Các phương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ THÚY
CÁC PHƯƠNG PHÁP TỰA NỘI
SUY SPLINE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt qúa trình học
tập.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thúy
2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Các phương pháp tựa
nội suy spline và ứng dụng" được hoàn thành bởi nhận thức của tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả
Nguyễn Thị Thúy
3
Mục lục
Mở đầu 6
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Phương pháp nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Đa thức nội suy Hermitte . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Phương pháp tựa nội suy 19
2.1 Không gian các hàm spline và B-spline . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Tính chất của spline và B-spline . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Sự độc lập tuyến tính và đa thức đại diện . . . . . . 21
2.2.2 Phép lấy vi phân và tính trơn của B-spline . . . . . 26
2.2.3 B-spline làm cơ sở cho đa thức từng đoạn . . . . . . 30
2.3 Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Hai cơ sở tựa nội suy trên phiếm hàm điểm . . . . . 38
4
3 Ứng dụng 41
3.1 Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 1 . . . . . . . . . . . 41
3.2 Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 2 . . . . . . . . . . . 45
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50

5
Mở đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong thực tế, vấn đề tìm giá trị của hàm số, tính tích phân xác định
có ý nghĩa quan trọng, nên có nhiều phương pháp khác nhau để giải các
bài toán trên.
Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợp không
giải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực, bởi vậy người ta
sử dụng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau để giải quyết các vấn đề
trên.
Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tính
toán do vậy được ứng dụng trong tính toán gần đúng. Trong phương pháp
nội suy, các điểm nút là các mốc nội suy được cố định. Người ta có thể
sử dụng các điểm nút nội suy linh hoạt, đó là phương pháp tựa nội suy.
Khi áp dụng hàm spline và phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ hàm số,
người ta chia khoảng xác định của hàm số thành nhiều đoạn, trên mỗi
đoạn ta xấp xỉ bằng một hàm spline, qua đó sẽ xấp xỉ được hàm số đã
cho. Phương pháp này có nhiều ưu điểm do đó, tôi đã chọn đề tài : “Các
phương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu khái niệm và các tính chất của hàm spline, B-spline.
Khái niệm phương pháp tựa nội suy spline và một số ứng dụng của
phương pháp tựa nội suy bằng hàm spline, B-spline.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy bằng hàm spline.
Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy spline, xấp xỉ hàm số,
6
lập trình Maple để giải các bài toán đặt ra.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp nội suy và phương pháp hàm spline trong quá

trình thực hiện luận văn.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Áp dụng phương pháp tựa nội suy vào xấp xỉ một lớp hàm số có ứng
dụng trong thực tế. Làm rõ một số tính chất của hàm spline và phương
pháp tựa nội suy.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị, chương này trình bày khái niệm và kiến
thức để sử dụng cho các chương sau.
Chương 2. Phương pháp tựa nội suy, trong chương này trình bày khái
niệm và các tính chất của hàm spline, B-spline, phương pháp tựa nội suy
và các tính chất.
Chương 3. Ứng dụng, trình bày ứng dụng phương pháp tựa nội suy để
xấp xỉ các lớp hàm cho trước.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu:
• Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần
tử của X, gọi là tổng của x với y, và được kí hiệu x + y; ứng với mỗi
phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phần tử của X gọi là tích của x với α và được kí hiệu αx.
• Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1. x + y = y + x, ∀x, y ∈ X.
2. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X.
3. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ X ( phần
tử này gọi là phần tử không).
4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao

cho x + (−x) = 0 (phần tử −x gọi là phần tử đối của x).
5. 1.x = x, ∀x ∈ X.
6. α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R .
7. (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R.
8. α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R.
8
Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực. Nếu trong định nghĩa ấy
ta thay các số thực bằng số phức thì ta có không gian vectơ phức. Người
ta còn gọi không gian vectơ là không gian tuyến tính.
Các phần tử của một không gian vectơ thường gọi là vectơ.
Ví dụ 1.1.
Trong mặt phẳng thực E
2
, tập X = E
2
là tập
E
2
= {(x
1
, x
2
) : x
1
và x
2
là các số thực}.
Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x
1
, x

2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ X, phép
cộng và nhân vô hướng được định nghĩa:
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
)
αx = (αx
1
, αx
2
)
là không gian vectơ.
Ví dụ 1.2.
Xét không gian tuyến tính thực
C
[a,b]
= {x = x(t) : x(t)là hàm số liên tục trên [a, b]},
với mỗi số thực α và f(t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được
định nghĩa:
(f + g)(t) = f(t) + g(t), a ≤ t ≤ b

(αf)(t) = αf(t)
là không gian vectơ.
Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ x
1
, x
2
, , x
k
∈ X gọi là độc lập tuyến tính
nếu bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ ấy mà đã bằng không thì mọi
hệ số bằng không, nghĩa là: α
1
x
1
+α
2
x
2
+ +α
k
x
k
= 0 nhất thiết kéo theo
α
1
= α
2
= = α
k
= 0. Các vectơ x

1
, x
2
, , x
k
gọi là phụ thuộc tuyến tính
nếu chúng không độc lập tuyến tính. Nghĩa là tồn tại những số α
1
, α
2
, , α
k
trong đó có ít nhất một số khác 0 sao cho α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ + α
k
x
k
= 0.
9
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường
K, (K = R hoặc K = C).
Một hệ vectơ trong X gọi là một hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X
đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó.

Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một
không gian tuyến tính hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều
biểu thị tuyến tính duy nhất theo hệ đó.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Khi
đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau.
Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X.
Nếu X là một K - không gian tuyến tính có số chiều là n, ta viết
dimX = n hoặc dim
K
X = n.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Tập
con X
1
của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian
X nếu X
1
cùng hai phép toán cảm sinh của X trên X
1
tạo thành một
không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên R.
Khi đó ánh xạ T : X → Y được gọi là tuyến tính nếu:
1. T (x
1
+ x
2
) = T (x
1
) + T (x

2
), ∀x
1
, x
2
∈ X
2. T (kx) = kT (x), ∀k ∈ R, ∀x ∈ X.
1.2 Không gian metric
Định nghĩa 1.2.1. Xét một tập hợp X cùng với ánh xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện:
1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
10
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ánh xạ d được
gọi là hàm khoảng cách.
Ví dụ 1.3.
Xét X = Q là tập hợp số hữu tỉ với khoảng cách d(x, y) = |x − y|, khi
đó Q là không gian metric.
Ví dụ 1.4.
Xét X = C [0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảng cách
d(x, y) = max
0t1
|x(t) − y(t)|, khi đó, X là không gian metric.
Định nghĩa 1.2.2. Cho dãy các phần tử x
n
∈ X, ∀n ∈ N và phần tử
x
∗

∈ X. Khi đó x
∗
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
}
n∈N
nếu
lim
n→∞
d(x
n
, x
∗
) = 0
và kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x
∗
.
Định nghĩa 1.2.3. Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản)
nếu ∀ε > 0, ∃N
0
sao cho ∀n, m  N
0
thì d(x
n

, x
m
) < ε.
Định nghĩa 1.2.4. Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy
Cauchy đều có một điểm giới hạn a ∈ X được gọi là không gian metric đủ.
Định nghĩa 1.2.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
T : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0  α < 1
sao cho với mọi x, x
,
∈ X ta đều có
d(T x, Tx
,
)  αd(x, x
,
)
Định lý 1.1. (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử X là không gian metric đủ
và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện
d(T x, Tx
,
)  αd(x, x
,
)
với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x
∗
∈ X
sao cho x
∗
= T x
∗
, hơn nữa với x

0
∈ X thì dãy {x
n
}
n∈N
xác định bởi
x
k+1
= T x
k
, ∀k ∈ N, là hội tụ đến x
∗
, đồng thời ta có ước lượng:
d (x
n
, x
∗
) 
α
n
1−α
d (x
1
, x
0
)
11
1.3 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Ánh xạ
. : X → R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực: x ∈ R, ∀x ∈ X

thỏa mãn các điều kiện:
1. x > 0 nếu x = 0; x = 0 nếu x = 0,
2. αx = |α| x,
3. x + y ≤ x + y ,
với mọi x, y ∈ X, và mọi số thực α. Khi đó, . được gọi là một chuẩn
trên X.
Ví dụ 1.5.
Không gian C
[a,b]
, là không gian định chuẩn với chuẩn:
C
[a,b]
: x = max
a≤t≤b
|x(t)|.
Ví dụ 1.6.
Không gian L
[a,b]
, là không gian định chuẩn với chuẩn:
x =
b

a
|x(t)|dt.
Định nghĩa 1.3.2. Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim
n→∞
x

n
− x = 0. Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay
x
n
→ x(n → ∞).
Định nghĩa 1.3.3. Cho không gian tuyến tính X và X
1
, X
2
là hai
chuẩn đã cho trên X. Hai chuẩn X
1
, và X
2
gọi là tương đương nếu
tồn tại hai số dương α, β sao cho:
αx
1
≤ x
2
≤ βx
1
, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm (x
n
) ⊂ X.

Ta gọi chuỗi là biểu thức có dạng:
x
1
+ x
2
+ + x
n
+
12
Chuỗi này gọi là hội tụ nếu các tổng bộ phận s
n
= x
1
+ x
2
+ + x
n
của nó lập thành một dãy hội tụ.
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y). Khi đó X được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.3.6. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn
và T : X → Y là một toán tử tuyến tính. Nếu tồn tại giá trị hữu hạn:
T  = sup
x∈X
T x
x
< +∞
Thì toán tử X được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số T gọi là chuẩn
của toán tử T .

