Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2








NGUYỄN VĂN TOÁN







SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP
PHÁT TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP
RUNGE – KUTTA TRONG VIỆC GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02



TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH








HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Toán
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự kết hợp
giữa phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp

Runge - Kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều
biến số” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Toán
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Định nghĩa phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Hệ phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Chuẩn trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Sự kết hợp giữa phương pháp thác triển theo tham
số và phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình phi
tuyến nhiều biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Phương pháp thác triển theo tham số. . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Phương pháp Runge -Kutta cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Phương pháp Runge -Kutta ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

Chương 3. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Thuật toán của phương pháp Runge - Kutta cổ điển . . . . 41
3.2. Thuật toán Runge -Kutta ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2
Bảng kí hiệu
R Tập số thực
||x|| Chuẩn của x
||A|| Chuẩn của ma trận A
xrk
i
Nghiệm xấp xỉ thứ i
yrk
i
Nghiệm xấp xỉ thứ i
zrk
i
Nghiệm xấp xỉ thứ i
x
i
Nghiệm chính xác thứ i
y
i
Nghiệm chính xác thứ i
z
i
Nghiệm chính xác thứ i
∆x
i

Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
∆y
i
Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
∆y
i
Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến là bài toán được dẫn tới từ nhiều
bài toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phương
pháp cầu phương, Phương pháp sai phân giải Phương trình vi phân phi
tuyến. Giải phương trình vi phân thường phi tuyến. Bài toán giải hệ
phương trình phi tuyến được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Đã
được đề xuất một số phương pháp giải gần đúng như: Phương pháp lặp
đơn, Newton, Thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Runge
- Kutta được các nhà toán học quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Sự kết hợp của
phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Runge – Kutta
trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
dựa trên sự kết hợp của hai phương pháp thác triển theo tham số và
phương pháp Runge – Kutta.
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
dựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phương
pháp Runge – Kutta.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Hệ phương trình phi tuyến n biến.
- Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Runge – Kutta.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.Sử dụng một số phương pháp
của Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống lại các nội dung của phương pháp thác triển theo tham số kết
hợp phương pháp Runge -Kutta và vận dụng vào giải những hệ phương
trình phi tuyến cụ thể.
5
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương trình phi tuyến
1.1.1. Định nghĩa phương trình phi tuyến
Định nghĩa 1.1. Phương trình phi tuyến là phương trình có dạng f(x) =
0 trong đó hàm f : (a, b) ⊂ R → R, f(x) không tuyến tính đối với x.
Ví dụ 1.1.
f(x) := x
3
+ 3x
2
− 1 = 0
f(x) là hàm không tuyến tính đối với x.
Phương pháp giải
Đối với phương trình phi tuyến ta có thể sử dụng một số phương pháp
như: phương xấp xỉ liên tiếp, phương pháp Newton, phương pháp dây
cung. Trong mục này ta trình bày cách giải phương trình phi tuyến
bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Trước tiên để tìm được nghiệm xấp
xỉ của phương trình ta đưa phương trình đã cho về dạng x = g(x) )
trong đó hàm g(x) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

1) |g(x) − g(y)| ≤ q |x − y| ; 0 < q < 1, x, y ∈ S
2) |g(x) − x| ≤ |1 − q| δ; S = x : |x − x| ≤ δ
6
Khi đó phương trình x = g(x) có nghiệm duy nhất x
∗
và dãy được lập
theo công thức sau:
x
n+1
= g(x
n
), n = 0, 1, 2, , x
0
tùy ý thuộc S sẽ hội tụ tới x
∗
và ta có
các công thức đánh giá :
|x
n
− x
∗
| ≤
q
n
1 − q
|g(x
0
) − x
0
| ,

|x
n+1
− x
∗
| ≤ q |x
n
− x
∗
|
từ đó phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính.
Ví dụ 1.2. : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương
pháp lặp đơn.
f(x) := x
3
+ 3x
2
− 1 = 0
Ta có f liên tục trên [−3, −2] và f(−3).f(−2) < 0 suy ra phương
trình f(x) = 0 có nghiệm trong [−3, −2]. Trên đoạn [−3, −2] phương
trình đã cho tương đương với:
x =
1
x
2
− 3
Đặt g(x) =
1
x
2
− 3 ta có g(x) là hàm đơn điệu tăng trên [-3,-2] và có

