Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
PHẠM THÚY HÀ
PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
PHẠM THÚY HÀ
PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Em xin được gửi lời cảm ơn
chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Ngọc. Nhân
dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn bộ các
thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt
quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập
và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Phạm Thúy Hà

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc.
Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Phạm Thúy Hà
Mục lục
Mở đầu 1
1 Các kiến thức bổ trợ 3
1.1 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân . . . . . . . 4
1.1.3 Biến phân bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Chuỗi Fourier trong L
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin . . . . . . . . 6
1.3 Chuỗi Fourier trong L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval . . . . . . . . . . . 9

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Khai triển vào chuỗi các hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Khái niệm về hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Khai triển hàm số vào chuỗi các hàm Bessel . . . . . . . . 22
2 Các phương trình đạo hàm riêng một chiều 24
2.1 Phương trình truyền nhiệt thuần nhất trong thanh hữu hạn . . . 24
2.1.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền
nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay - Bài toán đối xứng trục . 31
2.3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất trong thanh hữu hạn 32
2.3.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . 34
2.4 Phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . 35
2.4.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có
hai đầu cố định - Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây 38
2.5 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn . . . . 43
2.5.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . 47
3 Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều 51
3.1 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Trường hợp cùng hệ số khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Trường hợp hệ số khuếch tán khác nhau . . . . . . . . . . . 58
3.3 Phương trình sóng thuần nhất trong một hình chữ nhật . . . . . 60

3.3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Phương pháp tách biến - Thỏa mãn điều kiện biên . . . . . 61
3.3.3 Thỏa mãn điều kiện ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trong hình chữ nhật . . . . 64
3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . 66
3.5 Phương trình sóng trong hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kết luận 74
Tài liệu tham khảo 75
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp tách biến, hay còn gọi là phương pháp Fourier, là một trong
những phương pháp hữu hiệu giải các phương trình đạo hàm riêng. Thực chất
của phương pháp tách biến là đưa các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến
số về giải các phương trình vi phân thường đối với một biến số. Liên quan với
các điều kiện biên của bài toán, xuất hiện bài toán Sturm-Liouville tương ứng
đối với các toán tử vi phân có phổ rời rạc, hoặc liên tục. Từ đó, nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng hoặc được tìm ở dạng chuỗi, hoặc dạng tích phân
của các hàm riêng.
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng
và phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình
là “Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tách biến
và trình bày các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải
một số phương trình đạo hàm riêng một chiều, hai chiều, trong đó các bài toán

Sturm-Liouville tương ứng có phổ rời rạc.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trong luận văn của mình ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo
luận văn đã trình bày 3 chương sau:
Chương 1. Các kiến thức bổ trợ: trình bày kiến thức cơ bản về không gian
L
p
, các định lí về tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier,
2
dãy trực giao, khái niệm về bài toán Sturm-Liouville, hàm Bessel, các định lí
duy nhất nghiệm, giới thiệu về phương pháp tách biến để phục vụ cho việc giải
các bài toán ở chương 2, chương 3 và một số ví dụ đơn giản.
Chương 2. Các phương trình đạo hàm riêng một chiều: sử dụng phương
pháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt, sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Truyền nhiệt trong
hình trụ tròn xoay-Bài toán đối xứng trục. Phương trình truyền sóng thuần nhất
trên khoảng hữu hạn. Bài toán biên Dirichlet cùng một số ví dụ về tìm nghiệm
của phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt.
Chương 3. Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải một số bài toán
bằng phương pháp tách biến của phương trình Laplace trong hình chữ nhật,
phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật. Bài toán truyền nhiệt trong
hình quạt. Phương trình sóng hai chiều không thuần nhất trên hình chữ nhật.
Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm-Liouville tương ứng,
giải quyết triệt để việc tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sóng 2 chiều
trong các trường hợp và điều kiện biên khác nhau. Các nghiệm tìm được đều
biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác của các hàm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm - Liouville tương

ứng.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên khó xuất hiện trong cơ học và vật lý.
3
Chương 1
Các kiến thức bổ trợ
1.1 Một số kiến thức bổ trợ
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.1.1 Không gian L
p
Với p là số thực: 1  p < ∞, Ω ∈ R
n
ta định nghĩa L
p
(Ω) là lớp các hàm f(x)
xác định trên Ω, sao cho
f
p
=


