Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trịnh Thị Minh Hằng
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG
TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội -2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Toán Giải tích – Khoa Toán - Cơ -
Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học :
PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn, ĐHKHTN, ĐHQGHN
Phản biện :GS.TSKH Đinh Nho Hào - Viện toán học
Phản biện : PGS.TS Cung Thế Anh- Đại học Sư phạm HN.
Phản biện : PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy- ĐHBK HN
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm
luận án tiến sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
vào hồi 14h ngày 08 tháng 10 năm 2014.
Có thể tìm hiểu Luận án tại :
- Thư viện Quốc gia Việt Nam.
- Trung tâm Thông tin - Thư viện ĐHQGHN.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2009) Non-existence of and
multiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in bounded
domain, Acta Mathematica Vietnamica, 34(2) , pp.173-182.
2. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011) On existence of weak
solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving


-
Laplacian in a.n unbounded domain, Bull. Korean. Math.Soc., 48(6), pp. 1169-
1182,(Tạp chí ISI).
3. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) On existence of weak
solutions of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equation in an
unbounded domain, Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp.137-147.
4. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) Existence of weak non-
negative solution for a class of nonuniformly boundary value problem, Bull.
Korean. Math.Soc., 49(4), pp. 737-748,(Tạp chí ISI).
5. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2014) On some semilinear
nonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without the
Ambrosetti and Rabinowitz condition, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1),
pp.1-15.
MỞ ĐẦU
Phương trình đạo hàm riêng là phương tiện nghiên cứu trong nhiều
ngành khoa học khác nhau, là chiếc cầu nối giữa khoa học và ứng
dụng. Nhiều bài toán cơ học và vật lí được mô hình hoá toán học
thông qua các phương trình đạo hàm riêng. Vấn đề chủ yếu xuyên
suốt trong quá trình nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng của ngành
phương trình đạo hàm riêng là bài toán tồn tại nghiệm. Cho đến đầu
thế kỉ 20, nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng được hiểu theo
một cách chung nhất đó là các nghiệm cổ điển, tức là nghiệm khả vi
đến cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phương tr ình.
Tuy nhiên, để phản ánh tương đối chính xác một quá trình vật lí hay
cơ học thì mô tả nó mà chỉ quan tâm đến nghiệm cổ điển của phương
trình đạo hàm riêng là chưa đủ. Vì vậy, để nghiên cứu phương trình
đạo hàm riêng có ý nghĩa hơn đối với đối tượng mà nó phản ánh, thì
việc mở rộng khái niệm nghiệm của chúng là cần thiết. Do đó khái
niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng ra đời. Người ta có

thể đưa ra những định nghĩa khác nhau về nghiệm yếu nhưng phải
đảm bảo sao cho vừa chặt chẽ về mặt toán học, lại vừa có ý nghĩa vật
lý.
Hướng nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sử dụng
phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm yếu của
các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic
không tuyến tính. So với nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến
áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp biến phân
tỏ ra rất có hiệu quả. Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào
phương trình đạo hàm riêng là dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn,
mà nội dung của nó là đưa bài toán biên đang xét về việc nghiên cứu
một phiếm hàm J khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong không
gian Banach X thích hợp (gọi là phiếm hàm Euler-Lagrange hay là
1
phiếm hàm năng lượng liên kết) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm
J là nghiệm yếu của bài toán biên ban đầu. Để tìm điểm tới hạn
của phiếm hàm J người ta thường nghĩ đến việc tìm điểm cực tiểu
hoá của phiếm hàm đó. Tuy nhiên việc cực tiểu hoá một phiếm hàm
không hề đơn giản. Hơn nữa lớp các phiếm hàm có thể cực tiểu hoá
tương đối hẹp. Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đến
các điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) của phiếm hàm năng
lượng. Cơ sở để nghiên cứu sự tồn tại điểm yên ngựa của phiếm hàm
là các bổ đề biến dạng cùng các nguyên lí biến phân và điều kiện
compact. Nguyên lí biến phân nổi tiếng được biết đến khẳng định
sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm trong không gian Banach là
Định lí qua núi (Mountain pass Theorem). Lần đầu tiên Định lí qua
núi được R.Courant chứng minh vào năm 1950 cho các phiếm hàm
xác định trong không gian hữu hạn chiều. Năm 1973, A.Ambrossetti
và P.Rabinowitz đã chứng minh Định lí qua núi cho phiếm hàm khả
vi liên tục Fréchet trong không gian Banach.

Định lí 0.0.1 (Định lí qua núi ). Giả sử (X, ||.||) là một không gian
Banach, J : X −→ R là một phiếm hàm khả vi Fréchet liên tục trên X,
thoả mãn điều kiện Palais-Smale, tức là với mọi dãy {u
m
} ⊂ X thoả
mãn |J(u
m
)| ≤ c, ∀m và DJ(u
m
) → 0 khi m → +∞, đều có thể trích
được một dãy con hội tụ trong X. Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn
các điều kiện sau:
(i) J(0) = 0;
(ii) Tồn tại các hằng số dương α, r sao cho J(v) ≥ α với mọi v ∈ X,
||v|| = r;
(iii) Tồn tại v
0
∈ X với ||v
0
|| > r sao cho J(v
0
) < 0.
Đặt
c = inf{maxJ(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v
0
}.
2
Khi đó, c là một giá trị tới hạn của J, tức là tồn tại u ∈ X sao cho
c = J(u) ≥ α > 0 và DJ(u) = 0.
Lí thuyết điểm tới hạn cùng với Định lí qua núi đã góp phần quan

trọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp khá
rộng các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình đạo
hàm riêng không tuyến tính. Những cải tiến của Định lí qua núi cùng
với điều kiện Palais-Smale đã được nhiều nhà toán học lớn quan tâm
nghiên cứu.
Năm 1989, Dương Minh Đức đã thiết lập lại Bổ đề biến dạng và
chứng minh Định lí qua núi cho lớp phiếm hàm khả vi liên tục yếu
trong không gian Banach (xem Định nghĩa 0.0.1). Kết quả này đặc
biệt hữu ích khi áp dụng để nghiên cứu các bài toán biên với phương
trình elliptic với hệ số không trơn. Thực chất Định lí qua núi dạng yếu
mà Dương Minh Đức đưa ra là thay giả thiết về tính khả vi Fréchet
của phiếm hàm J bởi tính khả vi liên tục yếu.
Định nghĩa 0.0.1. Cho J là một phiếm hàm từ không gian Banach
Y vào R. Ta nói J là khả vi liên tục yếu (weakly continuously
differentiable) trên Y nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau thoả mãn:
i) J là liên tục trên Y .
ii) Với mỗi u ∈ Y tồn tại một ánh xạ tuyến tính DJ(u) từ Y vào R sao
cho
lim
t→0
J(u + tϕ) − J(u)
t
=

DJ(u), ϕ

, ∀ϕ ∈ Y.
iii) Với mỗi ϕ ∈ Y , ánh xạ u →

DJ(u), ϕ


là liên tục trên Y .
Ta kí hiệu C
1
w
(Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liên tục yếu trên Y .
Rõ ràng C
1
(Y ) ⊂ C
1
w
(Y ), với C
1
(Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liên
tục Fréchet trên Y .
3
Định lí 0.0.2 (Định lí qua núi dạng yếu). Giả sử (X, ||.||
X
) là một
không gian Banach, J ∈ C
1
w
(X), J thoả mãn điều kiện Palais-Smale.
Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn các điều kiện sau:
(i) J(0) = 0;
(ii) Tồn tại các hằng số dương α, r sao cho J(v) ≥ α với mọi v ∈ X,
||v|| = r;
(iii) Tồn tại v
0
∈ X với ||v

0
|| > r sao cho J(v
0
) < 0.
Đặt
c = inf{maxJ(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v
0
}.
Khi đó, c là một giá trị tới hạn của J, tức là tồn tại u ∈ X sao cho
c = J(u) ≥ α > 0 và DJ(u) = 0.
Có thể nói trước năm 2005, chưa có nghiên cứu nào liên quan đến
việc áp dụng định lí qua núi đối với phiếm hàm khả vi liên tục yếu,
mặc dù ý tưởng này mở ra một hướng nghiên cứu điều kiện tồn tại
nghiệm yếu cho một lớp rộng lớn các bài toán biên đối với phương
trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính, mà phiếm hàm
năng lượng liên kết với nó không khả vi Fréchet. Các bài toán như
vậy được chúng tôi nghiên cứu trong luận án này.
Đối tượng mà chúng tôi đề cập đến trong luận án là sự tồn tại
nghiệm yếu của các phương trình (và hệ phương trình) elliptic dạng:
−div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1)
trong đó Ω là tập mở trong R
N
.
Một số dạng thường gặp của phương trình dạng (0.1) là các phương
trình:
−div(|∇u|
p−2
∇u) = f (x, u), x ∈ Ω (0.2)
4
và

−div(h(x)|∇u|
p−2
∇u) = f (x, u), x ∈ Ω (0.3)
trong đó h : Ω −→ R thoả mãn một số giả thiết nhất định, 1 ≤ p <
+∞. Toán tử divergent −div(a(x, ∇u)) xuất hiện trong các bài toán
khuyếch tán không tuyến tính, cổ điển nhất là mô hình toán học của
hiện tượng truyền nhiệt trong vật thể, hiện tượng truyền sóng trong
không gian, mô hình toán học của dòng chất lỏng không Newton
Phương trình dạng (0.1) với f(x, u) là một hàm phi tuyến đối với u bao
gồm nhiều mô hình toán học trong cơ lượng tử, cơ học môi trường liên
tục, lí thuyết trường, Những kết quả đạt được từ những nghiên cứu
đó vừa có ý nghĩa lí thuyết, vừa có ý nghĩa ứng dụng.
Năm 2003, P.De Nápoli và M.C.Mariani đã nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của bài toán Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic tổng
quát dạng (0.1) trong miền bị chặn Ω ⊂ R
N
có biên trơn, trong đó
hàm a : Ω × R
N
−→ R
N
, a(x, ψ) được giả thiết là đạo hàm liên tục
theo biến ψ của một hàm khả vi liên tục A : Ω × R
N
−→ R, tức là
a(x, ψ) =
∂A(x, ψ)
∂ψ
và thoả mãn điều kiện tăng dạng:
|a(x, ψ)| ≤ C(1 + |ψ|

p−1
), với x ∈ Ω, p ∈ (1, +∞). (0.4)
Hàm f : Ω × R −→ R là hàm Carathéodory và thoả mãn điều kiện
loại Ambrossetti-Rabinowitz (điều kiện A-R), tức là tồn tại hằng số
µ > p sao cho với F (x, z) =
z