Max|g

(x)| = 0.25; g(x)
x∈[−3,−2]
∈ [ − 3, −2]
suy ra hàm g là ánh xạ co đi từ [−3, −2] vào chính nó điều này có nghĩa
là phương trình g(x) = x có nghiệm duy nhất trên [−3, −2]. Ta sẽ tìm
nghiệm xấp xỉ của phương trình bởi công thức lặp đơn như sau:
x
k+1
= g(x
k
); x
0
= −2.5; k = 0, 1, 2,
7
k x
k+1
g(x
k
)
0 −2.5 −2.8
1 −2.8 −2.876016663
2 −2.876016663 -2.879102532
3 -2.879102532 -2.879361553
4 -2.879361553 -2.879383257
5 -2.879383257 -2.879385075
6 -2.879385075 -2.879385228
7 -2.879385228 -2.89385240
8 -2.89385240 -2.879385241

9 -2.879385241 -2.879385242
10 -2.879385242 -2.879385242
Vậy nghiệm gần đúng của phương trình đã cho là: x = −2.879385242
1.2. Hệ phương trình phi tuyến
1.2.1. Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến
Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình phi tuyến là hệ có dạng:















f
1
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0

f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0

f
n
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
Trong đó: f
i
: R
n
→ R, i = 1, n và các đạo hàm riêng của chúng cho
đến cấp 2 liên tục và giới nội.
8
Đặt: X = (x
1
, x
2

, , x
n
)
t
; F = (f
1
(X), f
2
(X), , f
n
(X))
t
. Thì hệ phương
trình đã cho trở thành: F(X) = 0
Ví dụ 1.3.
















x
1
+ sin x
2
+ x
2
3
+ e
x
4
+ 2 = 0
x
2
1
+ sin x
2
+ x
2
3
+ e
x
4
+ 2 = 0
x
2
1
+ x
2
2
+ sin x

3
+ e
x
4
+ 2 = 0
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ sin x
4
+ 2 = 0
1.2.2. Chuẩn trong không gian Euclid
Định nghĩa 1.3. Trong không gian Euclid E
n
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ E
n
chuẩn của véc tơ x có thể xác định bởi một trong các công thức sau đây.
x

1
=
n

i=1
|x
i
|; x
2
=

n

i=1
|x
2
i
|; x
∞
= max
i=1,n
|x
i
| .
Các chuẩn trên tương đương với nhau
1.2.3. Chuẩn của ma trận
Định nghĩa 1.4. Trong không gian Euclid n chiều cho ma trận A =
(a
ij
)

n
; i, j = 1, n thì chuẩn của ma trận có thể xác định bởi một trong các
công thức sau đây:
A
∞
= max
i
m

j=1
|a
ij
|, i = 1, n
A
1
= max
j
n

i=1
|a
ij
|, i = 1, m
A
2
=

max
1≤i≤n


λ
i
(A
T
A)


1
2
.
9
Trong đó λ
i

A
T
A

là các giá trị riêng của ma trận đối xứng và xác định
không âm A
T
A.
1.3. Hệ phương trình vi phân thường
Định nghĩa 1.5. Hệ phương trình vi phân thường là hệ có dạng
















dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2

, y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
Trong đó x là biến số độc lập, y
1
= y
1
(x), y
2
= y
2
(x), , y
n
= y
n
(x) là
các hàm cần tìm. Các hàmf

i
(i = 1, 2, , n) xác định trong miền G của
không gian n + 1 chiều R
n+1
.
Hệ n hàm khả vi y
1
= ϕ
1
(x), y
2
= ϕ
2
(x), , y
n
= ϕ
n
(x) xác định trên
khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân nếu với
mọi x ∈ (a, b) thì điểm (x, ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), , ϕ
n
(x)) ∈ G và khi thay chúng
vào hệ đã cho ta được n đồng nhất thức theo x trên (a, b).
Tập hợp điểm Γ = {(x, ϕ
1
(x), ϕ

2
(x), , ϕ
n
(x)), x ∈ (a, b)} được gọi là
đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), , ϕ
n
(x).
10
1.3.1. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán có dạng:















dy

1
dx
= f
1
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y

1
, y
2
, y
n
)
Thỏa mãn y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
; (x
0
, y

