Nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ĐÌNH CƠNG

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH
Chuyên ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2014


Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn
tác giả hồn thành Luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cơ Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phịng Sau Đại học, cùng tồn thể đội ngũ giảng viên
Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang
bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Cơng Bình
đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập
vừa qua.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập
thể lớp K16 Tốn Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, q

thầy cơ đồng nghiệp trường THPT Phạm Cơng Bình và bạn bè đã giúp
đỡ, động viên rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả
xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Phan Đình Cơng


Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam
đoan luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “Nghiệm
cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các
hàm giải tích” được hồn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân
tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Phan Đình Cơng


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN
HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Khái niệm sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Công thức biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng
thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1. Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2. Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1 . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3. Bài tốn Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1. Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1. Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2. Định nghĩa nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.3. Xây dựng nghiệm cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các
hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23


2.1.4. Cấu trúc của nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1. Trường hợp n lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.2. Trường hợp n chẵn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3. Nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số
là các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.1. Hệ phương trình elliptic tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.2. Ma trận nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đối với một số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm
cơ bản của chúng đã được các nhà tốn học tìm ra công thức biểu diễn
dưới dạng tường minh.
Luận văn đặt vấn đề mơ tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic
tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích bằng việc sử dụng cơng cụ
các sóng phẳng trong khơng gian nhiều chiều. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về vấn đề này tác giả chọn đề tài: “Nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích”.
Bố cục của luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Luận văn trình bày các khái niệm về hàm sóng phẳng và
một số tính chất. Phát biểu và chứng minh một số định lý về công thức
biểu diễn một hàm số bất kỳ qua hàm sóng phẳng. Cũng trong chương
này Luận văn trình bày bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic với
các dữ kiện Cauchy được cho trên siêu phẳng.
Chương 2. Luận văn trình bày cách xác định nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính thơng qua việc giải bài toán Cauchy ở

Chương 1. Đồng thời đưa ra cơng thức nghiệm cơ bản của phương trình
elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích. Cũng trong chương này
Luận văn ứng dụng nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính


2

để trình bày ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến
tính với hệ số là các hàm giải tích.
Luận văn được trình bày với cơ sở là nội dung chương 3 của cuốn sách:
"Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag,
New York Heidelberg Berlin."

2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra công thức mô tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic
tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích trên cơ sở sử dụng phép biểu
diễn hàm số bất kỳ qua các sóng phẳng trong khơng gian nhiều chiều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các khái niệm sóng phẳng và cơng thức biểu diễn hàm số
bất kỳ qua các sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra cơng thức mơ tả nghiệm
cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải
tích.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.

5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về nghiệm cơ bản của phương trình
elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.

3

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Tổng quan về nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số
là các hàm giải tích bằng cách sử dụng cơng cụ là hàm sóng phẳng.


Chương 1
SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC
BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ
QUA SĨNG PHẲNG
1.1. Một số ký hiệu
• Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) |xi ∈ R , i = 1, n}.
• Các chữ cái x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ sẽ được thay thế cho các vectơ
(x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ), . . . , (ζ1 , . . . , ζn ) trong không gian n chiều,
trong đó n ≥ 2. Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến
vơ hướng.
n

• Tích vơ hướng của vectơ y và x được kí hiệu là y.x =

yi xi .
i=1

1

• Độ dài (x.x) 2 của vectơ x là |x|.
• Phần tử thể tích dx1 , . . . , dxn được viết tắt là dx, trong khi dSx

được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong khơng
gian n chiều.
• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong khơng
gian x được kí hiệu là Ωx , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là dωx ,
diện tích mặt cầu đơn vị là ωn .


5

• Thể tích của hình cầu đơn vị trong khơng gian n chiều là

1
ωn .
n

• Các phép tính tích phân được thực hiện trên toàn bộ miền biến
thiên của biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra.
• Chứng minh hồn thành được kí hiệu là

.

