ôn thi tố nghiệp 09 tích phân (có chỉnh sửa)

ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ
Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Số tiết:
I. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức:
- Học sinh nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số và các phương pháp tính nguyên hàm và
tích phân.
- Nắm vững công thức tìm diện tích hình phẳng, diện tích của vật thể tròn xoay.
2. Kĩ năng:
- Biết áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số thường
gặp.
- Biết áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân vào giải bài tập.
- Biết áp dụng công thức để tính diện tích hp, và thể tích của vật thể ròn xoay.
- Nhận biết các dạng bài tập để dùng phương pháp chính xác.
3. ý thức:
- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi.
II. Phương pháp – phương tiện:
1. Phương pháp:
- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình
bày cho học sinh.
2. Phương tiện:
- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009.
III. Nội dung:
A. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/ Các kiến thức cần nắm vững :
* Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng.
Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp
Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x))
1.
dx
∫

= x+C 10.
du
∫
= u+C
2.
x dx
α
=
∫

1
x
C
α
α
+
+
(
α
≠
-1) 11.
u du
α
=
∫

1
u
C
α

α
+
+
(
α
≠
-1)
3.
dx
x
∫
= ln
x
+C (x
≠
0) 12.
du
u
∫
= ln
u
+C (u=u(x)
≠
0)
4.
x x
e dx e C= +
∫
13.
u u

e du e C= +
∫
5.
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
14.
(0 1)
ln
u
u
a
a du C a
a
= + < ≠
∫
6.
cos sinxdx x C= +
∫
15.
cos sinudu u C= +
∫
7.
sin xdx cosx C= − +

∫
16.
sin cosudu u C= − +
∫
8.
2
cos
dx
tgx C
x
= +
∫
17.
2
cos
du
tgu C
u
= +
∫
1
ễN THI T T NGHI P MễN TON 08 09 GIP MINH C
9.
2
s
dx
cotgx C
in x
= +

18.
2
cot
s
dx
gu C
in u
= +

Nguyờn hm ca cỏc hm s m rng thng gp.
1)
1
cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = + +

3)
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +

(a

0)
2)
1
sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a

a
+ = + +

4.
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+

2. Cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm.
Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa:
Cách 2: xác định nguyên hàm bằng phng phỏp i bin:
Cách 3: xác định nguyên hàm bằng phng phỏp nguyờn hm tng phn:
* Mt s dng toỏn thng gp:
Dng 1: Tỡm nguyờn hm ca mt hm s bng nh ngha v tớnh cht.
Phng phỏp gii:
Thng a nguyờn hm cho v nguyờn hm ca tng v hiu sau ú vn dng bng
nguyờn hm thng dựng

kt qu.
Vớ d : Tỡm nguyờn hm cỏc hm s sau:
a) f(x) = x
3
3x +
1
x
b) f(x) =

2
x
+
3
x

Gii
a/
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x c= = + = + +

b/
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln 2 ln3
x x
x x
f x dx dx dx dx c= = + = + +

Dng 2: Tỡm nguyờn hm bng pp i bin.
Vớ d: Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau:
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4

x cosx
Gii
c/ I =
5
( ) (5x+ 3)f x dx dx=

t u = 5x + 3 => du = 5dx
5
du
dx =
6 6
5 5
1 (5 3)
5 5 30 30
du u x
I u u du C C
+
= = = + = +

d/ K =
4
( ) sin x cosxf x dx dx=

t u = sinx => du = cosxdx
5 5
4
sin
5 5
u x
K u du C C

= = + = +

Bi tp ngh:
Tỡm cỏc h nguyờn hm sau
1 .
2
(2 3 5)x x dx +

2.
2 3
( 1)x x dx

4.
sin 2 cos3x xdx

5.
sin 2 sin 7x xdx

7.
2 3 2
( 5) .
x x
e e dx+

2
ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ
3.
2
sin
2

x
dx
∫
6.
sin 2x xdx
∫
8.
2
3 2
dx
x x− +
∫
9.
2 1
dx
x +
∫
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN :
1/ Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.
Các phương pháp tính tích phân..
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đă cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên
hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π
−
−
∫
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
Giải

a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −
−
+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
4 4 4
4 4 4
2 2
4
4