Định nghĩa 1.3.7. Cho X là một không gian tuyến tính. Ánh xạ ψ :
X × X → R thỏa mãn các điều kiện:
1. ψ(x, x)  0, ∀x ∈ X, ψ(x, x) = 0 ⇔ x = 0
2. ψ(x, y) = ψ(y, x), ∀x, y ∈ X
3. ψ(αx
1
+βx
2
, y) = αψ(x
1
, y)+βψ(x
2
, y), ∀x
1
, x
2
, y ∈ X và ∀α, β ∈ R
được gọi là một tích vô hướng trên X, còn ψ(x, y) được gọi là tích vô hướng
của hai phần tử x, y và thường được kí hiệu là (x, y).
Định nghĩa 1.3.8. Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với một
tích vô hướng trên X gọi là không gian tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.9. Ta gọi một không gian tuyến tính H = ∅ trên trường
K là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tích vô hướng
2. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.
Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
13

1.4 Số gần đúng và sai số
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói rằng a là số gần đúng của số a
∗
nếu a không
sai khác a
∗
nhiều.
Định nghĩa 1.4.2. Đại lượng ∆ = a − a
∗
là sai số thực sự của a.
Nếu ∆ > 0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, ∆ < 0 thì a là giá trị gần
đúng thừa của a
∗
Số a
∗
nói chung không biết nên cũng không biết ∆. Tuy nhiên, tồn tại
∆
a
 0 thỏa mãn điều kiện |a
∗
− a|  ∆
a
.
Định nghĩa 1.4.3. Số ∆
a
thỏa mãn điều kiện |a
∗
− a|  ∆
a
được gọi là

sai số tuyệt đối của a, còn δ
a
=
∆
a
|a|
là sai số tương đối của a.
Sai số tính toán: Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:
y = f (x
1
, x
2
, , x
n
).
Gọi x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
), y
∗
= f(x
∗

) là giá trị đúng, còn x = (x
1
, x
2
, , x
n
),
y = f (x) là giá trị gần đúng của y
∗
, ∆x
i
= |x
∗
i
− x
i
|
Giả sử f (x
1
, x
2
, , x
n
) là hàm số khả vi liên tục thì:
∆y = |y − y
∗
| = |f (x
1
, , x
n

) − f(x
∗
1
, , x
∗
n
)| =
n

i=1


f

x
i


. |x
i
− x
∗
i
|
với f

x
i
là đạo hàm theo x
i

tính tại điểm trung gian.
Vì f là khả vi liên tục, ∆x
i
quá bé nên: ∆y =
n

i=1


¯
f

x
i
(x
1
, , x
n
)


∆x
i
vậy δ
y
=
∆y
|y|
=
n


i=1



∂
∂x
i
ln f



∆x
i
.
1.5 Phương pháp nội suy
Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm y = f(x)
với x bất kì trong đoạn [a, b], trong khi chỉ biết các giá trị y
i
= f (x
i
) , x
i
∈
[a, b] , i = 0, 1, , n. Ở một số trường hợp khác biểu thức giải tích của
f(x) đã biết, nhưng quá phức tạp. Với những trường hợp như vậy, người
ta thường xây dựng một hàm số P (x) đơn giản và thỏa mãn điều kiện
P (x
i
) = f (x

i
) , và x
i
= x
j
, ∀i = j, x
i
∈ [a, b], ∀i = 0, 1, , n
14
Ngoài ra, tại x ∈ [a, b] , x = x
i
thì P (x) xấp xỉ y = f(x) theo một độ
chính xác nào đó. Hàm số như vậy gọi là hàm nội suy của f(x), còn các
x
i
, i = 0, 1, , n gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng hàm số P(x)
như vậy gọi là bài toán nội suy. Trong quá trình xây dựng hàm P(x), ta
xây dựng P (x) có đặc tính tương tự với hàm số y = f(x). chẳng hạn, nếu
f(x) tuần hoàn với chu kì T thì P (x) cũng tuần hoàn với chu kì T .
Dùng hàm nội suy P (x) có thể dễ dàng tính được các giá trị f(x) tại
x bất kì thuộc [a, b] tương đối chính xác. Từ đó có thể tính gần đúng đạo
hàm, hoặc tích phân của f(x) trên đoạn [a, b]. vì các đa thức đại số là đơn
giản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) ở dạng đa thức đại số.
1.5.1 Đa thức nội suy Lagrange
Bài toán: Cho x
i
∈ [a, b] , i = 0, 1, , n, x
i
= x
j

