Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi da diện với nhiễu tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
===============


LÊ HỒNG PHÚC


ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP
CHO CÁC TẬP LỒI ĐA DIỆN VỚI
NHIỄU TUYẾN TÍNH


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quang Huy


HÀ NỘI, NĂM 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá
trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày tháng năm 2014
Tác giả
Lê Hồng Phúc
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy.
Tác giả xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu và các thông
tin trích dẫn trong luận văn là trung thực.
Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả
Lê Hồng Phúc
ii
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclid n-chiều
F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
domF tập xác định của F
gphF đồ thị của F
Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski
N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯x

N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x
∂f(x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x
∂
∞
f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x
ˆ
∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x

x
Ω
−→ ¯x x → ¯x, x ∈ Ω
x
f
−→ ¯x x → ¯x, f(x) → f(¯x)
iii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp 4
2 Đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp 13
3 Áp dụng cho các bất đẳng thức biến phân aphin 21
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 28
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xét tập lồi đa diện có nhiễu bởi một ánh xạ tuyến tính có dạng
Θ(w) := {x ∈ R
n
| Cx ≤ Dw}, (0.1)
ở đó C = (c
ij
)
m×n
∈ R
m×n
, D = (d
ij
)

m×p
∈ R
m×p
là các ma trận đã cho
và w = (w
1
, . . . , w
p
) ∈ R
p
là vectơ tham số. Với mỗi (x, w) ∈ R
n
× R
p
,
nón pháp tuyến của Θ(w) tại x theo nghĩa của giải tích lồi được xác
định bởi
N(x; Θ(w)) =













x
∗
∈ R
n
| x
∗
, u − x ≤ 0 ∀u ∈ Θ(w)

nếu x ∈ Θ(w),
∅ nếu x ∈ Θ(w).
Ánh xạ đa trị F : R
n
× R
p
→ R
n
có dạng
F(x, w) := N(x; Θ(w)) (0.2)
được gọi là ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện phụ thuộc tham số.
Sự cần thiết của việc tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm
Mordukhovich của ánh xạ nón pháp tuyến F vừa được trình bày và thảo
luận trong [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Trong
trường hợp ma trận D là một ma trận đơn vị, Yen và Yao [19, 20] lần
đầu tiên thiết lập được một vài đánh giá trên hoặc đánh giá dưới đối
đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp
tuyến F. Sau đó dưới một điều kiện độc lập tuyến tính liên quan đến
các ràng buộc hoạt, Nam [13] đã cho các công thức chính xác tính đối
đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F. Gần đây các kết
quả trong [13] vừa được phát triển hơn nữa bởi Qui [15, 16, 17] và Trang
2

[18], ở đó điều kiện độc lập tuyến tính được thay bởi điều kiện độc lập
tuyến tính dương. Hơn nữa, Qui [16] đã trình bày một công thức chính
xác tính đối đạo hàm Fréchet của F, và sau đó một công thức chính xác
tính đối đạo hàm Mordukhovich của F đã được thiết lập trong [6] mà
không đòi hỏi bất kì một giả thuyết chính quy nào. Gần đây, các công
thức tính chính xác đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich
của F đã được thiết lập trong [7] dưới một điều kiện độc lập tuyến tính
đặt trên ma trận A và D. Trên cơ sở khảo sát một số ví dụ cụ thể, ta
thấy rằng dường như điều kiện độc lập tuyến tính đặt trên ma trận A
và D là không cần thiết.
Với những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài “Đối đạo hàm của ánh
xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính” nhằm
tìm hiểu về lý thuyết đối đạo hàm, tiếp tục nghiên cứu thiết lập công
thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich
của F mà không cần bất kỳ điều kiện nào đặt trên ma trận A và D.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nghiên cứu tìm công thức chính xác tính
đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F. Áp dụng kết
quả đạt được để thiết lập điều kiện cần và đủ đặc trưng tính Lipschitz
kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
aphin có tham số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là lý
thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich. Thiết lập công thức chính xác
tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F. Đưa ra
3
đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, bất đẳng thức biến phân

aphin, các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và
đạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi và lý
thuyết tối ưu.
6. Giả thiết khoa học
Nếu thiết lập được công thức chính xác tính đối đạo hàm Mor-
dukhovich của F sẽ là một đóng góp có ý nghĩa cho lý thuyết dưới vi
phân bậc hai. Từ đó có thể giúp thiết lập được một đặc trưng cần và đủ
cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân aphin có tham số.
Chương 1
Đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ
nón pháp
Trong chương này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối
đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện với nhiễu
tuyến tính.
1.1 Một số kiến thức cơ bản và kết quả bổ trợ
Cho F : R
m
⇒ R
n
là một ánh xạ đa trị. Ký hiệu Limsup
x→¯x
F (x)
là giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của F khi x → ¯x:
Lim sup
x→¯x
F (x) :=


x
∗
∈ R
n



∃ x
k
→ ¯x và x
∗
k
→ x
∗
với
x
∗
k
∈ F (x
k
) ∀ k = 1, 2, . . .