0
f(x, t)dt thì
0 < µF (x, z) ≤ zf(x, z), với mọi x ∈ Ω, |z| ≥ z
0
> 0. (0.5)
Khi đó nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình (0.1) tồn
tại như là điểm tới hạn của phiếm hàm năng lượng liên kết được xác
định bởi công thức :
J(u) =

Ω
A(x, ∇u)dx −

Ω
F (x, u)dx, u ∈ W
1,p
0
(Ω).
5
Tiếp tục nghiên cứu của P.De Nápoli và M.C.Mariani, nhiều tác giả
khác đã mở rộng kết quả này bằng cách đặt các giả thiết khác nhau
lên vế phải, hoặc khi Ω là một miền vô hạn trong R
N

. Chú ý rằng, điều
kiện (A-R) (0.5) có vai trò quan trọng không chỉ đảm bảo cho phiếm
hàm J có điểm yên ngựa mà còn khẳng định rằng, mọi dãy Palais-
Smale của phiếm hàm J đều bị chặn. Tuy nhiên điều kiện này đã
ấn định lên hàm phi tuyến f(x, s) của nhiều phương trình những đòi
hỏi khá chặt chẽ làm hạn chế lớp phương trình cần quan tâm nghiên
cứu.Vì vậy nhiều nhà toán học đã cố gắng thay điều kiện (0.5) bởi
những điều kiện yếu hơn trong các nghiên cứu của mình. Đây cũng
là một trong những mục tiêu được đặt ra mà chúng tôi sẽ xét trong
chương 2 của luận án này.
Năm 2005, Dương Minh Đức và Nguyễn Thanh Vũ đã nghiên cứu
một trường hợp kì dị của phương trình elliptic tổng quát dạng (0.1),
trong đó giả thiết (0.4) của P.De Nápoli và M.C Mariani được thay bởi
giả thiết yếu hơn sau đây
|a(x, ψ)| ≤ c(h
0
(x) + h
1
(x)|ψ|
p−1
) với mọi x ∈ Ω, ψ ∈ R
N
, (0.6)
h
0
∈ L
p
p−1
(Ω), h
1

∈ L
1
loc
(Ω), h
0
(x) ≥ 0, h
1
(x) ≥ 1với mọi x ∈ Ω.
Với giả thiết h
1
∈ L
1
loc
(Ω), phiếm hàm năng lượng liên kết với bài
toán Dirichlet đối với phương trình (0.1) có thể không xác định tại
một hàm u nào đó của không gian W
1,p
0
(Ω), vì vậy nghiệm của bài
toán nói chung chỉ có thể tồn tại trong không gian con nào đó của
W
1,p
0
(Ω). Vì lí do đó bài toán (0.1) trong trường hợp này được gọi là
"bài toán biên không đều" của phương trình elliptic. Để vượt qua tình
trạng "không đều" này của bài toán (0.1) ta đưa vào một không gian
loại Sobolev có trọng được xác định như sau:
H = {u ∈ W
1,p
0

(Ω) :

Ω
h
1
(x)|∇u|
p
dx < +∞}.
6
Khi đó H là không gian Banach với chuẩn
||u||
H
=



Ω
h
1
(x)|∇u|
p
dx


1
p
và phiếm hàm J : H −→ R khả vi liên tục yếu trong H. Giả thiết (0.5)
đảm bảo mọi dãy Palais- Smale của phiếm hàm J bị chặn trong H
và thoả mãn điều kiện Palais-Smale. Do đó nghiệm yếu của bài toán
Dirichlet tồn tại trong H như là điểm tới hạn của phiếm hàm J nhờ

định lí qua núi cho phiếm hàm J khả vi liên tục yếu.
Tiếp sau đó, từ những năm 2007-2008, bằng cách áp dụng các
nguyên lí biến phân I.Ekeland, nguyên lí ba điểm tới hạn, Định lí
qua núi, nguyên lí cực tiểu của phiếm hàm, nhóm nghiên cứu Hoàng
Quốc Toàn, Ngô Quốc Anh và Nguyễn Thành Chung đã nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối
với các phương trình và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.1),
(0.3) trong miền Ω ⊂ R
N
bị chặn hoặc không bị chặn và đã công bố
nhiều kết quả quan trọng. Các tác giả trên đã nghiên cứu bài toán
biên Dirichlet, còn trong luận án này, ở chương 1, chúng tôi nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Neumann đối với phương trình
và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.3).
Các kết quả mới được trình bày trong hai chương của luận án.
Chương 1 nghiên cứu bài toán biên Neumann cho các lớp phương
trình và hệ phương trình eliptic không tuyến tính bao gồm:
Mục 1.1 xét bài toán Neumann cho phương trình elliptic không đều
tựa tuyến tính loại p-Laplacian trong miền không bị chặn





