Luận văn thạc sĩ toán các phương pháp hàm spline và một số ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
HÀ NỘI 2
LÃ THỊ NGỌ
CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT
SÓ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN HÀ
NỘI, 2015
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Tuấn.
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời, tác giả cũng
xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại hoc sư phạm Hà Nội 2 cùng với
các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp trong trường THPT
Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơi tác giả đang công tác) đã luôn cổ vũ, động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 201Ậ Tác giả
Lã Thị Ngọ
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự
trân trọng biết ơn.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả
Lã Thị Ngọ
LỜI CAM ĐOAN
Mục lục
3
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
z

Tập các số nguyên
R Tập số thực
С Tập số phức
s
3
Không gian các hàm Spline bậc 3
С^[о;
Ь]
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; Ö]
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán cần phải tính được giá trị của
hàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm của một số hàm gặp rất nhiều
khó khăn ví dụ như hàm số mũ, hàm lượng giác, hàm số logarit, Để giải quyết vấn đề này người ta
đã nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó phương pháp hàm Spline đang được nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Áp dụng hàm spline và phương pháp nội suy để
xấp xỉ hàm số người ta chia khoảng xác định thành nhiều đoạn, trên mỗi đoạn ta xấp xỉ bằng một hàm
spline, từ đó ta xấp xỉ được hàm số đã cho.Tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm bằng phương
pháp hàm Spline rất thuận lợi vì nó là những hàm đa thức nên việc tính toán, lập trình với hàm đa thức
rất thuận tiện và dễ dàng.
Do vậy, với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã nghiên cứu luận văn: “ Các phương pháp
hàm Spline và một số ứng dụng”.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản để sử dụng cho các chương sau.
Chương 2 của luận văn trình bày về các khái niệm và tính chất của hàm spline và B-spline.
Chương 3 của luận văn trình bày về nội suy hàm spline và ứng dụng phần mềm Maple
vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline, ứng dụng hàm Spline để tính giá
trị của hàm số tại một điểm và mộtsố ứng dụng

khác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline.
Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline.
ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính
chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ một lớp hàm có nhiều
ứng dụng trong thực tế.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian tuyến tính
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi viết theo
lối cộng (+) và một ánh xạ ìj} : K X X —» X.Với mỗi a £ K và mỗi X
Xthì
phần tử ỉp(a, X) được gọi là tích của số a với phần tử X và được kí hiệuax.Giả
sử các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1) X + y = y + X, Vx, y e X;
2) (x + y) + z = X + (y + z),Vx,y, z e X;
3) Tồn tại duy nhất phần tử 6 sao cho X + 6 = 6 + X, 'ix £ X (phần tử
này gọi là
phần tử không);
4) ứng với mỗi phần tử X e

X, tồn tại duy nhất phần tử —X e

X sao cho x+(—
x) =

9 phần tử (—x) được gọi là phần tử đối của x;
5) 1 ■ X = X , Va: Ễ X ;
6) a ( / 3x ) = ( a / 3) x , Va,

/3 e

K ,V x e X ;
7)

(a +

ị ì ) x = a x + ị ì x , V x E X , a ,

/3 €

K ;
8) a{x + y) — ax + oty, Vx, y £ x,a £ K;
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường số
thực
hoặc trường số phức và mỗi phần tử Vx € X được gọi là một vectơ; còn các điều
kiện
trên gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng thực R
2

Tập X = M
2
là tập
M

2
= {(

21,

22) :

Xx và x
2
ỉà các số thực}
Với mỗi số thực a và các vectơ X — (xi,x
2
),y = (y
1
,
2
/
2
) £ X, phép cộng và
nhân vô hướng được định nghĩa:
x + y = (x
1
+ yi,x
2
+ y

