luyện thi tích phân (có giải)

1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x

Đặt x = |a| sint; với ; .
2 2
t
 
 
 
 
 

hoặc x = |a| cost; với
 
0; .t


2 2
x a

Đặt x =
a
.
sint
; với

 
; \ 0 .
2 2
t
 
 
 
 
 

hoặc x = .
a
cost
; với
 
0; \ .
2
t


 

 
 

2 2
a x

Đặt x = |a|tant; với ; .
2 2

t
 
 
 
 
 

hoặc x = |a|cost; với
 
0; .t


.
a x
a x


hoặc .
a x
a x



Đặt x = acos2t
  
x a b x 

Đặt x = a + (b – a)sin
2
t

2 2
1
a x

Đặt x = atant; với ; .
2 2
t
 
 
 
 
 


Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1
.
x
I dx
x




Giải:

Đặt x = cost, ; .
2 2
t
 
 
 
 
 
.

dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2
2

4


t 1 0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1
.
x
I dx

x




0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t


 


4
2
0
sin .sint t
dt
cos t



=
2
4
2

0
sin t
dt
cos t



=
4
2
0
1
1 dt
cos t

 
 
 
 



 
tan
4
0
t t

 
=

1
4


. (vì . 0;
4
t

 

 
 
nên sint . 0 sin sint t   )
Bài 2: Tính
2 2 2
0
.
a
I x a x dx 


Giải:

2
Đặt x = asint, ;
2 2
t
 
 
 

 
 

. 
dx = acostdt


Đổi cận:
x 0 a
t 0
2


Khi đó:
2 2 2
0
.
a
I x a x dx 

 
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt

 

2
4 2 2

0
sina tcos tdt



 
4
2
0
1 4
8
a
cos t dt

 

4
1
sin 4
2
8 4
0
a
t t

 
 
 
 

4
16
a


Bài 3: Tính
1
2 2
0
. 1I x x dx 


Giải:
Đặt x = sint, ;
2 2
t
 
 
 
 
 
. 
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2


Khi đó:

1
2 2
0
. 1I x x dx 


2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt

 


2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt




2
2
0
1
sin 2

4
tdt



 
2
0
1
1 4
8
cos t dt

 


1 1
sin 4
2
8 4
0
t t

 
 
 
 

16



Bài 4: Tính
1
3 2
0
. 1I x x dx 


Giải:
Đặt t =
2
. 1 x

t
2
= 1 – x
2

. 
xdx = -tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
Khi đó:
1
3 2
0
. 1I x x dx 

=

1
2 2
0
1x x xdx 


 
1
2
0
1 . .t t tdt 


 
1
2 4
0
t t dt 

3 5
1
03 5
t t
 
 
 
 

2
.

15

Bài 5: Tính
2
5
.
ln
e
e
dx
I
x x



Giải:

3
Đặt t = lnx

dt =
dx
x

Đổi cận:
x e e
2

t 1 2
Khi đó:

2
5
.
ln
e
e
dx
I
x x


=
2
5
1
.
dt
t

=
4
2
1 15
. .
1
4 64t
 
 
 
 

Bài 6: Tính
 
1
4
3 4
0
1 .I x x dx 


Giải:
Đặt t = x
4
+ 1

dt = 4x
3
dx
3
.
4
dt
x dx 
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
 
1
4

3 4
0
1 .I x x dx 

=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1
4 20 20
t dt t
 
 
 
 


Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx




Giải:

Đặt t = sinx ;
dt cosxdx 

Đổi cận:
x 0
2


t 0 1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin
6
I xcoxdx t dt

  
 
.
Bài 8: Tính
12
4
0
tanI xdx




Giải:
Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
4
x
xdx dx
cos x
 

 

Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx     

Đổi cận:
x 0
12


t 1
1
2

4
Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 . ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
 
      
   

Bài 9: Tính
2
5
0
.I cos xdx




Giải:
Ta có:
 
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
  
  
  

Đặt t = sinx ;
dt cosxdx 

Đổi cận:
x 0
2


t 0
1

Khi đó:
     
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4

0 0 0 0
1
2 5
1 sin 1 1 2 .
03 5 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
   
 
           
 
 
   

