Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
PHẠM THÚY HÀ
PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG
*
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THÚY HÀ
PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn
tận tình của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Ngọc. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn
chân thành của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp
đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác
giả
Phạm Thúy Hà
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn

của TS. Nguyễn Văn Ngọc.
Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không
trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác
giả
Phạm Thúy Hà
Mục lục
Tài liệu tham khảo
75
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp tách biến, hay còn gọi là phương pháp Fourier, là một trong những
phương pháp hữu hiệu giải các phương trình đạo hàm riêng. Thực chất của phương pháp
tách biến là đưa các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số về giải các phương trình vi
phân thường đối với một biến số. Liên quan với các điều kiện biên của bài toán, xuất hiện
bài toán Sturm-Liouville tương ứng đối với các toán tử vi phân có phổ rời rạc, hoặc liên tục.
Từ đó, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hoặc được tìm ở dạng chuỗi, hoặc dạng tích
phân của các hàm riêng.
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng và phương
pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Ngọc, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Phương pháp tách biến giải
các phương trình đạo hàm riêng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tách biến và trình bày
các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạo
hàm riêng một chiều, hai chiều, trong đó các bài toán Sturm-Liouville tương ứng có phổ rời
rạc.
3. Nhiệm vụ nghiền cứu

Trong luận văn của mình ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn đã
trình bày 3 chương sau:
Chương 1. Các kiến thức bổ trỢ: trình bày kiến thức cơ bản về không gian L
P
, các định lí
về tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier, dãy trực giao, khái niệm
về bài toán Sturm-Liouville, hàm Bessel, các định lí duy nhất nghiệm, giới thiệu về phương
pháp tách biến để phục vụ cho việc giải các bài toán ở chương 2, chương 3 và một số ví dụ
đơn giản.
Chương 2. Các phương trình đạo hàm riêng một chiều: sử dụng phương pháp tách biến
và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt, sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình truyền nhiệt. Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay-Bài toán đối xứng
6
trục. Phương trình truyền sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn. Bài toán biên Dirichlet
cùng một số ví dụ về tìm nghiệm của phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt.
Chương 3. Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải một số bài toán bằng
phương pháp tách biến của phương trình Laplace trong hình chữ nhật, phương trình
truyền nhiệt trong hình chữ nhật. Bài toán truyền nhiệt trong hình quạt. Phương trình sóng
hai chiều không thuần nhất trên hình chữ nhật. Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các
bài toán Sturm-Liouville tương ứng, giải quyết triệt để việc tìm nghiệm tổng quát của các
phương trình sóng 2 chiều trong các trường hợp và điều kiện biên khác nhau. Các nghiệm
tìm được đều biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác của các hàm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm - Liouville tương ứng.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên khó xuất hiện trong cơ học và vật lý.
7
Chương 1 Các kiến

thức bổ trơ
*
1.1 Một số kiến thức bổ trỢ
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.1.1 Không gian ư
Với P là số thực: 1 < p < oo, e K
n
ta định nghĩa L
P
(fi) là lớp các hàm F(X ) xác định trên fi,
sao cho
(1.1)
Số ||/||p được gọi là chuẩn của hàm F(X).
L
P
(íí) là một không gian Banach. Đặc biệt, L
2
(JL) là một không gian Hilbert với tích vô
hướng
(1.2)
trong đó G(X ) là liên hợp phức của G(X).
Hàm F(X) xác định trên được gọi là chủ yếu bị chặn trên nếu
tồn tại hằng số dương C, sao cho |/(x)| < c hầu khắp nơi trên fi. Cận dưới lớn nhất của các
hằng số c được ký hiệu là esssup
xef2
\F(X)\.
Ta ký hiệu L°°(Q) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên íl. Chuẩn trong
L°°(Q) được xác định theo công thức
ll/lloo = ESSSUP
XF