−div(h(x)|∇u|
p−2
∇u) + b(x)|u|
p−2
u = f(x, u) trong Ω,
∂u

∂n
= 0 trên ∂Ω, u(x) −→ 0 khi |x| −→ +∞
(0.7)
với p ≥ 2, Ω ⊂ R
N
(N ≥ 3), là miền không bị chặn với biên đủ trơn, bị
chặn ∂Ω, Ω = Ω∪∂Ω, n là véc tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω. f : Ω×R −→ R
7
là hàm thoả mãn một số điều kiện sẽ trình bày rõ ở phần sau, các hàm
h và b thoả mãn các điều kiện sau đây:
H) h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
B) b ∈ L
∞
loc
(Ω), b(x) ≥ b
0
> 0 với h.k. x ∈ Ω.
Mục 1.2 mở rộng kết quả đã nhận được từ mục 1.1, nghiên cứu bài
toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính, không
đều trong miền không bị chặn


















−div(h
1
(x)∇u) + a(x)u = f(x, u, v) trong Ω,
−div(h
2
(x)∇v) + b(x)v = g(x, u, v) trong Ω
∂u
∂n
= 0,
∂v
∂n
= 0 trên ∂Ω,
u(x) −→ 0, v(x) −→ 0 khi |x| −→ +∞
(0.8)
ở đó Ω ⊂ R
N
(N ≥ 3), là miền không bị chặn với biên trơn và bị
chặn ∂Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω, n là vec tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω,
f, g : Ω × R
2

−→ R là các hàm có các tính chất sẽ trình bày cụ thể ở
phần sau, các hàm h
i
, i = 1, 2 và a, b thoả mãn các điều kiện sau:
h) h
i
∈ L
1
loc
(Ω), i = 1, 2, h
i
(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
a-b) a, b ∈ C(Ω), a(x) ≥ a
0
> 0, b(x) ≥ b
0
> 0 với h.k. x ∈ Ω.
Mục 1.3 xét bài toán biên đối với hệ phương tr ình tựa tuyến tính của
toán tử p-Laplacian với điều kiên biên không tuyến tính, mà có thể
xem như một cách suy rộng của điều kiện biên Neumann


















−∆
p
u + |u|
p−2
u = 0 trong Ω,
−∆
q
v + |v|
q−2
v = 0 trong Ω,
|∇u|
p−2
∂u
∂n
= λG
u
(x, u, v) trên ∂Ω,
|∇v|
q−2
∂v
∂n
= λG
v

(x, u, v) trên ∂Ω,
(0.9)
8
với Ω là miền bị chặn biên trơn trong R
N
(N  2), 2  p, q < ∞, λ là
tham số dương. Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài
toán Dirichlet đối với lớp các phương trình elliptic không đều trong
miền bị chặn mà không đòi hỏi thoả mãn điều kiện (A-R):
Mục 2.1 Giới thiệu bài toán.
Mục 2.2 xét sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet
cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều:



−div(h(x)∇u) = f (x, u) trong Ω
u(x) = 0 trên ∂Ω
(0.10)
Giả thiết rằng:
h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
Mục 2.3 xét bài toán



−div(h(x)∇u) + a(x)u = λf(x, u) trong Ω
u = 0 trên ∂Ω
(0.11)

Giả thiết rằng:
h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω, a ∈ L
∞
loc
(Ω), a(x) ≥ 1 với h.k. x ∈
Ω, với λ là tham số dương, Ω là miền bị chặn trong R
N
(N ≥ 3) biên
trơn ∂Ω.
Nội dung của luận án được viết dựa trên 5 bài báo đã được chính
thức công bố trong các tạp chí: Bulletin Korean of Mathematic Society
(Tạp chí ISI), Acta Mathematica Vietnamica và Vietnam Journal of
Mathematics. Các kết quả này đã được báo cáo ở Hội nghị khoa học
Khoa Toán-Cơ-Tin học các năm 2008, 2010 và ở Semina Bộ môn Giải
tích Khoa Toán- Cơ -Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại
học Quốc gia Hà nội
9
Chương 1
BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH
Chương 1 chúng tôi dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về
sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Neumann cho lớp các phương
trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính. Việc chứng minh
sự tồn tại nghiệm yếu đưa về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn
của phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết nhờ định lí qua núi. Các kết
quả trình bày trong chương này đã được công bố trong các bài báo
[1],[2],[3] (xem danh mục công trình liên quan đến luận án).

1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic
tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian trong
miền không bị chặn
Giả sử Ω ⊂ R
N
(N ≥ 3) là miền không bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn,
đóng và bị chặn, ta xét bài toán sau:





−div(h(x)|∇u|
p−2
∇u) + b(x)|u|
p−2
u = f(x, u) trong Ω,
∂u
∂n
= 0 trên ∂Ω, u(x) −→ 0 khi |x| −→ +∞
(1.1)
với p ≥ 2, Ω = Ω∪∂Ω, n là véc tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω, f : Ω×R −→ R,
các hàm h và b thoả mãn các điều kiện sau đây:
H) h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
10
B) b ∈ L
∞

loc
(Ω), b(x) ≥ b
0
> 0 với h.k. x ∈ Ω.
F1) f (x, t) ∈ C
1
(Ω × R, R), f (x, 0) = 0, x ∈ Ω.
F2) Tồn tại hàm số không âm τ : Ω −→ R và hằng số r ∈ (p−1,
N + p
N − p
)
sao cho
|f

z
(x, z)| ≤ τ(x)|z|
r−1
với h.k. x ∈ Ω.
τ(x) ∈ L
∞
(Ω) ∩ L
r
0
(Ω), r
0
=
Np
Np − (r + 1)(N − p)
.
F3) Tồn tại µ > p sao cho

