Luận văn thạc sĩ toán định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGHĨA
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHAT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ KIM SƠN
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Kim Sơn, cô đã tận tình chỉ bảo, định
hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình nghiên cứu và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè đã luôn động viên, cổ
vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình, đã luôn luôn quan
tâm, khích lệ và động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Thị Nghĩa
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý về sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Thị Kim Sơn và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm
2014
Tác giả
Nguyễn Thị Nghĩa
Mục lục
TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ

Giới thiệu
Tập mờ
Metric Hausdorff
Không gian E
r
Tính đo được
Tính khả tích
Tính khả vi
CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHAT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ
Giới thiệu
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý so sánh
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài
toán
Sự tồn tại nghiệm toàn cục
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Chương 1.
1.1.
5
5
5
8
9
1
1
1
1.
2.

1.
3.
1.
4.
1
Chương 2.
2
0
2
0
2
0
3
2.
1.
2.
2.
2.
3
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết tập mờ là lý thuyết toán học hiện đại và trừu tượng. Lý thuyết mờ
đang là xu thế trong thời đại mới, là ngôn ngữ chủ đạo quan trọng để con người đi
đến những tri thức nhân tạo. Xuất phát từ thực tế con người phải sử dụng ngôn ngữ
với số lượng hữu hạn để nhận biết, nhận thức phản ánh thế giới vô hạn, trong khi đó
chúng ta lại thường xuyên đối mặt với những vấn đề chứa những yếu tố cơ bản không
đầy đủ, không chắc chắn, không chính xác. Vì vậy sẽ có một lý thuyết toán học nào
đó cho phép mô hình hóa phần thế giới thực mà con người chỉ có thể mô tả bằng ngôn
ngữ tự nhiên hàm chứa những thông tin không chính xác, không chắc chắn. Phát hiện
nhu cầu đó năm 1965 L.A.Zadeh đã sáng lập ra lý thuyết tập mờ và đặt nền móng cho

việc xây dựng một loạt các lý thuyết quan trọng dựa trên cơ sở lý thuyết tập mờ. Lý
thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó bắt đầu được phát triển từ những năm 70 của
thế kỷ XX, và tầm quan trọng của lý thuyết mờ trong công nghiệp điều khiển được
tăng mạnh từ năm 1990.
Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển có tầm
quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh
tế, vật lý, Chính vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân nói chung luôn là
nhiệm vụ cần thiết. Đặc biệt trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên
cứu cả về lý thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân mờ. Trong đó việc
nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị ban đầu của phương
trình vi phân mờ là cần thiết tạo tiền đề cơ sở lí thuyết vững chắc cho các bài toán
4
ứng dụng về sau như giải xấp xỉ nghiệm số của phương trình vi phân mờ, xây dựng
thuật toán tìm nghiệm của phương trình vi phân mờ Chính vì các lí do trên, chúng
tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân mờ” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành toán.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiền cứu
Vì lý thuyết mờ nói chung và phương trình vi phân mờ nói riêng còn là lý thuyết mới
cần được tìm hiểu, do vậy luận văn tập trung vào việc trình bày lại một số kiến thức
cơ bản của tập mờ và hàm giá trị mờ trước khi đi sâu vào nghiên cứu về phương trình
vi phân mờ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, giải tích mờ và phương trình vi phân
mờ.
• Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến việc giải phương
trình vi phân mờ và bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng kiến thức của giải tích hàm thực, giải tích tập hợp, giải tích hàm đa trị
và lý thuyết không gian metric-topo để xem xét các tính chất giải tích của hàm
mờ; tập mờ.

• Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach và các đánh giá trong lý thuyết tập hợp,
không gian metric để chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân mờ.
5
5. Nội dung và cấu trúc của luận văn
Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu về lý thuyết tập
mờ, giải tích hàm mờ và chứng minh các định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 trong công trình của V.
Lakshmikantham và R. N. Mohapatra [13]. Luận văn dài 40 trang, ngoài phần Lời
cảm ơn, Lời cam đoan, mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành hai chương.
• CHƯƠNG 1: Tập mờ và hàm giá trị mờ
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập mờ, đưa ra một số
ví dụ về tập mờ và trình bày các tính chất giải tích như: tính đo được, tính khả
tích và tính khả vi của hàm giá trị mờ (gọi tắt là hàm mờ). Không gian các tập
mờ đặc biệt thường được nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi tích phân,
E
n
, cũng
được trình bày trong chương này.
• CHƯƠNG 2: Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ
Chương này dành cho việc nghiên cứu tính giải được duy
nhất của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp
1. Đầu tiên chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân mờ với điều kiện
Lipschitz và điều kiện bị chặn của vế phải. Sau đó các
nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào
các dữ kiện của bài toán trên cũng được nghiên cứu. Cuối
chương là một kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục
của phương trình vi phân mờ.

