Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2







PHẠM THỊ THUẦN







BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
LOẠI II



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn








HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Thuần
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng của GS. TSKH. Nguyễn
Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Bài toán
tựa cân bằng tổng quát loại II” được hoàn thành bởi sự nhận thức và
tìm hiểu của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Thuần
Mục lục
Mở đầu 4
1 Kiến thức cơ bản 8
1.1 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 18
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Các tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Tính liên tục và tính liên tục theo nón . . . . . . . . 24
1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . 32
1.4.1 Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Định lý Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.3 Định lý Browder-Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 37
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
2.3 Sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan . . . . . . 49
2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II . . . . . . . 49
2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II . . . . . . . . . 50

2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II . . . . . . . . 52
2.4 Bài toán tựa cân bằng Pareto và tựa cân bằng yếu . . . . . 54
2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ . . . . . . . . . 67
2.6 Sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng
tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77
3
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học,
mặc dù từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần
phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị là các tập con của
một tập hợp nào đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế "Set-Valued Analysis"
vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của giải tích đa
trị. Vai trò của giải tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng của toán
học đã được công nhận rộng rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình
suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa
học quản lý, và toán kinh tế. Có thể nói những ứng dụng mà giải tích đa
trị đem lại là vô cùng to lớn, đặc biệt trong các bài toán kinh tế.
Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edge-
worth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19. Sau đó nó được nhiều nhà
toán học như Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh
tế mà trong những năm cuối của thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế thế giới
quan tâm khai thác. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình
kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động kiểu
Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder, Sau này, người ta đã chỉ ra rằng
Định lý điểm bất động Browder tương đương với Định lý về sự tương giao

4
hữu hạn của các tập compắc, Định lý không tương thích của Hoàng Tụy
và Định lý KKM. Như vậy, người ta đã tìm ra được nhiều phương pháp
khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng.
Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Browder-Minty đã phát biểu bài toán điểm
cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với
những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên
tục trên, còn kết quả của Browder-Minty nặng về tính đơn điệu của hàm
số. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát
và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Browder-Minty với nhau
thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm
¯x ∈ K sao cho f (¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, trong đó K là tập cho trước
của không gian, f : K × K → R là hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ 0.
Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên
Nguyên lý KKM.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị
từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà
thứ tự đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian
có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây
dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của Toán học và các lĩnh vực
khác. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn
trị sang đa trị. Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì bài toán
cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Bài toán tựa cân bằng được nhiều
nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Với những lý do kể trên tôi đã
chọn đề tài:"Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II" làm luận văn
Thạc sĩ của mình.
5
2. Mục đích nghiên cứu
Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán
có nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp tiếp cận nghiệm.

Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta đưa ra các điều kiện
tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó mới tìm các thuật toán để giải.
Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán là một trong
những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán. Mục đích của luận
văn là trình bày mô hình, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự ổn định của
các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau
đó tìm các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu sự ổn định
của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II: Sự tồn tại nghiệm,
sự ổn định của các tập nghiệm và một số ứng dụng của nó. Sau đó, trình
bày các mối liên hệ giữa bài toán này với một số bài toán khác trong lý
thuyết tối ưu đa trị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động
của Ky Fan, Fan-Browder và Định lý KKM trong việc nghiên cứu các bài
toán tựa cân bằng.
6
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn là cái nhìn cụ thể về một lớp bài toán trong lý thuyết tối ưu.
Trình bày chi tiết sự tồn tại nghiệm, sự ổn định của các tập nghiệm của
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II cũng như những ứng dụng trong
các bài toán liên quan.
7
Chương 1
Kiến thức cơ bản
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian
metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến

tính lồi địa phương Hausdorff, các khái niệm về nón, ánh xạ đa trị, các
tính chất của ánh xạ đa trị để phục vụ chứng minh ở chương sau. Ngoài
ra, chương này còn trình bày các định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị,
đó là các định lý cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng tổng quát. Các khái niệm này ta có thể tìm thấy trong cuốn
của Nguyễn Phụ Hy [1], Nguyễn Xuân Tấn [3]. Các khái niệm khác được
nhắc đến đã có trích dẫn kèm theo.
1.1 Các không gian thường dùng
1.1.1 Không gian Metric
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X = ∅ cùng
với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần
8
tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là
hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là M = (X, d).
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con bất
kỳ X
0
= ∅ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian
metric.
Không gian metric M
0
= (X
0
, d) gọi là không gian metric con của không

gian metric đã cho.
Tính chất. 1) (∀x
j
∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N
∗
) d (x
1
, x
n
) ≤
n−1

j=1
d(x
j
, x
j+1
),
2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) , (bất đẳng
thức tứ giác)
3. (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u) , (bất đẳng thức tam giác).
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt
d(x, y) = |x − y| . (1.1)
Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R dễ dàng
kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một metric trên R. Không gian tương ứng
được ký hiệu là R
1
. Ta sẽ gọi metric (1.1) là metric tự nhiên trên R
1
.

Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số
bất kỳ x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
ta đặt
d(x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) − y(t)| . (1.2)
Vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)|
cũng liên tục trên đoạn [a, b] . Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên
đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ tích Descartes
C
[a,b]
× C
[a,b]
vào tập số thực R.
9
Dễ dàng thấy ánh xạ (1.2) thỏa mãn các tiên đề về metric. Không gian
metric tương ứng vẫn ký hiệu là C
[a,b]
.
Định nghĩa 1.1.3. (Hình cầu) Cho không gian metric M = (X, d), a ∈ X,
số r > 0. Ta gọi:
• Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính
r;
• Tập S

(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán

kính r.
Định nghĩa 1.1.4. (lân cận) Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi
là lân cận của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu tâm x, bán
kính r > 0 nào đấy.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X, điểm
b ∈ X.
• Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b bao hàm trong tập A.
• Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b không chứa điểm nào của tập A.
• Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều
chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A.
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X.
• Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều
là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại
một lân cận của x bao hàm trong A.
10
• Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc
A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x /∈ A, thì
tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định lý 1.1.1. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X, và A = ∅.
Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (x
n
) ⊂ A
hội tụ đến điểm x thì x ∈ A.
Hệ quả 1.1.1. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), phần bù của
tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở. Các tập X, ∅ vừa
đóng vừa mở.

Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric M = (X, d), và tập A ⊂ X.
Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, ký hiệu
là
o
A
, hay intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A là bao đóng của A
và ký hiệu là
¯
A hay [A].
Định lý 1.1.3. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X. Phần
trong
o
A
của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao đóng
¯
A của
tập A là hợp của tập A và tất cả các điểm giới hạn của tập A.
Hệ quả 1.1.2. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d) phần trong
của một tập là tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.
Định lý 1.1.4. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), họ τ tất cả
các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X.
Chứng minh. Theo hệ quả (1.1.1) thì X, ∅ ∈ τ.
Giả sử họ (G
α
)
α∈I
⊂ τ, I là tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Đặt G =
11

α∈I

G
α
. Lấy phần tử bất kỳ x ∈ G thì x ∈ G
α
0
, α
0
là chỉ số nào đó thuộc
I. Vì G
α
0
là tập mở, nên tồn tại lân cận S(x, r) ⊂ G
α
0
⇒ S(x, r) ⊂ G.
Do đó G là tập mở.
Giả sử G
1
, G
2
, , G
m
là họ hữu hạn các phần tử tùy ý thuộc τ. Đặt
E =
∞

j=1
G
j
. Lấy một phần tử bất kỳ y ∈ E thì y ∈ G

j
, ∀j = 1, 2, , m.
Vì với mỗi j do G
j
là tập mở, nên tồn tại lân cận S
j
= S(y, r
j
). Đặt
r = min {r
1
, r
2
, , r
m
} > 0, thì lân cận S(y, r) ⊂
m

j=1
S
j
⊂
m

j=1
G
j
= E.
Do đó E là tập mở.
Vì vậy τ là một tôpô trên X.

Định nghĩa 1.1.8. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric
M = (X, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d.
Hệ quả 1.1.3. Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ tùy ý các
tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập
đóng.
Định lý 1.1.5. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), tôpô τ sinh
bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
Định nghĩa 1.1.9. Trong không gian metric M = (X, d). Một dãy {x
n
}
là dãy cơ bản nếu lim
n,m→∞
d (x
n
, x
m
) = 0 tức là
(∀ε > 0) (∃N) (∀n ≥ N) (∀m ≥ N) d (x
n
, x
m
) < ε.
Một dãy hội tụ bao giờ cũng là cơ bản, vì nếu x
n
→ x thì theo bất đẳng
thức tam giác ta có d (x
n
, x
m
) ≤ d (x

n
, x) + d (x, x
m
) → 0 (n, m → ∞).
Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu coi khoảng (0, 1) là một không gian metric
thì dãy

