tich phan có dâpn

Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1) Tính các tích phân sau
a.
3
2 3 sinx-cosx
dx
I
π
π
=
+
∫
 
+
 ÷
 
= = −
 
+
 ÷
 
∫
2
3
2 6
1 3
8 4
cos
2 6
x

d
x
π
π
π
π

b.
( )
1
2
0
ln 1I x x x dx= + +
∫
Đặt
2
2
2
2 1
ln( 1)
1
/ 2
x
du dx
u x x
x x
dv xdx
v x
+


=

= + +

⇒
+ +
 
=


=


1
1
2 3 2
2
2
0
0
1 2
ln( 1)
2 2 1
x x x
I x x dx
x x
+
= + + −
+ +
∫

1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 3
ln3 (2 1)
2 2 4 1 4 1
x dx
x dx dx
x x x x
+
= − − + −
+ + + +
∫ ∫ ∫

( )
11
1
0
2
1
0
2
I
4
3
3ln
4
3

I
4
3
)1xxln(
4
1
xx
2
1
3ln
2
1
−=−+++−−=
* Tính I
1
:
∫








+







+
=
1
0
2
2
1
2
3
2
1
x
dx
I
. Đặt






ππ
−∈=+
2
,
2
t,ttan
2

3
2
1
x
Suy ra
9
3
t
3
32
ttan1
dt)ttan1(
3
32
I
3/
6/
3/
6/
2
2
1
π
==
+
+
=
∫
π
π

π
π
. Vậy
12
3
3ln
4
3
I
π
−=
c.
7
3
0
2 1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
Đặt
3
1u x= +
⇒ x = u
3
− 1; dx = 3u

2
du; u(0) = 1, u(7) = 2
⇒ I =
2
3
2
1
2( 1) 1
.3
u
u du
u
− −
∫
=
2
4
1
(6 9 )u u du−
∫
=
2
5 2
1
6 9 237
5 2 10
u u
 
− =
 ÷

 
d.
dx
xx
x
∫
+
4
0
2
2cos31cos
sin
π
Ta có
/4 /4
2 2
2 2
0 0
sin x tan x
. .
cos cos
6cos 2 4 2 tan
x d x d
I
x x
x x
π π
= =
− −
∫ ∫

Đặt
2
4 2 tant x= −
, ta có t
2
=
2
4 2 tan x−
, suy ra
2
2 4 tan
cos
dx
tdt x
x
= −

Suy ra
2
2
.dtt
I
t
=
∫
=
2
2
1 2 2

2 2
t
−
=
.
e.
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
Đặt
2
1 1x t x t+ = ⇔ = −
dx=2tdt; khi x=0=>t=1,x=3=>t=2 khi đó ta có

( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
5
4 2 3 2

1
1 1
2 1 1 1
4
2 2 2 3 2
5
t t
t
I tdt t t dt t
t
− + − −
 
= = − = −
 ÷
 
∫ ∫

128 4 124 54
16 2 14
5 5 5 5
= − − + = − =
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 1
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
f.
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x

I dx
x
π
−
=
+ +
∫

( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sin cos 2 2 cos sin 2

sin cos 2
cos sin
2 2
sin cos 2
sin cos 2
2ln sin cos 2 2
2

2 cos( ) 1
4
x x x x
I dx
x x
x x
dx
dx dx
x x
x x
dx
x x
x
π
π π π
π
π
+ + − − −
=
+ +
−
= − −
+ +
+ +
π
= − + + −
π
 
− +
 ÷

 
∫
∫ ∫ ∫
∫


( ) ( )
2
2
0
1
2 ln 1 2 ln 1 2
2 2
cos
2 8
dx
x
π
π
 
= − + − + −
 
π
 
−
 ÷
 
∫

2

0
tan 2 tan
2 2 8 2 8
x
 
= − − = −
 ÷
 
π
π π π π
g.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫

∫∫
+
+

=
e
1
2
e
1
xdxlnx3dx
xln1x
xln
I
+) TÝnh
1
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
. §Æt
2
1
1 ln 1 ln ; 2t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + =
§æi cËn:
1 1; 2x t x e t= ⇒ = = ⇒ =