2
)
OLX = (ax!, ax
2
)
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.2. Không gian C[a,b]
Không gian C[a,b] là không gian các hàm liên tục trên [a, 6].
Với mỗi số thực a và ) € C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được
định
nghĩa:
(/ + 9Ì(t) = f(t) + g(t), a < t < b (■af)(t) = af(t)
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.3. P
n
[a,b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a,b] là không gian
tuyến tính.
1.1.2Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính.
Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ Xi,z
2
, ■ ■ ■, x
n
e X là một tổng có
dạng:
a
1
x
1
+ a

2
x
2
+ + a„x
n
Các vectơ Xi, x
2
, ■, x
n
đượcgọi là độc lập tuyến tính nếu
Oi\X\ Oí2%2 “t
-
• • • “t”
=
0 ^ Oi\
=
OÌ2 — • ■ •
=
Oi
n
—= 0
Các vectơ Xi,

x
2
, ■ ■ ■, x

n

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc
lập tuyến tính, tức là tồn tại những số «
1
, a
2
, ■ - ■, a
n
trong đó có ít nhất một số khác
0, sao cho:
ot\Xi + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
= 0
Ví dụ, hai vectơ X và (—x) là phụ thuộc tuyến tính vì :
1 ■ X + 1 ■ (—x ) = 0
Nếu trong các vectơ x
1 }
x
2
, ■ ■ ■, x
n
có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính.
Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian к chiều nếu trong X có к vectơ độc lập
tuyến tính và không có к + 1 vectơ độc lập tuyến tính.

Trong trường hợp này một tập к vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó.
Các không gian к chiều, với к là một số nguyên không âm bất kì gọi là không gian hữu hạn
chiều.
Một không gian vô hạn chiều tức là sao cho với mọi к đều tìm được к vectơ độc lập tuyến tính
của nó.
Ví dụ 1.1.4. M.
k
= ĩ
a
k) I
a
i £ là không gian к chiều, vói cơ sở là:
X
1
= (1,0, ,0),z
2
= (0,1,0, ,0), = (0,0, , 1)
Không gian M[a,ò] là vô hạn chiều vì với mọi к ta luôn có к phần tử của nó độc lập
tuyến tính, đó là:
X
1
(t) = t,x
2
(t) = t
2
, .,x
n
(t) = t
n
Nếu X là không gian к chiều và x

1
,x
2
, ,x
k
là một cơ sở của nó thì mọi X thuộc X đều được
biểu diễn duy nhất dưới dạng
X = а.
г
х
1
+ «
2 ^ 2
+ + a
k
x
k
Các số ai, а 2,

,a
k
là tọa độ của vectơ X



đối với cơ sở X-L,

x
2
, , x

k

.



Nếu ta làm phép ánh
xạ 1 - 1 : Ï о («
1
, a
2
, ■ ■ ■, a
k
) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và ж
к
. Như vậy không gian tuyến
tính к chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian M
fc
.
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không
gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhẵn phần tử
với một số, nghĩa là:
1) Ух,у£М=>х + у£М.
2) Ух e M,a e M =► ax G M.
Cho A là một tập con bất kì, khác rỗng của X. Khi đó, bao giờ cũng có ít nhất một không gian
con bao hàm A, đó chính là X. Vậy họ các không gian con bao hàm
A khác rỗng, giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con và là không gian con nhỏ nhất
bao hàm A. Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A.
Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu

hạn:
OL\X\ + a
2
x
2
+ • ■ • + Oỉ
k
x
k
của những phần tử của A.
1.2 Không gian định chuẩn
1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Một không gianđịnh chuẩn là mộtkhông gian tuyếntính X,trong
đó ứng với mỗi phần tử X Ễ X, ta có một số ||a;||, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi
x,y £ X, và mọi số a thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) ||x|| > 0 nếu X Ỷ 0; ll^ll = 0 nếu X = 0.
2) IICKÍC|[ = |a| • ||a;||.
3)

lịa; + y\\ < ||x|| + ||g/|| (bất đẳngthứctam giác).
Ví dụ 1.2.1. Không gian R
2
là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:
||x||
2
= \ịx\ + xị Ngoài ra
còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:
ll^lll = l^ll + 1^21
hay
IMIoo = max{|a;i|, |z