1.2. Khái niệm sóng phẳng
Định nghĩa 1.1. Cho g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng s,
vectơ y = (y1 , . . . , yn ) = 0 được cố định thuộc không gian Rn . Hàm số
g(y.x) là một hàm theo biến x = (x1 , . . . , xn ) và nhận giá trị hằng số
trên các siêu phẳng mà vectơ y là pháp tuyến. Hàm g(y.x) được gọi là
một sóng phẳng.
Định lý 1.1. Giả sử n ≥ 2, g(s) là một hàm liên tục của biến vơ hướng
s. Ta có cơng thức
+1

(1 − p2 )

g(y.x)dωx = ωn−1
Ωx

n−3
2

g (|y| p) dp = ωn h (|y|),

(1.1)

−1

trong đó h(s) được xác định bởi (1.1), Ωx là mặt cầu đơn vị trong Rn .
Chứng minh. Ta tính tích phân của g (y.x) trong tồn hình cầu có bán
kính r với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các
phần thiết diện vng góc với hướng của y. Trên mặt phẳng y.x = |y| p
có khoảng cách từ gốc là |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y| p). Phần giao
(n − 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)
n−1
ωn−1 2
(r − p2 ) 2 .
n−1


6

Suy ra

+r

ωn−1
g(y.x)dx =
n−1

(r2 − p2 )

n−1
2

g (|y| p) dp.

(1.2)

−r

|x|
Lấy đạo hàm hai vế theo r và đặt r = 1 ta được
+1

(1 − p2 )

g(y.x)dωx = ωn−1

n−3
2

g (|y| p) dp = ωn h (|y|).

−1

Ωx

Định lý 1.2. Cho g(s) là hàm liên tục và giả sử k > 0. Khi đó ta có
các cơng thức sau
k

|y.x| dωx =

√ n−1
2 π Γ
Γ

Ωx
k

|y.x| log |y.x| dωx =
Ωx

√ n−1
2 π Γ
Γ

n+k
2

k+1
2

n+k
2
k+1
2

|y|k

|y|k (log |y| + cnk )

trong đó cnk là hằng số, Γ(t) là hàm Gamma.

(1.3)

(1.4)


7

Chứng minh. Với g(s) = const. = 1 ta có h = 1, và từ (1.1) ta suy ra
công thức sau
1

ωn
=
ωn−1

2

(1 − p )

n−3
2

dp =

n−1
2

Γ

Γ

−1

Γ
n
2

1
2

.

Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng
√
2 πn
ωn =
Γ n
2

(1.5)

(1.6)

đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong khơng gian n chiều.
Cho g(s) = eis ta được
1

ωn−1
h(s) =
ωn

2

(1 − p )

n−3
2

2ν Γ(ν + 1)
e dp =
Jν (s)
sν
isp

(1.7)

−1

n−2
.
2
Với g(s) = |s|k và g(s) = |s|k log |s|, từ (1.1) ta nhận được các kết

trong đó Jν là hàm Bessel với chỉ số ν =

quả tương ứng sau đây
k

|y.x| dωx =

√ n−1
2 π Γ
Γ

Ωx
k

|y.x| log |y.x| dωx =

n+k
2

√ n−1
2 π Γ
Γ

Ωx

k+1
2

n+k
2

k+1
2

|y|k

|y|k (log |y| + cnk )

trong đó cnk là các hằng số nào đó.

Nhận xét 1.1. Cơng thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi k = 0.


8

1.3. Công thức biểu diễn hàm số
1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng
Định lý 1.3. Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng khơng ngồi
tập bị chặn nào đó. Khi đó ta có cơng thức biểu diễn sau


(∆z )

n+k
2



f (y) |(y − z).x|k dωx  dy = 4(2πi)n−1 k!f (z)

(1.8)

Ωx

với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .

(∆z )

n+k
2





f (y) [(y − z).x]k log |(y − z).x| dωx  dy = − (2πi)n k!f (z)

Ωx

(1.9)
với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó
n

∆z =
j=1

∂2
2
∂zj

là tốn tử Laplace theo biến z.
Chứng minh. Ta xét một hàm f (x) tùy ý thuộc lớp C1 và bằng khơng
ngồi tập bị chặn nào đó. Khi đó
u(z) =

|y − z|2−n
dy
f (y)
(2 − n)ωn

(1.10)

là một hàm của z thuộc lớp C2 , thỏa mãn phương trình vi phân Poisson
∆z u(z) = f (z)
trong đó ∆z là Laplace đối với các biến z1 , . . . , zn .

(1.11)


9

Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng

1
log |y − z|.