Ω
|f(x)|
p
dx

1
p
< ∞, dx = dx
1

dx
2
. . . dx
n
. (1.1)
Số f
p
được gọi là chuẩn của hàm f(x).
L
p
(Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert
với tích vô hướng
(f, g) =

Ω
f(x)g(x)dx, (1.2)
trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x).
Hàm f(x) xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại
hằng số dương C, sao cho |f (x)|  C hầu khắp nơi trên Ω. Cận dưới lớn nhất
của các hằng số C được ký hiệu là ess sup
x∈Ω
|f(x)|.
Ta ký hiệu L
∞
(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω.
Chuẩn trong L
∞
(Ω) được xác định theo công thức

f
∞
= esssup
x∈Ω
|f(x)|
trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b].
Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong L
p
.
4
Định lý 1.1. (Về sự trù mật)
i) Nếu khoảng (a, b) là hữu hạn thì các lớp hàm sau đây sẽ trù mật khắp nơi
trong L
p
(a, b):
M−lớp các hàm bị chặn,
C−lớp các hàm liên tục,
S−lớp các hàm bậc thang,
P −lớp các đa thức đại số,
T −lớp các đa thức lượng giác trù mật khắp nơi trong L
p
(−π, π).
ii) Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong L
p
(−∞, ∞),
(p  1).
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân
Định lý 1.2 (Bất đẳng thức H¨older). Nếu f ∈ L
p
, g ∈ L

q
, trong đó p, q  1, thì
fg
1
 f
p
g
q
,
1
p
+
1
q
= 1. (1.3)
Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu p  1, thì
f + g
p
 f
p
+ g
p
. (1.4)
Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue). Giả sử trên Ω cho dãy các hàm khả tổng
{f
k
(x)}
∞
1
hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f(x). Nếu tồn tại hàm thực

F (x)  0, F (x) ∈ L
1
(Ω), sao cho |f
k
(x)|  F (x), x ∈ Ω, ∀k thì f(x) ∈ L
1
(Ω) và
lim
k→∞
f
k
(x)dx =

Ω
f(x) dx.
Định lý 1.5 (Định lý Fubini). Cho F (x, y) khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó
x →

Ω
2
F (x, y)dy khả tích trên Ω
1
, y →

Ω
1

F (x, y)dx khả tích trên Ω
2
. Ngoài ra

Ω
1
dx

Ω
2
F (x, y) dy =

Ω
2
dy

Ω
1
F (x, y dx =

Ω
1
×Ω
2
F (x, y) dxdy. (1.5)
1.1.3 Biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.1. Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn
[a, b]. Giả sử p = {x
0
, x

1
, . . . , x
n
} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là
5
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b. Hàm số f(x) được gọi là có biến phân bị chặn trên
đoạn [a, b], nếu
V (f ) = V
b
a
(f) = sup
p
n

i=1
|f(x
i
) − f(x
i−1
)| < ∞. (1.6)
Ví dụ về biến phân bị chặn
1) Nếu f(x) là hàm thực đơn điệu trên [a, b], thì V
b
a

(f) = |f (b) −f(a)|.
2) Nếu |f

(x)|  M, ∀x ∈ [a, b] thì V
b
a
(f)  M(b − a).
3) Nếu f là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], nghĩa là có dạng
f(x) = c +

x
a
g(t)dt, g ∈ L
1
(a, b), thì V
b
a
 g
L
1
(a,b)
.
∗ Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn
1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi
và chỉ khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b].
2) Nếu f(x) có biến phân bị chặn thì f(x) bị chặn: |f (x)| ≤ |f (a)| + V
b
a
(f).
3) Giả sử f(x) là hàm số thực. Hàm f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi

và chỉ khi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:
f(x) = g(x) −h(x).
1.2 Chuỗi Fourier trong L
1
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier
Với hàm f ∈ L
1
[−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta định
nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx), (1.7)
trong đó
a
n
=
1
π
π


−π
f

x


cos nx

dx

, n = 0, 1, 2, (1.8)
6
b
n
=
1
π
π

−π
f

x


sin nx

dx

, n = 0, 1, 2, (1.9)