.
Cho Ω ⊂ R
n
, nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∈ Ω được xác định bởi

N(¯x; Ω) :=

x

∗
∈ R
n



lim sup
x
Ω
−→¯x
x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
≤ 0

,
trong đó x
Ω
−→ ¯x có nghĩa là x → ¯x với x ∈ Ω.
5
Nón pháp tuyến Mordukhovich N(¯x; Ω) thu được từ

N(x; Ω) bằng
cách lấy giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlev khi x → ¯x như sau
N(¯x; Ω) := Lim sup
x→¯x

N(x; Ω).
Miền xác định và đồ thị của F được xác định bởi

dom F := {x ∈ R
m
| F (x) = ∅},
gph F := {(x, y) ∈ R
m
× R
n
| y ∈ F (x)}.
Đối đạo hàm Mordukhovich D
∗
F (¯x, ¯y) : R
n
⇒ R
m
của ánh xạ đa
trị F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được định nghĩa như sau
D
∗
F (¯x, ¯y)(y
∗
) :=

x
∗
∈ R
m


(x
∗

, −y
∗
) ∈ N((¯x, ¯y); gph F )

, y
∗
∈ R
n
.
Tương tự, đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F xác định bởi

D
∗
F (¯x, ¯y)(y
∗
) := {x
∗
∈ R
m
| (x
∗
, −y
∗
) ∈

N((¯x, ¯y); gph F ))}, y
∗
∈ R
n
.

Chúng ta có một mối quan hệ giữa hai khái niệm trên
D
∗
F (¯x, ¯y)(¯y
∗
) = Lim sup
(x,y)→(¯x,¯y)
y∈F (x)
y
∗
→¯y
∗

D
∗
F (x, y)(y
∗
).
Cho C = (c
ij
)
m×n
∈ R
m×n
, D = (d
ij
)
m×p
∈ R
m×p

là các ma trận.
Xét tập lồi đa diện có nhiễu
Θ(w) := {x ∈ R
n
| Cx ≤ Dw}
phụ thuộc tham số w = (w
1
, . . . , w
p
) ∈ R
p
.
Đặt T := {1, 2, . . . , m}. Với mỗi ω ∈ R
p
và x ∈ Θ(ω), tập chỉ số
tương ứng cặp phần tử (x, ω) ∈ R
n
× R
p
được định nghĩa bởi
I(x, ω) := {i ∈ T | C
i
x = D
i
w}.
6
trong đó C
i
, D
i

tương ứng là vectơ cột của ma trận C và D.
Lấy (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) ∈ gph F với F đã được định nghĩa ở (0.2). Từ [13, Lemma
3.1], chúng ta có
N(¯x; Θ(¯ω)) = pos {C
T
i
| i ∈ I(¯x, ¯ω)},
trong đó pos {v
j
| j ∈ J} :=


i∈J
λ
j
v
j
| λ
j
≥ 0 ∀j ∈ J

và pos ∅ = {0}.
Rõ ràng,
¯
ξ
∗

=

i∈I(¯x,¯ω)
λ
i
C
T
i
với λ
i
≥ 0, i ∈ I(¯x, ¯ω).
Để đơn giản, chúng ta viết I thay cho I(¯x, ¯ω). Xét các tập chỉ số sau
I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) = {P ⊂ I | P = ∅, ξ
∗
∈ pos {C
T
i
| i ∈ P }},
J (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) = {P ∈ I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗

) | C
T
i
, i ∈ P, là độc lập tuyến tính},
và

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) =



J (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
), nếu
¯
ξ
∗
= 0,
J (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) ∪ {∅}, nếu
¯
ξ

∗
= 0.
(1.1)
Với mỗi (x, ω, ξ
∗
) ∈ gph F, chúng ta định nghĩa

I
1
(x, ω, ξ
∗
) =

i ∈ I(x, ω)


ξ
∗
=

j∈I(x,ω)\{i}
λ
j
C
T
i
với λ
j
≥ 0, j ∈
I(x, ω) \ {i}


và
I
1
(x, ω, ξ
∗
) =



I(x, ω), nếu ξ
∗
= 0 và |I(x, ω)| = 1,

I
1
(x, ω, ξ
∗
) trong các trường hợp khác.
Đặt
L(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) =