, ∀i = j và y
i
=
f (x
i
) , i = 0, 1, , n. Hãy xây dựng đa thức nội suy L
n
(x) thỏa mãn
deg L
n
(x)  n, L
n
(x
i
) = y
i
, ∀i = 0, 1, , n.
Trước hết ta xét: Φ
j
(x) =
n

i=0,i=j
(x − x
j
)/
n

i=0,i=j
(x

j
− x
i
). Rõ ràng
deg Φ
j
(x) = n, ∀j = 0, 1, , n và
Φ
j
(x) =

0, i = j
1, i = j
.
Đặt L
n
(x) =
n

j=0
y
j
Φ
j
(x), ta có deg L
n
(x)  n và L
n
(x
i

) = y
i
, ∀i =
0, 1, , n.
Vậy L
n
(x) thỏa mãn mọi yêu cầu của bài toán đặt ra và L
n
(x) xây dựng
như vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange. Đặt ω
n+1
(x) =
n

i=0
(x − x
i
),
ta có:
L
n
(x) =
n

j=0
y
j
ω
n+1
(x)

(x−x
j
)ω

n+1
(x
j
)
.
Giả sử còn có đa thức

L
n
(x) thỏa mãn các điều kiện trên khi đó gọi
ϕ (x) =

L
n
(x) −

L
n
(x)

thì deg ϕ (x)  n và nhận ít nhất là (n + 1)
nghiệm x
0
, x
1
, , x

n
, do đó ϕ (x) ≡ 0, do vậy

L
n
(x) ≡ L
n
(x).
15
Vậy tồn tại duy nhất một đa thức thỏa mãn các điều kiện kể trên.
Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều
Giả sử x
i+1
− x
i
= h, ∀i = 0, 1, , (n − 1), x
0
= a, x
n
= b. Khi đó dùng
phép đổi biến x = x
0
+ th, x
j
= x
0
+ jh với j = 0, 1, , n − 1 và thay vào
biểu thức của Φ
j
(x) ta được

Φ
j
(x) =
t(t−1) (t−n)
(t−j)
.
(−1)
n−j
j!(n−j)!
.
Khi đó ta thu được:
L
n
(x) = L
n
(x
0
+ th) =
t(t−1) (t−n)
n!
n

j=0
(−1)
n−j
c
n
j
(t−j)
y

j
.
1.5.2 Đa thức nội suy Hermitte
Bài toán: Hãy tìm đa thức nội suy H
2n+1
(x) thỏa mãn các điều kiện
1. deg H
2n+1
(x)  2n + 1.
2. H
2n+1
(x
i
) = f (x
i
) , ∀i = 0, 1, , n.
3. H

2n+1
(x
i
) = f

(x
i
) , ∀i = 0, 1, , n.
Trong đó x
i
∈ [a, b] , x
i

= x
j
, ∀i = j, và f

(x
i
), H

2n+1
(x
i
) tương ứng
là đạo hàm của hàm số f(x) và H
2n+1
(x) tại x
i
. Đa thức:
H
2n+1
(x) =
n

i=0

f (x
i
)

1 −
ω


n+1
(x
i
)
ω

n+1
(x
i
)
(x − x
i
)

+ f

(x
i
) (x − x
i
)

ω
n+1
(x)
(x−x
i
)ω


n+1
(x
i
)

là đa thức nội suy Hermitte.
Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy
Lagrange là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy và
hàm số đã cho tại các mốc nội suy thì còn có yêu cầu về sự trùng nhau
của các giá trị đạo hàm của chúng.
1.5.3 Spline đa thức
Người ta có nhiều cách dựng các hàm spline, sau đây là cách một xây
dựng hàm spline.
16
Bài toán: Xét phân hoạch a = x
0
< x
1
< < x
n−1
< x
n
= b. Một spline
đa thức bậc 3 trên đoạn [a, b] với phân hoạch đã cho là hàm số y = S(x)
thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
1. S (x) ∈ C
2
[a,b]
.
2. Hạn chế của S(x) trên mỗi ∆

i
= [x
i
; x
i+1
] là một đa thức đại số

S (x)|
∆
i

với deg

S (x)|
∆
i

 3, ∀i = 0, 1, , n.
Giả sử y
i
= f (x
i
) và y

i
= f

(x
i
) là các giá trij của hàm số và đạo hàm

của y = f(x) tại các x
i
(i = 0, 1, , n) là đã cho. Bài toán đặt ra là tìm
spline đa thức bậc 3 nội suy thỏa mãn:
S (x
i
) = y
i
, S

(x
i
) = y

i
, ∀i = 0, 1, , n.
Để giải quyết bài toán này, ta kí hiệu h
i
= (x
i+1
− x
i
) , i = 0, 1, , (n − 1)
và m
i
= S