2π

Thật vậy, từ (1.11) ta có
∆z u =
=

−1
ωn
−1
ωn

−1
=
ωn
=

f (y)(yi − zi ) |y − z|−n dy

i

∂
∂zi

f (y + z)yi |y|−n dy

i

∂
∂zi

fyi (y + z)yi |y|−n dy
i

−1
lim
ωn r→0

fyi (y + z)yi |y|−n dy
i

|y|>r


=

=

−1
lim
ωn r→0


2
−yi −n
|y| f (y + z)dSy −
r



i

|y|=r

1
lim r1−n
ωn r→0

f (y + z)

∂

(yi |y|−n )dy 
∂yi

|y|>r

f (y + z)dSy

|y|=r

= f (z).
Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách
chi tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các phép
tính đạo hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng việc
đưa đến cơng thức này. Nó sẽ được đề cập đến cho phương trình cùng
dạng được xác định với giả thiết rng f (x) tha món iu kin Hălder.
o
Bõy gi ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất
thức (1.3), thay y bằng y − z, nhân hai vế với f (y) và lấy tích phân theo
y (ta vẫn giả thiết rằng f là thuộc lớp C1 và bằng khơng ngồi tập bị

chặn nào đó). Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một
n+k
số chẵn, và áp toán tử ∆z vào hai vế của đẳng thức cuối
lần. Ta
2


10

thấy, với
∆z |y − z|k = k(k + n − 2) |y − z|k−2
và n > 2 ta nhận được các công thức sau
(∆z )

n+k−2
2

k

|y − z| =

2n+k−1 Γ

Γ k+n Γ
2
(2 − n)π
k+2
2

n

2

(−1)

n−1
2

|y − z|2−n
(1.12)

với n lẻ,
(∆z )

n+k−2
2

|y − z|k log |y − z|
=

2n+k−2 Γ

Γ k+n Γ
2
(2 − n)

k+2
2

n
2

(−1)

n−2
2

|y − z|2−n
(1.13)

với n chẵn.
Từ cơng thức (1.3), (1.4), (1.11) ta có


(∆z )

n+k
2



f (y) |(y − z).x|k dωx  dy =4(2πi)n−1 k!f (z)

Ωx

với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .

(∆z )

n+k
2





f (y) [(y − z).x]k log |(y − z).x| dωx  dy = − (2πi)n k!f (z)

Ωx

với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó
n

∆z =
j=1

là tốn tử Laplace theo biến z.

∂2
2
∂zj


11

Nhận xét 1.2. Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho
n chẵn và n lẻ bởi công thức sau
f (z) =(∆z )

Re 

n+k
2

−1
k!(2πi)n





f (y) [(y − z).x]k . log



1
(y − z).x dωx  dy 
i

Ωx

(1.14)
trong đó log s kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt
phẳng phức s với đường cắt dọc theo trục thực âm.
Công thức (1.8), (1.9) thể hiện việc biểu diễn của hàm f (z) như một
tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng phẳng của z. Các hàm sóng phẳng
ở đây có một trong hai dạng |(y − z).x|k hoặc [(y − z).x]k log |(y − z).x|.
1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu
phẳng
Định lý 1.4. Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng khơng ngồi
tập bị chặn nào đó. Với x ∈ Rn , |x| = 1 và p ∈ R ta đặt

J(x, p) =

f (y)dSy

(1.15)

y.x=p

là tích phân của f trên siêu phẳng với pháp tuyến đơn vị x và có khoảng
cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có các cơng thức biểu diễn sau
2(2πi)n−1 f (z) = (∆z )

n−1
2

J(x, x.z)dωx
Ωx

với n lẻ,

(1.16)


12
p=+∞

(2πi)n f (z) = (∆z )

n−2
2

dJ(x, p)
p − z.x

dωx

(1.17)

p=−∞

Ωx

với n chẵn, trong đó phân tích f (z) thành các hàm sóng phẳng.
Chứng minh. Theo cơng thức (1.15) J(x, p) = J(−x, −p). Sử dụng
công thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có
+∞

f (y) |(y − z).x| dωx dy =
Ωx

|p| dp

dωx
−∞

Ωx

f (y)dSy

(y−z).x=p

+∞

=

|p| J(x, p + z.x)dp.

dωx
Ωx

(1.18)