2
|}
trong đó X = (xi,x
2
) € M

2

.
Ví dụ 1.2.2. Không gian C[a,b] = {/ : [a,b] —> R I/ liên tục trên [a,&]} là không gian
định chuẩn với chuẩn
||/(í)|| = max |/(í)|
a < t < b
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn mil và ||||
2
. Hai chuẩn này
được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho:
7тгIIiCiII < lịíCaII < A^ll^ill, Vx Ễ X .
Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:
11*2

11
< ( 2 I M I L )
1
=
Mặt khác:
9
||ж||оо = max{|ii|, |rr
2
|} < (xỊ + xị) 2 = ||ге||

2
.
Do đó chọn M = V2, m = 1, ta có:
IMIoo < ll^lb < л/гЦгЦоо.
1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian định chuẩn và {^nlỉ^Li с X,x
0
€ X.
1) x
n
—> XQ (dãy x
n
hội tụ tới x
0
) có nghĩa là II— IoII —> 0.
2) Nếu x
n
—> x
0
thì ||гс„|| —> ll^oll, tức là chuẩn ||ж„|| là một hàm liên tục của X.
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x
n
hội tụ thì 3M e M, M > 0,Vn, ||a:„|| < M.
4) Nếu x
n
—> XQ , y
n
—> y
0
thì x

n
+ y„ —> x
ữ
+ y
0
.
5) Nếu x
n
—> Xo,a
n
—> a
ữ
thì x
n
a
n
—> x
0
a
0
, V{a„}~
=1
с M,a
0
e M.
6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {x
n
} с X sao cho:
lim ||x
n

— x
m
II = 0.
m, n - ¥

00
Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: ||Æ„ — 2J
m
|| —»
0 kéo theo sự tồn tại XQ g X sao cho x
n
—> Xo, thì không gian đó được gọi là không gian đủ
thường gọi là không gian Banach.
Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường không biết chính xác giá
trị của một đại lượng nào đó. số liệu ban đầu mà ta có trong các bài toán trên được gọi là số gần đúng.
Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải
quyết bài toán. Do đó đi nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt
buộc trong việc giải bài toán.
Định nghĩa 1.2.3. số a được gọi là số gằn đúng của số a
1
nếu a sai khác với a* không
nhiều.
Kí hiệu а « а*.
Định nghĩa 1.2.4. Đại lượng А = \a — a*| được gọi là sai số thực sự của a.
Nói chung ta không biết a* nên ta không biết A. Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự
1 Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a* là không duy
nhất.
• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
của a bằng số dương Да > 0 sao cho:
|а - а*| <д

а
. (1.1)
Định nghĩa 1.2.5. số Да nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.1) gọi là sai số tuyệt đối của số
gần đúng a.
Khỉ đó a* = a ± Aa.
X Да
Đinh nghĩa 1.2.6. Sô oa = —— đươc дог là sai sô tương đôi của a.
|a|
Ví dụ 1.2.3. Giả sử а* = 7Г và а = 3,14.
Do 3,14 < 7Г < 3,15 = 3,14 + 0, 01 nên ta có thể lấy Aa = 0, 01.
Do 3,14 < 7Г < 3,142 = 3,14 + 0, 002 nên ta có thể lấy Да = 0, 002.
Ví dụ 1.2.4. Do độ dài đoạn thẳng AB và CD ta thu được а = 10m ± 0,01m;ò = 1 m ± 0, 01
m.
Khi đó, ta có: ỗa = —— = 0,1%; ôb = —— = 1%.
10 1
Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy
chúng có cùng sai số tuyệt đối Aa = Ab = 0, 01 m.
1
1
1.2.4Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.2.7. Cho X ỉà không gian định chuẩn với chuẩn II II, M с X và p Ễ X. Điểm
y
0
£ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu:
IIp -
2
/
0
II < lb - y\\^y e M
xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất.