Chuỗi (1.7) được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f(x) và mối quan hệ trên đây
được ký hiệu là
f (x) ∼
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx).
Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên,
đơn giản là nó chỉ mối liên hệ (1.7)- (1.9) mà thôi.
Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự
như trên. Trong đó các hệ số a
n
, b
n
được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π].
Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t =
πx
l
, ta đưa về trường
hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Để ý rằng vì f ∈ L
1

[−π, π] nên các tích phân trong (1.9) tồn tại.
1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.2. ( Điều kiện Dirichlet). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác
định trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet
(i) Tồn tại f (a
+
), f(b
−
) và f có biến phân bị chặn trên [a, b].
(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi
các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các
phần còn lại của đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L
1
(a, b).
Định lý 1.6. Cho f ∈ L
1
[−π, π]. Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
(−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại
đó hàm f liên tục, hội tụ về
1
2

f

x
+

+ f

x

−

nếu x là điểm gián đoạn thông
thường, hội tụ về
1
2

f

−π
+

+ f

π
−

tại x = ±π nếu f

π
−

và f

−π
+

tồn
tại.
1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin

Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định nghĩa f
trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x) , x ∈ (−π, 0). Khi đó, f ∈ L
1
[−π, π] và
thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π) vì vậy có thể áp dụng kết quả phần
7
trên. Ngoài ra, do f là hàm chẵn
a
0
=
1
π
π

0
f

x


dx

, a
n
=
2
π
π


0
f

x


cos nx

dx

, b
n
= 0, n = 1, 2,
Tương tự, nếu chúng ta thác triển f (x) từ (0, π) sang (−π, 0) theo công thức
f(x) = −f (−x), x ∈ (−π, 0), thì ta có chuỗi sin sau đây
f(x) ∼
∞

n=1
a
n
sin nx, a
n
=
2
π

π
0

f(x

) sin nx

dx

.
Ta có các định lý sau
Định lý 1.7. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi
đó, ta có chuỗi cosin
1
π
π

0
f

x


dx

+
2
π
∞

1

cos nx
π

0
f

x


cos nx

dx

(1.10)
hội tụ về
1
2

f

x
+

+ f

x
−

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f


x
+

và f

x
−

tồn
tại; hội tụ về f

0
+

tại x = 0 nếu f

0
+

tồn tại; hội tụ về f

π
−

tại x = π nếu
f

π
−


tồn tại.
Định lý 1.8. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi
đó, ta có chuỗi sin
2
π
∞

n=1
sin nx
π

0
f

x


sin nx

dx

(1.11)
hội tụ về
1
2

f


x
+

+ f

x
−

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f

x
+

và f

x
−

tồn
tại; hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π.
1.3 Chuỗi Fourier trong L
2
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.3.1 Dãy trực giao
Xét không gian L
2
các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π]. Trong
L
2
, dãy hàm {ϕ

n
|
n∈N
} được gọi là một hệ trực giao nếu
π

−π
ϕ
m
(x) ϕ
n
(x) dx = 0, ∀m = n (1.12)
8
và nếu hệ {ϕ
n
|
n∈N
} có thêm tính chất
π

−π
ϕ
2
n
(x) dx = 1, ∀n (1.13)
thì ta nói hệ {ϕ
n
} trực chuẩn.
Cho hàm f ∈ L
2

, với hệ trực chuẩn {ϕ
n
}, ta đặt
c
n
=
π

−π
f (x) .ϕ
n
(x) dx, ∀n ∈ N (1.14)
thì ta gọi
∞

n=0
c
n
ϕ
n
là chuỗi Fourier của hàm f (ứng với hệ trực chuẩn {ϕ
n
}) và
kí hiệu là f ∼
∞

n=0
c
n
ϕ

n
.
Ta xét bài toán khi nào hàm σ
n
có dạng
σ
n
= a
0
ϕ
0
+ a
1
ϕ
1
+ · · · + a
n
ϕ
n
(1.15)
là xấp xỉ của hàm f tốt nhất theo nghĩa đại lượng sau đây đạt cực tiểu
δ
n
= f −σ
n