−∞

Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1
+∞

|p| J(x, p + z.x)dp

∆z
−∞



∞

= ∆z 



z.x

(p − z.x)J(x, p)dp −

(p − z.x)J(x.p)dp
−∞

z.x

= 2J(x, z.x).
Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau đây
2(2πi)n−1 f (z) = (∆z )

n−1
2

J(x, x.z)dωx .
Ωx

Ở đây tích phân biểu diễn (ngoại trừ một hệ số khơng đổi ωn ) đại lượng
trung bình của các tích phân phẳng của f trên các mặt phẳng đi qua
điểm z. Một cơng thức tương tự có thể được suy ra cho n chẵn từ (1.9)


13

với k = 0. Ta chú ý ở đây đối với |x| = 1,
+∞

+∞

log |p| J(x, p + z.x)dp =

∆z
−∞

(log |p|)Jpp (x, p + z.x)dp
−∞
+∞

(log |p − z.x|)Jpp (x, p)dp

=
−∞

+∞

1
Jp (x, p)dp
p − z.x

=−

−∞
p=+∞

dJ(x, p)
.
p − x.z

=−
p=−∞

Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy.
Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là
+∞

f (z)dp = lim
+

f (z)dp.

ε→0

−∞

|p−z.x|>ε

Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp n chẵn công thức sau
p=+∞

(2πi)n f (z) = (∆z )

n−2
2

dωx
Ωx

n

trong đó ∆z =
j=1

dJ(x, p)
p − z.x

p=−∞

∂2
2 là toán tử Laplace theo biến z.
∂zj


14

1.4. Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến
tính khơng thuần nhất với vế phải là các hàm
sóng phẳng.
1.4.1. Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski
Gọi L[u] là tốn tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m có dạng
m

L[u] =
k=0 i1 ,...,ik
=1,...,n

∂ku
Ai1 ...ik (x)
∂xi1 . . . ∂xik

(1.19)

trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
Với ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn ta xét đa thức bậc m sau theo biến ξ
m

P (x, ξ) =

Ai1 ...ik (x)ξi1 . . . ξik .

(1.20)

Ai1 ...im (x)ξi1 ξi2 . . . ξim .

(1.21)

k=0 i1 ,...,ik
=1,...,n

Đặt
Q(x, ξ) =
i1 ,...,im
=1,...,n

Các đa thức P (x, ξ) và Q(x, ξ) được gọi tương ứng là biểu trưng và biểu
trưng chính của tốn tử L. Tốn tử L nói trên được gọi là toán tử elliptic
nếu Q(x, ξ) thỏa mãn điều kiện sau
Q(x, ξ) = 0, ∀ξ ∈ Rn , ξ = 0.

(1.22)

Ta sẽ luôn giả thiết rằng m là số chẵn.
Giả sử ξ ∈ Rn , ξ = 0 được cố định. Trong không gian Rn ta xét siêu
phẳng Sξ,p sau
Sξ,p = {x ∈ Rn ; ξ.x − p = 0}

(1.23)


15

trong đó p ∈ R là một số thực nào đó. Siêu phẳng này có vectơ pháp
tuyến là vectơ ξ. Nếu phương trình (1.19) là elliptic thì mọi siêu phẳng
Sξ,p đều là khơng đặc trưng.
Ta xét bài tốn Cauchy sau đối với phương trình
L [u] = f (x),

(1.24)

với các dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu phẳng nêu trên là
∂ k u(x)
= 0, x ∈ Sξ,p , k = 0, . . . , m − 1,
∂ξ k

(1.25)

trong đó vế trái là đạo hàm các cấp theo hướng ξ của u(x).
Ta có định lý Cauchy-Kowalewski sau đây
Định lý 1.5. Giả sử f (x) và các hệ số Ai1 ...ik (x) là các hàm giải tích.

