bât đăng thức có đáp án

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x, y, z.CMR
3
2 2 2 4
+ + ≤
+ + + + + +
x y z
x y z x y z x y z


( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + + + +

 

 
≤ +

 ÷
+ + + +
 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

 ÷  ÷
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 ÷
+ + + +

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Bài 2: Cho 3 số dương

, ,x y z
thỏa mãn
1xyz =
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z

z
z x
z
x

+
+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý
, ,x y z
thõa mãn:
0x y z+ + =

. CM:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥

4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
x
y
z
a
a b c
b V a b c
abc
c

=
>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=


( )
1 1 1 1
1
3
6 6 6 6
18
(1)
ó : 2 1 1 3 2 3. 3. 3 3. 3 3Ta c a a a a a VT a b c abc
 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + + ≥ =
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
20 bài bất đẳng thức

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3

2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 

 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2

3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 ÷
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 ÷
 

⇒ ≥ = ⇒ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
Bài 6: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +


2 3
3 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ì :
à : 0
x x
V
x y y z x xy y
x y x y y z z x
M x y
x xy y x xy y y yz z z zx x
x y z y z x
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x

=
+ + + +
− − − −
= − ⇒ + + =
+ + + + + + + +
⇔ + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 .
x y y z z x
P
x xy y y yz z z zx x
+ + +
⇔ = + +
+ + + + + +
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
ì : ( ) . à :
3
x y x xy y x xy y
V x y m
x xy y x xy y x xy y
+ − + − +
= + ≥
+ + + + + +
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
2
20 bài bất đẳng thức

3 3
3
2 2
2
2 ( ) 2 2 1.
3 3
x y x y
P x y z xyz P
x xy y
+ +
⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥
+ +
Bài 7: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
[ ]
tan
tan (*) sin( ) sin( ) sin( )
tan
ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( )
sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )
a
b

c
V c c
c c
α
β α β β γ α γ
γ
α γ α β β γ α β β γ α β β γ
α β β γ α β β γ α β β γ
=


= ⇒ ⇔ − + − ≥ −


=

− = − + − = − − + − −
≤ − − + − − ≤ − + −
Bài 8: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
= 1; c – d = 3. Chứng minh
9 6 2
4
ac bd cd
+
+ − ≤
( ) ( )
( )

2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ( ) : 1 à ; : 3
ó : ( ) ( ) 2 2
( ) 2( ) 1 9 2
A a b A C x y v B c d B d x y
Ta c AB a c b d a b c d ac bd
a b c d ac bd cd F
⇒ ∈ + = ⇒ ∈ − =
= − + − = + + + − −
= + + − − + − = + −
Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O.

2
3 2 3 2 2 22 12 2
1
2 2 4
22 12 2 11 6 2 9 6 2
10 2 5
4 4 4
AB Min OB OA AB
F F F
− −
⇒ = − = − = ⇒ ≥
− − +
⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤
Bài 9: Cho:
0;a c b c
≥ ≥ ≥

Chứng minh:
( ) ( )c a c c b c ab
− + − ≤
( )
( )
,
,
: . . ( ) ( )
a c b c a c b c b
b a c c b a c c a
Do a b a b c a c c b c ab
= − ⇒ = + − =
= − ⇒ = − + =
≤ ⇔ − + − ≤
r r
r r
r r r r
Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
3
20 bài bất đẳng thức
( )

2 2 2
3
tan
2
tan tan tan
1
2 2 2
tan t anA tan tan
2 2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
tan
2
ì : ó : t anA tan tan t anA.tan .tan 3 t anA.tan .tan
3 3
t anA tan tan t anA.tan .tan 3 3
2
A
x
A B C
B
y P B C
A B C
C
z
V Trong ABC ta c B C B C B C
B C B C P

=




= ⇒ = + + = + +


− − −

=


∆ + + = ≥
⇒ + + = ≥ ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=60
0
hay
1
3
x y z
= = =
Bài 11: Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Giải : Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz
1 1 1
2
x y z
⇒ + + ≥

Đặt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
1
, , 0
1 1 1
1 2 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1
2
1 1 1
( 1)( 1)
1 1
2 ; 2
1 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1 1
8
1 1 1 1 1 1 8
1 1
1 1 1 ax
8 8
x a
a b c
y b
a b c
z c
a b c
b c bc

a b c
b c
ca ab
b c
c a a b
abc
abc
a b c a b c
x y z M A
− =

>

 
   
− = ⇒ ≥ ⇔ ≥ − + −
 
 ÷  ÷
+ + +
+ +
   
 
− =
+ + +


⇒ ≥ + ≥
+ + +
+ +
≥ ≥

+ +
+ + + +
⇒ ≥ ⇒ ≤
+ + + + + +
⇒ − − − ≤ ⇒ =
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

4 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1 2
x x x
y
x x
− + + − −
=
+ − − +
Đặt:
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
4
20 bài bất đẳng thức

( )
[ ]
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2

2
, 0
1
2
;
2
2
1
1 ( 1) 4
:
2
2
2;2
ax (0) 1
0
' 0
4
lim
4 2
3
2
t
a b
a x
ab a b
y
a b
a b
b x
t a b a b