(x
i
) , i = 0, 1, , n. Vì S


(x) là đa thức bậc  1 trên ∆
i
nên
có thể viết
S

(x)|
∆
i
= α
i
(x
i+1
− x) + β (x − x
i
).
Thay x = x
i
thì có m
i
= α
i
h
i
, do vậy α
i
=
m
i

h
i
.
Thay x = x
i+1
thì có m
i+1
= β
i
h
i
nên β
i
=
m
i+1
h
i
. Vậy S (x)|
∆
i
có thể
viết dưới dạng:
S (x)|
∆
i
=
m
i
6h

i
(x
i+1
− x
i
)
3
+
m
i+1
6h
i
(x − x
i
)
3
+ ξ (x
i+1
− x) + η (x − x
i
).
Tương tự như trên, thay x = x
i
và x = x
i=1
ta thu được:
ξ =

y
i

h
i
−
m
i
h
i
6

, η =

y
i+1
h
i
−
m
i+1
h
i
6

.
Thay trở lại biểu thức S (x)|
∆
i
thì có:
S (x)|
∆
i

=
m
i
6h
i
(x
i+1
− x)
3
+
m
i+1
6h
i
(x − x
i
)
3
+

y
i
h
i
−
m
i
h
i
6


(x
i+1
− x) +

y
i+1
h
i
−
m
i+1
h
i
6

(x − x
i
).
Lấy đạo hàm ta có :
S

(x)|
∆
i
= −
m
i
2h
i

(x
i+1
− x)
2
+
m
i+1
2h
i
(x − x
i
)
2
−

y
i
h
i
−
m
i
h
i
6

+

y
i+1

h
i
−
m
i+1
h
i
6

.
17
Chú ý đến điều kiện S (x) ∈ C
2
[a, b], nên tại các x
i
(i = 1, 2, , n − 1)
thì đạo hàm hai phía bằng nhau, từ đó thu được hệ gồm n − 1 phương
trình với n + 1 ẩn là m
i
dưới đây:

h
i−1
6
m
i−1
+
(h
i
−h

i−1
)
3
m
i
+
h
i
6
m
i+1
=
y
i+1
−y
i
h
i
−
y
i
−y
i−1
h
i−1
1  i  n − 1
.
Nếu đặt a
i
=

h
i
h
i−1
+h
i
và b
i
=
6
h
i−1
+h
i

y
i+1
−y
i
h
i
−
y
i
−y
i−1
h
i−1

thì hệ trên được

viết dưới dạng:

(1 − a
i
) m
i−1
+ 2m
i
+ a
i
m
i+1
= b
i
1  i  n − 1
.
Chú ý đến hai điều kiện S

(x
0
) = y

0
và S

(x
n
) = y

n

ta thu được hai
phương trình:
2m
0
+ m
1
=
6
h
0

y
1
−y
0
h
0
− y

0

= b
0
m
n−1
+ 2m
n
=
6
h

n−1

y

n
−
y
n
−y
n−1
h
n−1

= b
n
.
Ghép hai phương trình này vào hệ trên ta được hệ:






















2m
0
+ m
1
= b
0
(1 − a) m
0
+ 2m
1
+ a
1
m
2
= b
1
(1 − a) m
1
+ 2m
2
+ m
3

= b
2

(1 − a) m
n−2
+ 2m
n−1
+ a
n−1
m
n
= b
n−1
m
n−1
+ 2m
n
= b
n
.
Hệ phương trình này gồm (n + 1) phương trình, (n + 1) ẩn, đồng thời
ma trận hệ số có dạng đường chéo trội, nên hệ phương trình này có nghiệm
duy nhất m = (m
0
, m
1
, , m
n
). Thay thế các m
i

vừa tìm được vào S(x)
thì ta có đa thức spline S(x) thỏa mãn điều kiện bài toán đặt ra.
18
Chương 2
Phương pháp tựa nội suy
2.1 Không gian các hàm spline và B-spline
Định nghĩa 2.1.1. Cho đoạn thẳng [a, b], giả sử chia đoạn thẳng [a, b]
thành n − 1 đoạn bởi các điểm chia a = t
1
 t
2
  t
n
= b. Kí hiệu
các điểm chia đó là t = (t
j
)
n
j=1
, t
i
là các điểm nút. Giả sử trên mỗi đoạn
[t
j
, t
j+1
], j = 1, 2, , n − 1 ta có một hàm đa thức, các hàm đa thức liên
tục tại các điểm nút. Khi đó ta có đường cong đa thức từng đoạn gọi là
đường cong spline.
Định nghĩa 2.1.2. Cho d là một số nguyên không âm và cho t = (t

j
)
n+d+1
j=1
,
các điểm nút là dãy số thực không giảm. B-spline thứ j bậc d với điểm nút
t được định nghĩa bởi
B
j,d,t
(x) =
x−t
j
t
j+d
−t
j
B
j,d−1,t
(x)+
t
j+1+d
−x
t
j+1+d
−t
j+1
B
j+1,d−1,t
(x) , j = 1, 2, , n+d+1
Với mọi số thực x, trong đó

B
j,0,t
(x) =

1, x ∈ [t
j
, t
j+1
)
0, x /∈ [t
j
, t
j+1
)
.
Để đơn giản trong các trường hợp tránh sự nhầm lẫn, ta thường kí hiệu
spline thứ j bậc d là B
j,d
, B
j,t
hoặc B
j
thay cho B
j,d,t
(x). Nếu trong dãy các
điểm nút t = (t
j
)
n+d+1
j=1

có điểm t
j
xuất hiện m lần: t
j
= t
j+1
= = t
j+m−1
thì ta nói t
j
là nút bội m. Dãy t = (t
j
)
n+d+1
j=1
gọi là các điểm nút của n
đường spline.
19
Ví dụ 2.1. (B-spline bậc 1)
B
j,1
(x) =
x−t
j
t
j+1
−t
j
B
j,0