Khi đó bài tốn Cauchy nói trên có duy nhất nghiệm giải tích u(x) trong
lân cận của siêu phẳng Sξ,p .
Do mọi hàm f (x) đều có thể biểu diễn thành các hàm sóng phẳng
nên trong các mục sau ta sẽ lần lượt xét bài toán Cauchy nói trên cho
các trường hợp f (x) = 1 và f (x) = g(x.ξ − p).
1.4.2. Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất
bằng 1
Gọi v(x, ξ, p) là nghiệm của phương trình
L[v] = 1

(1.26)

với các dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu phẳng Sξ,p là
∂ k v(x)
= 0, x ∈ Sξ,p , k = 0, . . . , m − 1.
∂ξ k

(1.27)


16

Ta sẽ chứng minh được nghiệm v này có dạng
v(x, ξ, p) = (x.ξ − p)m w(x, ξ, p)

(1.28)

với w(x, ξ, p) là hàm giải tích của x, ξ, p trong miền
|x| < ε, |p/ |ξ|| < ε.

(1.29)

Ta giả sử thêm các hệ số Ai1 ...ik (x) là các hàm giải tích trong lân cận N
của một điểm nào đó. Khơng hạn chế tính tổng qt chúng ta có thể giả
sử rằng điểm đó là điểm gốc tọa độ.
Khi đó theo định lý của Cauchy-Kowalewski trong lân cận của điểm
bất kỳ x0 trong N nằm trên siêu phẳng ở đó tồn tại hàm v = v(x, ξ, p) là
nghiệm của phương trình (1.26). (Chúng ta dùng ở đây đặc trưng elliptic
của phương trình, bảo đảm rằng các siêu phẳng thực khơng là mặt đặc
trưng, cũng như tính giải tích của các hệ số thỏa mãn định lý). Hơn nữa
v là xác định duy nhất. Vì v chỉ phụ vào L và siêu phẳng, nên nó phải
là thuần nhất bậc 0 theo ξ và p.
Ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của v vào ξ và p. Cho thuận tiện ta có
thể biến siêu phẳng thành cố định bằng phép biến đổi trực giao. Phép
biến đổi này có thể được chọn địa phương để phụ thuộc một cách liên
tục vào ξ và p. Giả sử η là vectơ đơn vị: |η| = 1. Khi đó siêu phẳng
x.ξ = p có thể biến thành siêu phẳng x .η = 0 bằng phép biến đổi trực
giao
x =x+

x. (ξ + |ξ| η)
p
2x.ξ
η−
(ξ + |ξ| η) − η
|ξ|
|ξ| (|ξ| + ξ.η)
|ξ|

(1.30)

bằng việc thử lại trực tiếp, với điều kiện ξ không cùng hướng với −η.
(Đây chỉ là phép quay trong mặt phẳng góc quay tạo bởi 2 tia ξ và η).


17

Phép biến đổi ngược được cho bởi công thức
x=x +

2x .η
x . (ξ + |ξ| η)
p
ξ−
(ξ + |ξ| η) − 2 ξ.
|ξ|
|ξ| (|ξ| + ξ.η)
|ξ|

(1.31)

Bây giờ với N là lân cận của điểm gốc trong khơng gian x, là hình cầu

tâm là điểm gốc bán kính δ, trong đó hệ số của L là hàm giải tích. Ta
hạn chế ξ với |ξ − η| <

1
2

δ

và p với |p| < 4 , thì |ξ| > 1 ,
2

−p
|ξ| η

δ
< 2.

Ảnh của N với phép biến đổi (1.30) là hình cầu N tâm x = −pη/ |ξ|
bán kính δ. Hình cầu N chắc chắn chứa hình cầu bán kính δ/2 tâm là
điểm gốc của khơng gian x (Hình 1.2).
Bằng phép thế (1.31) các hệ số A(x) của L trở thành các hàm


18

A (x , ξ, p) (với η giữ cố định). A ở đây là các hàm giải tích của x , ξ, p
với
1
δ
δ
|x | < , |ξ − η| < , |p| <
2
2
4

(1.32)

Toán tử L trở thành toán tử L tác động vào các hàm của x , với các hệ

số phụ thuộc giải tích vào x và tham số ξ, p trong miền (1.32). Các hệ
số có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ đối với xi , ξi − ηi , p
với |x | , |ξ − η| , |p | đủ bé.
Bài toán Cauchy với v trên trở thành việc tìm một hàm v của phương
trình
L [v ] = 1

(1.33)

nó triệt tiêu với tất cả các đạo hàm cấp ≤ m − 1 trên siêu phẳng cố định
x .η = 0.
Theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại số ε = ε(η) <