0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈
G.
1.3.2. Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân
Xét hệ phương trình vi phân















dy
1
dx

= f
1
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y

2
, y
n
)
Giả sử:
i) Các hàm f
i
liên tục trong miền
G = { x − x
0
 ≤ a;


y
1
− y
0
1


≤ b;


y
2
− y
0
2



≤ b; ;


y
n
− y
0
n


≤ b}
Và : |f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)| ≤ M (i = 1, 2, , n)
11
ii) Các hàm f
1
, f
2
, , f
n
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
1
, y

2
, , y
n
trong miền G cùng với hệ số Lipschitz L > 0.
|f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
) − f
i
(x, ¯y
1
, ¯y
2
, , ¯y
n
)| ≤ L
n

i=1
|y
i
− ¯y
i
| ,
∀ (x, y

1
, y
2
, , y
n
) , ∀ (x, ¯y
1
, ¯y
2
, , ¯y
n
) ∈ G.
Khi đó hệ đã
cho tồn tại duy nhất nghiệm y(x) = (y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x)) thỏa mãn
điều kiện ban đầu:
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2

(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
; (x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈ G.
Nghiệm này xác định trong khoảng đóng [x
0
− h, x
0
+ h]; h = min{a,
b

M
}.
1.4. Đạo hàm Fréchet
Cho X, Y là các không gian Banach, L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục đi từ X vào Y. f : X → Y, x
0
∈ X, h ∈ X. Nếu tồn
tại toán tử A ∈ L(X, Y ) sao cho f(x
0
+ h) − f(x
0
) = A(x
0
, h) + α(x
0
, h)
trong đó A(x
0
, h) tuyến tính đối với h và lim
h→0
||α(x
0
,h)||
h
= 0 thì ta nói
ánh xạ f khả vi tại x
0
, biểu thức A(x
0
, h) được gọi là vi phân của ánh xạ

f và ký hiệu là df(x
0
, h) = A(h); A : h → A(x
0
, h) là đạo hàm Fréchet
của f tại x
0
ký hiệu là f

(x
0
).
1.5. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Xét hệ phương trình phi tuyến















f

1
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0

f
n
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
12
Nếu hệ phương trình có thể đưa được về dạng
















x
1
= g
1
(x
1
, x
2
, , x
n
)
x
2
= g
2
(x

1
, x
2
, , x
n
)

x
n
= g
n
(x
1
, x
2
, , x
n
)
Hoặc dạng véc tơ x = ϕ(x); ϕ = (g
1
, g
2
, , g
n
)
Giả sử: x
0
= (x
0
1

, x
0
2
, , x
0
n
) là xấp xỉ đầu tiên còn các xấp xỉ tiếp theo
được xây dựng theo công thức:
x
1
(m+1)
= g
1
(x
1
(m)
, x
2
(m)
, , x
n
(m)
)
x
2
(m+1)
= g
1
(x
1

(m)
, x
2
(m)
, , x
n
(m)
)

x
n
(m+1)
= g
1
(x
1
(m)
, x
2
(m)
, , x
p
(m)
)
Hoặc dưới dạng véc tơ x
1
(m+1)
= ϕ(x
(m)
); m = 0, 1, 2, hội tụ tới

x
∗
= (x
1
∗
, x
2
∗
, , x
n
∗
) còn các hàm g
i
(x) liên tục, thì véc tơ x
∗
là nghiệm
của hệ x = ϕ(x) hay
















x
∗
1
= g
1
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
)
x
∗
2
= g
2
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗

n
)

x
∗
n
= g
n
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
)
Định lý 1.1. Giả sử cho hệ phương trình (2) và các điều kiện sau đây
được thỏa mãn:
13
















x
1
= g
1
(x
1
, x
2
, , x
n
)
x
2
= g
2
(x
1
, x
2
, , x
n
)

x

n
= g
n
(x
1
, x
2
, , x
n
)
1) ϕ(x) − ϕ(y) ≤ q x − y , ∀x, y ∈ S(x
0
, δ), 0 < q < 1.
2)


ϕ(x
0
) − x
0


≤ (1 − q)δ.
Khi đó hệ phương trình (2) trên có nghiệm duy nhất trong hình cầu
S, dãy x
(m)
= (x
(m)
1
, x