λ ∈ R
|I|
+



¯
ξ
∗
=

i∈I
λ
i
C
T
i

,
trong đó |T | được kí hiệu là lực lượng của T .
Với mỗi λ ∈ L(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
), ta đặt
I
0
(λ) = {i ∈ I | λ
i
= 0}.
7
Bổ đề 1.1. Ta có
(i) I
1
=


λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ);
(ii)

λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
[I \ I
0
(λ)] = I \

λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ).
Chứng minh. (i) Rõ ràng, I
0

(λ) ⊂ I
1
với mọi λ ∈ L(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
). Do đó

λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ) ⊂ I
1
. Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy
bất kì i
0
∈ I
1
. Vậy thì
¯
ξ
∗
=

i∈I\{i
0

}
τ
i
C
i
, τ
i
≥ 0 với mọi i ∈ I \ {i
0
}.
Lấy λ
0
∈ R
|I|
+
sao cho λ
0
i
= τ
i
với mọi i ∈ I \ {i
0
}, và λ
0
i
0
= 0. Suy ra
¯
ξ
∗

=

i∈I
λ
i
C
i
. Có nghĩa là λ
0
∈ L(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
). Do đó i
0
∈ I(λ
0
). Do i là
tùy ý nên ta chỉ ra được I
1
⊂

λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ).

(ii) Kết quả được suy ra trực tiếp từ định lý De Morgan’s.
Lấy tùy ý P, Q thỏa mãn P ⊂ Q ⊂ T, đặt
A
Q,P
:= span {C
T
i
| i ∈ P } + pos {C
T
i
| i ∈ Q \ P }
và
B
Q,P
:= {x ∈ R
n
| C
T
i
, x = 0 ∀i ∈ P, C
T
i
, x ≤ 0 ∀i ∈ Q \ P },
trong đó span {v
j
| j ∈ J} :=


i∈J
µ

j
v
j
| µ
j
∈ R ∀j ∈ J

và span ∅ =
{0}.
Với mỗi u
∗
∈ R
n
, ta sử dụng kí hiệu
{u
∗
}
⊥
:= {x ∈ R
n
| u
∗
, x = 0}.
Nón tiếp tuyến của tập lồi Ω tại ¯x ∈ Ω được định nghĩa như sau
T (¯x; Ω) = {λ(x − ¯x) | x ∈ Ω, λ ≥ 0}.
Ánh xạ Θ
−1
: R
n
⇒ R

m
được xác định bởi
Θ
−1
(x) := {ω ∈ R
p
| x ∈ Θ(ω)}. (1.2)
8
Khi đó
gph Θ
−1
= {(x, ω) ∈ R
n
× R
m
| (C
T
i
, −D
T
i
), (x, p) ≤ 0, i ∈ T }
Từ [13, Lemma 3.1] ta có
N((x, ω); gphΘ
−1
) = pos {(C
T
i
, −D
T

i
) | i ∈ I(x, ω)}.
Bổ đề 1.2. [3, Lemma 3.3] Nếu P ⊂ Q ⊂ T , thì
(B
Q,P
)
∗
= A
Q,P
với (B
Q,P
)
∗
:= {u
∗
∈ R
n
| u
∗
, x ≤ 0 ∀ x ∈ B
Q,P
}.
1.2 Đối đạo hàm Fréchet của F
Trong mục này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối
đạo hàm Fréchet của F.
Định lý 1.1. Cho ¯ω ∈ R
p
, ¯x ∈ Θ(¯ω), và
¯
ξ

∗
∈ N (¯x, Θ(¯ω)). Đặt I :=
I(¯x, ¯ω) và I
1
:= I
1
(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
). Lấy λ = (λ
i
)
i∈I
∈ L(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) và K := {i ∈
I | λ
i
> 0}. Khi đó

N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F) =

(x

∗
, ω
∗
, ξ)



(x
∗
, ξ) ∈ A
I,K
× B
I,K
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I \ I
1
} + pos {(C
T
i
, −D
T

i
) | i ∈ I
1
}

.
(1.3)
Chứng minh. Cố định (x
∗
, ω
∗
, ξ) ∈

N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F). Khi đó
lim sup
(x,ω,v
∗
)
gph F
−−−→(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
x
∗

, x − ¯x + ω
∗
, ω − ¯ω + ξ, v
∗
−
¯
ξ
∗

x − ¯x + ω − ¯ω + v
∗
−
¯
ξ
∗

≤ 0. (1.4)
Mặt khác, bằng cách lấy ω = ¯ω và áp dụng [3, Proposition 3.2] ta suy
ra rằng
(x
∗
, ξ) ∈

T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ {
¯
ξ
∗
}
⊥


∗
×

T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ {
¯
ξ
∗
}
⊥

. (1.5)
9
Do đó, từ [15, Lemma 4.3] suy ra
(x
∗
, ξ) ∈ A
I,K
× B
I,K
.
Mặt khác, bằng cách đặt v
∗
=
¯
ξ
∗
, ta có
lim sup
(x,ω)→(¯x,¯ω)
¯