0 < µF (x, z) = µ
z

0
f(x, t)dt ≤ zf(x, z), với mọi x ∈ Ω, z = 0.
H là không gian con của của không gian W
1,p
(Ω), xác định bởi
H = {u ∈ W
1,p
(Ω) :

Ω
(h(x)|∇u|
p
+ b(x)|u|
p
)dx < +∞}
H là không gian Banach, có chuẩn ||u||
H
=


Ω
h(x)|∇u|
p
+ b(x)|u|
p
dx


1
p
.
Phép nhúng H → W
1,p
(Ω) là liên tục. Hàm u ∈ H là nghiệm yếu của
bài toán (1.1) nếu và chỉ nếu

Ω
h(x)|∇u|
p−2
∇u∇ϕdx +

Ω
b(x)|u|
p−2
uϕdx −

Ω
f(x, u)ϕdx = 0
với mọi ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Ta chú ý rằng nếu u
0
∈ C
∞
0
(Ω) thoả mãn điều kiện trên thì u

0
là
nghiệm cổ điển của bài toán (1.1).
Phiếm hàm năng lượng J : H −→ R liên kết với bài toán (1.1) bởi
công thức:
J(u) =
1
p

Ω
h(x)|∇u|
p
dx +
1
p

Ω
b(x)|u|
p
dx −

Ω
F (x, u)dx
11
Khi h ∈ L
1
loc
(Ω), nói chung phiếm hàm J không thuộc C
1
(H). Ta chứng

minh được J khả vi yếu và đạo hàm Gâteaux được xác định là

DJ(u), v

=

Ω

h(x)|∇u|
p−2
∇u∇v + b(x)|u|
p−2
uv

dx (1.2)
−

Ω
f(x, u)vdx ∀u, v ∈ H.
Do đó điểm tới hạn của phiếm hàm J là nghiệm yếu của bài toán.
Kết qủa chính của phần này là định lí sau
Định lí 1.1.1. Với các giả thiết F1)-F3) thì bài toán (1.1) có ít nhất
một nghiệm yếu không tầm thường trong H.
1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình ellip-
tic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn
Giả sử Ω ⊂ R
N
(N ≥ 3) là miền không bị chặn với biên trơn và bị
chặn ∂Ω, ta xét bài toán sau:


















−div(h
1
(x)∇u) + a(x)u = f(x, u, v) trong Ω,
−div(h
2
(x)∇v) + b(x)v = g(x, u, v) trong Ω
∂u
∂n
= 0,
∂v
∂n
= 0 trên ∂Ω,
u(x) −→ 0, v(x) −→ 0 khi |x| → +∞
(1.3)

trong đó Ω = Ω ∪ ∂Ω, n là vec tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω,
f, g : Ω × R
2
−→ R, các hàm h
i
, i = 1, 2 và a, b thoả mãn các điều kiện
sau:
h) h
i
∈ L
1
loc
(Ω), i = 1, 2, h
i
(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
a-b) a, b ∈ C(Ω), a(x) ≥ a
0
> 0, b(x) ≥ b
0
> 0 với h.k. x ∈ Ω.
12
G1) Giả sử các hàm F, f, g : Ω × R
2
−→ R thuộc lớp C
1
sao cho
∂F
∂u
= f(x, u, v),
∂F

∂v
= g(x, u, v), ∇F (x, w) = (
∂F
∂u
,
∂F
∂v
) với mọi
x ∈ Ω và w = (u, v) ∈ R
2
. Thêm vào đó, các giả thiết sau thoả
mãn: f(x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0 với mọi x ∈ Ω.
G2) Tồn tại các hàm không âm τ
1
, τ
2
: Ω −→ R và các hằng số
r, s ∈ (1,
N + 2
N − 2
) sao cho
|∇f(x, w)| + |∇g(x, w)| ≤ τ
1
(x)|w|
r−1
+ τ
2
(x)|w|
s−1
với h.k.n. x ∈ Ω, w = (u, v) ∈ R

2
.
τ
1
(x) ∈ L
∞
(Ω) ∩ L
r
0
(Ω), τ
2
(x) ∈ L
∞
∩ L
s
0
(Ω)),
r
0
=
2N
2N − (r + 1)(N − 2)
, s
0
=
2N
2N − (s + 1)(N − 2)
.
G3) Tồn tại µ > 2 sao cho
0 < µF (x, w) ≤ w.∇F (x, w), x ∈ Ω, w = (0, 0).