(x) +
t
j+2
−x
t
j+2
−t
j+1
B
j+1,0
(x)
=





(x − t
j
) / (t
j+1
− t
j
) , t
j
 x < t
j+1
(t
j+2
− x) / (t

j+2
− t
j+1
) , t
j+1
 x < t
j+2
0 , =
(trong đó, =: Các trường hợp khác)
Ví dụ 2.2. (B-spline bậc 2)
B
j,2
(x) =
x − t
j
t
j+2
− t
j
[
x − t
j
t
j+1
− tj
B
j,0
(x) +
t
j+2

− x
t
j+2
− t
j+1
B
j+1,0
(x)]+
t
j+3
− x
t
j+3
− tj + 1
[
x − t
j+1
t
j+2
− t
j+1
B
j+1,0
(x) +
t
j+3
− x
t
j+3
− t

j+2
B
j+2,0
(x)]+
=
(x − t
j
)
2
(t
j+2
− t
j
)(t
j+1
− t
j
)
B
j,0
(x) +
t
j+3
− x)
2
(t
j+3
− t
j+1
)(t

j+3
− t
j+2
)
B
j+2,0
(x)
+ (
(x − t
j
)(t
j+2
− x)
(t
j+2
− t
j
)(t
j+2
− t
j+1
)
+
(t
j+3
− x)(x − t
j+1
)
(t
j+3

− t
j+1
)(t
j+2
− t
j+1
)
)B
j+1,0
(x).
Định nghĩa 2.1.3. (Hàm Spline) Cho t = (t
j
)
n+d+1
j=1
là dãy số thực không
giảm, là các điểm nút của n đường B-spline. Đặt
S
d,t
= span{B
1,d
, , B
n,d
} = {
n

j=1
c
j
B

j,d
|c
j
∈ R, 1  j  n}
thì S
d,t
là không gian tuyến tính. Một phần tử f =
n

j=1
c
j
B
j,d
của S
d,t
được
gọi là một hàm spline hoặc một spline bậc d với những điểm nút t, và
(c
j
)
n
j=1
được gọi là hệ số B-spline của f.
Định nghĩa 2.1.4. (Đường cong Spline) Cho t = (t
j
)
n+d+1
j=1
là dãy số thực

không âm, và cho q  2 là số nguyên. Không gian của mọi đường cong
spline bậc d trong R
q
với điểm nút t được định nghĩa bởi
S
q
d,t
=

n

j=1
c
j
B
j,d
|c
j
∈ R
q
, 1  j  n

.
Cụ thể, một phần tử f =
n

j=1
c
j
B

j,d
của S
q
d,t
được gọi là hàm vectơ spline
hoặc đường cong spline tham số bậc d với điểm nút t, và (c
j
)
n
j=1
được gọi
là hệ số B-spline hoặc điểm điều khiển của f.
20
Định nghĩa 2.1.5. Cho t = (t
j
)
n+d+1
j=1
là một điểm nút của spline bậc d,
và cho f =
n

j=1
c
j
B
j,d
là một đường cong spline trong S
d,t,q
với q  2. Đa

thức điều khiển của f là đa thức mà các cạnh của nó là các đoạn thẳng
nối các điểm điều khiển của nó
Định nghĩa 2.1.6. Cho t = (t
j
)
n+d+1
j=1
là một điểm nút của B-spline bậc
d và cho µ là một số nguyên với t
µ
< t
µ+1
và d + 1  µ  n. Với mỗi số
nguyên dương k với k  d định nghĩa ma trận R
µ
k
(x) = R
k
(x) bởi
R
k
(x) =






t
µ+1

−x
t
µ+1
−t
µ+1−k
x−t
µ+1−k
t
µ+1
−t
µ+1−k
0 0
0
t
µ+2
−x
t
µ+2
−t
µ+2−k
x−t
µ+2−k
t
µ+1
−t
µ+2−k
0

0 0
t

µ+k
−x
t
µ+k
−t
µ
x−t
µ
t
µ+k
−t
µ






.
Trong đó, x thuộc khoảng [t
µ
, t
µ+1
), d + 1 B-spline {B
j,d
}
µ
j=µ−d
bậc d
là khác không trên khoảng đó, có thể được viết