ξ
∗
∈F (x,ω)
x
∗
, x − ¯x + ω
∗
, ω − ¯ω
x − ¯x + ω − ¯ω
≤ 0. (1.6)
Đặt
Ω =

(˜x, ˜ω) | C
T
i
, ˜x − D
T
i
, ˜ω = 0, i ∈ I \

∪
λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ)


,
C
T
i
, ˜x − D
T
i
, ˜ω ≤ 0, i ∈ T \

I \

∪
λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ)


.
Ta cần chứng minh rằng, với mọi (x, ω) ∈ Ω gần (¯x, ¯ω),
¯
ξ
∗
∈ F(x, ω).
Thật vậy, với mỗi (x, ω) ∈ Ω, ta có x ∈ Θ(ω), và do đó,

I \

∪
λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ)

⊂ I(x, ω).
Điều đó có nghĩa
¯
ξ
∗
phải thuộc vào F(x, ω) = pos {C
T
i
| i ∈ I(x, ω)}. Từ
(1.6) chỉ ra rằng
(x
∗
, ω
∗
) ∈ N((¯x, ¯ω); Ω). (1.7)
Áp dụng [13, Lemma 3.1], ta có
(x
∗

, ω
∗
) ∈ span

(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I \

∪
λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ)

+ pos

(C
T
i
, −D
T
i

) | i ∈

∪
λ∈L(¯x,¯ω,
¯
ξ
∗
)
I
0
(λ)

.
Từ Bổ đề 1.1 suy ra rằng
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I \ I
1
} + pos {(C
T
i
, −D

T
i
) | i ∈ I
1
}.
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta cố định (x
∗
, ω
∗
, ξ) sao
cho (x
∗
, ξ) ∈ A
I,K
× B
I,K
và
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span

(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I \ I

1

+ pos

(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I
1
}

.
10
Từ [3, Proposition 3.2] và [15, Lemma 4.3] ta có ξ ∈ T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ {
¯
ξ
∗
}
⊥
và tồn tại λ
i
≥ 0 và µ
i
∈ R sao cho
x
∗
=


i∈I\I
1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i
C
T
i
,
ω
∗
= −

i∈I\I
1
µ
i
D
T
i
−


i∈I
1
λ
i
D
T
i
.
Giả sử rằng (x
∗
, ω
∗
, ξ) ∈

N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F). Khi đó, tồn tại γ > 0 và
một dãy {(x
k
, ω
k
, v
∗
k
)} ⊂ gph F hội tụ tới (¯x, ¯ω,
¯
ξ

∗
) sao cho
x
∗
, x
k
− ¯x + ω
∗
, ω
k
− ¯ω + ξ, v
∗
k
−
¯
ξ
∗

x
k
− ¯x + ω
k
− ¯ω + v
∗
k
−
¯
ξ
∗


≥ γ > 0 ∀k. (1.8)
Từ I(x
k
, ω
k
) ⊂ I khi x
k
→ ¯x và ω
k
→ ¯ω, suy ra v
∗
k
∈ N(¯x; Θ(¯ω)). Khi
đó
ξ, v
∗
k
−
¯
ξ
∗
 ≤ 0 ∀k. (1.9)
Không mất tính tổng quát bởi có thể thay bằng một dãy con nếu cần
thiết, ta có thể giả thiết rằng I(x
k
, ω
k
) = Q. Ta có
Q \ I
1

= I \ I
1
. (1.10)
Rõ ràng, Q \ I
1
⊂ I \ I
1
. Nếu
¯
ξ
∗
= 0 thì v
∗
k
= 0 với k đủ lớn. Khi đó,
ta suy từ [16, Lemma 2.1] rằng với mỗi k tồn tại Γ
k
⊂ Q sao cho C
i
,
i ∈ Γ
k
, là độc lập tuyến tính, và v
∗
k
∈ pos {C
T
i
| i ∈ Γ
k

}. Bằng cách lấy
một dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng Γ
k
= Γ với mọi k. Vì
lim
k→∞
v
∗
k
=
¯
ξ
∗
nên ta có
¯
ξ
∗
∈ pos {C
T
i
| i ∈ Γ}. Tức là Q \ Γ ⊂ I
1
. Suy
ra
I \ I
1
⊂ (Q \ Γ) \ I
1
.
11

