Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGHĨA
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ KIM SƠN
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Kim Sơn,
cô đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia
đình, đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và động viên trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Nghĩa
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề
tài “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
vi phân mờ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn

Thị Kim Sơn và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Nghĩa
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ . . . . . . . . . . . 5
1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập mờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Không gian E
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Tính khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . 20
2.3. Định lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài toán 31
2.5. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết tập mờ là lý thuyết toán học hiện đại và trừu tượng. Lý

thuyết mờ đang là xu thế trong thời đại mới, là ngôn ngữ chủ đạo quan
trọng để con người đi đến những tri thức nhân tạo. Xuất phát từ thực
tế con người phải sử dụng ngôn ngữ với số lượng hữu hạn để nhận biết,
nhận thức phản ánh thế giới vô hạn, trong khi đó chúng ta lại thường
xuyên đối mặt với những vấn đề chứa những yếu tố cơ bản không đầy
đủ, không chắc chắn, không chính xác. Vì vậy sẽ có một lý thuyết toán
học nào đó cho phép mô hình hóa phần thế giới thực mà con người chỉ
có thể mô tả bằng ngôn ngữ tự nhiên hàm chứa những thông tin không
chính xác, không chắc chắn. Phát hiện nhu cầu đó năm 1965 L.A.Zadeh
đã sáng lập ra lý thuyết tập mờ và đặt nền móng cho việc xây dựng
một loạt các lý thuyết quan trọng dựa trên cơ sở lý thuyết tập mờ. Lý
thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó bắt đầu được phát triển từ những
năm 70 của thế kỷ XX, và tầm quan trọng của lý thuyết mờ trong công
nghiệp điều khiển được tăng mạnh từ năm 1990.
. Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát
triển có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh
vực khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý, Chính vì vậy việc nghiên cứu
phương trình vi phân nói chung luôn là nhiệm vụ cần thiết. Đặc biệt
trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu cả về lý
1
thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân mờ. Trong đó việc
nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị ban
đầu của phương trình vi phân mờ là cần thiết tạo tiền đề cơ sở lí thuyết
vững chắc cho các bài toán ứng dụng về sau như giải xấp xỉ nghiệm
số của phương trình vi phân mờ, xây dựng thuật toán tìm nghiệm của
phương trình vi phân mờ Chính vì các lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề
tài nghiên cứu: “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân mờ” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành
toán.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Vì lý thuyết mờ nói chung và phương trình vi phân mờ nói riêng còn
là lý thuyết mới cần được tìm hiểu, do vậy luận văn tập trung vào việc
trình bày lại một số kiến thức cơ bản của tập mờ và hàm giá trị mờ
trước khi đi sâu vào nghiên cứu về phương trình vi phân mờ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, giải tích mờ và phương
trình vi phân mờ.
• Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến việc
giải phương trình vi phân mờ và bài toán Cauchy cho phương trình
vi phân mờ cấp 1.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng kiến thức của giải tích hàm thực, giải tích tập hợp, giải
tích hàm đa trị và lý thuyết không gian metric-topo để xem xét các
tính chất giải tích của hàm mờ; tập mờ.
• Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach và các đánh giá trong lý thuyết
tập hợp, không gian metric để chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân mờ.
5. Nội dung và cấu trúc của luận văn
Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu
về lý thuyết tập mờ, giải tích hàm mờ và chứng minh các định lý về sự
tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
mờ cấp 1 trong công trình của V. Lakshmikantham và R. N. Mohapatra
[13]. Luận văn dài 40 trang, ngoài phần Lời cảm ơn, Lời cam đoan, mục
lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương.
• CHƯƠNG 1: Tập mờ và hàm giá trị mờ
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập mờ,
đưa ra một số ví dụ về tập mờ và trình bày các tính chất giải tích
như: tính đo được, tính khả tích và tính khả vi của hàm giá trị mờ