1
n

, mặc dù cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.1.10. • Không gian metric M = (X, d) trong đó mọi
12
dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) gọi là một không
gian đủ.
• Trái lại, trong không gian metric M = (X, d) mà mọi dãy cơ bản
không hội tụ thì được gọi là không gian metric không đầy đủ.
Cho hai không gian metric M
1
= (X, d
1
) , M
2
= (Y, d
2
), ánh xạ f từ
không gian M
1
đến không gian M

2
.
Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ X, nếu
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d
1
(x, x
0
) < δ) d
2
(f(x), f(x
0
)) < ε. Hay nói
cách khác: Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ X, nếu với lân cận cho
trước tùy ý U
y
0
= S(y
0
, ε) ⊂ Y của điểm y
0
= f(x
0
) trong M
2
, ắt tìm được
lân cận V

x
0
= S(x
0
, δ) ⊂ X của điểm x
0
trong M
1
sao cho f(V
x
0
) ⊂ U
y
0
.
Định nghĩa 1.1.12. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X, nếu ánh
xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định lý 1.1.6. Cho f là ánh xạ đi từ không gian metric X vào không
gian metric Y , ba điều sau tương đương:
(i) f liên tục;
(ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong X);
(iii) Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X).
Định nghĩa 1.1.13. A được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu ∃k > 0 :
d (A(x), A(y)) ≤ kd(x, y)
• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.
Định lý 1.1.7 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh
xạ không gian Metric đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động
¯x duy nhất, nghĩa là ¯x ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯x = ¯x.
13

Định nghĩa 1.1.14. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X
gọi là tập compắc trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử
thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K.
Định nghĩa 1.1.15. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X.
Họ (G
α
)
α∈I
gồm các tập mở trong M (I là tập chỉ số có lực lượng nào
đấy) gọi là một phủ mở của A, nếu

α∈I
G
α
⊃ A. Khi tập I hữu hạn, thì
họ (G
α
)
α∈I
gọi là phủ mở hữu hạn của A.
Định lý 1.1.8 (Tiêu chuẩn compact Heine – Borel). Tập K ⊂ X là tập
compắc trong không gian metric M = (X, d) khi và chỉ khi mọi phủ mở
(G
α
)
α∈I
của tập K đều chứa một phủ con hữu hạn của K.
1.1.2 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.16. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và
đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.1.9. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kì
x, y ∈ X ta đặt
d(x, y) = x − y . (1.3)
Khi đó d là một metric trên X.
14
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ
tiên đề tuyến tính.
Nhờ định lý (1.1.9), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không
gian metric với metric (1.3). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.17. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản, nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.18. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.19. Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y được gọi là tuyến tính nếu
• A(x + y) = A(x) + A(y);
• A (αx) = αA (x).
A được gọi là ánh xạ giới nội nếu ∃k > 0, ∀x ∈ X : A(x) ≤ k x.
Định lý 1.1.10. Ánh xạ A : X → Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi A
giới nội.
Chứng minh. Giả sử A giới nội. Lấy {x
n
} ⊂ X, x
n
→ x tương đương với
x
n
− x → 0.
Ta có A(x
n
) − A(x) = A(x
n
− x) ≤ k x
n
− x → 0.
Suy ra d (A(x
n
), A(x)) = A(x
n
) − A(x) → 0 suy ra A(x
n
) → A(x) do
đó A liên tục.

Ngược lại, giả sử A liên tục nhưng A không giới nội.
Tức ∀m > 0, ∃x
n
∈ X : A(x
m
) > m x
m
. Ta đặt y
m
=
x
m
mx
m

. Ta được
15
y
m
 =
x
m

mx
m

=
1
m
→ 0, m → ∞. Suy ra {y

m
} → 0. Ta có A(y
m
) =
A(x
m
)
mx
m

>
mx
m

mx
m

≥ 1. Suy ra A(y
m
)  0 ⇔ A(y
m
)  0 = A(0) (mâu
thuẫn)
Vậy A giới nội.
Ta có điều phải chứng minh.
1.1.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.20. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên
trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C ). Ta gọi là tích vô
hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường
P , kí hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:

1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ;
4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không), (x, x) = 0,
nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2) , 3), 4) gọi là
tiên đề tích vô hướng.
Định lý 1.1.11. Đối với mỗi x ∈ X. Ta đặt
x =

(x, x). (1.4)
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz
|(x, y)| ≤ x y . (1.5)
Công thức (1.4) xác định một chuẩn trên không gian X.
Định nghĩa 1.1.21. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một
tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
16
Định nghĩa 1.1.22. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z,
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P;
2) H được trang bị một tích vô hướng (., .);
3) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
Định nghĩa 1.1.23. (Trực giao) Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử
x, y ∈ H gọi là trực giao, ký hiệu x⊥y, nếu (x, y) = 0.
Định nghĩa 1.1.24. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A = ∅.

Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y (∀y ∈ A) và kí hiệu
x⊥A.
Định lý 1.1.12 (Định lý hình chiếu lên không gian con). Cho không gian
Hilbert H và H
0
là không gian con của H. Khi đó phần tử bất kì x ∈ H
biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z, y ∈ H
0
, z ∈ H
0
. (1.6)
Phần tử y trong biểu diễn (1.6) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không
gian con H
0
.
Định nghĩa 1.1.25. (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H. Một tập
(còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (e
n
)
n≥1
⊂ H
gọi là một hệ trực chuẩn, nếu
(e
i
, e
j
) = δ
ij
(1.7)

δ
ij
là kí hiệu Kroneckes, δ
ij
= 0 với i = j, δ
ij
= 1 với i = j, (i, j = 1, 2, ).
17
Nhận xét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu
trúc tôpô và đại số.
Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, U = {U
α
}
α∈I
, U
α
là lân cận của 0.
x ∈ X, {x + U
α
}
α∈I
là họ lân cận của x.
Định nghĩa 1.1.26. Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: U ) được
gọi là họ cơ sở của lân cận nếu:
1) U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U
0
⊂ U sao cho U
0
⊂ U;
2) Với U

1
, U
2
∈ U thì U
1
∩ U
2
∈ U;
3) Với U
i
∈ U, i = 1, , ∞ thì
∞

i=1
U
i
∈ U;
4) Với W ∈ U, tồn tại U
0
∈ U sao cho U
0
+ U
0
⊆ W .
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff
Định nghĩa 1.1.27. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ ⊆
P(X) các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn
các tính chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;

(iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.
Khi đó (X, τ) được gọi là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.28. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực
X. Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X
nếu các ánh xạ + và . liên tục, với tôpô τ trên X, tôpô thông thường trên
R, còn X × X và R × X được trang bị bởi tôpô tích. Tức là:
(i) Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U
của x, V của y sao cho U + V ⊆ W .
(ii) Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và với mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và
lân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε).
18
Khi đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không
gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.29. (Tập lồi) Tập X ⊂ R
n
được gọi là lồi nếu
λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.1.30. (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian
vectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô
lồi địa phương) nếu trong X có một có sở lân cận (của gốc) toàn tập lồi.
Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian
lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
Ví dụ. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh
bởi hình cầu đơn vị: V
0
= {B (0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng
là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}.
Định nghĩa 1.1.31. Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi
cặp điểm khác nhau x
1

, x
2
∈ X đều có hai lân cận V
1
, V
2
của x
1
, x
2
sao
cho V
1
∩ V
2
= ∅ (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách
được bởi hai lân cận rời nhau). Khi đó, không gian tôpô X được gọi là
không gian tách hay không gian Hausdorff, và tôpô của nó gọi là tôpô tách
hay tôpô Hausdorff.
Định nghĩa 1.1.32. Một không gian vectơ tôpô X mà có một cơ sở lân
cận T gồm toàn tập lồi, thì X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi
địa phương Hausdorff.
1.2 Nón và ánh xạ đa trị
1.2.1 Nón
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa nón trong không gian tuyến tính. Từ
khái niệm ấy ta đưa ra các định nghĩa về điểm hữu hiệu của một tập hợp,
19
tính liên tục, tính lồi và tính Lipschitz của ánh xạ theo nón, điểm tối ưu
của bài toán tối ưu véctơ, điểm cân bằng của bài toán cân bằng véctơ và
nhiều bài toán khác nhau liên quan đến hàm véctơ.