( )
( )
( )
2
2
2 2
3
2
1
1 1
1
2 2 2
1
.2 2 1 2
3 3
t
t
I tdt t dt t
t
−
−
 
= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
+) TÝnh
2
2

1
ln
e
I x xdx=
∫
. §Æt
2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v

=

=


⇒
 
=


=



+
= − = − = − + =
∫
3 3 3 3 3 3
2
2 1 1
1
1 1 1 2 1
.ln .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
e
e e
x e x e e e
I x x dx

=+=
21
I3II
3
5 2 2 2
3
e− +
h.
2
1
1
2
1
1
x

x
I x e dx
x
+
 
= + −
 ÷
 
∫
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 2
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân

( )
2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
2 2 2
1 1
1 *
x x x
x x x
I x e dx e dx x e dx I I
x x
+ + +
   
= + − = + − = +
 ÷  ÷
   

∫ ∫ ∫
Tính I
1
theo phương pháp từng phần I
1
=
2
2
1 1
5
2
2
1
1
2
2
1 3
2
x x
x x
xe x e dx e I
x
+ +
 
− − = −
 ÷
 
∫
Thế vào (*) ta được
5

2
3
.
2
I e⇒ =
i.
2
1
2 2
4 4 2
x x
x x
I dx
−
−
−
=
+ −
∫
Đặt u = 2
x
+ 2
-x
, ta có 4
x
+ 4
-x
– 2 = (2
x
+ 2

-x
)
2
- 4
Suy ra
1 81
ln
4ln 2 25
I =
bằng phương pháp đổi biến số
j.
( )
2
3
0
sin 2
2 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
Đặt
2 cos cos 2 sin .t x x t x dx dt
= + ⇒ = − ⇒ = −
Khi
0 3; 2
2

x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
. Ta có
( )
3 3 3
2
3
3 2 3
0 2 2 2
3 3
2
2 2
sin .cos 2 1 1
2 2 2 2
2 cos
1 1 1 5 1
2
3 18 18
x x t
I dx dt dt dt
t t t
x
t t
π
 
−
= = = −
 
+

 
 
= − + = − =
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
k.
4
3
2
1 2 1
dx
I
x x
=
+ − +
∫
+I=
4
3
2
1 2 1
dx
x x+ − +
∫
Đặt
2 1t x= +
⇒
12

2
+= xt
⇒
tdt = dx
+§æi cËn : x=
2
3
⇒
t=2
x= 4

t=3
+Khi ®ã I=
∫
−+
−
3
2
2
1
2
1
t
t
tdt
=
∫
−
3
2

2
)1(
2
t
tdt
=
dt
t
t
∫
−
+−
3
2
2
)1(
11
=
∫∫
−
+
−
3
2
2
3
2
)1(
2
)1(

1
2
t
dt
dt
t
=
3 3
2 2
2
2ln 1
1
t
t
− −
−
=2ln2+1
+VËy I= 2ln2+1
l.
1
2
1
1 1
dx
x x
−
+ + +
∫
Đặt u = x+
2

1 x
+
thì u - x=
2
1 x
+

⇒
2 2 2
2 1x ux u x
− + = +
2
2
1 1 1
1
2 2
u
x dx du
u u
−
 
⇒ = ⇒ = +
 ÷
 
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
KkplkI = .
Trang 3
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Đổi cận x = - 1 thì u =
2

-1
x = 1 thì u =
2
+1

2 1 2 1 2 1
2
2
2 1 2 1 2 1
1 1
1
1 1
2
1 2 1 2 (1 )
du
du du
u
I
u u u u
+ + +
− − −
 
+
 ÷
 
⇒ = = +
+ + +
∫ ∫ ∫
=
2 1 2 1

2
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1
du
du
u u u u
+ +
− −
 
+ − +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
= 1
m.
3
3 5
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
Trước hết tìm nguyên hàm của
∫ ∫

==
xx
dx
xxx
dx
I
23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
Đặt tanx = t

( )
3
2
3
2 2 3
2
1
2
; sin 2 8
cos 1
2
1
t
dx t dt
dt x I dt
x t t
t
t

+
⇒ = = ⇒ = =
+
 
 ÷
+
 
∫ ∫
6 4 2
3
3 3 4 2
2
3 3 1
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
t t t
dt
t
t t t dt x x x C
t x
−
+ + +
=
 