(gọi tắt là hàm mờ). Không gian các tập mờ đặc biệt thường được
nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi tích phân, E
n
, cũng
3
được trình bày trong chương này.
• CHƯƠNG 2: Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình
vi phân mờ
Chương này dành cho việc nghiên cứu tính giải được duy nhất của
bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Đầu tiên
chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn của
vế phải. Sau đó các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào các dữ kiện của bài toán trên cũng được nghiên cứu.
Cuối chương là một kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục của
phương trình vi phân mờ.
4
Chương 1
TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ
1.1. Giới thiệu
Trong chương này chúng tôi trình bày về tập mờ, nêu lên một số ví
dụ của tập mờ . Trong đó về phần 1.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về tập mờ.
Phần 1.3 nhắc lại khái niệm về khoảng cách Hausdorff giữa các tập con
của R
n
. Không gian E
n
được giới thiệu trong phần 1.4 với các ví dụ và
tính chất quan trọng. Tính đo được, tính khả tích và tính khả vi của
hàm giá trị mờ được trình bày tương ứng trong các phần 1.5, 1.6 và 1.7

1.2. Tập mờ
Ý tưởng về một tập mờ lần đầu tiên được đề xuất bởi Lotfi Zadeh
vào năm 1965, nó như một phương tiện để xử lý những vấn đề chứa yếu
tố cơ bản không đầy đủ, không chắc chắn, không chính xác.
Các tập mờ được xét với cơ sở tập hợp khác rỗng X. Ý tưởng cơ bản là
mỗi phần tử x ∈ X được gán cho một hàm thuộc u(x) lấy giá trị trong
[0, 1], với u(x) = 0 tương ứng với x không thuộc tập mờ, 0 < u(x) < 1 với
x thuộc một phần tập mờ và u(x) = 1 với x thuộc cả vào tập mờ. Kí hiệu
theo Zadeh một tập mờ là một tập con khác rỗng {(x, u(x)) : x ∈ X}
của X × [0, 1] với hàm u : X → [0, 1]. Hàm u này thường được kí hiệu
5
thay cho tập mờ.
Ví dụ: Xét hàm u : X → [0, 1] xác định bởi:
u(x) =













0 nếu x ≤ 1,
1
99

(x − 1) nếu 1 < x < 100,
1 nếu 100 ≤ x.
(1.2.1)
Khi đó u(x) cho ví dụ về tập mờ gồm các số gần 100 trên tập số thực.
Hiển nhiên có nhiều lựa chọn hợp lý khác của tập mức của hàm thuộc.
Độ phụ thuộc cho một tập cổ điển hay còn gọi là tập rõ A của X là không
thuộc hoặc thuộc hoàn toàn. Như vậy từ tập rõ A của X có thể xác định
được một tập mờ trên X được cho bởi hàm đặc trưng χ
A
: X → [0, 1]
với
χ
A
=





0 nếu x /∈ A,
1 nếu x ∈ A.
(1.2.2)
Tập mức [u]
α
của tập mờ u trên X được định nghĩa là
[u]
α
= {x ∈ X : u(x) ≥ α} với α ∈ (0, 1]. (1.2.3)
Giá [u]
0

của u là bao đóng của hợp tất cả các tập mức trong tôpô của
X
[u]
0
=

α∈(0,1]
[u]
α
. (1.2.4)
Xét hàm u : X → [0, 1] là một tập mờ của không gian cơ sở khác rỗng
X và kí hiệu F(X) là tất cả các tập mờ . Ta ký hiệu u
c
là phần bù của
u ∈ F(X), u ∨ v là hợp và u ∧ v là giao của u, v ∈ F(X) và được định
6
nghĩa tương ứng như sau:
u
c
(x) = 1 − u(x) (1.2.5)
u ∨ v(x) = u(x) ∨ v(x) := max{u(x), v(x)} (1.2.6)
u ∧ v(x) = u(x) ∧ v(x) := min{u(x), v(x)} (1.2.7)
với mỗi x ∈ X. Rõ ràng u
c
, u ∨ v, u ∧ v ∈ F(X).
Nguyên lý mở rộng Zadeh xác định một ánh xạ rõ f : X
1
× X
2
→ Y,

với X
1
, X
2
, Y là các tập khác rỗng, được mở rộng cho ánh xạ trên tập
mờ
˜
f : F(X
1
) × F(X
2
) → F (X)
ở đó
˜
f(u
1
, u
2
)(y) =







sup
(x
1
,x

2
)∈f
−1
(y)
u
1
(x
1
) ∧ u
2
(x
2
) nếu f
−1
(y) = ∅,
0 nếu f
−1
(y) = ∅,
(1.2.8)
với y ∈ Y ở đây f
−1
(y) = {(x
1
, x
2
) ∈ X
1
× X
2
: f(x