Kí hiệu
C
∞
0
(Ω) = {ϕ ∈ C
∞
(Ω) : supp ϕ compac ⊂ Ω}
và H
1
(Ω) là không gian Sobolev thông thường được xác định là bổ
sung đủ của không gian C
∞
0
(Ω) với chuẩn
||ϕ|| =



Ω
(|∇ϕ|
2
+ |ϕ|
2
)dx


1
2
.
E và G là hai không gian con của H

1
(Ω, R
2
) = H
1
(Ω) × H
1
(Ω),
E = {w = (u, v) ∈ H
1
(Ω, R
2
) :

Ω
(|∇u|
2
+|∇v|
2
+a(x)|u|
2
+b(x)|v|
2
)dx < ∞}
G = {w = (u, v) ∈ E :

Ω
(h
1
(x)|∇u|

2
+ h
2
(x)|∇v|
2
)dx < +∞}.
13
E và G là các không gian Hilbert với các tích vô hướng tương ứng như
sau:

w
1
, w
2

E
=

Ω
(∇u
1
∇u
2
+ ∇v
1
∇v
2
+ a(x)u
1
u

2
+ b(x)v
1
v
2
)dx
khi w
1
= (u
1
, v
1
), w
2
= (u
2
, v
2
) ∈ E và

w
1
, w
2

G
=

Ω
(h

1
(x)∇u
1
∇u
2
+ h
2
(x)∇v
1
∇v
2
+ a(x)u
1
u
2
+ b(x)v
1
v
2
)dx
với w
1
, w
2
∈ G. Hơn nữa, từ điều kiện h), a-b) và L
q
(Ω, R
2
) = L
q

(Ω) ×
L
q
(Ω), các phép nhúng G → E → L
q
(Ω, R
2
), 2 ≤ q ≤ 2
*
=
2N
N − 2
, là
liên tục. Ta nói w = (u, v) ∈ G là nghiệm yếu của bài toán (1.3) nếu

Ω
(h
1
(x)∇u∇ϕ
1
+ h
2
(x)∇v∇ϕ
2
+ a(x)uϕ
1
+ b(x)vϕ
2
)dx
−


Ω
(f(x, u, v)ϕ
1
+ g(x, u, v)ϕ
2
) = 0dx
với mọi ϕ = (ϕ
1
, ϕ
2
) ∈ C
∞
0
(Ω, R
2
).
Chú ý rằng nếu w
0
= (u
0
, v
0
) ∈ C
∞
0
(Ω, R
2
) thoả mãn điều kiện trên
thì w

0
là nghiệm cổ điển của bài toán (1.3).
Phiếm hàm năng lượng J : G −→ R liên kết với bài toán (1.3) như
sau
J(w) =
1
2

Ω
[h
1
(x)|∇u|
2
+h
2
(x)|∇v|
2
+a(x)|u|
2
+b(x)|v
2
|]dx−

Ω
F (x, w)dx
Kết quả chính của mục này là định lí sau
Định lí 1.2.1. Giả sử các giả thiết h), a-b), G1)-G3) thoả mãn. Bài
toán (1.3) có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong G.
14
1.3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương

của hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên không
tuyến tính phụ thuộc tham số
Trong mục này, chúng tôi mở rộng kết quả trong [?] cho hệ elliptic
tựa tuyến tính với điều kiện biên không tuyến tính như sau

















−∆
p
u + |u|
p−2
u = 0 trong Ω,
−∆
q
v + |v|
q−2

v = 0 trong Ω,
|∇u|
p−2
∂u
∂n
= λG
u
(x, u, v) trên ∂Ω,
|∇v|
q−2
∂v
∂n
= λG
v
(x, u, v) trên ∂Ω,
(1.4)
với Ω là miền bị chặn biên trơn trong R
N
, N  2, 2  p, q < ∞, λ là
tham số dương.Giả thiết rằng:
N1) G(x, u, v) là hàm Carathéodory trên Ω × [0, ∞) × [0, ∞) sao cho
G(x, ·, ·) là hàm thuộc lớp C
1
với h.k. x ∈ Ω và
G
u
(x, u, v) = f (x, u, v), G
v
(x, u, v) = g(x, u, v)
là các hàm Carathéodory trên ∂Ω × [0, ∞) × [0, ∞).

N2)
G(x, 0, 0) = f(x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0,
|uf(x, u, v) + vg(x, u, v)|  C(|u|
p
+ |v|
q
),
|G(x, u, v)|  C(|u|
p
+ |v|
q
),
với hằng số C > 0. Đặt G(x, u, v) = 0 khi u < 0 hoặc v < 0, do đó
f(x, u, v) = g(x, u, v) = 0 khi u < 0 hoặc v < 0.
N3) Tồn tại các số dương δ, t
o
, s
o
sao cho với mọi x ∈ ∂Ω
G(x, u, v)  0 khi |u|
p
+ |v|
q
 δ, và G(x, t
o
, s
o
) > 0.
15
N4) lim sup

|(u,v)|−→∞
G(x, u, v)
|u|
p
+ |v|
q
 0 đều với điều kiện x ∈ ∂Ω.
Cặp (u, v) ∈ W
1,p
(Ω) × W
1,q
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán
(1.4) nếu (u, v) thoả mãn:

Ω
(|∇u|
p−2
∇u∇ϕ + |∇v|
q−2
∇v∇ψ + |u|
p−2
uϕ + |v|
q−2
vψ)dx
−λ

∂Ω
[ϕf(x, u, v) + ψg(x, u, v)]dσ = 0
∀ϕ, ψ ∈ C
∞

(Ω)
Kết quả chính của mục này là các định lí sau:
Định lí 1.3.1. Giả sử các giả thiết N1) − N2) thoả mãn, khi đó tồn tại
số dương λ sao cho với λ < λ bài toán (1.4) không có nghiệm dương.
Định lí 1.3.2. Với các giả thiết N1) − N4), tồn tại số dương λ sao cho
bài toán (1.4) có ít nhất hai nghiệm dương phân biệt (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
)
trong W
1,p
(Ω) × W
1,q
(Ω) với λ  λ.
16
Chương 2
BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG
THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ
2.1 Giới thiệu bài toán
Trong chương này chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
Dirichlet đối với một lớp phương trình elliptic không đều trong miền
bị chặn bằng cách nghiên cứu sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm
Euler-Lagrange liên kết với nó. Như đã chú ý trong phần mở đầu,
dáng điệu của phần phi tuyến trong phương trình là khá quan trọng

trong việc khẳng định sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên.
Năm 1973, Ambrosetti và Rabinowitz trong [?] đã thiết lập sự tồn
tại nghiệm không tầm thường cho bài toán:



−∆u = λf(x, u) trong Ω
u = 0 trên ∂Ω
(2.1)
với các điều kiện chính sau:
a1) f (x, s) là liên tục trên Ω × R và f(x, 0) = 0, lim
s−→0
f(x, s)
s
= 0 đều với
h.k. x ∈ Ω.
a2) Tồn tại các hằng số dương c
1
, c
2
sao cho
|f(x, s)| ≤ c
1
+ c
2
|s|
p
, 0 ≤ p <
N + 2
N − 2

, ∀s ∈ R, x ∈ Ω.
17
a3) Tồn tại các hằng số θ > 2 và s
0
> 0 sao cho
0 < θF (x, s) ≤ sf(x, s), |s| ≥ s
0
, x ∈ Ω với F (x, s) =
s

0
f(x, t)dt.
Giả thiết a3) (điều kiện A-R) khá tự nhiên và quan trọng không chỉ
khẳng định rằng phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với bài toán
(2.1) có điểm yên ngựa mà còn đảm bảo rằng dãy Palais-Smale của
phiếm hàm Euler-Lagrange là bị chặn. Nhưng rõ ràng giả thiết a3)
hạn chế rất nhiều tính phi tuyến trong phương trình. Vì vậy nhiều
nhà toán học trong khi nghiên cứu bài toán này đã cố gắng thay giả
thiết a3) bằng một số giả thiết yếu hơn.
Hơn nữa ta để ý rằng giả thiết a3) kéo theo điều kiện yếu hơn là
F (x, s) ≥ c|s|
θ
− d, c, d > 0, x ∈ Ω. (2.2)
Điều kiện (2.2) kéo theo điều kiện yếu hơn nữa, đó là
lim
|s|−→+∞
F (x, s)
s
2
= +∞ đều h.k.x ∈ Ω. (2.3)

Costa và Magalhães đã nghiên cứu bài toán (2.1) bằng cách thay điều
kiện a3) bằng các điều kiện khác như
lim inf
|s|−→+∞
sf(x, s) − 2F (x, s)
|s|
µ
≥ k > 0 đều với h.k.n. x ∈ Ω với µ ≥ µ
0
> 0.
(2.4)
Gần đây, Miyagaki và Souto đã nghiên cứu bài toán (2.1) với các giả
thiết [a1)], [a2)], (2.3) và thêm giả thiết sau:
f(x, s)
s
tăng khi s ≥ s
0
> 0 và giảm khi s ≤ −s
0
, ∀x ∈ Ω. (2.5)
Các tác giả đã chứng minh bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm
thường với mọi λ > 0.
Mục đích của chúng tôi trong chương này là đưa ra những điều kiện
yếu hơn thay thế cho điều kiện (A-R). Chương 2 được viết dựa vào 2
bài báo [4],[5] trong phần danh mục công trình liên quan đến luận
án.
18
2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán
Dir ichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến
tính không đều

Cho Ω là miền bị chặn trong R
N
(N ≥ 3) với biên trơn ∂Ω. Chúng tôi
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không âm của bài toán Dirichlet sau:



−div(h(x)∇u) = f (x, u) trong Ω
u(x) = 0 trên ∂Ω
(2.6)
với h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω. (2.7)
Giả thiết rằng:
E1) f : Ω × R −→ R là hàm Carathéodory thoả mãn f (x, s) = 0 với
mọi s ≤ 0, với h.k. x ∈ Ω.
E2) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho |
f(x, s)
s
| ≤ C với h.k. x ∈ Ω, ∀s ∈
(0, +∞) và f tiệm cận tuyến tính theo nghĩa tồn tại β ∈ C(Ω) sao
cho β(x) = lim
s−→+∞
f(x, s)
s
đều với h.k. x ∈ Ω.
Chú ý 2.2.1. Từ giả thiết E2) ta có thể suy ra rằng điều kiện a3)
không thoả mãn đối với hàm f(x, s).
K là không gian con của H

1
0
(Ω)
K = {u ∈ H
1
0
(Ω) :

Ω
h(x)|∇u|
2
dx < +∞}.
K là không gian Hilbert với chuẩn ||u||
2
K
=

Ω
h(x)|∇u|
2
dx và tích vô
hướng

u, v

K
=

Ω
h(x)∇u∇vdx, u, v ∈ K.