Bài 10: Tính
4
4
0
1
.I dx
cos x




Giải:
Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx

cos x
 

Đổi cận:
x 0
4


t 0 1
Khi đó:
   
1
3
4 4
2 2
4 2
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
03 3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
 
 
       
 
 
  

Bài 11: Tính
3
2
2
6
.
s
cos x
I dx
in x





Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx 

Đổi cận:
x
6


2


t
1

2

1

5
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
 
 
 
   
        
   
   
   

Bài 12: Tính
2
3 3
0
sin .I xcos xdx




Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx 

Đổi cận:
x
0

2


t 0 1
Khi đó:
     
1 1
4 6
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1

sin sin 1 sin 1
04 6 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
 
 
         
 
 
   

Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2 .
x
I e xdx




Giải:
Đặt t = sin
2
x ;
s 2dt in xdx 

Đổi cận:

x
0

2


t 0 1
Khi đó:
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1
0
x t t
I e xdx e dt e e

    
 

Bài 14: Tính
2
2
0
sin 2
.
1
x

I dx
cos x





Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt     

Đổi cận:
x
0

2


t 2 1
Khi đó:
 
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2

11
x dt dt
I dx t
cos x t t

     

  

Bài 15: Tính
4
3
0
tan .I xdx




Giải:
Đặt t = tanx ;
   
2 2
2
1 tan 1 .
1
dt
dt x dx t dt dx
t
      


6
Đổi cận:
x
0

4


t 0 1
Khi đó:
 
 
 
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1

1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t


 
        
 
   
 
      
     

Bài 16: Tính
1
0
1
.
1
I dx
x




Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt   

Đổi cận:
x
0

1
t 0 1
Khi đó:
 
 
1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
01 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
        

 
 

 
  

Bài 17: Tính
1
33 4
0
1 .I x x dx 


Giải:
Đặt t =
3 4 3 4 3 2
3
1 1
4
x t x x dx t dt      

Đổi cận:
x 0

1
t 1 0
Khi đó:
1 1
33 4 3 4
0 0

1
3 3 3
1 .
04 16 16
I x x dx t dt t    
 

Bài 18: Tính
0
2
1
1
.
2 4
I dx
x x


 


Giải:
Ta có:
 
 
0 0
2
2
2
1 1

1 1
.
2 4
1 3
dx dx
x x
x
 

 
 
 

Đặt
1 3 tanx t 
với
 
2
; . 3 1 tan .
2 2
t dx t dt
 
 
    
 
 

Đổi cận:
x -1 0
t 0

6



7
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3

6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x




   
 
 

Bài 19: Tính
1
3
8
0

.
1
x
I dx
x




Giải:
Ta có:
 
1 1
3 3
2
8
4
0 0
.
1
1
x x
dx dx
x
x



 

Đặt
4
tanx t
với
 
3 2
1
; . 1 tan .
2 2 4
t x dx t dt
 
 
    
 
 

Đổi cận:
x 0 0
t 0
4


Khi đó:
 
1 1
3 3 2
4 4
2
8 2
4

0 0 0 0
1 1 tan 1 1

4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t
I dx dx dt dt t
x t
x
 



     
 

   

Bài 20: Tính
1
1 ln
.
e
x
I dx
x





Giải:
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
      

Đổi cận:
x 1 e
t 1
2

Khi đó:
 
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln 2
.2 2 2
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt

x


    
  

Bài 21: Tính
 
1
0
ln 2
.
2
x
I dx
x





Giải:
Đặt
 
ln 2 .
2
dx
t x dt
x


   


Đổi cận:
x 1 1
t ln2 0
Khi đó:
 
1 0 ln2
2 2
0 ln2 0
ln 2
ln 2
ln 2

02 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x

     

  

Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin

cosx
I dx
x





Giải:

8
Đặt
sin tanx t
với
 
2
; 1 tan .
2 2
t cosxdx t dt
 
 
    
 
 

Đổi cận:
x 0
2


t 0
4


Khi đó:
2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
x t
  


   
 
  

Bài 23: Tính
2
3
1
.
sin
I dx
x






Giải:
Đặt
2
2
1 2
tan 1 tan .
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
 
     
 

 

