»V = 87TGT^
(1-29)
Đây chính là phương trình Einstein cho trường hấp dẫn. Phương trình này mô tả mối
tương quan giữa hình học và vật chất, vế trái của phương trình là sự mô tả hình học và
vế phải của phương trình là mô tả vật chất (Vật chất quyết định độ cong của không

gian hay độ cong của không gian mô tả vật chất).
1.2 Mô hình vũ trụ chuẩn
1.2.1 Các giả thuyết khoa học về không thời gian mô tả vũ trụ và
metric Robertson Walker
Để mô tả thế giới thực, ta đưa ra các tiên đề: Vũ trụ là đồng nhất, đẳng hướng và
giãn nở ra theo thời gian. Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cách nhỏ, ta coi vũ trụ ở
khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độ khối lượng không đổi ở mọi nơi.
Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, ta có khoảng không thời gian giữa hai thiên hà bất
kì luôn không đổi và sự nở của vũ trụ kết quả là sự thay đổi của metric không thời
gian.
1
Với tọa độ thời gian X

Ũ

,

ta sử dụng thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn với thiên hà,
với giả thiết rằng các đồng hồ này chạy như nhau và đồng bộ.
Metric không thời gian có dạng:
ds
2
= dt
2
+ g
i
jdx
i
dx
i

Với:
dl
2
=(
3
) gijdx^xi và gij = —ỹỉị.
Để xác định hình học của không gian, trước hết ta xác định hình học của không gian
ba chiều đồng nhất và đẳng hướng. Tại điểm cho trước, ta đưa vào tọa độ trắc địa, khi
đó metric trở thành:
(3) ' ,
= S
k
Jmk m
Từ điều kiện đẳng hướng thì tensor cong phải không thay đổi theo phép quay của tọa
độ trắc địa. Do chỉ có tensor đơn vị không thay đổi đối
với phép quay nên tensor cong phải là hàm của tổ hợp các tensor đơn vị:
WR
mn
,
k
= KS’
m
S
k
n
+ Kiỏ^ỏn +
K
2
6”
m

6ị S ử d ụ n g đ i ề u k i ệ n p h ả n đ ố i x ứ n g :
^ Rmnsk ^ ^ Rmnks
=> Kị = —K và K
2
= 0
^
(3)
Rn,n,k = K(ô’
m
ô
k
n
- ổ* ổ') (1.30)
Chuyển (1.30) sang tọa độ thường, ta có:
= Ar(
(3,
s2s„
t
-<
3
> £><&,,) (1.31)
Đồng nhất (1.30) và (1.31) ta suy ra được K là hằng số.
1
Bây giờ ta trở lại bài toán không gian đối xứng cầu, từ lời giải Schwarzschild,
metric được viết dưới dạng:
dl
2
= gijdx
l
dx

j
= e
L{r)
dr
2
+ r
2
dỡ
2
+ r
2
sin
2
6d<p
2
(1.32)
Và các tensor Ricci đã tính được:
MRn = -a.Lir)
(3)
iỈ22 = e-
i(r
>(^ỡ
1
L(r) - 1) + 1 (1.33)
m
R
3 3
= [e^tynr) - 1) + 1 ]sin
2
0

Vì Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng nên ta có R

M N

tỉ lệ với metric ^9MN■

Dễ
dàng chứng minh được:
^R
m
„ = 2K^g
mn
(1.34)
1
Thay (
3

).Rii, ^#11

vào (1.34) ta được:
Ịỡi L{r) = 2 Ke
L{r)
= 2 kre
L{r)
dr
e~
L
^ dL(r) = 2 krdr -er
L
^ = kr

2
+ c
—L(r) = ln(—kr
2
— C)
L(r) = —ln(—kr
2
— c)
Thay (
3

)-R22

, ^922

vào (1.34) và kết hợp (1.35) ta được:
e
-
i(r)
(-a!L(r) - 1) + 1 = -2KR

2
Kr
2
+ Kr
2
+ C + 1 = 2ifr
2
ơ = -1
Thay (1.36) vào (1.35) ta được:

L(r) = —ỉn{ 1 — Kr
2
)
Khi đó, metric trong bề mặt ba chiều là:
dơ
2
= —— + r
2
dớ
2
+ r
2
sin
2
ỡd(p
2
1
- Kr
2
Như vậy:
DS

2

= dí
2

— a(í)(———- + R

2

D6

2

+ R

2

SIN

2

ỠDIP

2
) 1-ivr
Dây chính là metric Robertson Walker.
dL{
(1.3
(1.3
(1.3
2
1.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ
Trường hợp hằng số vũ trụ rất nhỏ hoặc bằng không
Xét siêu bề mặt 4 chiều:
1
+ а
(X,)