(m)
2
, , x
(m)
n
) hội tụ đến x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) khi
m → ∞ và sai số của phương pháp được đánh giá bởi công thức:



x
(m)
− x
∗



≤
q

m
1 − q


ϕ(x
0
) − x
0


.
Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ liên tiếp được coi là tối ưu khi q ≤
1
2
.
Ta chỉ ra điều kiện đủ để điều kiện (1) được thỏa mãn.
S = S(x
0
, δ) = {x :


x − x
0


= max
1≤i≤n


x

i
− x
0
i


≤ δ}
Giả sử trong hình cầu S các hàm g
i
, i = 1, n có các đạo hàm riêng
∂g
i
∂x
k
thỏa mãn đẳng thức q = max
1≤i≤n

max
x−x
0
<δ
n

k=1




∂g
i

(x)
∂x
k





< 1 khi đó
điều kiện (1) được thỏa mãn.
Đặc biệt nếu




∂g
i
(x)
∂x
1




+




∂g

i
(x)
∂x
2




+ +




∂g
i
(x)
∂x
n




< 1, i = 1, n, x ∈ S(x
0
, δ).
thì q = max
1≤i≤n

max
x−x

0
<δ
n

k=1




∂g
i
(x)
∂x
k





< 1 được thỏa mãn và trong S
14
phương pháp xấp xỉ liên tiếp



x
(k+1)
= ϕ(x
(k)
)

k ≥ 0
hội tụ tới nghiệm của
hệ x = ϕ(x).
Ví dụ 1.4. Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình trên hình chữ nhật
Q = {(x, y) |0 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1}



y − 0, 5x
2
+ 0, 1x = 0, 5
2x + y −
1
6
y
3
= 1, 6
Hệ phương trình trên tương đương với



x = −
1
2
y +
1
12
y
3
+ 0, 8

y = 0, 5x
2
− 0.1x + 0, 5
Đặt x = (x
1
, y
1
); y = (x
2
, y
2
), g
1
(x, y) = −
1
2
y +
1
12
y
3
+ 0, 8, g
2
(x, y) =
0, 5x
2
− 0.1x + 0, 5.
Ta có: ϕ(x) − ϕ(y) ≤ 0.6 x − y suy ra diều kiện 1 của định lý 1.2
được kiểm tra.
Và



ϕ(x
0
) − x
0


= 0.06 ≤ (1 − q)δ suy ra điều kiện 2 của định lí 1.2
được kiểm tra.
Theo định lý 1.2 nghiệm xấp xỉ của hệ bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
được xác định bởi công thức:



x
(k+1)
= −
1
2
y
(k)
+
1
12
(y
(k)
)
3
+ 0, 8

y
(k+1)
= 0, 5(x
(k)
)
2
− x
(k)
+ 0, 5
; k = 0, 1, 2 ; x
0
= 0.52, y
0
= 0.58
15
Ta thu được bảng sau:
k x
(k)
y
(k)
0 0.52 0.58
1 0.5262593333 0.58320
2 0.5249299409 0.5858485097
3 0.5238319146 0.5848167459
4 0.5242594221 0.5848167459
5 0.5242594221 0.5849980286
6 0.5241842858 0.5849980286
7 0.5241842858 0.5849661542
8 0.5241974961 0.5849661542
9 0.5241974961 0.5849717578

10 0.5241951737 0.5849717578
Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình đã cho là:



x = 0.5241951737
y = 0.5849717578
16
Chương 2
Sự kết hợp giữa phương pháp thác
triển theo tham số và phương pháp
Runge - Kutta giải hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến số
Để giải hệ phương trình phi tuyến, ta sẽ sử dụng phương pháp thác triển
theo tham số để đưa hệ phương trình phi tuyến ban đầu về hệ phương
trình vi phân. Sau đó ta sử dụng phương pháp Runge -Kutta cổ điển
hoặc phương pháp Runge -Kutta ẩn để giải hệ phương trình vi phân
tương ứng. Khi đó nghiệm của hệ phương trình vi phân tại nút N chính
là nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến.
2.1. Phương pháp thác triển theo tham số
Để giải phương trình F (x) = 0 mà nghiệm của nó x
∗
chưa biết ta xét
một họ phương trình phi tuyến G(λ, x) = 0 sao cho tại λ = 1 ta có
phương trình F(x) = 0. Và biết nghiệm của phương trình G(λ, x) = 0
do vậy nghiệm đã biết của phương trình G(λ, x) = 0 ta thác triển liên
tục theo tham số λ ∈ [0, 1] để được ngiệm tại λ = 1.
Định nghĩa 2.1. G : [0, 1]
X
R