Ta tính:
2
2
1 1 2 1
. .
2
sin 1
1
tdt

dx dt
t
x t t
t
 



Đổi cận:
x
3


2


t
3
3

1
Khi đó:
 
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1

ln ln ln3
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t


     
 

Bài 24: Tính
 
1
1
.
1 ln
e
I dx
x x




Giải:
Đặt 1 ln .
dx
t x dt
x
   

Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
Khi đó:
 
2
1 1
2
1
ln ln 2
11 ln
e
dt
I dx t
x x t
   

 

Bài 25: Tính
3
1
5
0
.
x
I x e dx


Giải:

Đặt
3 2 2
3 .
3
dt
t x dt x dx x dx    

9
Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
.
0 03 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e      
  

Bài 26: Tính
1 5
22
4 2
1

1
.
1
x
I dx
x x



 


Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
4 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
.

1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
    


 

 
 
 
 
 
 
 
 
  

Đặt

2
1 1
1 .t x dt dx
x x
 
    
 
 

Đổi cận:
x 1
1 5
2


t 0 1
Khi đó:
1
2
0
.
1
dt
I
t




Đặt

 
2
tan 1 tan .t u dt u du   
Đổi cận:
x 0 1
t 0
4


Vậy
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan

4
1 1 tan 4
0
dt u
I du du u
t u
 



    
 
  

Bài 27: Tính
2
3
1
.
1
dx
I
x x




Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
.
1 1
dx x dx
x x x x

 
 

Đặt
3 2 3 2 2

2
1 1 2 3 .
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx        
Đổi cận:
x 1 2
t
2

3
Khi đó:

10

 
 
 
2 2 3 3
2
2
3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
.
3 1 3 1 1
1 1
3 3

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
     
 
  
 
 
 
    
        
 
 
 



 

 

   

Bài 28: Tính
2
3
2
0
3
.
2 1
x
I dx
x x

 


Giải:
Ta có:
 
2 2
3 3
2
2
0 0
3 3
.
2 1

1
x x
dx dx
x x
x

 

 

Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
 
 
 
 
   
3
3 2
2 2 3 3
3 3
2
2 2 2
0 0 1 1
3

2
2 2 2
1
3 3 3 1
3 1
3 3
.
2 1
1
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln3 8
1
2 2
t t t
t
x x
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
t t

  

    
 

 

 
                 
 
 
 
 
   



Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
.
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e


 


Giải:
Đặt

x x
t e dt e dx  

Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
   
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
2 2
1 1
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
2 2
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln
1 1
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
  

 
     
 
       
 
              
 
   
 

Bài 30: Tính
 
4
1
1
dx
I
x x




Giải:
Đặt
2
2x t dx tdt  

Đổi cận:
x 1 4
t 1 2

11
Khi đó:
 
   
 
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
 
     
 
  
 

 

     
 
 
   

Bài 31: Tính
 
1
3
2
0
1 .I x dx 


Giải:
Đặt
sin , 0;
2
x t t dx costdt

 
   
 
 

Đổi cận:
x 0 1
t 0
2


Khi đó:
   
 
 
2
1
2 2 2 2
3 3
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
1 2
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
1 1
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt

dt co
   
    





 
       
 
 
          
  
    
    

2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt


    
     




Bài 32: Tính
2
3
6
.I cos xdx





Giải:

   
 
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3
6
1 1 1 5
1
3 2 24 24
x

I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
   
   


 
        
 
 
    
   

Bài 33: Tính
4
4 4
0
sin 4
.
sin
x
I
x cos x





Giải:

12

4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0
sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln 2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
   



    
  


 
       
 
 

   


Bài 34: Tính
3
2
4
.
1 sin
cos x
I dx
x






Giải:
 

 
 
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
   
   
  
  



     
  


 
      
 
 
   
  

Bài 35: Tính
2
4
sin
.
sin
x cosx
I dx
x cosx



 

 

 


Giải:
 
 

2 2
4 4
sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
 
 


 

 
     
 
 
 
 

Bài 36: Tính
2
3
0
sin .I xdx





Giải:

 
 
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
  

 
          
 
 
  

Bài 37: Tính
3
.

sin
cos x
I dx
x



Giải:
   
 
   
2 2
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
1 1
4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C

  


    
 
      
 
 
   