= + + + = + + − +
 ÷
 
∫
∫

Vậy
3
3 5
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
3
4 2
2
4
1 3 1
tan tan 3ln tan
4 2 2tan
x x x
x
π
π
 
= + + −
 ÷
 
n.
8
15

1
dx
I
x x
−
−
=
−
∫
.
Đặt
2
2
2
1 1
1
dx tdt
t x t x
x t
= −

= − ⇒ = − ⇒

= −

Đổi cận :
15 4
8 3
x t
x t

= − ⇒ =


= − ⇒ =

Khi đó
3
2
4
2
(1 )
tdt
I
t t
−
= =
−
∫
4
2
3
2
(1 )
tdt
t t
=
−
∫
4
2

3
2
1
dt
t
=
−
∫
4
3
1 1
1 1
dt
t t
 
−
 ÷
+ −
 
∫
4
3
1 5
ln ln
1 6
t
t
 
+
= =

 
−
 
o.
1
3 1
0
x
I e dx
+
=
∫
Đặt
3 1x t+ =
; t
0≥
2
2
3 1 .
3
x t dx t dt→ + = → =
;
0 1
1 2
x t
x t
= → =


= → =


Vậy
2
1
2
3
t
I te dt=
∫
Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
= → =
= → =
.
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 4
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Khi đó ta có
2
2
1
2 2
3 3
t t
I te e dt e
 
= − =
 ÷

 
∫
p.
2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x
−
=
+
∫

2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x
−
=
+
∫

=
2
2
1
1
1
x
1
x
d
x
x
−
+
∫
=
2
1
1
1
d x
x
x
x
 
+
 ÷
 
−
+

∫
=
2
1
1
ln( )x
x
− +
= …. =
4
ln
5
( Hoặc
2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x
−
=
+
∫
=
2
2
1

1 2x
x
1
d
x x
 
−
 ÷
+
 
∫
=……)
q.
2
2
0
cos cos2I x xdx=
∫
π

( ) ( )
2 2
0 0
1 1
1 cos2 cos 2 1 2cos2 cos 4
2 4
I x xdx x x dx= + = + +
∫ ∫
π π

/2
0
1 1
sin 2 sin 4
4 4 8
x x x
 
= + + =
 ÷
 
π
π
r.
4
0
sin 3 .sin .cosI x x xdx=
∫
π
( )
4 4
4
0 0
0
1 1 1 1 3 2
sin3 .sin 2 os5x-cosx sinx- sin 5
2 4 4 5 20
I x xdx c dx x
π π
π
 

= = − = =
 ÷
 
∫ ∫
s.
2
0
.sinI x xdx=
∫
π
2 2
0 0 0
0
1 cos2 1 1 1
. .cos2
2 2 2 4 2 4 2
x x x
I x dx dx x xdx K K
−
= = − = − = −
∫ ∫ ∫
π
π π π
π
Tính
0
os2xdxK xc
π
=
∫

Đặt
1
os2xdx
sin 2
2
du dx
u x
dv c
v x
=

=


⇒
 
=
=




0
0 0
1 1 1
sin 2 sin 2 os2x 0
2 2 4
K x x xdx c
π π
π

= − = =
∫
.
Vậy
2
4
I
π
=
t.
1
2
3
0
2 1- 2I x xdx=
∫
Đặt
3 2
3
3
1 2 2 1
2
u x x u dx u du= − ⇒ = − ⇒ = −
.
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 5
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Đổi cận: Khi
1
x=0 u=1; x= 0

2
u⇒ ⇒ =
.

( ) ( )
1
0 1
4 7
3 2 3 6
1 0
0
3 3 3 9
1 . .
2 2 2 4 7 56
u u
I u u u du u u du
 
 
= − − = − = − =
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫

u.
3
2
0
sin

1 cos
x
I dx
x
=
+
∫
π

( )
( )
2
2
2 2
0 0
0
1 os sinxdx
1 3
1 osx sinxdx= -cosx- os2x
1+cosx 4 2
c x
I c c
π
π π
−
 