:
FÍ
|/(a;)|
trong đó SUP lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, 6]. Dưới đây
là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong L
P
.
n
8
Định lý 1.1. (Về sự trù mật)
i) Nếu khoảng (a,b) là hữu hạn thì các lớp hàm sau đây sẽ trù mật khắp nơi
trong L
p
(a, b):
M — lớp các hàm bị chặn,
C-lóp các hàm liên tục,
S—lớp các hàm bậc thang,
P—lớp các đa thức đại số,
T—ỉớp các đa thức ỉượng giác trù mật khắp nơi trong L
p
(—TT,Tr).
ii) Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong L
p
(—00,00),
(P > 1).
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân
Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Hôlder). NẾU / e L
P
, G € L
Q

, TRONG ĐÓ P,Q~Ị£

1, THÌ
n
Định lý 1.5 (Định lý Fubini). CHO F(X,Y)

KHẢ TÍCH TRÊN ííi X íí
2
- KHI ĐÓ
X -> I F(x,y)dy khả tích trên ííi, y -> / F(x,y)dx khả tích trên ĩì
2
. Ngoài ra
JN
2
•'ÍỈ!
/
dx
I F(x,y) dy — J dy I F(x, y dx — I F(x,y)dxdy. (1-5)
íìi ÍÌ
2
í^2 íìlÍÍ
1
XÍÍ
2
1.1.3 Biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.1. Cho / là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn [A,B]. Giả sử P =
{XO,XI, ,X
N
} là một phân hoạch của đoạn [«, 6], nghĩa là
9

A — X Ũ < XỊ < < X
N
— B. Hàm số F(X) được gọi là có biến phân bị chặn trên đoạn [a, 6],
nếu
(1.6)
Ví dụ về biến phân bị chặn
1) Nếu F(X) là hàm thực đơn điệu trên
[a, 6], thì V
a
6
(/) = 1/(6) - /(a)|.
2) Nếu [A,B] thì V
a
6
(/) ^ M(B- A).
* Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn
1) Hàm nhận giá trị phức biến thực F(X ) có biến phân bị chặn trên [A,B], khi và chỉ khi
phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [ữ, B\.
2) Nếu F(X) có biến phân bị chặn thì F(X) bị chặn: |/(x)| < |/(a)| + V£(F).
3) Giả sử F(X ) là hàm số thực. Hàm F(X) có biến phân bị chặn trên [a, 6] khi và chỉ khi nó
là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [ữ, B]\
f(x) = g(x) - h(x).
1.2 Chuỗi Fourier trong L
1
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier
Với hàm / e L
1
[—7T, 7r], nghĩa là / khả tích Lesbesgue trên [—7T, 7r], ta định nghĩa
chuỗi Fourier của / là chuỗi hàm lượng giác như

sau
(1.7)
trong đó
(1.8)
71
3) Nếu / là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, 6], nghĩa là có
dạng
00
7r
— 7T
1
0
B
N
= — / (x'i sin NX'DX', N = 0,1, 2, (1-9)
7Г J
— 7Г
Chuỗi (1.7) được gọi là chuỗi lượng giác của hàm F(X) và mối quan hệ trên đây được ký
hiệu là
00
/ 0*0 ~ о + £ (A
N
COS ĨIX + B
N
sin N X ).
71= 1
Lưu ý rằng ký hiệu ~ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn giản là nó
chỉ mối liên hệ (1.7)- (1.9) mà thôi.
Nếu / tuần hoàn với chu kỳ 2-7Г, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của / tương tự
như trên. Trong đó các hệ số A