n
→ R
n
xác định bởi:
17
G(λ, x) = λF (x) + (1 − λ)[F(x) − F (x
0
)] =F (x) − (1 − λ)F (x
0
)
= F (x) + (λ − 1)F (x
0
).
Xét phương trình G (λ, x) = 0
Giả sử G (λ, x) = 0 có nghiệm là x(λ) với mọi λ ∈ [0, 1]
Khi λ = 0 thì phương trình giả thiết có dạng 0 = G(0, x) = F (x)−F (x
0
)
và x(0) là một nghiệm.
Khi λ = 1 thì phương trình giả thiết có dạng 0 = G(1, x) = F (x) và
x(1) = x
∗
là một nghiệm. Hàm G với tham số λ sẽ cho ta một họ các
hàm x(λ)có thể dẫn từ giá trị x(0) đã biết tới nghiệm x(1) = x
∗
. Hàm G
được gọi là hàm đồng luân giữa hàm G(x(0), x) = F (x) − F(x
0
) và hàm
G(1, x) = F (x).

Bài toán liên tục
Đầu tiên ta giả sử rằng với mỗi λ ∈ [0, 1] , x(λ) là nghiệm duy nhất của
phương trình G(λ, x) = 0.
Với mỗi λ ∈ [0, 1] tập hợp {x(λ)/0 ≤ λ ≤ 1} có thể được nhìn như
một đường cong trong R
n
từ x(0) tới x(1) = x
∗
được tham số hóa bởi
λ. Phương pháp thác triển liên tục là tìm một dãy các bước theo đường
cong này ứng với {x(λ
k
)}
m
k=0
trong đó λ
0
= 0 < λ
1
< λ
2
< < λ
m
= 1.
Nếu hàm λ → x(λ) và hàm G khả vi Fréchet thì lấy đạo hàm phương
trình G(λ, x) = 0 theo biến λ ta có :
0 =
∂G(λ, x(λ))
∂λ
+

∂G(λ, x(λ))
∂x
x

(λ) và giải phương trình với ẩn x

(λ)
ta thu được
x

(λ) = −

∂G(λ, x(λ))
∂x

−1
∂G(λ, x(λ))
∂λ
đây là hệ phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu x(0).
18
Từ G(λ, x(λ)) = F (x(λ)) + (λ − 1)F [x(0)] ≡ 0, λ ∈ [0, 1] ta có:
∂G
∂λ
=
∂F
∂x
.
∂x
∂λ

+ F [x(0)] = 0
⇒
∂F
∂x
.
∂x
∂λ
= −F [x(0)]
⇒
dx
dλ
=

∂F
∂x

−1
(−F [x(0)])
⇒
dx
dλ
= −

∂F
∂x

−1
F [x(0)]
= −[J(x(λ))]
−1

F [x(0)]
Trong đó:
∂G
∂λ
(λ, x(λ)) =










∂f
1
∂x
1
x(λ)
∂f
1
∂x
2
x(λ)
∂f
1
∂x
n
x(λ)

∂f
2
∂x
1
x(λ)
∂f
2
∂x
2
x(λ)
∂f
2
∂x
n
x(λ)

∂f
n
∂x
1
x(λ)
∂f
n
∂x
2
x(λ)
∂f
n
∂x
n

x(λ)










= J(x(λ))
Do đó ta có hệ phương trình vi phân
x

(λ) = −[Jx(λ))]
−1
F (x(0)) với điều kiện ban đầu x(0) cho trước.
Định lý sau cho ta các điều kiện mà dưới điều kiện đó phương pháp liên
tục là hữu hiệu.
Định lý 2.1. Cho F (x) là hàm khả vi liên tục với x ∈ R
n
. Giả sử rằng
ma trận Jacobi J(x) là không suy biến với mọi x ∈ R
n
và tồn tại hằng số
M > 0 sao cho J(x)
−1
≤ M với mọi x ∈ R
n

. khi đó với bất kỳ x(0) ∈
19
R
n
, tồn tại duy nhất một hàm x(λ) sao cho G(λ, x(λ)) = 0 ∀λ, 0 ≤ λ ≤
1. Hơn nữa x(λ) là hàm khả vi liên tục và x

(λ) = −[Jx(λ))]
−1
F (x(0))
với mỗi 0 ≤ λ ≤ 1.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình phi tuyến











f
1
= 3x
1
− cos(x
2
x

3
) − 0, 5 = 0
f
2
= x
2
1
− 81(x
2
+ 0, 1)
2
+ sin x
3
+ 1, 06 = 0
f
3
= e
−x
1
x
2
+ 20x
3
+
10π − 3
3
= 0
Ma trận Jacobi của hệ phương trình trên là:
J(x(λ)) =
D(f