Ví dụ về sự không tồn tại xấp xỉ tốt nhất.
Cho X = R
2
, M = (x, 0) : X Ф 0,p = (0,1) thì trong trường hợp này không có xấp xỉ tốt nhất
từ M tới p.
Ví dụ về sự không duy nhất xấp xỉ tốt nhất:
Cho X = R
2
, M = (1, y) : y € R и (— 1, y) : y G м.,р = (0; 0). Trong trường hợp này tồn tại
hai xấp xỉ tốt nhất

Zi =

(—1, 0),

z

2

=

(1, 0).
Định lý 1.2.1. Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn II II và X
N
là không gian con
hữu hạn chiều của X thì với mỗi X e X tồn tại xấp xỉ tốt nhất X
N
£ X
N
, tức là:

I I ж — a ; j v I I = m i n
1
| я —
y
I I
yêx
N
Chứng minh. Lấy ~z £ X
N
và đặt d = ||x — z||
К = z e X
N
: ||a; — z\\ < d
Từ ||a;|| là hàm liên tục của X nên к là tập đóng và bị chặn. Mà к là không gian hữu hạn chiều
nên к compact.
Đặt g(z) — ||x — z\\, z Ễ К. Khi đó, g là hàm liên tục của
Do К compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm X
N
£ к.
Vậy ||x — Zjvll = min
yeíf
\\x — y\\. □
1.2.5Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, 0], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia Xi, i

= 0,

n

thỏa

mãn:
Đặt h =
n
Giả sử X



là nghiệm đúng và X*



là nghiệm xấpxỉcủa phương trình đã cho (theo
phương pháp gần đúng nào đó). Nếu có:
1
2
IIX — £*11 = 0
(h
k
) thì X*



được gọi là hội tụ bậc k



về nghiệm X.
1.2.6 Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.2.8. Cho ma trận vuông A = (ữịj)?j=i-
Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong

hai tính chất sau:
® y ' j — l ị 1 ^ I ® i i 1 J 1 J ^ 3 - ■ - 3 ^ 5
• Ỵ 2 ị — 1 ịỶ j I I ^ I
a
i i I ’ ^ 1, 2 , . . . ,T l.
Định lý 1.2.2. Ma trận Ả có tính chất đường chéo trội thì Ả không suy biến.
Khi đó hệ phương trình
ũnXi + dl2'^ 2 + • • • + a
l n
x
n
= Ị/i
«21^1 + 0, 22X2 + • • • + 0 , 2 n
x
n
=
ỉ/2
CLn lX - í "i“ d
n
2X 2 '' ' "i“ ũnn^ỉi U n
luôn có nghiệm.
Đặt ma trận A = (a
i j
)ị
j = 1
,y = (yi,y
2
, ■ ■ ■ ,y
n
)

T
, ta được phương trình Ax = y luôn có
nghiệm.
1.3 Không gian Hilbert
1.3.1 Mở đầu
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một không gian tuyến tính.
Ánh xạ 'ệ ■. X X X —>■ M thỏa mãn các điều kiện:
1. ĩỊ}(x,x) > 0,Vx € X;
1
3
2. ĩỊ)(x, x) = 0 X = 6;
3. ĩị ) ( x , y ) = i p ( y , x ) ,V x , y e

X ;
ị . ỉ p ( a x 1 +

 x
2
, y ) = a ' ệ { x
í
, y ) + P ỉ p ( x
2
, y ) ,V x
1
, x
2
, y £ X v à Va,/ỉ e R.
được gọi là môt tích vô hướng trên X, còn iỊ){x, y ) được gọi là tích vô hướng
của hai phần tử x,y và thường được kí hiệu là (x,y).
Nhận xét. Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một tích vô hướng (-),khi