N
, B
N
được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a,a + 27г].
Nếu / tuần hoàn với chu kỳ 21, bằng phép đổi biến í = — , ta đưa về trường
hợp tuần hoàn với chu kỳ 2IĨ.
Để ý rằng vì / € L
1
[—7Г,7Г] nên các tích phân trong (1.9) tồn tại.
1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.2. ( Điều kiện Dirichlet). Cho / là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (A,B ).
Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet
(i) Tồn tại F(A
+
),F(B~) và / có biến phân bị chặn trên [A,B].
(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn [a, 0] sao cho khi bỏ đi các lân cận
bé tùy ý của những điểm này thì / có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của
đoạn [a., 0], hơn nữa / e L
1
(a,ò).
Định lý 1.6. Cho Ị e L
1
[—7Г,7Г]. Nếu Ị thỏa mẫn điều kiện Dirichỉet trong (—
7Г,7Г) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về / (x) tại các điểm X e (— 7Г,7Г) mà tại
đó hàm Ị liên tục, hội tụ về \ [/ (ж
+
) + / (ж
-
)] nếu X là điểm gián đoạn thông
thường, hội tụ về I [/ (— 7Г

+
) + / (7Г
-
)] tại X = ±7T nếu ỉ (7т
-
) và f (—7T
+
) tồn tại.
1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin
1
1
Cho / e L
1
[о,7г] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0,7r). Ta định nghĩa / trên (—7Г,
0) bằng công thức / (X) = F (—X) , X Ç. (—7Г, 0). Khi đó, / e L
1
[—7Г, 7г] và thỏa mãn điều
kiện Dirichlet trên (—7Г, 7r) vì vậy có thể áp dụng kết quả phầntrên. Ngoài ra, do / là hàm
chẵn
7T 7T
/
/ (a/) dx', a
n
= — / (a/) cos nx'dx', b
n
= 0, n = 1, 2,
7T 7
0 0 Tương tự, nếu chúng ta thác triển F(X) từ (0,7r) sang (—7T,0) theo công thức F(X ) = -F(-
X),X e (—7Tj 0), thì ta có chuỗi sin sau đây
00

2 ỉ(
x
) ~ / a
n
sin nx, a
n
— — I f(x') sin
nx'dx'.
71" J n
0
1
0
HỘI TỤ VỀ I [/ (a:
+
) + / (z
-
)] TẠI NHỮNG ĐIỂM X e (0,7r) mà / (a:
+
) / (a:
-
) TỒN
tại; hội tụ về Ị (o
+
) tại X = 0 nếu ỉ (o
+
) tồn tại; hội tụ về Ị (7T
_
) tại X = 7T nếu
ỉ (7T

_
) tồn tại.
Định lý 1.8. Cho Ị e L
1
[0,7r] và thỏa mẫn điều kiện Dirichỉet trên (0,7r). Khi đó, ta
có chuỗi sin
2
oo ĩ
sin NX / / (x
r
) sin NX'DX' 0
. 1 _ _ .
9 . .
hội tụ về I [/ (x
+
) + / (x )] tại những điểm X e (0,7r) mà Ị (x
+
) và ỉ (x ) tồn
tại; hội tụ về 0 tại X = 0 hay X = ĩĩ.
1.3 Chuỗi Fourier trong L
2
Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].
1.3.1 Dãy trực giao
Xét không gian L
2
các hàm thực bình phương khả tích trên [—7T,7r].
Trong
L
2
, dãy hàm {</?„ IngN} được gọi là một hệ trực giao nếu

7r
j ụ>m (x) ụ>n (x) dx = 0, Vm Ỷ
n
(1-12)
và nếu hệ {ÍP
N
|„£n} có thêm tính chất
ao
7r
7T
1
2
I
d x
=
1
, Vn (
1
-
1 3
)
thì ta nói hệ {<£>„} trực chuấn.
Cho hàm / G L
2
, với hệ trực chuẩn {</?„}, ta đặt
7Г
C n = Ị f ( x ) .( p
n
(x ) d x , V n e N (1-14)
— 7Г