Định nghĩa 1.2.1. [3] Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói
rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu: tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Trong trường hợp Y là không
gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y ta kí hiệu: clC, intC, conv(C)
là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C. Nón C gọi là nón đóng nếu
C là tập đóng. Kí hiệu: l(C) = C ∩ (−C), ta thấy rằng: nếu C là nón lồi,
thì l(C) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được
gọi là phần trong tuyến tính của nón C. Ta có các khái niệm sau:
1) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}.
2) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
3) Nón C được gọi là nón đúng nếu clC + C\l(C) ⊆ C.
Dễ dàng thấy rằng, nếu C là nón đóng, thì C là nón đúng.
Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần trên Y
như sau:
x, y ∈ Y, x
C
y nếu x − y ∈ C .
Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản x  y.
Cho x, y ∈ Y ta kí hiệu x  y, nếu x − y ∈ C\l(C) và x  y, nếu
x − y ∈ intC.
Ta thấy quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc
cầu. Nếu C là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan
hệ thứ tự từng phần trên Y . Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên
có tính phản đối xứng, có nghĩa là nếu có x  y và y  x, thì x = y.
Ví dụ 1) Tập {0} và cả không gian Y đều là nón trong Y . Ta gọi chúng
20
là những nón tầm thường.
2) Cho Y = R
n
= {x = (x

1
, x
2
, , x
n
) | x
j
∈ R, j = 1, , n}. Khi đó
C = R
n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
| x
j
≥ 0, j = 1, , n}
là nón lồi, đóng, nhọn. Cho x = (x
1
, x
2
, , x
n
) , y = (y
1

, y
2
, , y
n
) thuộc
R
n
thì x  y nếu x
j
 y
j
với mọi j = 1, , n. Nón này được gọi là nón
orthant dương trong R
n
.
Nếu lấy
C = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
1
≥ 0} (1.8)
thì C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn. Vì, ta dễ dàng thấy
l(C) = {x = (0, x
2

, , x
n
) ∈ R
n
} = {0} . (1.9)
Khái niệm hữu hiệu là khái niệm nền tảng của tối ưu đa mục tiêu. Người
ta đã đưa ra nhiều khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu như: Hữu hiệu
lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu, Trước hết ta nhắc lại các khái niệm ấy
qua các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.2. [3] Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
được sinh bởi nón lồi C và A là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng
i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu
y − x ∈ C với mọi y ∈ A.
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được ký hiệu là
IMin(A|C) hoặc IMinA.
ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với
nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C).
Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là
P Min(A|C) hoặc đơn giản hơn là Min(A|C) hoặc MinA.
iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi intC = ∅ và C = Y ) của A
21
đối với nón C, nếu x ∈ Min(A| {0} ∪ intC). Tức là x là điểm hữu hiệu
theo thứ tự sinh sinh bởi nón C
0
= {0} ∪ intC.
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C được kí hiệu là W Min(A|C)
hoặc W MinA.
iv) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu
tồn tại nón lồi
˜

C khác Y và chứa C\l(C) trong phần trong của nó để
x ∈ P Min

A|
˜
C

.
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được ký hiệu là
Pr Min (A|C) hoặc Pr MinA.
Khái niệm các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại cũng được định nghĩa
một cách đối ngẫu và tập hợp các điểm ấy được kí hiệu là Imax, PrMax,
Max, WMax.
Từ các định nghĩa trên ta có được
a) x ∈ MinA khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C).
b) x ∈ W MinA khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅.
c) IMinA ⊆ Pr MinA ⊆ MinA ⊆ W MinA.
1.2.2 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.3. [5] Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X → 2
Y
là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói F là
ánh xạ đa trị từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói F
là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng
một phần tử của Y , thì ta nói F (x) là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Kí hiệu
quen thuộc F : X → Y .
Định nghĩa 1.2.4. [5] Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh
rgeF của ánh xạ đa trị F : X → 2
Y
tương ứng được xác định bằng các
công thức

22
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Ánh xạ ngược F
−1
: Y → 2
X
của ánh xạ đa trị F : X → 2
Y
được xác
định bởi công thức
F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y ).
Định nghĩa 1.2.5. [5] Cho F : X → 2
Y
là ánh xạ đa trị, X và Y là các
không gian tôpô.
1. Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y , thì F được
gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).
2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập
lồi trong không gian tích X × Y , thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
3. Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá
trị đóng.
4. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi
x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Các phép tính về ánh xạ đa trị. Cho X, Y là các không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. F

1
, F
2
: X → 2
Y
là các ánh xạ đa
trị. Ta có các phép tính sau:
1. (F
1
∪ F
2
) (x) = F
1
(x) ∪ F
2
(x);
2. (F
1
∩ F
2
) (x) = F
1
(x) ∩ F
2
(x);
3. (F
c
1
) (x) = Y \F
1

(x);
23