= = + =
 ÷
 
∫ ∫

v.
( )
3
2
0
ln 1I x x dx= +
∫
Đặt
( )
2
3
ln 1
1
1
3
dx
du
u x
x
dv x dx
v x

=
 = +

 
+
⇒
 

=



=


( )
3 3
3
3
3 2
0
0 0
1 1 1 1 56 5
ln 1 9ln 4 ( 1 ) ln2
3 3 1 3 1 3 2
x
I x x dx x x dx
x x
= + − = − − + − = −
+ +
∫ ∫

w.
2) Một số bài tập tính tích phân (Các bạn tự giải)
1.
4
2
0

sin

cos
x
I dx
x
=
∫
π
2.
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x
=
−
∫
π
3.
2
3
0
cosI xdx
π
=
∫

4.
( )
2
0
sin cosI x x xdx= +
∫
π
5.
( )
4
2
0
2cos 1I x x dx
π
= −
∫
6.
2
3
0
sinI x dx
π
=
∫
7.
2
2
2
2

1
1
x
I dx
x x
−
−
+
=
+
∫
8.
( )
1
0
3 2
x
I x e dx
−
= +
∫
9.
1
5 2
0
1I x x dx= +
∫
10.
6
2

0
sin cosJ x xdx
π
=
∫
11.
3
0
sin .ln(cos )I x x dx
π
=
∫
12.
1
3
0
x
I xe dx
=
∫
13.
3
0
sin .J x tgxdx
π
=
∫
14 .
1
0

( )
x
K x x e dx
= +
∫
15.
3
1
2 lnI x xdx
=
∫
16.
2
2
sin 3
0
.sin cos
x
I e x xdx
π
=
∫
17.
6
0
2 1 4cos3 sin3I x xdx
π
= +
∫
Giáo viên Bùi Văn Nhạn

Trang 6
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
18.
2
3
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
19.
4
2
0
2 tan
cos
x
I x dx
x
π
 
= +
 ÷
 
∫
20.
2
0
sin cos2
2

x
I x dx
π
 
= +
 ÷
 
∫
21.
2
2 4
0
cos sinI x xdx
π
=
∫
22.
( )
2
ln ln
e
e
x
I dx
x
=
∫
23.
1
2

0
3 2
6
x
I dx
x x
−
=
− −
∫
24.
( )
2
1
1
1 3ln
e
I dx
x x
=
+
∫
25.
4
4
0
tanI xdx
π
=
∫

26.
ln8
ln3
1
x
e dx+
∫
27.
1
3 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
28.
ln2
2
0
( 1)
x
x
e
I dx
e
=
+
∫

29.
1
2 3
2
0
ln( 1)
1
x x x
dx
x
+ +
+
∫
30.
2
3
0
(1 2sin 2 ) cos 2x xdxI
π
+=
∫
31.
( )
2
0
1 sin cosI x x xdx
π
= −
∫
32.

( )
2
sin 2
2
2
1 sin
0
x
x
I e dx
x
π
 
 
= +
 
+
 
∫
33.
1
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+

∫
34.
( )
2
0
3 2 cosI x xdx= −
∫
π
35.
2
1
ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
36.
1
ln 5 4ln
e
e
x x
I dx
x
−
−
=

∫
37.
( )
4
2
0
sin cos cos2I x x xdx
π
= +
∫
38.
( )
6
2
0
1 sin cosI x xdx
π
= +
∫
39.
( )
2
2
0
2 osx sin xI c dx
π
= +
∫

40.

2
1
2 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
41.
3
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
42.
2
1
ln
e
e
I dx
x x
=

∫
43.
ln8
ln3
1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
44.
2
1
1
x
x
e
I dx
e
=
−
∫
45.
1
2
0
1

x
I dx
x
=
+
∫
46.
2
2
0
(2 1) 1I x x x dx= − − +
∫
47.
2
2
0
sin 2
3 os
x
I dx
c x
π
=
+
∫
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 7
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
48.
4

0
(2 1)sin 2I x xdx
π
= +
∫
49.
4
0
( 1)cos2I x xdx
π
= −
∫
50.
1
0
(2 1)
x
I x e dx= −
∫
51.
1
2
0
3 2
x
x
I dx
e
−
=

∫
52.
1
(2 1)ln
e
I x xdx= −
∫
53.
1
0
ln( 1)I x dx= +
∫
54.
( )
2
sin
0
cos
x
I e x x dx
π
= +
∫
55.
( )
2
3
0
sin cos cosI x x x dx
π

= −
∫
56.
1
1
ln
e
I x xdx
x
 
= −
 ÷
 
∫
57.
( )
1
2
0
ln 1x x dx+
∫


Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 8