00
thì ta gọi ^2 C
N
Ự>
N
là chuỗi Fourier của hàm / (ứng với hệ trực chuẩn
{<£«}) và
n=0
00
kí hiệu là / ~ ^2 °n<Pn-
n=0
Ta xét bàitoán khi nào hàm Ơ
N
có dạng
ơ
n = o - o V o + + • • ■ + ữ
n
i p
n
(1.15)
là xấp xỉcủahàm / tốt nhất theo nghĩa đại lượng sau đây đạt cực tiểu
7Г
s
n
= II/ - &n II2 = J [ỉ (
x
) -
ơ
n (x)]
2

dx. (1-16)
— 7Г
Ta có định lý sau
Định lý 1.9. ơ
n
ỉà xấp xỉ tốt nhất của f khi và chỉ khi
щ к =
c
k , = 0,1, (1-17)
1
3
7Г
Ị
< p
2
n (
x
) '
— lĩ
—
7T
1*
7 1
Ta có: / /
2
(x) dx và là các hằng số. Do đó, Ỗ
N
đạt cực tiểu khi và chỉ khi
—7T
fc = 0

— 7r
n
(ajfc — Cfc)
2
= 0, tức là AỴ = Cfc, VA: = 0 , n . □
fe=o
1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval
00
Bất đẳng thức Bassel: Giả sử CỊ-TPK là chuỗi Fourier của / ứng với hệ
k =0
trực chuẩn {<£„} . Khi đó
7r
/00
/
2
(x)dx >
C
1- í
1
-
18
)
*=0
CHỨNG MINH. Trong chứng minh của định lý 1.9, ta có giá trị cực tiểu là ỎN là
Suy ra, 5^ 4 < / /
2
(x) da.
fc=o
— 7T
71

Do đó, chuỗi 4 hội tụ và ta có điều phải chứng minh.
Jfe=0
1
4
□
Vậy với hệ {<£„} trực chuẩn thì mọi hàm / € L
2
đều thỏa mãn bất đẳng thức Bessel. Vấn đề
được xét tiếp là khi nào bất đẳng thức Bessel xảy ra dấu bằng.
Định nghĩa 1.3. Hệ trực chuẩn {<£>„} được gọi là đầy đủ trong L
2
nghĩa là
= I f
2
(x)dx, V/ e L
2
. (1.19)
Sau đây, ta xét một tiêu chuẩn đơn giản cho biết một hệ trực chuẩn là đầy
đủ. Định lý 1.10. CHO HỆ TRỰC CHUẨN {</>n} TRONG L
2
. HỆ NÀY ỈÀ ĐẦY ĐỦ NẾU VÀ CHỈ NẾU
VF e c [ 7T, 7r], Ve > =a
ữ
ip
ữ
+ •■ • + a
n
<p
n
,

IIí
1
- ơ
n
\\
2
< £
CHỨNG MINH. Giả sử (1.20) thỏa mãn. Xét / e L
2
và cho trước E
> 0 tùy ý. Như đã biết, không gian c [ —7T, 7r] trù mật
trong L
2
nên có một hàm F e c [—7T,7r] sao cho
1/2
/ Tĩ \
Ị Ị ư (
x
) -
F
(x)fdx Ị
yj u -
r ux
J
Từ giả thiết (1.20), ta cũng có hàm ơ„ = CIQTPQ + • • ■ + A
N
TP
N
sao cho
1 / 2

ì
II/ — 0-„|[
2
= yị [f (x) — F (x)Y dx J < E.
Từ hai bất đẳng thức trên, bất đẳng thức Bessel và định lý 1.9 dẫn đến
—
Trường hợp ngược lại, nghĩa là hệ {</?„} đầy đủ dẫn đến (1.20).
7r
71 N
± 4 =
Ị
k=0
— 7T
(1.20)
1
5
II/-^1
<
£ .
□
Kết hợp tiêu chuẩn trên và định lý Frjér, ta có Định
lý 1.11. (PARSEVAL). HỆ TRỰC CHUẨN
í
1
co s x Sinz cos n x sin na: I
L V 27г V к V 71" V
ж
V 7Г J
00
là đầy đủ nghĩa là với hàm / Ễ L