13
Bài 38: Tính
s 3
.
sin
in x
I dx
x



Giải:
 
 
3
2
s 3 3s 4sin 1
3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin 2
sin sin 2
sin 2

in x inx x
I dx dx x dx x cos x dx x x x c
x x
x x C

          
  
   

Bài 39: Tính
1
4 2
0
.
1
x
I dx
x x

 


Giải:
1 Đặt
2
2t x dt xdx  

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1

Khi đó:
1 1
2
4 2
0 0
1
1 2
1 3
2 4
x dt
I dx
x x
t
 
 
 
 
 
 
 

2 Đặt
1
2
y t dy dt   

Đổi cận:
t 0 1
y
1

2

3
2

Khi đó:
3
1
2
2 2
1
0
2
2
1 1
2 2
1 3
3
2 4
4
dt dy
I
t
y
 
   
 

 
 

 
 
 

3 Đặt
3 2
4
3
z y dz dy  

Đổi cận:
y
1
2

3
2

z
1
3

3

Khi đó:
3
3 3
2
2
2

2
1 1 1
2
2
3 3
1 3 1
3 3
2 4 1
3
3
4 4
4
dy dz dz
I
z
z
y
   

 


 
 
  

4 Đặt
 
2
tan 1 tan .z u dz u du   

Đổi cận:
z
1
3

3


14
u
6


3


Ta được:
3
2
3
2 2
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
.
1 1 tan
3 3 3 6 3
6

dz u
I du u
z u






   
 
 

Bài 40: Tính
 
1
2
0
2 1
x
I dx
x




Giải:
5 Đặt
1
2 1 .

2 2
t dt
t x x dx

     
Đổi cận:
x 0 1
t 1 3
Khi đó:
 
1 3 3
2
2 2
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3 .
1
2 4 4 4 3
2 1
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x

     
       

     
     

  

Bài 41: Tính
 
0
9
2
1
1 .I x x dx

 


Giải:
6 Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận:
x -1 0
t 0 1
Khi đó:
   
   
0 1 1 1
9 2
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0

12 11 10
1 1 2 1 2 .
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

          
 
      
 
 
   

Bài 42: Tính
2
0
.
1
dx
I
cosx





Giải:
2 2 2
2 2
0 0 0
2
tan 1
2
1 2
2
0
2 2
x
d
dx dx x
I
x x
cosx
cos cos
  

 
 
 
    

  

Bài 43: Tính
1
15 8

0
. 1 3 . .I x x dx 


Giải:
Ta có:
1 1
15 8 8 8 7
0 0
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx  
 


15
7 Đặt
8 7
1 3 24 .
24
dt
t x dt x dx dx     
Đổi cận:
x 0 1
t 1 4
Khi đó:
 
5 3
1 1 4 4
2 2
3 1
15 8 8 8 7

2 2
0 0 1 1
4
1 1 1 1 29
. 1 3 . . 1 3 . . . .
5 3
1
3 24 72 72 270
2 2
t t t
I x x dx x x x dx t dt t t dt
 
 

         
 
 
 
   

Bài 44: Tính
1
3
2
0
.
1
x
I dx
x x


 


Giải:








 


3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1

1
1
1 1
1
1
1 1. 1.
05 5
J
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
   
      
 
 
   
        
   
   


8 Đặt
2
1 2t x dt xdx   

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
 


2 2 2 2
3 3 5 3
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 2
1 .
1 1
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t        
        
   

Vậy
2 2 1
15 15
I  

Bài 45: Tính
4
2
0
sin 4
.
1
x
I dx
cos x





Giải:
Ta có:
4 4
2 2
0 0
sin 4 2sin 2 2
1 1
x xcos x
dx dx
cos x cos x
 

 
 

9 Đặt
2
1 2sin sin 2t cos x dt xcosxdx xdx      

10
 
2 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3cos x t cos x cos x t t         

Đổi cận:
x 0
4



16
t 2
3
2

Khi đó:
 
 
3 3
2
2 2
3
2 2
2
2

2 2 3
6 6
4 4 4 6ln
3
2
3 3 4
4 2 6 ln 2 ln 2 6ln
2 2 3
t dt
I dt dt t t
t t t
 
   
        
   
   
   
     
   
   
  