1
, f
2
, f
3
)
D(x
1
, x
2
, x
3
)
=





3 x
3
sinx
2
x
3
x
2
sinx
2
x

3
2x
1
−162(x
2
+ 0, 1) cos x
3
−x
2
e
−x
1
x
2
−x
1
e
−x
1
x
2
20





.
Đặt x(0) = (0, 0, 0)
t

ta có
F (x(0)) =





−1.5
0.25
10
π
3





Khi đó hệ phương trình vi phân tương ứng là:





x

1
(λ)
x

2

(λ)
x

3
(λ)





= −





3 x
3
sinx
2
x
3
x
2
sinx
2
x
3
2x
1

−162(x
2
+ 0, 1) cos x
3
−x
2
e
−x
1
x
2
−x
1
e
−x
1
x
2
20





−1
.






0.25
1.5
10π
3





.
Trong trường hợp tổng quát hệ phương trình vi phân mà ta cần giải cho
bài toán có dạng:
20















dx

1
dλ
= φ
1
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)
dx
2
dλ
= φ
2
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)

dx
n
dλ
= φ
n
(λ, x

1
, x
2
, x
n
)
Trong đó:








φ
1
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)
φ
2
(λ, x
1
, x
2

, x
n
)

φ
n
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)








= −J(x
1
, x
2
, x
n
)
−1









f
1
(x
0
)
f
2
(x
0
)

f
n
(x
0
)









2.2. Phương pháp Runge-Kutta
Phương pháp Runge -Kutta là một phương pháp số để giải hệ phương
trình vi phân thường. Nghiệm của hệ tìm được dưới dạng bảng số.
2.2.1. Phương pháp Runge -Kutta cổ điển
Để giải phương trình x

(λ) = −[f(x(λ))]
−1
f(x(0)) ta chọn một số nguyên
N > 0 và đặt h =
1
N
chia đoạn [0, 1] thành N đoạn bằng nhau với các
điểm lưới λ
j
= j.h; j = 0, 1, 2, , N ta sử dụng các kí hiệu ω
ij
; j =
0, 1, 2, , N, i = 1, 2, 3, , n để xác định xấp xỉ x
i
(λ
j
) với các điều kiện
ban đầu, đặt:
ω
10
= x
1
(0), ω

20
= x
2
(0), , ω
n0
= x
n
(0), Giả sử ω
1j
, ω
2j
, , ω
nj
đã được
tính, ta thu được ω
1,j+1
, ω
2,j+1
, , ω
n,j+1
bằng cách sử dụng hệ:
21
k
1,i
= hφ
i
(λ
j
, ω
1,j,

ω
2,j,
, ω
n,j
); i = 1, 2, , n
k
2,i
= hφ
i
(λ
j
+
h
2
, ω
1,j
+
1
2
k
1,1
, ω
2,j
+
1
2
k
1,2
, , ω
n,j

+
1
2
k
1,n
); i = 1, 2, , n
k
3,i
= hφ
i
(λ
j
+
h
2
, ω
1,j
+
1
2
k
2,1
, ω
2,j
+
1
2
k
2,2
, , ω

n,j
+
1
2
k
2,n
); i = 1, 2, , n
k
4,i
= hφ
i
(λ
j
+ h, ω
1,j
+ k
3,1
, ω
2,j
+ k
3,2
, , ω
n,j
+ k
3,n
); i = 1, 2, , n
Và cuối cùng ω
i,j+1
= ω
i,j

+
1
6
(k
1,i
+ 2k
2,i
+ 2k
3,i
+ k
4,i
); i = 1, 2, 3, , n
Ta sử dụng ký hiệu véc tơ:
k
1
=








k
1,1
k
1,2

k

1,n








, k
2
=








k
2,1
k
2,2

k
2,n









, k
3
=








k
3,1
k
3,2

k
3,n









, k
4
=








k
4,1
k
4,2

k
4,n








Và ω
j
=









ω
1,j
ω
2,j

ω
n,j








Ta có phương trình:










dx
1
dλ
dx
2
dλ

dx
n
dλ









=









φ
1
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)
φ
2
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)

φ
n
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)









= −J(x
1
, x
2
, x
n
)
−1








f
1
(x
0
)
f
2

(x
0
)

f
n
(x
0
)








, trong
22