1
, x
2
) = y} có thể
rỗng hoặc chứa một hay nhiều điểm.
Đặc biệt, một tập mờ u ∈ F(X) được gọi là tập mờ chuẩn tắc nếu
tồn tại ít nhất một điểm x
0
∈ X mà u(x
0
) = 1.
Cho A và B là hai tập con khác rỗng của R
n
và cho λ ∈ R. Ta định
nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} (1.2.9)
và
λA = {λa : a ∈ A}. (1.2.10)
7
Ví dụ 1.2.1. Cho A = [0, 1] sao cho (−1)A = [−1, 0] do đó
A + (−1)A = [0, 1] + [−1, 0] = [−1, 1].
Từ Ví dụ 1.1.1 ta thấy rằng khi cộng thêm (−1) không thiết lập phép
toán trừ tự nhiên. Thay vào đó ta có định nghĩa về hiệu Hukuhara A−B
của hai tập khác rỗng A và B như sau
Định nghĩa 1.2.1. (Hiệu Hukuhara)
Ta nói A − B = C nếu tồn tại C = ∅ thỏa mãn
A = B + C. (1.2.11)
Ví dụ 1.2.2. Từ ví dụ trên ta có
[−1, 1] − [−1, 0] = [0, 1] và [−1, 1] − [0, 1] = [−1, 0].
Ví dụ 1.2.3. {0} − [0, 1] là không tồn tại, vì không có tập C = ∅ nào để

[0, 1] + C = {0}
1.3. Metric Hausdorff
Cho x là một điểm trong R
n
và A là một tập con khác rỗng của R
n
.
Khoảng cách d(x, A) từ x tới A được định nghĩa
d(x, A) = inf{||x − a|| : a ∈ A}, (1.3.1)
trong đó ||.|| là chuẩn thông thường trên R
n
Do đó d(x, A) = d(x,
¯
A) ≥ 0 và d(x, A) = 0 khi và chỉ khi x ∈
¯
A là
bao đóng của A trong R
n
.
8
Ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng A
và B của R
n
là
d
H
(A, B) = max{d
∗
H
(A, B), d

∗
H
(B, A)} (1.3.2)
trong đó
d
∗
H
(B, A) = sup{d(b, A) : b ∈ B} (1.3.3)
d
∗
H
(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} (1.3.4)
Kí hiệu K
n
C
bao gồm tất cả các tập con lồi, compact khác rỗng của
R
n
và K
n
bao gồm tất cả các tập con compact khác rỗng của R
n
. Khi
đó từ Lakshmikantham and R.N Mohapatra [13 ]ta có
Mệnh đề 1.3.1. Nếu A, A

, B, B

∈ K
n

C
thì
d
H
(tA, tB) = td
H
(A, B) với mọi t ≥ 0, (1.3.5)
d
H
(A + B, A

+ B

) ≤ d
H
(A, A

) + d
H
(B, B

), (1.3.6)
d
H
(coA, coB) ≤ d
H
(A, B). (1.3.7)
Mệnh đề 1.3.2. Nếu A, B ∈ K
n
C

và C ∈ K
n
thì
d
H
(A + C, B + C) ≤ d
H
(A, B). (1.3.8)
1.4. Không gian E
n
Kí hiệu không gian E
n
của tất cả các tập con mờ u của R
n
thỏa mãn
các giả thiết:
1) Ánh xạ u : R
n
→ I = [0, 1]
9
2) [u]
0
là tập con bị chặn của R
n
;
3) [u]
α
là tập compact của R
n
với mọi α ∈ I;

4) u là lồi mờ, tức là
u(λx + (1 − λ)y) ≥ min[u(x), u(y)]
với bất kỳ λ ∈ [0, 1].
Ta sẽ định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng của tập mờ trong
E
n
theo các tập mức, với u, v ∈ E
n
và c ∈ R \ {0}
[u + v]
α
= [u]
α
+ [v]
α
(1.4.1)
và
[cu]
α
= c[u]
α
(1.4.2)
với α ∈ I.
Trên E
n
ta xét hàm d như sau
d(u, v) = sup{d
H
([u]
α