Phép nhúng K → H
1
0
(Ω) → L
q
(Ω) với 2 ≤ q ≤ 2
*
=
2N
N − 2
là liên tục.
Phép nhúng K → L
2
(Ω) là compac. Ta nói u ∈ K là nghiệm yếu của
19
bài toán (2.6) nếu

Ω
h(x)∇u∇ϕdx −

Ω
f(x, u)ϕdx = 0 (2.8)
với mọi ϕ ∈ K. Ta xây dựng phiếm hàm năng lượng J : K −→ R liên
kết với bài toán (2.6) như sau
J(u) =
1
2

Ω
h(x)|∇u|

2
dx −

Ω
F (x, u)dx, ∀u ∈ K (2.9)
Kết quả chính của mục này là định lí sau
Định lí 2.2.1. Giả sử các giả thiết E1)-E4) thoả mãn. Khi đó bài toán
(2.6) có ít nhất một nghiệm yếu không âm không tầm thường trong
không gian K.
2.3 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirich-
let đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính
không đều có tham số
Chúng tôi nghiên cứu nghiệm yếu của bài toán sau



−div(h(x)∇u) + a(x)u = λf(x, u) trong Ω
u = 0 trên ∂Ω
(2.10)
với Ω là miền bị chặn, biên ∂Ω trơn, bị chặn trong R
N
(N ≥ 3), λ là
tham số dương và các hàm h, a thoả mãn
H) h ∈ L
1
loc
(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω, (2.11)
A) a ∈ L
∞
loc

(Ω), a(x) ≥ 1 với h.k. x ∈ Ω.
H
1
0
(Ω) là không gian Sobolev thông thường với chuẩn
||u|| =



Ω
(|∇u|
2
+ |u|
2
)dx


1
2
.
20
Ta xét không gian con M của H
1
0
(Ω) sau đây:
M = {u ∈ H
1
0
(Ω) :


Ω
(h(x)|∇u|
2
+ a(x)|u|
2
)dx < +∞}.
M là không gian Hilbert với chuẩn sau
||u||
2
M
=

Ω
(h(x)|∇u|
2
+ a(x)|u|
2
)dx
và tích vô hướng

u, v

M
=

Ω
(h(x)∇u∇v + a(x)uv)dx, u, v ∈ M.
Theo giả thiết (2.11) ta có
||u||
H

1
0
(Ω)
≤ ||u||
M
, u ∈ M (2.12)
và các phép nhúng M → H
1
0
(Ω) → L
q
(Ω) với 2 ≤ q ≤ 2
*
=
2N
N − 2
là
liên tục. Hơn nữa, phép nhúng M → L
2
(Ω) là compact.
Định nghĩa 2.3.1. Hàm u ∈ M được gọi là nghiệm yếu của bài toán
(2.10) nếu và chỉ nếu

Ω
(h(x)∇u∇v + a(x)uv)dx − λ

Ω
f(x, u)vdx = 0 (2.13)
với mọi v ∈ M.
Để đi đến kết quả, chúng tôi đưa vào các giả thiết sau:

I1) f (x, s) ∈ C(Ω × R, R) và tồn tại r hàm không âm τ
j
, j = 1, 2 r
với h.k. x ∈ Ω, τ
j
(x) ∈ L
p
j
0
(Ω) với p
j
∈ (1,
N
N − 2
), j = 1, 2 r và
p
j
0
=
2N
N − p
j
(N − 2)
sao cho
|f(x, s)| ≤
r

j=1
τ
j

(x)|s|
p
j
, với h.k. x ∈ Ω, s ∈ R.
21
I2) Đặt F (x, s) =
s

0
f(x, t)dt. Khi đó tồn tại các hằng số dương α, β, q
với 2 < q < 2
*
sao cho
lim sup
|s|→+∞
F (x, s)
|s|
q
≤ α < +∞ đều với h.k. x ∈ Ω
lim inf
|s|−→+∞
F (x, s)
|s|
2
≥ β đều với h.k. x ∈ Ω
I3)
lim inf
|s|→+∞
sf(x, s) − 2F (x, s)
|s|

µ
≥ b > 0
đều với h.k. x ∈ Ω với max{1,
N(q − 2)
2
} < µ < q.
Chú ý 2.3.1. Từ giả thiết I1), I2) ta có
N(q − 2)
2
< µ < 2
*
. Khi đó nếu
1
q
=
1 − δ
µ
+
δ
2
*
, (0 < δ < 1) thì qδ < 2.
Chú ý 2.3.2. Ta lấy ví dụ sau
F (s) = s
2
ln(1 + |s|)ln|s|
f(s) = F
’
(s) = 2sln(1 + |s|)ln|s| +
s|s|

1 + |s|
ln|s| + sln(1 + |s|).
Khi đó ta có
lim
|s|−→+∞
F (s)
|s|
q
= 0 với q > 2.
lim
|s|−→+∞
F (s)
s
2
= +∞.
lim
|s|−→+∞
sf(s) − 2F (s)
|s|
2
= +∞.
Ở đây, điều kiện I2) thoả mãn với mỗi α > 0 và β > 0, điều kiện I3)
thoả mãn với mỗi b > 0 và µ = 2. Tuy nhiên điều kiện Ambrossetti-
Rabinowitz trong a3) không thoả mãn.
Kết quả chính của phần này thể hiện ở định lí sau
22