Bài 46: Tính
2
4
.
1 sin 2
dx
I
x







Giải:
 
2 2 2 2
2 2
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin 2 2 2 4 2
sin
2
4
4
4
dx dx dx dx
I x
x
x cosx
cos x
cos x
   
   






 
      
 

 
 

 
 

 

 
 
 
 
 
   

Bài 47: Tính
 
4
3
0
s2
sin 2

co x
I dx
x cosx


 


Giải:
Ta có:
 
  
 
4 4
3 3
0 0
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
 
 

   
 

11 Đặt

 
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx     

Đổi cận:
x 0
4


t 2
2 2

Khi đó:
 
       
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0
2
1 2 1 1 1 1 1 12 2
3 9
2 2 6 4 2
0
1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5
9 9 9
6 4 2
2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1
t
I dt dt
t t t t t
 



   
           
   
 
   
     
       

   
 


Bài 48: Tính
4
0
s2
.
sin 2
co x
I dx
x cosx


 


Giải:
Ta có:

  
4 4
0 0
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
 
 

   
 


17
12 Đặt
 
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx     

Đổi cận:
x 0
4


t 2
2 2

Khi đó:
 
 
 
 
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln3
0
3
2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 1 2ln
2 2
t
I dt dt t t
t t
 


 
           
 
 
 
       
 

 

Bài 49: Tính
 
2
3
2
0
sin 2 1 sin .I x x dx

 


Giải:
13 Đặt
2
1 sin 2 2sin sin 2t x dt xcosxdx xdx     

Đổi cận:
x 0
2


t 1 2
Khi đó:
 
2
4
2
3
2 3
0 1

2
1 15
sin 2 1 sin 4
14 4 4
t
I x x dx t dt

      
 

Bài 50: Tính
 
2
2
0
sin 1 .I xcosx cosx dx

 


Giải:
Ta có:
 
   
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
sin 1 sin 1 2 2 .sinI xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx
  

       
  

14 Đặt
sint cosx dt xdx   

Đổi cận:
x 0
2


t 1 0
Khi đó:
   
0 1
2 3 4
2 3 2 3
1 0
1
2 17
2 2
02 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt
 
          
 
 
 

Bài 51: Tính
2
2 2 2 2
0
sin
.
sin
xcosx
I dx
a cos x b x





Giải:

18
Ta có:
   
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin sin
sin
1 sin sin sin
xcosx xcosx xcosx
I dx dx dx
a cos x b x

a x b x b a x a
  
  

   
  

15 Đặt
   
 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a
tdt
xcosxdx
b a

 

       






Đổi cận:
x 0
2


t |a| |b|
Khi đó:
 
2 2
2 2
2 2
1 1
.
b
a
b
b a
tdt
I t
b a a b
t b a a
b a

   
 




Bài 52: Tính
2
3
0
1
.
3 2
x
I dx
x





Giải:
16 Đặt
3
3 2
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t
t x t x t dt dx x

       

Đổi cận:
x 0 2

t
3
2

2
Khi đó:
 
3 3
3
2 2
5 2
2 4
3
2 2
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3
. 1
3 3 5 2 3 5 5 15
2
t
t t
I t dt t t dt
t

 
 

        

 
 
 
 
 
 

Bài 53: Tính
4
2
7
.
9
dx
I
x x




Giải:
17 Đặt
 
2 2 2
2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x x t

         


Đổi cận:
x
7

4
t 4 5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
t t

 
 



Bài 54: Tính
4
0
.

1 tan
dx
I
x





Giải:Đặt
 
2
2 2 2
1
tan 1 tan .
1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
cos x x t
       
 

Đổi cận:

19
x 0
4


t 0 1

Khi đó:
 
 
 
 
1 2 3
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
 

      
  
   
  
 
 
 
  

1 Tính:
1
1
0
1
1 1 ln 2
ln 1 .
02 1 2 2
dt
J t
t
   



2 Tính:
 
2
1 1
2
2
2 2
0 0
1
1
1 1 1 ln 2
ln 1 .
02 1 4 1 4 4
d t

tdt
J t
t t

    
 
 

3 Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1
.
2 1 2 8
dt
J du
t


  