đó ánh xạ II • II : X —> M xác định bởi ||z|| = -ự(x,x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là
một không gian tuyến tính định chuẩn.
Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh



bởi tích vô hướng.
Từ đó có ánh xạ d : X X X —> R xác định bởi:
d(x, y) = \\x - y\\ = - y,x - y)
là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric. Khoảng cách d vừa xác định
được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô hướng.
1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.2. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (•) . Nếu cùng với
khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà

( X, d

) trở thành một không gian

metric
đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng (•) được gọi là một không gian Hilbert.
1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.3.3. Hệ vô hạn các phần tử {Xj}jgj thuộc không gian tuyến tính X được gọi
là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn các phần tử của nó là độc lập
tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian Hilbert. Hệ các phần tử {e
Ể
}
ie
j của X được gọi

là trực chuẩn nếu:
Định lý 1.3.1. Giả sử {Xj}jgj là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert X.
Khi đó có thể xây dựng được một hệ {ej}jgj trực chuẩn.
X
1
Thật vậy: Đặt ei = -—~rr,y2 = %2 — (X2,ei)e
1
và e
2
Giả sử đã có ei, e
2
, • • • , e
fc
_i.
nếu i = j
nếu i Ỷ j
II1/
2
1
4
Ta đặt y
k
= x
k
- ^£*=
1
1
(x
fc
,e

Ể
)^e
Ể
và e
k
= jj^jp
Khi đó h
ê {ejiei là hoàn
toàn xác định (vì nếu tồn tại một tỉ số k sao cho ||y
fc
|| =
0
y
k
= 6 thì dẫn đến hệ {x\, x
2
, • • ■ , £fc-i} là
phụ thuộc tuyến tính, trái với giả thiết). Dễ thấy: (ei, ei) = 1.
Xét (e
2
, ei) = ( -p—, ei ) = 7^—r(y
2
, ei) =
7 7
^
1 7 ( ^ 2
- (x
2
, ei).ei, ei) = ■
7 7

^y[(x
2
, ei) -
V I I 2 / 2 I I / I I 2 / 2 I I I I 3 / 2 I I I I 2 / 2 I I
(^2,ei)]
Vậy có (e
2
,e
1
) = 0. Dễ thấy (e
2
,e
2
) = 1.
Bằng quy nạp toán học ta thấy với k > h:
Tri.'^k y

1 ^h)
Từ đó (e*, e
h
) = 0, với k > h, ngoài ra (e
k
, e
k
) = 1 là rõ
ràng. Như vậy hệ {e
Ể
}
Ểe
j là hệ trực chuẩn.

Quá trình xây dựng hệ {ej}jgj từ hệ {Xj}jgj độc lập tuyến tính như trên được gọi là quá trình trực
chuẩn hóa Hilbert - Schmidt.
Ví dụ 1.3.1. Xét X = M”, với X = (x
1 :
,x
n
) € M
n
,y = (yi, ,y
n
) Ễ M
n
;
đặt (x,y) = Yl
n
=
i
x
iUi-
Có thể thấy R” cùng với tích vô hướng được xác định như trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.

Xét X = L

2

[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn
[a,b] bao gồm các hàm thực xịt) xác định, bình phương khả tích trên [a,b]
sao cho:

b
p(t)x
2
(t)dt < +00
trong đó p(t) là hàm trọng p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện: xác định
và khả tích trên [a,b],p(t ) > 0 trên [a,b] và p(t) = 0 chỉ trên một tập có độ đo 0). Ta
trang bị trên L
2
[a,b] một tích vô hướng bằng cách đặt: với x(t),y(t) Ễ L
2
[a,b] thì:
b
(x,y) = Ị p(t)x(t)y(t)dt
a
(có thể thấy tích phân này tồn tại hữu hạn Vx(t),y(t) € L
2
[a,b] do bất đẳng thức
Bunhiacopski dạng tích phân).
Không gian L
2
[a, b] với tích vô hướng vừa xác định là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.3. Xét trường hợp cụ thể của L
2
[a,b] ở trên với a = —1,6
= 1, pit)