1
+ {X

2

F

+ Ы
2

+ M
2

= a
2
Trong đó A

là bán kính hình cầu. Khoảng cách giữa hai điểm liền kề trên bề mặt
là:
dl
2
= (dxi)
2
+ (dx
2
)
2
+ (dx з )
2
+ {dxị)

2
với:
(x
4
)
2
= a
2
- (
Xl
)
2
- (x
2
)
2
- Ы
2
, ,
ч2

(xidxi + x
2
dx2 + x
3
dx
3
)
2
=> (

dXị) =
a
2
- (rri)
2
- (x
2
)
2
- (z
3
)
2
(;
X\dXi
+
x
2
dx
2
+ a
2
- (xi)
2
-
(x
2
)
2
- (x

3
)
2
Ta đã biết:
r
2
= (
Xl
)
2
+ Ы
2
+ (x
3
)
2
2
rdr = 2{x\dxi + x
2
dx
2
+ Xsdxs) rdr = xidxi + x
2
dx
2
+
x
3
dx
3

r
2
d
2
r = + x
2
dx
2
+ x
s
dxs)
2
(1.39)
Thay vào metric trên ta có:
r
2
d
2
r
DL
2
= (DXI)
2
+ (сЬ
2
)
2
+ (с^з)
2
+ (1-40)

or —
r
2
Sử dụng hệ tọa độ cầu, khi đó:
V.2
dl
2
= d
2
r + r
2
d
2
9 + r
2
sin
2
ỡd
2
(f +
a
2
— r
2
•Độ cong dương ứng với K >

0.
Tìm sự phụ thuộc của bán kính cong vào thời gian:
Đặt R =

asinx, với 0 < X < 7T.
1
đP = ( d
X l
f + ( d x
2
)
2
+ (&,)» + (1.38)
r'd
2
r
Do đó, khoảng bất biến giữa hai sự kiện bây giờ là:
(1.4
Lúc này A

đóng vai trò như là thừa số kích thước chung đặc trưng cho khoảng
cách của hình học ba chiều.
Khi đó:
DS

2

= DT

2

— A

2

(T)(DX

2

+ sin
2

ỴDD

2

+ sin
2

xsin
2

QDIP

2

)

(1-43)
Lời giải của phương trình Einstein có dạng đơn giản nhất khi ta
đặt:
dt = adr1
ds
2

= a
2
(r))dĩ]
2
— a
2
(ĩ])(dỵ
2
+ sin
2
ỵd9
2
+ sin
2
X sin
2
Odtp
2
) = a
2
(rj)
(dr)
2
— dỵ
2
— sin
2
ỵdO
2
— sin

2
xsin
2
Qdtp
2
)
9ịj,v = diag(a
2
, — a
2
, — a
2
sin
2
X, — ữ
2
sin
2
X sin
2
9)
0

5 0

5 o •91 5 0*9 '91 /\)

\ /
a
2

a
2
a
2
sin
X a
2
sin
X
sin 9
Từ đây ta dễ dàng tính được các chỉ số Christoffel:
(1.45)
=
Trong đó ả = Và ta tính được:
3
R
00
= -^{aà - à )
cr
RKN =

-7(2

A

2

+ À

2

+ A'À)G

K N

(1.46)
a
4
Suy ra độ cong vô hướng:
= ^(
fl
+
ä
) С
1
-
47
)
a
3
Phương trình Einstein với hằng số vũ trụ л = 0 hoặc rất nhỏ có dạng:
к - \K
R
= -SitGTÍỈ
ỊA Q ỊA V
=> R

Ữ

Ữ

- -R

=

-8

ttGT
0

0

(1.48)
z
với:
#íỉ = g
ữữ
R00 = -^(«â - à
2
)
CL
=> ~ỊÌ
a
à — à
2
) — j(ữ + à) = —8ĨĨGTQ
ữ Zi (X
— —Ị{a
2
+ ã

2
) = —8TTGTQ
CL
—Ị(CI

2

+ ã
2
) = 8ĨĨGTQ

(1.49)
(JL
Ta biết rằng, vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng nên:
Т» = diag{p, -P, -P, -p) => T
0
° = p
Mặt khác, thể tích của vũ trụ thay đổi theo thời gian như А

3

nên mật độ sẽ biến đổi:
M

„ M
27r
2
a
3
27r

2
a
3
drj
Q
Do đó:
3,2
2n
4 GM —Ị{O? + ả )
=
a
4
7ra
3
3, 2 , A G M
-(a + ã ) =
A

7T
2 4ƠM
2
à = ——a — a
7T
Đặt A = phương trình trên trở thành:
ả
2
= Aa — a
2
à = \ Ị A a — a
2