4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos )
cos cos
x dx dx xdx tgx x
x x
π π π
π π π
π
π
− − −
−
− = − = + =
∫ ∫ ∫
=
(4 3 cos ) [4 ( ) 3 cos( )]
4 4 4 4
tg tg
π π π π
+ − − + −
=8
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
=
1
2

1x dx
−
−
∫
+
2
1
1x dx−
∫
=
1
2
(1 )x dx
−
−
∫
+
2
1
( 1)x dx−
∫
=(x-
2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x
x
−

+ −
=5
Bài tập đề nghị:
Tính các tích phân sau:
1/I=
2
0
(3 cos 2 ).x dx
π
+
∫
2/J=
1
0
( 2)
x
e dx+
∫
3/K=
1
2
0
(6 4 )x x dx+
∫

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
⇒
dx =

u (t). dt
′
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t =
β
( chọn
α
,
β
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b
a
f(x)dx
∫
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
1
2
0

1 x dx−
∫
3
ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ
Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt. V́ x
∈
[0;1] nn ta chọn t
∈
[0; ]
2
π
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0 ; x= 1
⇒
t =
2
π
Vậy :
1
2
0
1 x dx−
∫
=
2 2
2
2

0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú y: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−

2 2
a x+

thì đặt x=
a
tgt t
∈

( ; )
2 2
π π
−

2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−
\
{ }
0
Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a

ϕ ϕ
∫
bằng phương pháp đổi biến 2.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
'( ). dxx
ϕ
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
t =
ϕ
(a) ; x = b
⇒
t =
ϕ
(b)
b3: Viết tích phân đă cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân t́m được .
Ví du : Tính tích phân sau :
a/
1
2
0
2 1
1
x

I dx
x x
+
=
+ +
∫
b/
1
2
0
3. .J x x dx= +
∫
Gi i:ả
a/ Đặt t = x
2
+ x +1
⇒
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =1 ; x = 1
⇒
t = 3 Vậy I=
3
3
1
1
ln ln3
dt
t

t
= =
∫
b/ Đặt t=
2
3x +

⇒
t
2
= x
2
+ 3
⇒
tdt = x dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =
3
; x = 1
⇒
t = 2 Vậy J =
2
2
3
2
3
3
1
(8 3 3)

3 3
t
t dt = = −
∫

Bài tập đề nghị:
Tính các tích phân sau:
1/
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
π
∫
2/
1
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
3/
1
1 ln
e

x
dx
x
+
∫
4/
1
2 5
0
( 3)x x dx+
∫

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Phương pháp giải:
4
ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH C Ố Ệ ĐỨ
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần c̣òn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b
a
vdu

∫
suy ra kết quả.
*/ Khi gặp tích phân dạng :
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx
∫
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b
, cos(ax+b) , sin(ax+b) th́ ta đặt u =
P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π
∫
b/J=
1
.ln .
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt :
cos . sin

u x du dx
dv x dx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
vậy I=x cosx
2
0
π
-
2
0
sin .x dx
π
∫
= cosx
2
0
π
= -1
b/ Đặt :
2
1
.
ln
.

2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=


⇒
 
=


=


Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2

1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e
dx xdx x
x
+
= − = − =
∫ ∫
Bài tập đề nghị:
Tính các tích phân sau:
1/
1
3
0
.
x
x e dx
∫
2/
4
2
0
cos
x
dx

x
π
∫
3/
1
ln .
e
x dx
∫
4/
5
2
2 .ln( 1).x x dx−
∫
5/
2
0
.cos .
x
e x dx
π
∫

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 2

2
1
1 1
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln 3
2 1 2 1 2 2
x
dx dx x x
x x
= + = + - = +
- -
ò ò
=
1
ln3
2
.
5