2
2
=
π


−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx. (1.16)
Ta có định lý sau
Định lý 1.9. σ
n
là xấp xỉ tốt nhất của f khi và chỉ khi
a
k
= c
k
, ∀k = 0, 1, , n. (1.17)
9
Chứng minh. Ta có
δ
n
=
π

−π
f
2
(x) dx+
π

−π

σ
2
n
(x) dx − 2

π
−π
f (x) .σ
n
(x) dx
=
π

−π
f
2
(x) dx +
π

−π

n

k=0
α
k
ϕ
k
(x)


2
dx − 2
π

−π
f (x) .
n

k=0
α
k
ϕ
k
(x)dx
=
π

−π
f
2
(x) dx +
π

−π
n

k=0
α
2
k

ϕ
2
k
(x)dx +
π

−π

p = q
0 ≤ p, q ≤ n
α
p
α
q
ϕ
p
(x) ϕ
q
(x)dx
−2
n

k=0
α
k
π

−π
f (x) ϕ
k

(x)dx
=
π

−π
f
2
(x) dx +
n

k=0
α
2
k
− 2
n

k=0
a
k
c
k
=
π

−π
f
2
(x) dx +
n


k=0
(α
k
− c
k
)
2
−
n

k=0
c
k
.
Ta có:
π

−π
f
2
(x) dx và
n

k=0
c
2
k
là các hằng số. Do đó, δ
n

đạt cực tiểu khi và chỉ khi
n

k=0
(α
k
− c
k
)
2
= 0, tức là α
k
= c
k
, ∀k = 0, , n.
1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval
Bất đẳng thức Bassel: Giả sử
∞

k=0
c
k
ϕ
k
là chuỗi Fourier của f ứng với hệ
trực chuẩn {ϕ
n
}. Khi đó
π


−π
f
2
(x) dx ≥
∞

k=0
c
2
k
. (1.18)
Chứng minh. Trong chứng minh của định lý 1.9, ta có giá trị cực tiểu là δ
n
là
δ
n
=
π

−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx =
π

−π
f
2

(x) dx −
n

k=0
c
2
k
≥ 0 ∀n.
Suy ra,
n

k=0
c
2
k
≤
π

−π
f
2
(x) dx.
Do đó, chuỗi
n

k=0
c
2
k
hội tụ và ta có điều phải chứng minh.

10
Vậy với hệ {ϕ
n
} trực chuẩn thì mọi hàm f ∈ L
2
đều thỏa mãn bất đẳng thức
Bessel. Vấn đề được xét tiếp là khi nào bất đẳng thức Bessel xảy ra dấu bằng.
Định nghĩa 1.3. Hệ trực chuẩn {ϕ
n
} được gọi là đầy đủ trong L
2
nghĩa là
n

k=0
c
2
k
=
π

−π
f
2
(x) dx, ∀f ∈ L
2
. (1.19)
Sau đây, ta xét một tiêu chuẩn đơn giản cho biết một hệ trực chuẩn là đầy đủ.
Định lý 1.10. Cho hệ trực chuẩn {ϕ
n

} trong L
2
. Hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu
∀F ∈ C [−π, π] , ∀ε > 0, ∃σ
n
= a
0
ϕ
0
+ · · · + a
n
ϕ
n
, F − σ
n

2
< ε (1.20)
Chứng minh. Giả sử (1.20) thỏa mãn. Xét f ∈ L
2
và cho trước ε > 0 tùy ý. Như
đã biết, không gian C [−π, π] trù mật trong L
2
nên có một hàm F ∈ C [−π, π] sao
cho
f −F 
2
=



π

−π
[f (x) −F (x)]
2
dx


1/2
< ε.
Từ giả thiết (1.20), ta cũng có hàm σ
n
= a
0
ϕ
0
+ · · · + a
n
ϕ
n
sao cho
f −σ
n

2
=


π


−π
[f (x) −F (x)]
2
dx


1/2
< ε.
Từ hai bất đẳng thức trên, bất đẳng thức Bessel và định lý 1.9 dẫn đến
0 ≤
π

−π
f
2
(x) dx −
∞

k=0
c
2
k
≤
π

−π
f
2
(x) dx −
n


k=0
c
2
k
=
π

−π

f (x) −
n

k=0
c
k
ϕ
k
(x)

2
dx ≤
π

−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx

= f −σ
n

2
2
≤ (f − F 
2
+ F −σ
n

2
)
2
< 4ε
2
.
Vì ε > 0 là tùy ý nên
π

−π
f
2
(x) dx =
∞

k=0
c
2
k
.