2
[—7Г,7Г] và / ~ ^ + Ỵ2 (ßn COS nx + b
n
smnx)
71 — 1
như trong định nghĩa 1.3 thì
/" 2
00
- J f
2
( x ) d x =
a
- ị + Y,{*l + b l ) .
(1-22)
- Т Г *=1
ôẳn# thức trên được gọi ỉà đẳng thức Parsevaỉ.
CHỨNG MINH. Cho / là hàm số bất kỳ liên tục trên đoạn [—7Г, 7г] và cho trước
í e
2
ì
£ > 0, khi đó / bi chăn bởi M

> 0. Đăt Ỗ

=

MIN 'S ———-,7Г f >
0.
J
Ì32M

2
j
Đặt G là hàm số liên tục trên đoạn [—7Г, 7г] sao cho G bằng / trên đoạn [—7Г + Ỗ, 7Г — ổ],
g (—7Г) = g ( l ĩ) = \ [ / (—7Г) + / ( í t ) ] và ổ t u yến tính trên h a i đ o ạn [-7Г, - 7 Г + ổ] và [7Г — S,
7г]. Suy ra, G bị chặn bởi M và I/ — G\ < 2M.
Ngoài ra, ta xem như G tuần hoàn với chu kì 2-7Г và liên tục trên R nghĩa là G thỏa mãn giả
thiết của định lý Fejér, nên ta có một đa thức lượng giác tổng quát (tổng Fejér-Césaro của
G ) Ơ
N
thỏa mãn
sup [g (x) - ơ„ (z)] <
T
х€[-7г,тг] (87
và dĩ nhiên Ơ
N
có dạng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm trong họ trực chuẩn đang xét.
Vậy
\?r —â<|æ|<ir
£ £
< \- — = £
2 2
tức là tiêu chuẩn (1.20) thỏa mãn. Do đó, hệ trực chuẩn đang xét là đầy đủ. □
Định lý 1.12. Chuỗi Fourier của hàm / € L
2
[—7T, 7r] sẽ hội tụ trung bình về f theo
định nghĩa
2
DX = 0
(1.23)
Chứng minh. Ta có

—
dẫn đến điều phải chứng minh.
1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville
Các kiến thức trong mục này có thể tìm thấy trong [3] và [4].
1.4.1 Khái niệm
Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một tập hợp đã biết của các phần tử.
Một phần tử Y Ỷ 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu LY — XY, và X được gọi là giá trị riêng
tương ứng của L. Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng
là
í =
-^
+ ,w
'
Giả sử rằng Q (X ) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, B ].
Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là
1. Y (A) cosa + Y' (A ) sin A = 0, Y (6) cos/3 + Y' (B ) sin /3 = 0, ở đó A và /3 là hai số thực tùy ý.
2. y(a) = y (ò), y' (a) = y' (b).
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu bài toán giá trị biên
LY (X ) = -Y" + Q(X)Y = XY, Y (A ) cosa + Y' (A ) sin A — 0, Y (B) COSJD + Y' (b) sin
/3 = 0,
í ĩ (
lim / / (X)