Do đó, I \ I
1
⊂ Q \ I
1
và (1.10) được chứng minh. Bên cạnh đó,
x
∗
, x
k
− ¯x + ω
∗
, ω
k
− ¯ω
=


i∈I\I
1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i

C
T
i
, x
k
− ¯x

−


i∈I\I
1
µ
i
D
T
i
+

i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ω
k
− ¯ω


=


i∈I\I
1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i
C
T
i
, x
k

−


i∈I\I
1
µ
i
D

T
i
+

i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ω
k

−


i∈I\I
1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i

C
T
i
, ¯x

+


i∈I\I
1
µ
i
D
T
i
+

i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ¯ω

=


i∈I\I

1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i
C
T
i
, x
k

−


i∈I\I
1
µ
i
D
T
i
+


i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ω
k

=


i∈Q\I
1
µ
i
C
T
i
+

i∈I
1
λ
i
C
T
i
, x

k

−


i∈Q\I
1
µ
i
D
T
i
+

i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ω
k

=


i∈I
1
λ

i
C
T
i
, x
k

−


i∈I
1
λ
i
D
T
i
, ω
k

≤ 0.
Kết hợp điều này với (1.9) suy ra rằng
lim sup
k→∞
x
∗
, x
k
− ¯x + ω
∗

, ω
k
− ¯ω + ξ, v
∗
k
−
¯
ξ
∗

x
k
− ¯x + ω
k
− ¯ω + v
∗
k
−
¯
ξ
∗

≤ 0,
mâu thuẫn với (1.8). Vậy, (x
∗
, ω
∗
, ξ) ∈

N((¯x, ¯ω,

¯
ξ
∗
); gph F). Định lý được
chứng minh.
Tiếp theo chúng ta trình bày công thức tính đối đạo hàm Fréchet
của F.
Định lý 1.2. Cố định (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) ∈ gph F. Đặt I := I(¯x, ¯ω), I
1
:=
I
1
(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) và K được định nghĩa như trong Định lí 1.1. Ta có

D
∗
F(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)(ξ) =


(x
∗
, ω
∗
)



(x
∗
, −ξ) ∈ A
I,K
× B
I,K
,
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I \ I
1
} + pos {(C
T
i

, −D
T
i
) | i ∈ I
1
}

.
Chứng minh. Từ định nghĩa đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
), ta
có

D
∗
F(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)(ξ) =

(x
∗
, ω
∗
)



(x
∗
, ω
∗
, −ξ) ∈

N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F)

.
12
Khi đó, kết luận của định lý ngay lập tức được suy ra từ Định lý 1.1.
Chương 2
Đối đạo hàm Mordukhovich của
ánh xạ nón pháp
Trong chương này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối
đạo Mordukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện với nhiễu
tuyến tính.
2.1 Bổ đề về tập các chỉ số
Các khái niệm và kí hiệu trong chương này vẫn được sử dụng như
ở chương trước. Cho Ω ∈ R
n
. Ta định nghĩa ri (Ω) và cl Ω lần lượt là
phần trong tương đối và bao đóng của Ω.
Cho P ∈

I(¯x, ¯ω,

¯
ξ
∗
). Định nghĩa
∆ := ri pos {C
T
i
| i ∈ P }
và
M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) =

S ∈

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) | ∆ ∩ ri pos {C
T
i
| i ∈ S} = ∅

.
Chúng ta có thể phân hoạch ∆ thành các tập ∆
i
liên hệ với các tập chỉ

số Γ
i
, i ∈ {1, 2, . . . , r
P
} với một số r
P
∈ N như sau:
M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) =
r
P

i=1
Γ
i
,
r
P

i=1
∆
i
⊂ ∆, (2.1)
14
trong đó
Γ
1

= {S
1,j
∈ M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) | j = 1, 2, . . . , l
1
},
∆
1
:= ∆ ∩

l
1

j=1
ri pos {C
T
k
| k ∈ S
1,j
}

= ∅,
∆
1

ri pos


C
T
k
| k ∈ S, S ∈ M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) \ Γ
1

= ∅,
. . .
Γ
r
P
= {S
r
P
,j
∈ M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) | j = 1, 2, . . . , l
r
P
},
∆
r
P

:= ∆ ∩

l
P

j=1
ri pos {C
T
k
| k ∈ S
r
P
,j
}

= ∅,
∆
r
P

ri pos

C
T
k
| k ∈ S, S ∈ M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) \ Γ

r
P

= ∅.
Rõ ràng, P ∈ Γ
k
với mọi k ∈ {1, 2, . . . , r
P
}.
Xét ánh xạ Θ
−1
được định nghĩa như trong (1.2). Ta nhắc lại rằng
N((x, p); gphΘ
−1
) = pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I(x, ω)}.
Tiếp theo chúng ta thiết lập một bổ đề cơ bản về tập chỉ số.
Bổ đề 2.1. Cho P ⊂ Q ⊂ I và P ∈

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
). Giả sử tồn tại x ∈ Θ(ω)
và một dãy {ξ