Trường hợp ngược lại, nghĩa là hệ {ϕ
n
} đầy đủ dẫn đến (1.20).
11
Kết hợp tiêu chuẩn trên và định lý Frjér, ta có
Định lý 1.11. (Parseval). Hệ trực chuẩn

1
√
2π
,
cos x
√
π
,
sin x
√
π
, ,
cos nx
√
π
,
sin nx
√
π
,

(1.21)
là đầy đủ nghĩa là với hàm f ∈ L

2
[−π, π] và f ∼
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)
như trong định nghĩa 1.3 thì
1
π
π

−π
f
2
(x) dx =
a
2
0
2
+
∞


k=1

a
2
k
+ b
2
k

. (1.22)
Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức Parseval.
Chứng minh. Cho f là hàm số bất kỳ liên tục trên đoạn [−π, π] và cho trước
ε > 0, khi đó f bị chặn bởi M > 0. Đặt δ = min

ε
2
32M
2
, π

> 0.
Đặt g là hàm số liên tục trên đoạn [−π, π] sao cho g bằng f trên đoạn [−π + δ, π − δ],
g (−π) = g (π) =
1
2
[f (−π) + f (π)] và g tuyến tính trên hai đoạn [−π, −π + δ] và
[π − δ, π]. Suy ra, g bị chặn bởi M và |f −g| < 2M.
Ngoài ra, ta xem như g tuần hoàn với chu kì 2π và liên tục trên R nghĩa là g
thỏa mãn giả thiết của định lý Fejér, nên ta có một đa thức lượng giác tổng
quát (tổng Fejér-Césaro của g) σ

n
thỏa mãn
sup
x∈[−π,π]
[g (x) −σ
n
(x)] <
ε
(8π)
1
2
và dĩ nhiên σ
n
có dạng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm trong họ trực
chuẩn đang xét.
Vậy
f −σ
n

2
≤ f −g
2
+ g −σ
n

2
=





π−δ≤|x|≤π
|f (x) −g (x)|
2
dx



1
2
+


π

−π
|g (x) −σ
n
(x)|
2
dx


1
2
<
ε
2
+
ε

2
= ε
tức là tiêu chuẩn (1.20) thỏa mãn. Do đó, hệ trực chuẩn đang xét là đầy
đủ.
12
Định lý 1.12. Chuỗi Fourier của hàm f ∈ L
2
[−π, π] sẽ hội tụ trung bình về f
theo định nghĩa
lim
n→∞
π

−π

f (x) −

a
0
2
+
n

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)


2
dx = 0 (1.23)
Chứng minh. Ta có
π

−π
[f (x) −

a
0
2
+
n

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)

2
dx
=
π

−π
f
2
(x) dx − π


a
2
0
2
+
n

k=1

a
2
k
+ b
2
k


dẫn đến điều phải chứng minh.
1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville
Các kiến thức trong mục này có thể tìm thấy trong [3] và [4].
1.4.1 Khái niệm
Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một tập hợp đã biết của
các phần tử. Một phần tử y = 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu Ly = λy,
và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L. Một trong những toán tử đơn
giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng là
L = −
d
2
dx

2
+ q (x) . (1.24)
Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b].
Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là
1. y (a) cosα + y

(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0, ở đó α và β là hai số
thực tùy ý.
2. y (a) = y (b), y

(a) = y

(b).
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu bài toán giá trị biên
Ly (x) = −y

+ q (x) y = λy, (1.25)
y (a) cosα + y

(a) sin α = 0,
y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0,
(1.26)
13
được biết đến như là bài toán Sturm - Liouville. Bài toán Sturm - Liouville được
gọi là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm q (x) là khả tổng trên đoạn
đó. Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) là không khả tổng trên

đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị.
Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn
y