—

Ị — + / (A /C

C O S KX + B

K

sin KX

)
" " “ { L V
2
— 7T
□
(1.24)
(1.25)
(1.26)
được biết đến như là bài toán Sturm - Liouville. Bài toán Sturm - Liouville được gọi là chính
quy nếu đoạn [a, 6] là hữu hạn và hàm Q (x) là khả tổng trên đoạn đó. Ngược lại, nếu đoạn [A,B]
là vô hạn, hoặc nếu Q (X) là không khả tổng trên đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-
Liouville được gọi là kì dị.
Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn
Y" + P (X ) Y' + [L (X ) + XR (x)] Y = 0,
ở đó hàm R (X) dương trên đoạn [A,B], có thể rút gọn được về dạng (1.25). Nếu chúng ta giả sử
rằng đạo hàm cấp một của P (X ) và đạo hàm cấp hai của R (X ) là liên tục, khi đó (1.27) có thể
được rút gọn về dạng chính tắc
+ [A + Q( C)b =
0
thông qua phép thay thế
(1.28)
ánh xạ đoạn [a, 0] vào đoạn [0,7r], trong khi điều kiện biên (1.26) không thay đổi dạng của nó.
Phép biến đổi như (1.28) được gọi là phép biến đổi Liouville.
1.4.2 Tính chất
Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.25), (1.26). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng A = 0 và B = 7T. Thực tế đoạn [a, 6] được ánh xạ vào đoạn [0,7ĩ] bởi phép thế T = ——-7r
phép thế này không làm thay đổi dạng của (1.25),

b — a
(1.26). Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường Y (X,XI) Ỷ 0 với Ai đã biết thì
khi đó Ai được gọi là một giá trị riêng và Y (X , Ai) Ỷ 0 được gọi là hàm riêng của (1.25), (1.26).
Bố đề 1.1. Hai hàm riêng Y (X, Ai) Ỷ 0 và Y (X , A
2
) Ỷ 0 tương ứng với những giá trị riêng khác
nhau là trực giao, tức là
(1.29)
(1.27)
7r
0
CHỨNG MINH. Lấy / (я) và G (X ) là các hàm liên tục và khả vi hai lần.
Đặt LỊ = —Ị" (x) + Q(X) F (X). Tích phân từng phần hai lần, chúng ta có
7Г 7Г
Ị Lf.g(x)dx — w,r {f,g} — Wo {/, <?} + Ị Lg.f (x)dx, (1.30)
0 0
ở đó
/ (ж) 9

(X)
/' (z)
9
' {X)
Lấy / (X) — У (X, Ải) và G(X) — У (X , Л
2
). Từ điều kiện biên (1.26) ta có Wo {/, G} = w
r

{/, G} = 0. Do đó từ (1.10) ta có
7Г

(Ai - A
2
) Ị y(x,\
1
)y(x,\
2
)dx = 0. 0
Vì Ai Ф \Ч nên ta có điều phải chứng minh. □
Bổ đề 1.2. Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.25), (1.26) là thực.
CHỨNG MINH. Lấy Ải = И + IV là một giá trị riêng phức. Vì Q (X ) có giá trị thực và a, SS là thực nên
A
2
= Ai = И - IV cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm riêng Ỹ(X,XI). Khi đó, từ bổ đề
trước ta có
do đó, Y(X, Ai) = 0, mâu thuẫn với Y(X,X i) là một hàm riêng. Vậy ta có điều phải chứng minh.□
Định lý 1.13. Nếu q(x) là một hàm liên tục trên đoạn [a,b], khi đó với bất kì a, tồn
tại duy nhất một nghiệm <p(x, A) , a < X < b, của phương trình (1.24), sao cho ip (а,
Л) = sin a và <p' (а, Л) = —cosa.
Vói X bất кг, X cố định thuộc đoạn [a,b], <p (X,x) ỉà một hàm nguyên của Л.
1.4.3 Các ví dụ đơn giản
Ví dụ 1.1. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
f f . \ 2_______ Л
Y + A Y = о với
các giá trị biên У (0) = 0 và Y (L ) = 0.
w *{/,<?} =
7Г
/
2
У

(ж, Al) I DX

= 0;
LỜI GIẢI. Nghiệm tổng quát là
у

(ж) = a

cos \ x + b

sin X x .
Khi đó, từ điều kiện у (0) = 0, ta có a = 0. Từ điều kiện y (L) = 0 và cùng với A — 0, ta có 0 =
BSINXL. Chúng ta giả sử rằng B Ф 0, khi đó 0 = sinẢL. Từ đó, chúng ta có
X L = 7Г n ,
và do đó
7ГП
=
~L'
Chúng ta viết A„ thay cho A, tức là
7ГП
= X'
Vì A = 0 nên các hàm riêng là Y
N
= sin (А„ж) với các giá trị riêng
7rn
A
n
= ^