= 1, và xét hệ đa thức Xi(t) = 1 ,x
2
(t) = t,x
k

(t) = í*
-1
, k ^ 2. Hãy trực giao
hóa hệ (x
fc
(í)} nói trên tương tự quá trình trực chuẩn hóa
Hilbert - Schmidt (chính xác đến một hằng số nhân).
Nhăn thấy: ||a:i II — 2, 6i — 77—77,
11*1 II
nên y
2
= x
2
= í, Ví € [-1,1].
Vậy có (e
2
,e!) = 0. Dễ thấy (e
2
,e
2
) : Bằng quy
nạp toán học ta thấy với ì
( ^ k ĩ ^ h ) ( 7 775^/1) 77 Ũ~(ỉ/ fc5 )
\ \ \ y k \ \
/ l l ỉ / k l l
llỉ/kll
ờ
■
■
1

5
1
í
1
1

1
Vậy \\y
2
\\ = [ ĩ t . t d t ^ t
3
'-1 3 -1
[-1,1]- thay số ta có ei = —. Dễ thấy (x
2
,ei) — f tdt — 0
2
2 / 3
= Z
3
- [(x
3
,ei)ei + (X3,e
2
)e
2
], thay số được:
Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩnịeị}. Tuy nhiên do ta chỉ
quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhăn mỗi ej với một hằng số thích hợp
để được một vecto mới, vẫn kí hiệu là e
Ể

nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau:
Hệ đa thức {ej(í)}
ieN
. trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực giao
Legendre.
1.3.4Một số kết quả cơ bản
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử X là không gian Hilbert,

còn {ei}“,! là hệ trực chuẩn trong X .
Với mỗi X € X, ta xét S
n
=
c
i
e
iì với C ị = (x,Ẽi ), thì S
n
được

gọi là tổng Fourier của X và
các Cị là các hệ số Fourier của X đối với hệ {eị}^! Nếu lim II Sn — a: II =
n—

y < x
1
6
1
.
v.v
1

3
2/3 = t
2
2

/ 2
— từ đó có
3 V 5
rút gọn có:
II
2 / 3
=*■ IMI
e
4
(í
ei (í) =
1
, e
2
(t) = t,e
3
= ^(3-t
2
-
1
) ht
3
- 3/ as/
4
- 301

2
+ 3
0 thì người ta nói tổng Fourier S
n
hội tụ đến X và viết: X = Y^°Li(x, e i ) e i .
Định lý 1.3.2. Cho không gian Hilbert X và là một hệ trực chuẩn của nó. Khi
đó các phát biểu sau tương đương:
1
7
2. Ух е X, ||ж||
2
=
е
г)
2
3. Nếu Z là một phần tử trong X sao cho (z, eị) = 0, Vi G N* thì z = в.
ị. Bao đóng của không gian con sinh bởi trùng với X.
Chương 2
MỘT số VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ
*
B-SPLINE
2.1 Mở đầu về hàm splỉne và B-spline
2.1.1Tổ hợp lồi và bao lồi
a) Tổ hợp lồi
Định nghĩa 2.1.1. Cho c
1
,c
2
là hai số, X e [0; 1]. Khi đó, số
c= (1- A).

C1
+ A.C
2
(2.1)
gọi là tổ hợp lồi của hai số Ci và c
2
. Trường hợp đặc biệt, có thể chọn trung bình cộng
của Ci và c
2
, tức X — 1/2.
Trong R

2

J

cho Ci = (zi,ỉ/i),C

2 =

(x
2
,y2) với Xi,yi Ẽ

R|i

=
1,2.