∗
s
} ⊂ F(x, ω) sao cho I(x, ω) = Q và lim
s→∞
ξ
∗
s
=
¯
ξ
∗
. Khi
đó, với mỗi k ∈ {1, 2, . . . , r
P
}, ta có
I
1
(x, ω, ξ
∗
s
) =

(Q\S) | S ∈ Γ
k

, nếu
¯
ξ
∗
∈ cl ∆

k
, ξ
∗
s
∈ ∆
k
với s đủ lớn,
trong đó

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
), Γ
k
và ∆
k
được định nghĩa như trong (1.1) và (2.1).
Chứng minh. Giả sử ξ
∗
s
∈ ∆
k
với k ∈ {1, 2, . . . , r
P
} và
Γ
k
= {S
k,j

| j = 1, 2, . . . , l
k
}.
Vì (x, p, x
∗
s
) ∈ gph F và I(x, p) = Q, suy ra
ξ
∗
s
=

i∈Q
λ
i
C
T
i
, với λ
i
≥ 0, i ∈ Q.
15
Bởi ξ
∗
s
∈ ∆
k
, ta có
l
k


j=1
(Q \ S
k,j
) ⊂ I
1
(x, ω, ξ
∗
s
).
Nếu ξ
∗
s
= 0 với mọi s thì
¯
ξ
∗
= 0. Điều đó có nghĩa là ∆ = {0}, P = ∅,
r
P
= 1, Γ
1
= {S
1,1
} = ∅ và ∆
1
= ∆. Do đó,
I
1
(x, ω, ξ

∗
s
) = Q ⊂ Q \ S
1,1
.
Giả sử ξ
∗
s
= 0 với mọi s. Lấy tùy ý s ∈ N và i ∈ I
1
(x, ω, ξ
∗
s
), ta có
ξ
∗
s
=

j∈Q\{i}
λ
j
C
T
j
, λ
j
≥ 0, j ∈ Q.
Áp dụng [16, Lemma 2.1], ta khẳng định được tồn tại


Q ⊂ Q \ {i} sao
cho C
j
, j ∈

Q, là độc lập tuyến tính và ξ
∗
s
∈ ri pos {C
T
j
| j ∈

Q}. Do
lim
s→∞
ξ
∗
s
=
¯
ξ
∗
, nên suy ra
¯
ξ
∗
∈ pos {C
T
j

| j ∈

Q}. Do đó,

Q ∈ M((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ).
Do ξ
∗
s
∈ ∆
k
, nên suy ra

Q ∈ Γ
k
. Vì vậy,
i ∈
l
k

j=1
(Q \ S
k,j
).
Hơn nữa
l
k


j=1
(Q \ S
k,j
) = I
1
(x, ω, ξ
∗
s
).
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.1. Trong Định lý 2.1, nếu C
i
, i ∈ I, là độc lập tuyến tính
thì
I
1
(x, ω, ξ
∗
s
) = Q \ P, ∀ξ
∗
s
∈ ∆.
Thật vậy, bởi vì C
i
, i ∈ I, là độc lập tuyến tính, điều đó chỉ ra rằng
r
P
= 1, Γ

1
= {P } và ∆
1
= ∆. Khi đó khẳng định trên được suy ra từ
Định lí 2.1.
16
Mệnh đề 2.1. Giả sử {(C
i
, −D
i
) ∈ R
m
× R
m
| i ∈ I} là một hệ độc
lập tuyến tính. Khi đó, với mỗi Q ⊂ I, pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ Q} là một
mặt của N((¯x, ¯ω); gphΘ
−1
).
Chứng minh. Ta cần chứng minh, với mỗi ∅ = Q ⊂ I,
pos {(C
T
i
, −D

T
i
) | i ∈ Q} là một mặt của N((¯x, ¯ω); gphΘ
−1
).
Thật vậy, lấy
u
∗
, v
∗
∈ N((¯x, ¯ω); gphΘ
−1
) = pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I}
và t ∈ (0, 1) sao cho
z
∗
:= (1 − t)u
∗
+ tv
∗
∈ pos {(C
T
i
, −D

T
i
) | i ∈ Q}.
Ta cần chỉ ra rằng u
∗
, v
∗
∈ pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ Q}. Ta thấy
z
∗
= (z
∗
1
, z
∗
2
) =

i∈I
γ
i
(C
T
i

, −D
T
i
), γ
i
≥ 0, i ∈ I, γ
j
= 0, j ∈ I \ Q.
Bởi vì u
∗
, v
∗
∈ pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ I}, nên ta có
u
∗
= (u
∗
1
, u
∗
2
) =