Coi t a b
t t
y
t
t
M y y
t
y
y
t
y t
t
→−

>
= +

+ −

⇒ =
 
− +
+ =

= −



  
= − ≤ + − + =

  

= − ⇒

− +
=

+


∈ −
= =

=

 
⇒ ⇒ = ⇔ ⇒
 

= −∞
= − < −
= − + −




+

Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min.
Bài 13. Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:

2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d
− + − + + + + + − − + + − + + ≥
Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và:

( ) ( )
1
2
2 2
2 2
( ) : 2 9 0
( ) : 2 4 0
ó : 12 8 52 6 4
A d x y
B d x y
Ta c a a b b a b AM
∈ + − =


∈ + − =

− + − + = − + − =

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2

4 8 20 2 4
a c b d ac bd a c b d AB
c d c d c d BN
+ + + − − = − + − =
+ − + + = − + + =

2 2
à : (6 2) (4 4) 4 5M AM AB BN MN
+ + ≥ = − + + =

Bài 14: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3
-x
+ 3
-y
+ 3
-z
=1. CMR:

9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
2 2 2 3 3 3
2 2 2
3
, , 0

3
1 1 1
1
3
ó :
x
y
z
a
a b c
b ab bc ca abc
a b c
c
a b c a b c
Ta c VT
a bc b ca c ab a abc b abc c abc

=
>



= ⇒ ⇔ + + =
 
+ + =
 

=

= + + = + +

+ + + + + +
Bài 15: Tìm Min của:
2 2 2
x y z
H
y z z x x y
= + +
+ + +
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
5
20 bài bất đẳng thức
Trong đó:
2 2 2 2 2 2
, , 0
2010
x y z
x y y z z x
>



+ + + + + =


2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
, , 0
ó :

2010
2( ); 2( ); 2( )
a x y
a b c
b y z Theo Bunhiacopxki ta c
a b c
c z x
x y x y y z y z z x z x

= +

>


= + ⇒
 
+ + =


= +


+ ≤ + + ≤ + + ≤ +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( )
à : ; ;

2 2 2
1
2 2
x y z
H
y z z x x y
a b c a b c a b c
V x y z
a b c a b c a b c
H
b c a
⇒ ≥ + +
+ + +
− + + − − + +
= = =
 
− + + − − + +
⇒ ≥ + +
 ÷
 
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ( )
( ) 2( ) . ì: ( ) ê :
3
2 2
1 ( ) 1 1 1 1 ( )
.( ) 2( ) .9 2( )
3 3
2 2 2 2

2010 1005 2 1005 2
224450
2 2
2 2 2 2
a b c
a b c a b c V a b c n n
a b c
a b c a b c
H a b c a b c a b c
a b c
a b c
Min H x y z
  + +
 
= + + + + − + + + + ≥
 ÷
 ÷
 
 
 + +  + +
   
≥ + + + + − + + ≥ − + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
+ +
= = = ⇒ = ⇔ = = =
Bài 16: Tìm Min, Max của:
( )

(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1

ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t
t u
Coi u t u A f u
t u
u

f u A f u f
u
= =
 
 
 
 
 ÷
 + ÷ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 ÷
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −


⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=

1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =
Bài 17: Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1. Tìm Min, Max của:
( ) ( )P x y z xy yz zx
= + + − + +
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
6
20 bài bất đẳng thức
2 2 2 2
2 2
3( ) 3 3; 3
1 2 1

à ( ) '( ) 0 1 3; 3
2 2
ax (1) 1
ó :
( 3) ( 3 1)
t x y z t x y z t
t t t
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
 
= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −
 
− − + +
 
= − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −
 
= =



= − = − +


Bài 18: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:
4 1
4
A
x y

= +
( )
2
2
5
16
16 60 5
4
.
5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16
'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5
3
y y
y x y
A
xy y y
y y

a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a
a
+ −
+ +
= = =
−
−
= < <
 
+
⇒ = = + = + =
 
= − + =
−
 
=


⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =

= −
−


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4
Bài 19: CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >
Xét hàm số:
2
cos 1
2
x
y x
= + −

' sin à '' 1 cos 0; ;
2
y x x v y x x o
π
 
= − = − > ∀ ∈
 ÷
 

Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có:

2
cos 1
2
x
x
> −
Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:

2 2 2
cos 1 ;cos 1 ;cos 1
2 8 2 8 2 8
A A B B C C
> − > − > −
Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
7
20 bài bất đẳng thức

2
1 1 1 1 9
2 ( ) 2.
8 8
18 144
3 3
8 8
A B C
VT A B C
A B C A B C
π π
π π
+ +

 
⇒ > + + − + + ≥ −
 ÷
+ +
 
−
= − = >
Bài 20: Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:
1 1
x y
S
y x
= +
+ +

2 2
2
2
( ) ( ) 2 2
.
1 1 ( ) 1 2
( ) 1 1 2 2 6
à : 0 . : 0; à 2 ( )
4 4 4 2 2
1 2
inS ( )
6
' 0
4 3
( 2)

ax (0) 1
x y x y x y xy
S
y x xy x y xy
x y t
M xy Coi t xy t v S f t
t t
M f
S
t
M S f
+ + + −
= + = =
+ + + + + +
+ −
 
≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + =
 
+ +
 

= =
−

⇒ = < ⇒

+

= =


Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
8