Tổ hợp lồi của hai

điểm c
1
,c
2
làcác điểm c{x\y) được xác định như sau:
(■c) = {c(x, y ) \x = (1 - A)a:i + Xx
2
, y = (1
- X ) y i + X y
2
}
0 < A < 1
Đe thuận tiện ta quy ước kí hiệu
c = (1 — A)ci + Ac
2
(2-3)
thay cho giải thích (2.2)
b) Bao lồi của một tập hdp các điểm
Định nghĩa 2.1.2. • Bao lồi của hai điểm:
Trong không gian M
2
, cho Ci = {xi,yi),c
2
— (x2,y2),xi,ĩji ẼR|i= 1,2. Tập hợp
1
8
Hình 2.1: Tỏ hợp lồi của Cl và c
2
các điểm с thỏa mãn: с = (1 — A). Cl + A.c
2

, (với о < A < 1) gọi là bao lồi của hai
điểm Cl và c
2
.
Bao lồi của n điểm:
Giả sử (Cj)"
=1
là n điểm trong M
2
. Bao lồi của n điểm là tập hợp các điểm с
n
thỏa mãn: с = Ai-Ci + Л
2
.c
2
+ + A
n
.c
n
, với n số Aj, thỏa mãn ^2 Aj = 1 và
i= 1
О < Aj < 1, i = 1, 2 , n.
a, hai điểm
c, bén điểm d, năm điểm
1
9
Hình 2.2: Bao lồi của 3 điểm Cl, C 2, С з
b, ba điểm
Hình 2.3: Bao lồi (phần được bôi đen) của cắc điểm (cấc chấm đen)
2.1.2Các kháỉ niệm cơ bản

Cho hai điểm Co = (xosỉ/o) và Ci = (xi, yi), Xi, Ui eM,i = 0,l. Gọi AB là đoạn thẳng đi qua
Co và Ci thì đoạn thẳng AB là bao lồi của hai điểm trên. Phương trình của đoạn thẳng AB là:
j
1
= *„ + (*,- *„).A f , - ( 1 - A ) „ + „ A
; A e
l y = Vo + (yi - 2/o)A [ y = (1 - X)yo + yiA.
ĐặtA=^^-,te[to;t,]=M-A = l
t_í
°
íl_í
Í1-Í0 t i - t o ti
- to
11
2
0
( _ ti-í , í-ío
Ía; = x
0
-ị —Xi
%-Jỉ *Ì I ỊỊ
Kí hiệu:
g(*|c
0
,ci;*
0
,*i) = ^

—7 C o +

r


tữ

.

Cl

(2.5)
11 — ị 0 ti — ZQ
với t

Ễ [íũ,íi] ,Ví
0
,íi ẽ Biểu thức trong 2.5 là một tổ hợp lồi của c
0
và C\.

Nếu đặt
Л = — thì 2.5 sẽ trở thành 2.3. Từ 2.5 có thể biểu thị phương trình đường thẳng
ti —

t
0
AB
X
1 ~
X
,

X - x
0
У = f { x ) = — -V ữ + — -У 1
— x
0
X i — x
0
với (x-,y) £ АВ,А(хо]уо)]В(хйу
1
).
2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức
a) Nội suy bậc hai của ba điểm
Giả sử c
0
,c
1
;c
2
G Mlà ba điểm đã cho, (tj)j
= 0
là các số thực cho trước.
Đặt

q
0 ; 1
(t)

=

q(t\c
0
, Ci,t
0
, íi) =

—

*

c
0
+
t (

'



Cl

C l — í
0
ti — t o
Ĩ2
—
Ï0 *2 ĩũ Ĩ2
—
*0 *2 ĩũ
9o,2 (Í

2
) = (?1,1 (Í
2
) = C
2
Ta nói g
0
2(í) là
đường cong bậc hai 2 nội suy qua ba điểm c
0
, Cl, c
2
b) Nội suy đa thức bậc cao
• Nội suy đa thức bậc ba.
Giả sử (Cj)?
=ũ
là các điểm đã cho, gọi t = (ti)ị
= Q
,tị Ễ R là các tham số cho trước. Khi đó qo2(t)
là đường cong bậc hai nội suy cho các điểm C
0
,CI,C
2
và qi2(t) là đường cong bậc hai nội suy
cho các điểm