i∈I

α
i
(C
T
i
, −D
T
i
), α
i
≥ 0, i ∈ I,
v
∗
= (v
∗
1
, v
∗
2
) =

i∈I
β
i
(C
T
i
, −D
T
i

), β
i
≥ 0, i ∈ I.
Bởi z
∗
= (1 − t)u
∗
+ tv
∗
, ta có
z
∗
=

i∈I

(1 − t)α
i
+ tβ
i

(C
T
i
, −D
T
i
).
Từ tính độc lập tuyến tính của (C, −D
i

), i ∈ I, suy ra
0 = γ
j
= (1 − t)α
j
+ tβ
j
, ∀ j ∈ I \ Q.
Do đó, α
j
= β
j
= 0 với mọi j ∈ I \ Q. Vì vậy
u
∗
, v
∗
∈ pos {(C
T
i
, −D
T
i
) |i ∈ Q}.
Mệnh đề được chứng minh.
17
2.2 Đối đạo hàm Mordukhovich của F
Đặt P ⊂ Q ⊂ T và P ∈

I(¯x, ¯ω,

¯
ξ
∗
). Đặt
Γ
k
:= {S
k,j
| j = 1, 2, . . . , l
k
},
với l
k
∈ N và k ∈ {1, 2, . . . , r
P
+1} được định nghĩa như trong (2.1). Đặt
E((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ) :=

S :=

l
k
j=1
Q \ S
k,j




S
k,j
∈ Γ
k
,
¯
ξ
∗
∈ cl ∆
k
, k =
1, 2, . . . , r
P

.
Định lý 2.1. Cho ¯ω ∈ R
m
, ¯x ∈ Θ(¯ω), và
¯
ξ
∗
∈ N (¯x, Θ(¯ω)). Đặt I :=
I(¯x, ¯ω),

I :=

I(¯x, ¯ω,
¯

ξ
∗
) và E(P ) := E((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ). Khi đó
N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F) =

P ⊂Q⊂I
P ∈

I, S∈E(P )
{(x
∗
, ω
∗
, ξ) | (x
∗
, ξ) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
(x
∗
, ω

∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ Q \ S} + pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ S}}.
Chứng minh. Lấy tùy ý (x
∗
, ω
∗
, ξ) ∈ N ((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F). Khi đó tồn
tại dãy {(x
k
, ω
k
, v
∗
k

)} ⊂ gph F, (x
k
, ω
k
, v
∗
k
) → (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
), (x
∗
k
, ω
∗
k
, v
k
) →
(x
∗
, ω
∗
, ξ) sao cho v
∗
k
∈ N(x
k
; Θ(ω

k
)) và
(x
∗
k
, ω
∗
k
, v
k
) ∈

N((x
k
, ω
k
, v
∗
k
); gph F).
Dễ dàng kiểm tra được I(x
k
, ω
k
) ⊂ I với k đủ lớn. Bằng cách lấy một
dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử I(x
k
, ω
k
) = Q với mọi k. Từ

v
∗
k
∈ N(x
k
; Θ(ω
k
)) suy ra tồn tại λ
ik
≥ 0 sao cho
v
∗
k
=

i∈Q
λ
ik
C
i
.
Nếu v
∗
k
= 0 với mọi k, thì
¯
ξ
∗
= 0. Tức là P = ∅, ∆ = {0}, r
P

= 1,
Γ
1
= {S
1,1
} = ∅ và ∆
1
= ∆. Do đó, E(P ) = {Q} và I
1
(x
k
, ω
k
, v
∗
k
) =
Q = Q \ S
1,1
. Chúng ta có thể giả sử rằng, bởi lấy một dãy con nếu cần
thiết v
∗
k
= 0 với mọi k. Từ [16, Lemma 2.1] chỉ ra tồn tại P ⊂ Q sao
cho C
i
, i ∈ P , là độc lập tuyến tính và v
∗
k
∈ ri pos {C

T
i
| i ∈ P }. Khi đó
18
¯
ξ
∗
∈ pos {C
T
i
| i ∈ P }, và, P ∈

I. Bằng cách lấy một dãy con nếu cần
thiết, giả sử tồn tại m ∈ {1, 2, . . . , r
P
}, sao cho v
∗
k
∈ ∆
m
với mọi k và
Γ
m
=

S
m,j
| S
m,j
∈ M((¯x, ¯ω,

¯
ξ
∗
)|P ), j ∈ {1, 2, . . . , l
m
}, với l
m
∈ N}

.
Rõ ràng,
¯
ξ
∗
∈ cl ∆
m
. Từ Bổ đề 2.1,
I
1
(x
k
, ω
k
, v
∗
k
) = ∪
l
m
j=1

(Q \ S
m,j
), S
m,j
∈ Γ
m
.
Đặt S := ∪
l
m
j=1
(Q \ S
m,j
), ta có S ∈ E(P ). Áp dụng Định lý 1.1 ta thu
được (x
∗
k
, v
k
) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
và
(x
∗
k
, ω
∗
k

) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ Q \ S} + pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ S}.
Tức là (x
∗
, ξ) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
và
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i

) | i ∈ Q \ S} + pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ S}.
Do đó,
N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F) ⊂

P ⊂Q⊂I
P ∈

I, S∈E(P )

(x
∗
, ω
∗
, ξ) | (x
∗
, ξ) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
(x

∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ Q \ S} + pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ S}

.
(2.2)
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, lấy tùy ý (x
∗
, ω
∗
, ξ) thuộc vào
vế phải của (2.2). Lấy cố định (ˆx, ˆω) ∈ gphΘ
−1
sao cho
I(ˆx, ˆω) = Q. (2.3)
Chọn (x
k

, ω
k
) := (1 −
1
k
)(¯x, ¯ω) +
1
k
(ˆx, ˆω), ta có x
k
∈ Θ(ω
k
) và
I(ˆx, ˆω) = I(x
k
, ω
k
) = Q. (2.4)
Bởi vì S ∈ E(P ), nên tồn tại n ∈ {1, 2, . . . , r
P
} sao cho
S = ∪
l
n
j=1
(Q \ S
n,j
), S
n,j
∈ Γ

n
, j = 1, 2, . . . , l
n
, với l
n
∈ N.
19
và
∆
n
:= ∆ ∩

∩
l
n
j=1
ri pos {C
T
i
| i ∈ S
n,j
}

= ∅.
Cố định
z
∗
∈ ∆
n
= ri pos {C

T
i
| i ∈ P }


∩
l
n
j=1
ri pos {C
T
i
| i ∈ S
n,j
}

,
với n ∈ {1, 2, . . . , r
P
}. Đặt v
∗
k
:= (1 −
1
k
)
¯
ξ
∗
+

1
k
z
∗
, ta thấy
v
∗
k
∈ ri pos {C
T
i
| i ∈ P }
và lim
k→∞
v
∗
k
=
¯
ξ
∗
. Do
¯
ξ
∗
∈ cl ∆
n
, suy ra
v
∗

k
∈ ∆ ∩

l
n

j=1
ri pos {C
T
i
| i ∈ S
n,j
}

∀ k.
Từ Bổ đề 2.1,
I
1
(x
k
, ω
k
, v
∗
k
) =
l
n

j=1

(Q \ S
n,j
).
Nên, I
1
(x
k
, ω
k
, v
∗
k
) = S với mọi k. Áp dụng Định lý 1.1, thu được
(x
∗
, ω
∗
, ξ) ∈

N((x
k
, ω
k
, v
∗
k
); gph F).
Vì vậy, (x
∗
, ω

∗
, v) ∈ N ((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F). Định lý hoàn toàn được chứng
minh.
Bây giờ chúng ta xét một trường hợp đặc biệt ở đó tập lồi đa diện
phụ thuộc tham số có dạng
Θ(ω) := {x ∈ R
n
| a
∗
i
, x ≤ ω
i
, i ∈ T },
trong đó {a
∗
i
∈ R
n
| i ∈ T } là một họ các vectơ đã cho. Lấy e
∗
i
(i ∈
{1, 2, . . . , m}) là vectơ đơn vị có tọa độ thứ i bằng 1 của R
m
.
Hệ quả 2.1. Lấy ¯ω ∈ R

p
, ¯x ∈ Θ(¯ω), và
¯
ξ
∗
∈ N(¯x, Θ(¯ω)). Đặt I :=
I(¯x, ¯ω),

I :=

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) và E(P ) := E((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ). Khi đó
N((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
); gph F) =

P ⊂Q⊂I
P ∈

I, S∈E(P )


(x
∗
, ω
∗
, ξ) | (x
∗
, ξ) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(a
∗
i
, −e
∗
i
) | i ∈ Q \ S} + pos {(a
∗
i
, −e
∗
i
) | i ∈ S}

.
20

Kết quả sau được suy ra ngay từ định nghĩa của đối đạo hàm
Mordukhovich của F.
Định lý 2.2. Cố định (¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) ∈ gph F. Đặt I := I(¯x, ¯ω),

I :=

I(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
) và E(P ) := E((¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)|P ). Giả sử {(C
i
, D
i
) ∈ R
m
× R
m
| i ∈
I} là hệ độc lập tuyến tính. Khi đó
D
∗

F(¯x, ¯ω,
¯
ξ
∗
)(ξ) =

P ⊂Q⊂I
P ∈

I, S∈E(P )

(x
∗
, ω
∗
) | (x
∗
, −ξ) ∈ A
Q,P
× B
Q,P
(x
∗
, ω
∗
) ∈ span {(C
T
i
, −D
T

i
) | i ∈ Q \ S} + pos {(C
T
i
, −D
T
i
) | i ∈ S}

.