, [v]
α
) : α ∈ I} (1.4.3)
với u, v ∈ E
n
. Rõ ràng từ tính chất của d
H
ta có d là một metric trên
E
n
Ví dụ 1.4.1. Cho u, v ∈ E
1
được định nghĩa trên tập mức bởi
[u]
α
= [v]
α
= [0, 1] với 0 ≤ α ≤
1
2
và
[u]
α
= 0, [v]
α
= [0, 2(1 − α)] với
1
2
< α ≤ 1.
10

Vì vậy
φ(α) = d
H
([u]
α
, [v]
α
) =





0 với 0 ≤ α ≤
1
2
2(1 − α) với
1
2
< α ≤ 1.
Thì sup{φ(α) : α ∈ I} = 1, nhưng điều này là không đạt được.
Từ các tính chất của metric Hausdorff được liệt kê trong các Mệnh
đề 1.3.1 và 1.3.2 ta có
d(cu, cv) = |c|d(u, v);
d(u + w, v + w) = d(u, v);
d(u + w, v + w

) ≤ d(u, v) + d(w, w

);

với c > 0 và u, v, w, w

∈ E
n
.
Kết quả sau được chứng minh trong [7]; [4].
Định lý 1.4.1. (E
n
, d) là một không gian metric đầy đủ.
1.5. Tính đo được
Trong phần này ta sẽ thảo luận về tính đo được của các hàm mờ.
Cho T ⊂ R là một tập compact.
Định nghĩa 1.5.1. Ta nói rằng một ánh xạ F : T → E
n
là đo được nếu
với mọi α ∈ [0, 1] tập ánh xạ đa trị F
α
: T → K
n
C
được xác định bởi
F
α
(t) = [F
α
(t)]
α
là đo được (Lebesgue).
11
Bổ đề 1.5.1. Nếu F : T → E

n
là liên tục đối với metric d nghĩa là
với mọi t
0
∈ T ;  > 0, và tồn tại δ > 0 sao cho |t − t
0
| < δ thì
d(F (t), F (t
0
)) <  thì nó là đo được .
Chứng minh. Cho  tùy ý,  > 0 và t
0
∈ T. Từ tính liên tục nên tồn tại
δ > 0 sao cho
d(F (t), F (t
0
)) <  khi |t − t
0
| < δ.
Nhưng theo định nghĩa của d ta có d
H
(F
α
(t), F
α
(t
0
)) <  với mọi |t−t
0
| <

δ, mà F
α
là liên tục đối với metric Hausdorff. Do đó F
−1
α
(U) là mở và
đo được, với mỗi U mở trong K
n
C
.
Nếu F là ánh xạ từ T vào E
1
thì F
α
(t) là đoạn compact, F
α
(t) =
[λ
α
(t), µ
α
(t)]. Với λ
α
và µ
α
là đo được.
1.6. Tính khả tích
Ánh xạ F : T → E
n
được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một

hàm khả tích h sao cho ||x|| ≤ h(t) với mọi x ∈ F
0
(t).
Định nghĩa 1.6.1. Cho F : T → E
n
. Tích phân của F trên T được kí
hiệu

T
F (t)dt hoặc
b

a
F (t)dt được xác định bởi phương trình
[

T
F (t)dt]
α
=

T
F
α
(t)dt
= {

T
f(t)dt|f : T → R
n

là hàm chọn đo được của F
α
}
với 0 < α ≤ 1. Một ánh xạ đo được và bị chặn khả tích F : T → E
n
được gọi là khả tích trên T nếu

T
F (t)dt ∈ E
n
.
12
Nhận xét 1.6.1. Nếu F : T → E
1
là khả tích thì λ
α
và µ
α
là đo
được