CI,C

2

,C

3

thì:
< 7 o , 3 ( t ) = -< Z o
,2
( t ) + -9 i , 2 ( í )
í
3
— ĩ
0
Ĩ3
—
^ 0
là đường cong nội suy bậc ba cho bốn điểm C
0
,CI,C
2
,C
3
.
2
1
• Nội suy đa thức bậc d
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử d E N,(ci)f
= a
là các điểm đã cho, Ẽl,í =
0,d), là các tham số cho trước.
Từ định nghĩa nội suy bậc hai, bậc ba ta có thể xây dựng định nghĩa nội suy

bậc
d, bằng quy nạp. Cụ thể đặt:
Qo,d (t) = -Qo,d—1 (t) + (2-6)
ĩd ~ *0 *d ~ to
thì q o d ( t ) là đường cong bậc d. (Đồ thị của đa thức bậc d đi qua Cị,i = 0,d)
Ta xây dựng thuật toán tìm q
0
d{ì) như sau:
Thuật toán 2.1.1 (Phương pháp Neville-Aitken).
Bước 1: Tính q
i 0
(t)
Bước 2: Sử dụng công thức quy nạp lần lượt tìm <7i
1
Ỉ <7i
2
-”
9
i đ như sau:
< l i , r ( t ) =
t i + r

~ l

q i , r - i ( t ) + 7~~7 Q i + i , r - i ( t )
tị + r ^ị + r vị
Với * = 0,1, d — r và r — 1, 2, d.
Các phép tính liên quan tới thuật toán tính q
0
d(t)

được tóm tắt như sau:
2.1.4Xây dựng đường cong splỉne
a) Spline tuyến tính
Định nghĩa 2.1.4. 1. Cho hai điểm Ci và c
2
và các tham số (ti)ị
=
2 với ti tùy ý,
^2 ^ ^3; độitl
p(t\ci, c
2
; t
2
,t
3
) = - —Ci + - —C2,t £ [t
2
, Í
3
];
Í
3
— Í
2
Í
3

—
Í

2
thì p(t\ci, C2',t
2
,t
3
) là đoạn thẳng qua c
1
,c
2
.
2. Cho (Cj

)"
=1


là TI điểm cho trước. Chọn (tị ) ^2 với tị <

tị+iỉi = 2,71
3ỈCLC đinh.
p(t\c
1
,c
2
-,t
2
,t
3
) ,t € [t
2

,t
3
) p(í|c
2
,c
3
;í
3
,í
4
) ,t € [i
3
, Í4)
f(t) =
w
p I c
n
— 13 c
n
Ị t
n
, t
n
_j_ 1 ) , t € ịt
n
, t
n
_j_ 1 ]
Thì f(t) là spline tuyến tính nội suy các (Cj) đã cho. Các điểm
(Cj)"

=1
là các điểm điều khiển, (tị)ị=2 99
l
là
c
®
c
điểm nút.
2
2
(2.7)
c,
ụ
-11
3
Hình 2.4: Tính
toán một điểm
trên đường cong
nội suy bậc ba
1 - *
*
Ví
dụ
2.
1.
1.
V
ổi
t
2

=
0,
t
3
=
1,
ta
có
P(
t|
c
l5
c
2
;
0,
1)
=

+
qo
:
3
c
«t
o
—
c
2
=

(1
(c
2
-
C!
))í
+
Ci,
v
ới
t
e
[0;
1]
Ví
dụ
2.
1.
2.
V
ới
t
2
=
Q
,h
=
+ C2Í
—
0,

5,
*4
=
1,
cd
;
P(Í
|
CI,
C
2
;
0;
0,5
;) ,
Í €
[0;
0,5
)
m
=
p
(í|
c2
,c
3
;
0,
5;
1)

,í
e
[0,
5;
1)
V 0,5 - t t - 0
P
i
=
{