B
d
=

B
µ−d,d
B
µ−d+1,d
B
µ,d

= R
1
(x) R
2
(x) R
d
(x).
Nếu f =

j
c
j
B
j,d
là một spline trong S
d,t
, và x bị thu hẹp trong khoảng
[t
µ

, t
µ+1
), thì f (x) được cho bởi
f (x) = R
1
(x) R
2
(x) R
d
(x) c
d
.
Ở đó vectơ c
d
được cho bởi c
d
= (c
µ−d
, c
µ−d+1
, , c
µ
)
T
. Ma trận R
k
được gọi là ma trận B-spline.
2.2 Tính chất của spline và B-spline
2.2.1 Sự độc lập tuyến tính và đa thức đại diện
Định nghĩa 2.2.1. Đặt ρ

j,0
(y) = 1, d  1 thì ta gọi những đa thức biến
y được cho bởi:
ρ
j,d
(y) = (y − t
j+1
)(y − t
j+2
) (y − t
j+d
)
21
được gọi là đa thức đối ngẫu của B-spline B
j,d
.
Trên đoạn [t
µ
, t
µ+1
) chúng ta có d + 1 B-spline khác 0:
B
d
= (B
µ−d,d
, , B
µ,d
)
T
,

ta lập các đa thức đối ngẫu dạng vectơ
ρ
d
(y) = (ρ
µ−d,d
(y), , ρ
µ,d
(y))
T
.
Bổ đề 2.1. Cho µ là một số nguyên, t
µ
< t
µ+1
và cho ρ
d
(y) là đa thức
đối ngẫu xác định bởi
ρ
d
(y) = (ρ
µ−d,d
(y), , ρ
µ,d
(y))
T
, (2.1)
với d  1 ta có
R
d

(x)ρ
d
(y) = (y − x)ρ
d−1
(y) (2.2)
với mọi x, y ∈ R.
Chứng minh. Ta cần chứng minh:
(x − t
j
)ρ
j,d
(y) + (t
j+d
− x)ρ
j−1,d
(y)
t
j+d
− t
j
= (y − x)ρ
j,d−1
(y) (2.3)
với j = µ − d + 1, , µ. Khi ρ
j,d
(y) = (y − t
j+d
)ρ
j,d−1
(y) và ρ

j−1,d
(y) =
(y − t
j
)ρ
j,d−1
(y), tử số ở vế trái của (2.3) trở thành:
((x − t
j
)(y − t
j+d
) + (t
j+d
− x)(y − t
j
))ρ
j,d−1
(y).
Biến đổi đơn giản ta có:
(x − t
j
)(y − t
j+d
) + (t
j+d
− x)(y − t
j
) = (y − x)(t
j+d
− t

j
).
Thay vào vế trái của (2.3) ta thu được vế phải.
Hệ quả 2.1. Cho µ là một số nguyên, t
µ
< t
µ+1
và cho ρ
d
(y) là đa thức
đối ngẫu xác định bởi (2.1). Ta có:
R
1
(x
1
)R
2
(x
2
) R
d
(x
d
)ρ
d
(y) = (y − x
1
)(y − x
2
) (y − x

d
)
với mọi số thực x
1
, x
2
, , x
d
và y.
Định lý 2.1. Với d  2 và ∀x, y ∈ R, các ma trận R
d−1
và R
d
thỏa mãn:
22
R
d−1
(z)R
d
(x) = R
d−1
(x)R
d
(z).
Chứng minh. Áp dụng (2.2) 2 lần ta được
R
d−1
(x)R
d
(z)ρ

d
(y) = (y − x)(y − z)ρ
d−2
(y)
và do tính đối xứng ta cũng có:
R
d−1
(z)R
d
(x)ρ
d
(y) = (y − x)(y − z)ρ
d−2
(y)
Trừ vế với vế ta có Bρ
d
(y) = 0, với mọi y.
Ma trận B cấp (d − 1) × (d + 1) xác định bởi:
B = R
d−1
(x)R
d
(z) − R
d−1
(z)R
d
(x).
Để hoàn thành chứng minh, ta phải chỉ ra B = 0. Cho a là một vectơ
trong R
d−1

ta có a
T
Bρ
d
(y) = 0 với mọi y. Do d + 1 đa thức trong ρ
d
là
độc lập tuyến tính, tức là a
T
B = 0, vì a là tùy ý, vậy ánh xạ B gồm tất
cả những vectơ 0, nói cách khác B = 0.
Định lý 2.2. (Cách xác định của Marsden)
Cho trước điểm nút t = (t
j
)
n+d+1
j=1
. Thì quan hệ
(y − x)
d
=
n

j=1
ρ
j,d
(y)B
j,d
(x)
đúng với mọi số thực y và mọi số thực x trong khoảng [t

d+1
, t
n+1
].
Số mũ của định lý 2.2 thuộc hệ số ρ
d
phụ thuộc vào y, sử dụng kết quả
này, chúng ta có thể chỉ ra rõ ràng lũy thừa 1, x, , x
d
có thể được viết
trong dạng của B-spline.
Hệ quả 2.2. Cho x bất kỳ nằm trong khoảng [t
d+1
, t
n+1
], cơ sở lũy thừa
{ x
i
}
d
i=0
có thể được thể hiện trong dạng của B-spline qua hệ thức:
1 =
n