, 7 1

= 1,2,3,
Chúng ta không xét n = 0 vì khi n = 0, ta có Ao = 0 và khi đó một hàm riêng sẽ là
3/0
= sin (0) = 0.
Tuy nhiên, theo định nghĩa thì hàm riêng không đồng nhất bằng 0, vì vậy đây không phải là
hàm riêng.
Ví dụ 1.2. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
У" + A
2
y = 0
với các giá trị biên Y' (0) = 0 và -Y' (L ) = 0.
LỜI GIẢI. Nghiệm tổng quát là
у

(X

) = a

cos AX + b

sin X x .
Khi đó, từ điều kiện biên Y' (0) = 0, ta có B = 0. Từ điều kiện biên Y' (L ) = 0 và cùng với B = 0, ta
có 0 = aAsinẢi. Giả sử B Ф 0, khi đó 0 = sin Ai. Từ đó, chúng ta có
X L = 7ГП.
Chúng ta viết A
n
thay cho Л, tức là
Vì B — 0 nên các hàm riêng là
y

n
= cos ( X
n
x )
7Г71
với các giá trị riêng
X
N
= —J—, N = 0,1,2,3, ở đây, chúng ta xét cả n = 0, vì khi
đó Ao = 0 và ta có một hàm riêng là
2/0
= cos (0) = 1.
Ví dụ 1.3. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
// 1 \ 2______ n
Y + A Y = 0 với các giá
trị biên Y (0) = 0 và Y' (L ) = 0.
LỜI GIẢI. Nghiệm tổng quát là
■ y

(X )

= a

cos X x + b

sin X x .
Khi đó, từ điều kiện Y (0) = 0, ta có A = 0.
Từ Y' (L) = 0 và cùng với A = 0, ta có 0 = 6Acos (AL).
™ _ r> *. í _ 2n + 1
Vì cosz = 0 tai X — —7r, nên ta có

2
2 TI 1
A L = 71-,
2
và do đó
2 N + 1
A = lĩ .
2 L
Chúng ta viết A„ thay cho A, tức là
2 71 +1
A
"
=

~^ũr'
K
-
Khi đó, các hàm riêng là
y
n
= sin (X
n
x),
với các giá trị riêng
2 7 1

+ 1
A =
2L
7r, N = 0,1,2,3,

2.
hoặc chúng ta cũng có thể viết
Ví dụ 1.4. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
Y" + A
1
y = 0
với các giá trị biên Y (0) = Y (L), Y' (0) = Y' (L ).
LỜI GIẢI. Nghiệm tổng quát là
y

(x) = a

cos AX + b

sin X x .
Từ điều kiện -Y (0) = Y (L ) và Y' (0) = Y' (L ), ta có
(a = acos\L + 6sin Ai
ÒA = — AX sin XL + BX cos \L
hay
(cos AL —

1) a

+ (sin X L )

6 = 0 (sin AL ) a +

(1 — cos AL )

6 = 0 Vì a

và 6
không đồng thời bằng 0 nên ta có
{
cos\ L —

1 sin A L

sin AL 1 — cos A L
2mr
X
N
= —JT , n = 0,1, 2, 3,
Y
N
= 1, cosA„x, sinA„x.
1 n - 1
A = — 7r, n = 1,2,3,
2 L
= 0.
2 cos XL —

2 = 0,
COSẰL = 1.
A L = 2mr.
Từ đó, ta có Điều này tương
đương với hay Do đó
Như vậy, các giá trị riêng là
— (cosAL — l)
2