+ p (x) y

+ [l (x) + λr (x)] y = 0, (1.27)
ở đó hàm r (x) dương trên đoạn [a, b], có thể rút gọn được về dạng (1.25). Nếu
chúng ta giả sử rằng đạo hàm cấp một của p (x) và đạo hàm cấp hai của r (x) là
liên tục, khi đó (1.27) có thể được rút gọn về dạng chính tắc
d
2
η
dζ
2
+ [λ + q (ζ)] η = 0
thông qua phép thay thế
ζ =
x

a

r (t)dt, η (ζ) = Φ (x) y (x) , Φ (x) =
4

r (x) exp


1
2

x

a
p (t) dt


,
(1.28)
ánh xạ đoạn [a, b] vào đoạn [0, π], trong khi điều kiện biên (1.26) không thay đổi
dạng của nó. Phép biến đổi như (1.28) được gọi là phép biến đổi Liouville.
1.4.2 Tính chất
Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.25), (1.26). Không mất tính tổng quát,
ta có thể giả sử rằng a = 0 và b = π. Thực tế đoạn [a, b] được ánh xạ vào đoạn
[0, π] bởi phép thế t =
x − a
b − a
π phép thế này không làm thay đổi dạng của (1.25),
(1.26). Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường y (x, λ
1
) = 0
với λ
1
đã biết thì khi đó λ
1
được gọi là một giá trị riêng và y (x, λ
1
) = 0 được gọi
là hàm riêng của (1.25), (1.26).
Bổ đề 1.1. Hai hàm riêng y (x, λ
1

) = 0 và y (x, λ
2
) = 0 tương ứng với những giá
trị riêng khác nhau là trực giao, tức là
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0, λ
1
= λ
2
. (1.29)
14
Chứng minh. Lấy f (x) và g (x) là các hàm liên tục và khả vi hai lần.
Đặt Lf = −f

(x) + q (x) f (x) . Tích phân từng phần hai lần, chúng ta có
π

0
Lf.g (x)dx = W
π
{f, g} −W
0
{f, g} +
π


0
Lg.f (x)dx, (1.30)
ở đó
W
x
{f, g} =




f (x) g (x)
f

(x) g

(x)




.
Lấy f (x) = y (x, λ
1
) và g (x) = y (x, λ
2
) . Từ điều kiện biên (1.26) ta có
W
0
{f, g} = W

π
{f, g} = 0. Do đó từ (1.10) ta có
(λ
1
− λ
2
)
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0.
Vì λ
1
= λ
2
nên ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.2. Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.25), (1.26) là thực.
Chứng minh. Lấy λ
1
= u + iv là một giá trị riêng phức. Vì q (x) có giá trị thực
và α, β là thực nên λ
2
= λ
1
= u −iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm
riêng y (x, λ

1
). Khi đó, từ bổ đề trước ta có
π

0
|y (x, λ
1
)|
2
dx = 0;
do đó, y (x, λ
1
) ≡ 0, mâu thuẫn với y (x, λ
1
) là một hàm riêng. Vậy ta có điều
phải chứng minh.
Định lý 1.13. Nếu q (x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b], khi đó với bất kì
α, tồn tại duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.24), sao
cho ϕ (a, λ) = sin α và ϕ

(a, λ) = −cosα.
Với x bất kì, x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ.
1.4.3 Các ví dụ đơn giản
Ví dụ 1.1. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y (L) = 0.

15
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0. Từ điều kiện y (L) = 0 và cùng với
a = 0, ta có 0 = b sin λL. Chúng ta giả sử rằng b = 0, khi đó 0 = sin λL. Từ đó,
chúng ta có
λL = πn,
và do đó
λ =
πn
L
.
Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là
λ
n
=
πn
L
.
Vì a = 0 nên các hàm riêng là y
n
= sin (λ
n
x) với các giá trị riêng
λ
n
=
πn

L
, n = 1, 2, 3,
Chúng ta không xét n = 0 vì khi n = 0, ta có λ
0
= 0 và khi đó một hàm riêng sẽ
là y
0
= sin (0) = 0. Tuy nhiên, theo định nghĩa thì hàm riêng không đồng nhất
bằng 0, vì vậy đây không phải là hàm riêng.
Ví dụ 1.2. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y

(0) = 0 và y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện biên y

(0) = 0, ta có b = 0. Từ điều kiện biên y

(L) = 0 và
cùng với b = 0, ta có 0 = aλ sin λL. Giả sử b = 0, khi đó 0 = sin λL. Từ đó, chúng
ta có
λL = πn.

Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là
λ
n
=
πn
L
.
16
Vì b = 0 nên các hàm riêng là
y
n
= cos (λ
n
x)
với các giá trị riêng
λ
n
=
πn
L
, n = 0, 1, 2, 3,
Ở đây, chúng ta xét cả n = 0, vì khi đó λ
0
= 0 và ta có một hàm riêng là
y
0
= cos (0) = 1.
Ví dụ 1.3. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0.
Từ y

(L) = 0 và cùng với a = 0, ta có 0 = bλcos (λL).
Vì cos x = 0 tại x =
2n + 1
2
π, nên ta có
λL =
2n + 1
2
π,
và do đó
λ =
2n + 1
2L
π.
Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là

λ
n
=
2n + 1
2L
π.
Khi đó, các hàm riêng là
y
n
= sin (λ
n
x) ,
với các giá trị riêng
λ =
2n + 1
2L
π, n = 0, 1, 2, 3,
hoặc chúng ta cũng có thể viết
λ =
2n − 1
2L
π, n = 1, 2, 3,
17
Ví dụ 1.4. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = y (L), y


(0) = y

(L).
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Từ điều kiện y (0) = y (L) và y

(0) = y

(L), ta có

a = a cos λL + b sin λL
bλ = −aλ sin λL + bλ cos λL
hay

(cos λL − 1) a + (sin λL) b = 0
(sin λL) a + (1 − cos λL) b = 0
Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên ta có





cos λL − 1 sin λL
sin λL 1 −cos λL






= 0.
Từ đó, ta có
−(cos λL − 1)
2
− sin
2
λL = 0.
Điều này tương đương với
2 cos λL − 2 = 0,
hay
cosλL = 1.
Do đó
λL = 2nπ.
Như vậy, các giá trị riêng là
λ
n
=
2nπ
L
, n = 0, 1, 2, 3,
Các hàm riêng là
y
n
= 1, cosλ
n
x, sin λ
n
x.
18

1.4.4 Các ví dụ phức tạp hơn
Ví dụ 1.5. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y (L) + y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát của phương trình là
y (x) = acosλx+bsinλx.
Khi đó
y

(x) = −aλ sin λx+bλcosλx.
Từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0.
Do đó
y (x) = bsinλx,
y

(x) = bλcosλx.
Từ điều kiện y (L) + y

(L) = 0, ta có
b sin λL + bλcosλL = 0
Do a và b không đồng thời bằng 0, nên b = 0. Từ đó, ta có
sin λL + λcosλL = 0.
Tức là
λ = −tan λL.

Như vậy, các hàm riêng là
y
n
(x) = sin λ
n
x,
trong đó, các giá trị riêng λ
n
, n = 1, 2, , được xác định bởi công thức
λ
n
= −tan λ
n
L.
Ví dụ 1.6. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

− 2x
−1
y

+

λ + 2x
−2

y = 0
với các giá trị biên y (1) = 0 và y (2) = 0.
19
Lời giải. Lấy y = xu (x). Các đạo hàm của nó là

y

= xu

+ u,
y

= xu

+ 2u

.
Thay thế chúng vào phương trình, ta được
y

= xu

+ 2u

− 2x
−1

xu

+ u

+

λ + 2x
−2


xu = 0,
phương trình này được rút về
xu

+ λxu = 0
u

+ λu = 0.
Khi đó, nghiệm tổng quát đối với phương trình trên là
u (x) = a cos

√
λx

+ b sin

√
λx

.
Vì chúng ta lấy y = xu (x), nên chúng ta sẽ thu được
y (x) = ax cos

√
λx

+ bx sin

√

λx

,
đó là nghiệm tổng quát cho phương trình đầu tiên.
Từ điều kiện y (1) = 0, ta có
0 = a cos

√
λ

+ b sin

√
λ

.
Từ điều kiện y (2) = 0, ta có
0 = 2acos(2
√
λ) + 2asin(2
√
λ) (1.31)
chia cả 2 vế phương trình (1.31) cho 2, ta được
0 = a cos

2
√
λ

+ b sin


2
√
λ

.
Viết chúng dưới dạng ma trận


cos

√
λ

sin

√
λ

cos

2
√
λ

sin

2
√
λ





a
b

= 0.