F thu được bằng cách tính tích phân α-level curves (đường cong
mức-α), đó là
[

F ]
α
= [

λ

α
,

µ
α
]
với
F
α
(t) = [λ
α
(t), µ
α
(t)], α ∈ [0, 1].
Hệ quả 1.6.1. Nếu F : T → E
n
là liên tục theo metric d thì F khả tích.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.5.1 thì F là đo được. Vì F
0
liên tục, F
0
(t) ∈
K
n
C
với mọi t ∈ T và T là compact, thì

t∈T
F
0

(t) là compact.
Do đó F là bị chặn khả tích do đó khả tích.
Định lý 1.6.1. Cho F : T → E
n
là khả tích và c ∈ T thì
b

a
F =
c

a
F +
b

c
F.
Chứng minh. Rõ ràng tính khả tích của F có nghĩa là F khả tích trên
bất kì đoạn con của T. Cho α ∈ [0, 1] và f là hàm chọn đo được của F
α
.
Vì
b

a
f =
c

a
f +

b

c
f nên ta có
[
b

a
F ]
α
⊂ [
c

a
F ]
α
+ [
b

c
F ]
α
Mặt khác, cho z =
c

a
g
1
+
b


c
g
2
, với g
1
là hàm chọn đo được của F
α
trong
[a, c] và g
2
là hàm chọn đo được của F
α
trong [c, b]. Thì f được xác định
f(t) =





g
1
(t) nếu t ∈ [a, c]
g
2
(t) nếu t ∈ [c, b]
13
là hàm chọn đo được của F
α
trong T và

b

a
f =
c

a
g
1
+
b

c
g
2
= z
do đó
[
c

a
F ]
α
+ [
b

c
F ]
α
⊂ [

b

a
F ]
α
và định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.6.2. Nếu F : T → E
n
là liên tục thì G(t) =
t

a
F là Lipshitz
trên T.
Chứng minh. Cho s, t ∈ T và giả sử rằng s > t. Thì theo Định lý 1.6.1
và tính chất của d ta có
d(
s

a
F,
t

a
F ) = d(
s

t
F,
ˆ

0)
với
ˆ
0(t) =





1 nếu t = 0
0 còn lại.
Vì

t∈T
F
0
(t) là compact (xem Hệ quả 1.6.1) thì tồn tại M > 0 sao cho
||x|| ≤ M với mọi x ∈ F
0
(t) và t ∈ T. Nhưng điều này có nghĩa là
d(G(s), G(t)) ≤ M(s − t).
Hệ quả đã được chứng minh
Các tính chất sau được chứng minh chi tiết trong Lakshmikantham
and R.N Mohapatra [13]
14
Định lý 1.6.2. Cho F, G : T → E
n
là khả tích và λ ∈ R
n
. Thì

i)

(F + G) =

F +

G;
ii)

λF = λ

F ;
iii) d(F, G) là khả tích;
iv) d(

F,

G) ≤

d(F, G).
Ví dụ 1.6.1. Cho A ∈ E
n
và định nghĩa nếu F : [0, t] → E
n
với
F (s) = A với 0 ≤ s ≤ t. Thì
t

0
F = tA.

Rõ ràng tA ⊂
t

0
F. Ngược lại, cho α ∈ [0, 1] và lấy bất kì

f ∈

F
α
,
khi đó

f có thể được biểu diễn như là một giới hạn của tổng
S
n
=
n

i=1
(t
i
− t
i−1
)f(τ
i
)
với {(τ, [t
i−1
, t

i
]) : i = 1, 2, . . . , n} là các phân hoạch của [0, t) với độ
đo µ
n
. Vì f(τ
i
) ∈ [A]
α
với i = 1, 2, . . . , n và [A]
α
là hội tụ nên suy ra
S
n
∈ µ
n
[A]
α
với mọi n. Tiến qua giới hạn thì µ
n
→ t và do đó
lim
n→∞
d
H
(t[A]
α
, µ
n
[A]
α

) = 0
suy ra

f ∈ t[A]
α
nên
t

0
F ⊂ tA.
1.7. Tính khả vi
Ta nhắc lại định nghĩa sai phân Hukahara .
15
Cho x, y ∈ E
n
. Nếu tồn tại một phần tử z ∈ E
n
sao cho x = y + z
thì ta gọi z là sai phân Hukahara của x và y, kí hiệu x − y. Định nghĩa
sau đây do Puri and Ralescu được đưa ra trong [10].
Định nghĩa 1.7.1. Ánh xạ F : T → E
n
là khả vi tại t
0
∈ T nếu tồn tại
F