j=1
B
j,d
(x) với d  0
x =

n

j=1
t
∗
j,d
B
j,d
(x) với d  1
x
2
=
n

j=1
t
∗∗
j,d
B
j,d
(x) với d  2,
23
trong đó
t
∗
j,d
= (t
j+1
, , t
j+d

)/d
t
∗∗
j,d
=
j+d−1

i=j+1
j+d

k=i+1
t
i
, t
k
/

d
2

.
Tổng quát, với r = 0, 1, , d, hệ thức
x
r
=
n

j=1
σ
r

j,d
B
j,d
(x)
đúng với mọi x ∈ [t
d+1
, t
n+1
). Ở đây σ
r
j,d
là đa thức đối xứng được cho bởi:
σ
r
j,d
= (

t
j
1
t
j
2
t
j
r
)/

d
r


với r = 0, 1, , d,
trong đó j
1
, j
2
, , j
r
là các số hạng của

d
r

với j + 1  j
1
< < j
r

j + d .
Chứng minh. Ta lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình
(y − x)
d
=
n

j=1
ρ
j,d
(y)B
j,d

(x)
ta được một tổng của d − r lần đối với y, cho y = 0, sắp xếp lại hằng số,
ta thu được:
x
r
= (−1)
r
r!
d!
B
d
(x)
T
D
d−r
ρ
d
(0) = (−1)
r
r!
d!
B
j,d
(x) D
d−r
ρ
j,d
(0).
Nhân vào hệ số của ρ
j,d

, ta có ρ
j,d
(y) = y
d
− t
∗
j,d
y
d−1
+ t
∗∗
j,d
y
d−2
+
Từ đây:
D
d
ρ
j,d
(0) = d!, D
d−1
ρ
j,d
(0) = − (d − 1)!t
∗
j,d
, D
d−2
ρ

j,d
(0) = (d − 2)!t
∗∗
j,d
.
Cho r = 0, 1, 2 ta thu được các phương trình cần phải chứng minh.
Tổng quát ta có công thức:
ρ
j,d
(y) =
d

r=0
(−1)
r

d
r

σ
r
j,d
y
d−r
.
24
Biện luận như trên ta được
(−1)
r
r!

d!
D
d−r
ρ
j,d
(0) =
r!(d−r)!
d!

d
r

σ
r
j,d
= σ
r
j,d
.
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.2. B-spline {B
j,d
}
µ
j=µ−d
và da thức {ρ
j,d
}
µ
j=µ−d

là độc lập tuyến
tính trên khoảng [t
µ
, t
µ+1
).
Chứng minh. Vì các hàm số 1, x, , x
d
là cơ sở của các đa thức bậc d, mỗi
hàm này có thể biểu diễn qua B-spline nên mỗi đa thức bậc d có thể biểu
diễn qua B-spline. Trên khoảng [t
µ
, t
µ+1
), B-spline khác 0 là {B
j,d
}
µ
j=µ−d
.
Do đó B-spline là một cơ sở cho đa thức bậc d trên [t
µ
, t
µ+1
) và đặc biệt,
chúng là độc lập tuyến tính trên khoảng này. Tính đối xứng của x và
y trong (y − x)
d
=
n


j=1
ρ
j,d
(y)B
j,d
(x) dẫn đến tính đối xứng của đa thức
kép.
Định nghĩa 2.2.2. Một điểm nút t = (t
j
)
n+d+1
j=1
được gọi là (d + 1) - mở
rộng nếu
1. n  d + 1,
2. t
d+1
< t
d+2
và t
n
< t
n+1
,
3. t
j
< t
j+d+1
với j = 1, 2, , n.

Một điểm nút (d + 1) - mở rộng với t
1
= t
d+1
và t
n+1
= t
n+d+1
được gọi
là điểm nút vectơ (d + 1)- chính quy.
Định lý 2.3. Giả sử t là điểm nút (d + 1) - mở rộng, thì B-spline bất kì
trong S
d,t
là độc lập tuyến tính trên khoảng [t
d+1
, t
n+1
).
Chứng minh. Chúng ta chứng minh trong trường hợp (d + 1) - chính quy.
Giả sử các spline f =
n

j=1
c
j
B
j,d
là khác 0 trên [t
d+1
, t

n+1
). Chúng ta phải
chứng minh c
j
= 0 với j = 1, , n. Cho j là một số tùy ý trong khoảng
[1, n], vì số điểm nút không xuất hiện nhiều hơn d + 1 lần, nên tồn tại
khoảng khác rỗng [t
µ
, t
µ+1
) chứa trong [t
j
, t
j+d+1
] là giá của B
j,d
. Nhưng
tất cả các B-spline khác 0 trên [t
µ
, t
µ+1
) là độc lập tuyến tính nên f(x) = 0
trên khoảng này. Nghĩa là c
k
= 0 với k = µ − d, , µ. Vì B
j,d
là một trong
25