 
(với t = tanu)
Vậy
ln 2 ln2 ln 2
.
2 4 8 8 4

I
 
    
Bài 55: Tính
2
3
.
sin
dx
I
x





Giải:
Ta có:
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin sin 1 s
dx xdx xdx
x x co x
  
  
 

  

19 Đặt
sint cosx dt xdx   

Đổi cận:
x
3


2


t
1
2

0
Khi đó:
 
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2

1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t

   
               
   
     
   
    

1 1 1
ln ln3
2 3 2
  

Bài 56: Tính
1
2
0
sin
.
x x
I dx
cos x




Giải:

20
Ta có:
1 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
sin sin
I I
x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x

  
  
 

1 Tính
3
1
2
0
.
xdx
I
cos x





Đặt
2
1
tan
u x
du dx
v x
dv dx
cos x






 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
 
 
3 3 3 3
1
2

0 0 0 0
3 sin 3 3
tan tan ln
3 3
3 3 3
0 0
3 1
ln
3 2
d cosx
xdx x
I x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
   
 
  

         
 
   

2 Tính
 
3 3
2
2 2
0 0
sin 1
2 1 1
3

0
d cosx
x
I dx
cos x cos x cosx
 


     
 

Vậy
3
ln2 1
3
I

  

Bài 57: Tính
1
3
2
0
.
1
x
I dx
x x


 


Giải:
Ta có:










3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1

1
1 1
1
1
1. 1. 1.
05 5
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x x x xdx x x xdx
   
      
 
 
   
        
   
   

20 Đặt
2
1 2t x dt xdx   

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2

Khi đó:
 


2 2 2 2
3 31 1
2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
5 3
2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 .
2 5 2 5 5 2 2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2
. .
1
5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
t t
         
 
                
 
 
   

Bài 58: Tính

1
1
.
5 4
x
I dx
x





Giải:

21
21 Đặt
5 4 4t x dt dx    

Đổi cận:
x -1 1
t 9 1
Khi đó:
   
1 1 9 9 9
1 9 1 1 1
3
5 1
1 5 5 1 1
4 4
16 8 16

5 4 2
9 9
5 1 2 5 1 5 13 1
. 3 1 27 1
1 1
8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt
x t
I dx dt dt tdt
x t t t
t t


 

 

 
     

        
    

Bài 59: Tính
9
3
1
1 .I x xdx 


Giải:
22 Đặt
1t x dt dx    

Đổi cận:
x 1 9
t 0 -8
Khi đó:
   
 
   
9 8 0
7
4
4 7
3 4
3 3 3
3 3
1 0 8
0
3 3 3 3 468
1 1 2 2
84 7 4 7 7
I x xdx t t dt t t dt t t


 
               
 


 
  

Bài 60: Tính
3
6
.
sin sin
6
dx
I
x x




 

 
 


Giải:
 
3 3 3
2
6 6 6
2
3sin sin

3 1
sin sin
sin sin
6
2 2
dx dx dx
I
x xcosx
x x
x x cosx
  
  

   
   



 
 
 
 
  

 
 
 
 
 
 

  
 
3 3 3
2 2
6 6 6
3
6
2 tan tan
2
2 3
s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3 tan 1
1 1
2 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d x
dx
co x x x x x x x
d x
x x
  
  


   
  
 
  
 

 

  


 
 
 
 
 
3 3
6 6
3 tan 1
tan
1
3 3
2 2 2 ln tan 2 ln 3 tan 1 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln2
tan
3 tan 1 3
6 6
3
2ln3 2ln 2 ln
2
d x
d x
x x
x
x
 
 
 
 


 
         
 

 
 
  
 
 
 
Bài

22
61: Tính
1
2
0
.
3
x
dx
I
e




Giải:
23 Đặt

x x
t e dt e dx  

Đổi cận:
x 0 1
t 1 e
Khi đó:
     
 
 
   
2
1
2
2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 1 1
2
2 2 2
2 2
1
1 2 1
3 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
. ln ln 3 2 ln
1
2 3 3 6 6 4
e e e e
x
e

d t
dx dt tdt tdt
I
e
t t t t t t t t
e
e
d t t t
t t
    

   
 

 
 
      
 
 
 

 
 
    