— sin
2
AL = 0.
Các hàm riêng là
1.4.4 Các ví dụ phức tạp hơn
Ví dụ 1.5. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
Y" + A
2
y = 0
với các giá trị biên Y (0) = 0 và Y (L ) + Y' (L ) = 0.
LỜI GIẢI. Nghiệm tổng quát của phương trình là
Y (X) = acosAz+bsinAz.
Khi đó
y

1



( x )

= — a X

sin Ax+bAcosÀx.
Từ điều kiện Y (0) = 0, ta có A = 0.
Do đó
Y (X) = bsinAx, Y' (x)
= bAcosAa:.
Từ điều kiện Y (L) + Y
1

(L ) = 0, ta có
òsinẢL + BXCOSXL = 0
Do A và B không đồng thời bằng 0, nên B Ỷ 0. Từ đó, ta có
sinAL + XCOSXL = 0.
Tức là
Л = — tan XL.
Như vậy, các hàm riêng là
Y
N
(X ) = sin X
N
X,
trong đó, các giá trị riêng A„, N = 1, 2 , đ ư ợ c xác định bởi công thức
\ J I — — — t â n A J\L.
Ví dụ 1.6. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
Y" - 2X~
1
Y' + (л + 2X~
2
) У = 0 với
các giá trị biên У (1) = 0 và У (2) = 0.
LỜI GIẢI. Lấy Y — XU(X). Các đạo hàm của nó là
y' — xu' + u,
y = xu + 2u .
Thay thế chúng vào phương trình, ta được
y" = xu' + 2u' — 2x
_1
(xu' + u) + (à + 2x~
2
) xu = 0,

phương trình này được rút về
xu" + Xxu = 0 u"
+ Xu = 0.
Khi đó, nghiệm tổng quát đối với phương trình trên là
u

(X

) = a

cos + b

sin Aaộ .
Vì chúng ta lấy y

= x u

(X

), nên chúng ta sẽ thu được
Y (X ) = &X cos ^\/XX^J + BX sin ^\/XX^J ,
đó là nghiệm tổng quát cho phương trình đầu tiên.
Từ điều kiện Y (1) = 0, ta có
0 = a

cos x j + b

sin ^\/ .
Từ điều kiện Y (2) = 0, ta có
0

=
2
a cos(
2
V A) +
2
a sin(
2
y / X)
chia cả 2 vế phương trình (1.31) cho 2, ta được
0 = A cos (
21
/a) + B sin (
2
^) .
Viết chúng dưới dạng ma trận
cos (VÃ) sin (VÃ)
= 0.
cos (
2
V x) sin (
2
VÃ)
(1.31)
Lập định thức của ma trận, vì A và B không đồng thời bằng 0 nên
cos (VÃ) sin (VÃ) cos
(2A/Ã) sin (2VÃ)
Sử dụng công thức sin(:r — Y) = sinxcosi/ — cosssini/, chúng ta nhận được
sin ị V x

(2 - 1)] = sin (2\/a) cos (VI) — cos sin (va) = 0.
Chúng ta có
Khi đó,
Thay X
N
= (MR)
2
vào 0 = acos ("s/Ã) + òsin (VÃ) và khi đó, ta tìm được
0 = a cos (mr) +

b sin ( m r )
Hệ số A bằng 0. Do đó, các hàm riêng là
với các giá trị riêng
2
A„ = ( T Z 7 T ) , n = 1,2,
Ví dụ 1.7. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của bài toán
y" + ụ?y = 0, y' (0) = hỉy (0), y' (l) = -h
2
y (l),
trong đó HI > 0 và /i
2
> 0-
LỜI GIẢI. Phương trình có nghiệm dạng
Y (X ) = A cos ỊIX + B sin ỊIX.
Khi đó:
Y' (rc) = — AỊI sin (ẤX + BỤ, cos ỊIX.
Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có
ý (0) = Bịi = hiy (0) = hiA.
Vx = niĩ An =
( m r)

2
.