(t
0
) ∈ E

n
sao cho các giới hạn sau
lim
h→0
+
F (t
0
+ h) − F (t
0
)
h
và lim
h→0
+
F (t
0
) − F (t
0
− h)
h
tồn tại và bằng F

(t
0
).
Giới hạn này được thực hiện trong không gian metric (E
n
, d). Tại các
điểm cuối của T ta chỉ xét các đạo hàm 1 phía .
Nhận xét 1.7.1. Từ định nghĩa suy ra rằng nếu F khả vi thì ánh xạ

đa trị F
α
là khả vi Hukahara với mọi α ∈ [0, 1] và
DF
α
(t) = [F

(t)]
α
(1.7.1)
với DF
α
là kí hiệu đạo hàm Hukahara của F
α
.
Điều ngược lại không đúng, vì sự tồn tại sai phân Hukahara [x]
α
−
[y]
α
, α ∈ [0, 1], không bao hàm sự tồn tại của sai phân Hukahara x − y.
Định lý 1.7.1. Cho F : T → E
1
là khả vi. Kí hiệu F
α
(t) = [f
α
(t), g
α
(t)], α ∈

[0, 1]. Khi đó ta có f
α
(t) và g
α
(t) khả vi và [F

(t)]
α
= [f

α
(t), g

α
(t)].
Chứng minh. Có
[F (t + h) − F (t)]
α
= [f
α
(t + h) − f
α
(t), g
α
(t + h) − g
α
(t)]
Tương tự với [F (t) − F(t − h)]
α
. Chia biểu thức trên cho h và lấy giới

hạn cho ta kết luận.
16
Định lý 1.7.2. Nếu F : T → E
n
là khả vi thì nó liên tục theo metric d.
Chứng minh. Cho t, t + h ∈ T với h > 0. Nên theo tính chất của d và
bất đẳng thức tam giác ta có
d(F (t + h), F(t)) = d(F (t + h) − F(t),
ˆ
0)
≤ hd((F(t + h) − F (t))/h, F

(t)) + hd(F

(t),
ˆ
0)
với h là vô cùng bé để sai phân Hukahara F(t
h
) − F (t) tồn tại. Do F
khả vi và vế phải tiến tới 0 khi h → 0
+
do đó F là liên tục phải. Tính
liên tục trái được chứng minh tương tự.
Các kết quả sau đây được suy ra từ các tính chất của d được Laksh-
mikantham and Mohapatra đưa ra trong [13]
Định lý 1.7.3. Nếu F, G : T → E
n
là khả vi và λ ∈ R thì
(F + G)


(t) = F

(t) + G

(t) và (λF )

(t) = λF

(t).
Định lý 1.7.4. Nếu F : T → E
n
là liên tục thì với mọi t ∈ T tích phân
G(t) =
t

a
F là khả vi và G

(t) = F (t).
Chứng minh. Chú ý rằng theo Hệ quả 1.6.1 F là khả tích. Với h > 0,
theo Định lý 1.6.1 ta có
G(t + h) − G(t) =
t+h

t
F.
Cho  tùy ý và  > 0. Từ Ví dụ 1.6.1, Định lý 1.6.2 và tính liên tục của
17
F ta có

d(
G(t + h) − G(t)
h
, F(t)) =
1
h
d(
t+h

t
F (s)ds,
t+h

t
F (t)ds)
≤
1
h
t+h

t
d(F (s), F (t))ds < 
với h > 0 đủ nhỏ. Do đó
lim
h→0
+
G(t + h) − G(t)
h
= F (t)
và tương tự

lim
h→0
+
G(t) − G(t − h)
h
= F (t),
chứng minh xong định lý.
Định lý 1.7.5. Cho F : T → E
n
là khả vi và giả sử rằng đạo hàm F

là khả tích trên T. Khi đó với mỗi s ∈ T, ta có
F (s) = F (a) +
s

a
F

.
Chứng minh. Cho α ∈ [0, 1], α cố định. Ta sẽ chứng minh rằng
F
α
(s) = F
α
(a) +
s