Bài 62: Tính
 
1

2
2
.
11 5
dx
I
x





Giải:
24 Đặt
11 5 5t x dt dx   

Đổi cận:
x -2 1
t 1 6
Khi đó:
 
1 6
2
2
2 1
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5

dx dt
I
t t
x


      

 

Bài 63: Tính
 
1
sin ln
.
e
x
I dx
x



Giải:
25 Đặt
ln
dx
t x dt
x
  

Đổi cận:
x 1 e
t 0 1
Khi đó:
 
1
1 0
1
sin ln
sin 1 0 1 1
0
e
x
I dx tdt cost cos cos cos
x
        
 

Bài 64: Tính
5
2
3
9 .I x dx 


Giải:
26 Đặt
2
2
2 2 2

2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2
t
t x x x
t
t t t
x t x t dx dt
t t t

    
  
       

Đổi cận:
x 3 5

23
t 3 9
Khi đó:
5 9 9
2 2 2
2
2 3 2
3 3 3

9
9 9 9 81 9 81
9 . ln
32 2 4 2 4 8 2 6
t t t t
I x dx dt dt t
t t t t t
 
 
 
         
 
 
 
 
  

Bài 65: Tính
 
4
2
12
1
.
sin
I dx
x cosx








Giải:
 
4 4
2
2
12 12
1 1 1 1 3
4
cot
2 2 4 2
sin
sin
4
12
I dx dx x
x cosx
x
 
 




 
 
     

 
 
 



 
 
 

Bài 66: Tính
1
0
sin .I xdx


27 Đặt
2t x dx td  

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1
0
2 sinI t tdt


Đặt
sin

u t du dt
dv tdt v cosx
 
 

 
  
 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
       
1
0
1 1 1
2 2 2 2 sin 2 sin1 1
0 0 0
I tcost costdt tcost t cos       





B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e
ax
trong đó P(x) là một đa thức Đặt
 

u P x
dv









2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt
ln

u x
dv







Bài 1: Tính
1
2
0
.
x
I xe dx


Đặt

2
2
.
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx






 







24
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
 
 
1 1 1

2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1
0 02 2 2 4 2 4 2 4 4
x x x x x
e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e

          
  

Bài 2: Tính
3
2
0
.
x
I dx
cos x




Đặt
2
.
tan

co
u x
du dx
dx
v x
dv
s x






 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
 
3 3 34
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3
tan tan ln ln2
3 3
3 3 3 3
0 0

d cosx
x x
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
  
 
   
          
   

Bài 3: Tính
1
2
0
.
x
I x e dx


Đặt
2
2
.
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx







 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx    
  

Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx


Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
0 0
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx   
 

Vậy I = e - 2
Bài 4: Tính
 
1
3
0
3 1 .
x
I x e dx


 


Đặt
3
3
3
3 1
1
3
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx




 



 
 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
     
 
 
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 5
3 1 3 1 3 1 3 1
0 0 0 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x x x
I x e dx x e e dx x e e d e x e e
e
       
               
  
Bài 5:
Tính
2
2
0
sinI x xdx




25
Ta có:
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 2 1
sin 2
2 2
cos x
I x xdx x dx xdx xcos xdx
   
 

 
   
 
 
 
   

28
2 2
2
0
.
2
2 8
0

x
xdx



 


29 Tính
2
0
2 .xcos xdx



Đặt
1
2
sin 2
2
du dx
u x
dv cos xdx
v x







 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2 2
0 0
1 1 2 1
2 sin 2 sin 2 0
2 2
2 2 4 2
0 0
cos x
xcos xdx x x xdx
 
 
     
 

Vậy
2
2
2
0
4
sin
16

I x xdx



 


Bài 6: Tính
2
sin
0
sin 2 .
x
I e xdx




Giải:
Ta có:
2 2
sin sin
0 0
sin 2 2 sin
x x
I e xdx e xcosxdx
 
 
 

Đặt
sint x dt cosxdx  

Đổi cận:
x 0
2


t 0 1
Khi đó:
1
2
sin
0 0
2 sin 2
x t
I e xcosxdx te dt

 
 

Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
 
 

 
 

 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
0 0
1 1 1
1
0 0 0
t t t t t
te dt te e dt te e    
 

Vậy I = 2