δ
4

và nghiệm

v = v (x , ξ, p) của bài toán Cauchy được cho bởi chuỗi luỹ thừa hội tụ
theo xi , ξi − ηi , p với
|x | < ε, |ξ − η| < ε, |ρ| < ε

(1.34)

và như vậy nó là hàm giải tích của x , ξ, p trong miền đó. Sự biến đổi
trước chúng ta thấy tồn tại nghiệm v = v(x, ξ, p), là hàm giải tích của
các đối số của nó với
x−

p

ξ < ε, |ξ − η| < ε, |p| < ε
|ξ|2

nên v = v(x, ξ, p) cũng là hàm giải tích của các đối số của nó với
|x| < ε/2, |ξ − η| < ε, |p| < ε/4.

(1.35)


19

Bây giờ η là một điểm tùy ý của Ωη . Với mỗi η đó ta có hình cầu
|ξ − η| < ε(η). Một số hữu hạn các hình cầu đóng, tâm η 1 , . . . , η s , sẽ bao
phủ hoàn toàn lân cận ε của Ωη .
Cho ε = Minimum ε(η i ) thì v(x, ξ, p) là hàm được xác định và là
i=1,...,s

giải tích với các đối số của nó với
|x| < ε /2, |p| < ε /4, 1 − ε < |ξ| < 1 + ε .
Ta có thể giả sử ε < 1 thì v(x, ξ, p) là hàm giải tích với
|x| < ε /8, |p/ |ξ|| < ε /8, 1 − ε < |ξ| < 1 + ε .
Sự hạn chế cuối cùng có thể được bỏ qua, vì v là thuần nhất bậc 0
theo ξ và p. Bây giờ viết ε bởi ε /8 chúng ta thấy rằng nghiệm của bài
toán Cauchy là được xác định và là hàm giải tích với
|x| < ε, |p/ |ξ|| < ε

(1.36)

tức là với mỗi siêu phẳng cắt hình cầu tâm là điểm gốc bán kính ε thì
v(x, ξ, p) được xác định trong mọi điểm của hình cầu đó, giải quyết vấn

đề Cauchy ở đây và là hàm giải tích của x, ξ, p. Vì v (x , ξ, p) và tất cả
đạo hàm x cấp ≤ m − 1 triệt tiêu với x .η = 0, ta có thể viết v dưới
dạng
v = (x .η)m w (x , ξ, p),
ở đây w là hàm giải tích trong các đối số của nó. (Điều này là hiển
nhiên, khi η là một trong những vectơ tọa độ, và η nói chung sau này).
Do đó v có thể đưa được thành dạng
v(x, ξ, p) = (x.ξ − p)m w(x, ξ, p)
với w(x, ξ, p) là hàm giải tích của x, ξ, p trong miền (1.36).

(1.37)


20

1.4.3. Bài tốn Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng
Cho g(s) là hàm liên tục của s. Ta xét phương trình
L[V ] = g(x.ξ − p)

(1.38)

với x, ξ, p thỏa mãn (1.36).
Giả sử vp (x, ξ, p) là một nghiệm của L[vp ] = 0, mà nó triệt tiêu cùng
với các đạo hàm cấp ≤ m − 2 theo x trên siêu phẳng p = x.ξ, và
vpxi1 ...xim−1 (x, ξ, x.ξ) = −m!ξi1 ...ξim−1 w(x, ξ, x.ξ) = −ξi1 ...ξim−1 /Q(x, ξ).
Khi đó phương trình (1.38) có nghiệm được cho bởi
x.ξ−p

V (x, ξ, p) = −

vp (x, ξ, t + p)g(t)dt.

(1.39)

0

Thật vậy từ (1.39) ta thấy tất cả các đạo hàm theo x cấp ≤ m của
V tồn tại và liên tục theo x, ξ, p, và như vậy
x.ξ−p

Vxi1 ...ik (x, ξ, p) =

vpxi1 ...xik (x, ξ, t + p)g(t)dt
0

với k ≤ m − 1, và
Vxi1 ...im (x, ξ, p) = ξi1 . . . ξim g(x.ξ − p)/Q(x, ξ)
x.ξ−p

=−

vpxi1 ...xim (x, ξ, t + p)g(t)dt.
0

Vậy theo nguyên lí Duhamel, V (x, ξ, p) là một nghiệm của (1.38).