a
DF
α

(1.7.2)
với DF
α
là sai phân Hukahara của F
α
.
Mà giá của phiếm hàm δ(·, K) : R
n
→ R của K ∈ K
n
C
được định
nghĩa là
δ(a, K) = sup{a.k : k ∈ K}
18
với a.k là kí hiệu tích vô hướng thông thường của a và k. Nếu K
1
, K
2
∈
K
n
C
thì theo Định lý II-18 trong Castaing and Valadier [5] có phương
trình
d(K
1
, K
2
) = sup

||a||=1
|δ(a, K
1
) − δ(a, K
2
)|. (1.7.3)
Cho t, t + h ∈ T với h > 0 đủ nhỏ để sai phân Hukahara F (t + h) − F (t)
tồn tại. Theo Định lý II-17 ở [5] ta có
δ(x, (F
α
(t + h) − F
α
(t)) = δ(x, (F
α
(t + h)) − δ(x, F
α
(t))
với mọi x ∈ R
n
, α ∈ [0, 1] nên có
δ(x,
F
α
(t
h
) − F
α
(t)
h
) =

δ(x, (F
α
(t
h
)) − δ(x, F
α
(t))
h
. (1.7.4)
Theo tính khả vi của F
α
và phương trình (1.7.3) và (1.7.4) ta có δ(x, F
α
(t))
là khả vi phải và đạo hàm phải bằng δ(x, DF
α
(t)), với x là một phần tử
tùy ý trên hình cầu đơn vị S trong R
n
. Lập luận tương tự cho h < 0 ta
có kết luận rằng với mọi x ∈ S, δ(x, F
α
(t) khả vi trên T và
d
dt
δ(x, F
α
(t)) = δ(x, DF
α
(t)).

Vì DF
α
(t) là compact và lồi nên nó có thể được biểu diễn như giao của
tất cả nửa không gian đóng chứa nó
DF
α
=

x∈S
H
x
với H
x
= {z ∈ R
n
: x.z ≤ δ(x, DF
α
(t))} khi đó DF
α
(t) bằng đạo hàm
của tập ánh xạ giá trị F
α
.
19
Chương 2
CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY
NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN MỜ
2.1. Giới thiệu
Chương này dành cho lý thuyết định tính của phương trình vi phân

mờ. Đầu tiên phần 2.2 chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn
vế phải. Sau đó các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm
vào các dữ kiện bài toán được trình bày trong phần 2.3 và 2.4. Cuối cùng
phần 2.5 là kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục của phương trình
vi phân mờ.
2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ
u

= f(t, u), u(t
0
) = u
0
, t
0
≥ 0, (2.2.1)
ở đây f ∈ C[J × E
n
, E
n
], J = [t
0
, t
0
+ a], a > 0.
Định nghĩa 2.2.1. Ánh xạ u : J → E
n
gọi là một nghiệm của bài toán
20

(2.2.1) nếu nó liên tục và thỏa mãn phương trình tích phân
u(t) = u
0
+
t

t
0
f(s, u(s))ds, t ∈ J. (2.2.2)
Áp dụng của nguyên lý ánh xạ co, chúng ta sẽ thấy rằng nếu f(t, u)
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất
trên J. Điều đó được trình bày cụ thể trong định lý sau
Định lý 2.2.1. Giả sử rằng f ∈ C[J × E
n
, E
n
] và thỏa mãn điều kiện
Lipschitz
d[f(t, u), f(t, v)] ≤ kd[u, v] (2.2.3)
với t ∈ J, u, v ∈ E
n
. Khi đó bài toán (2.2.1) có một nghiệm duy nhất
trên J.
Chứng minh. Cho C[J, E
n
] kí hiệu tập tất cả các hàm số liên tục từ J
tới E
n
. Định nghĩa metric có trọng có trong C[J, E
n

] như sau
H(u, v) = sup
J
d[u(t), v(t)]e
−λt
với u, v ∈ C[J, E
n
] và λ > 0. Vì (E
n
, d) là không gian metric đầy, ta
cũng có không gian (C[J, E
n
], H) cũng đầy.
Với u, v ∈ C[J, E
n
], ta định nghĩa T u trên C[J, E
n
] bằng mối quan hệ
T u(t) = u
0
+
t

t
0
f(s, u(s))ds. (2.2.4)
Theo Hệ quả 1.6.2, T u ∈ C[J, E
n
]. Hơn nữa từ điều kiện (2.2.3) và tính
21