6
Chương 1 TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ
1.1. Giới thiệu
Trong chương này chúng tôi trình bày về tập mờ, nêu lên một số ví dụ của tập
mờ . Trong đó về phần 1.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về tập mờ. Phần 1.3 nhắc lại khái
niệm về khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của Mn. Không gian E
n
được giới
thiệu trong phần 1.4 với các ví dụ và tính chất quan trọng. Tính đo được, tính khả tích
và tính khả vi của hàm giá trị mờ được trình bày tương ứng trong các phần 1.5, 1.6 và
1.7
1.2. Tập mờ
Ý tưởng về một tập mờ lần đầu tiên được đề xuất bởi Lotfi Zadeh vào năm
1965, nó như một phương tiện để xử lý những vấn đề chứa yếu tố cơ bản không đầy
đủ, không chắc chắn, không chính xác.
Các tập mờ được xét với cơ sở tập hợp khác rỗng X. Ý tưởng cơ bản là mỗi phần tử
X e X được gán cho một hàm thuộc u(x) lấy giá trị trong [0,1], với u(x) = 0 tương
ứng với X không thuộc tập mờ, 0 < u(x) < 1 với X thuộc một phần tập mờ và u(x) =
1 với X thuộc cả vào tập mờ. Kí hiệu theo Zadeh một tập mờ là một tập con khác
rỗng {(ж,и(ж)) : X £ X} của X X [0,1] với hàm и : X
[о,
1]. Hàm и này thường được
kí hiệu
7
i
x
) —
<
—(X — 1) nếu 1 < X < 100, (1.2.1)
99

nếu
100
< X.
Khi đó lí (ж) cho ví dụ về tập mờ gồm các số gần 100 trên tập số thực.
Hiển nhiên có nhiều lựa chọn hợp lý khác của tập mức của hàm thuộc. Độ phụ
thuộc cho một tập cổ điển hay còn gọi là tập rõ A của X là không thuộc hoặc thuộc
hoàn toàn. Như vậy từ tập rõ Ả của X có thể xác định được một tập mờ trên X được
cho bởi hàm đặc trưng X A '■ X —»■ [0,1] với
{0 nếu X ị A,
(1.2.2)
1 nếu X G A.
Tập mức [lí]“ của tập mờ и trên X được định nghĩa là
[lí]“ = {ж G X : u{x) > a} với a G
(о,
1]. (1.2.3)
Giá [ií]° của u là bao đóng của hợp tất cả các tập mức trong tôpô của
H° = u ["]“• (1-2-4)
ae(0,l]
Xét hàm и : X —>
[о,
1] là một tập mờ của không gian cơ sở khác rỗng X và kí hiệu
J-{X) là tất cả các tập mờ . Ta ký hiệu u
c
là phần bù của и G J-’(X), и V г> là hợp và
и л V là giao của и, V G F{x) và được định
8
thay cho tập mờ.
Ví dụ: Xét hàm и : X
—
>•

[о,
1] xác định bởi:
0

nếu X < 1,
и
u
c
(x) = 1 — u(x)
u V v(x) = u(x) V := max{«(x), u A = u(x) A t>(x) := min{w(x), 'y(x)}
với mỗi X e I. Rõ ràng u
c
, u V V, u A V e ^
r
(^)-
Nguyên lý mở rộng Zadeh xác định một ánh xạ rõ / : Xi X x
2
—>• Y, với
Xị,X
2
,Y là các tập khác rỗng, được mở rộng cho ánh xạ trên tập mờ
/ : X F{X2) -> F(X)
ở đó
nếu f 1(y) = 0,
với y e Y ở đây /
1
(y) = {{x
l
,x
2

) e X
l
X x
2
: f ( x
u
x
2
) = y} có thể rỗng hoặc
chứa một hay nhiều điểm.
Đặc biệt, một tập mờ u e T{X) được gọi là tậpmờ chuẩn tắc nếu
tồn tại ít nhất một điểm x
ữ
E X mà u(xo) = 1.
Cho Ả và B là hai tập con khác rỗng của Mn và cho A Ẽ I.Ta định
nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau
A + B — -[ữ -|- b ữ ẽ A, b ẽ B}
và
\A — {Àữ ữ G
9
(1.2.5
)
(1.2.5)
nghĩa tương ứng như sau:
sup Uị(xi)

A u

2

{x

2

)

nếu f

l



{y) ^

0,
(1.2.
(1.2.9
(1.2.10)
Ví dụ 1.2.1. Cho A = [0,1] sao cho (—1)A = [—1,0] do đó Л +
(-1)Л = [0,1] +[-1,0] = [-1,1].
Từ Ví dụ 1.1.1 ta thấy rằng khi cộng thêm (—1) không thiết lập phép toán trừ
tự nhiên. Thay vào đó ta có định nghĩa về hiệu Hukuhara A — B của hai tập khác
rỗng A và в như sau
Định nghĩa 1.2.1. (Hiệu Hukuhara)
Ta nói А — В = С nếu tồn tại с Ф 0 thỏa mãn
A = B + C . (1.2.11)
Ví dụ 1.2.2. Từ ví dụ trên ta có
[-1,1] - [-1,0] = [0,1] và [-1,1] - [0,1] = [-1,0].
Ví dụ 1.2.3. {0} — [0,1] là không tồn tại, vì không cótậpс Ỷ 0 nào để
[0,1] + С = {0}

1.3. Metric Hausdorff
Cho X là một điểm trong Mn và A là một tập con khác rỗng của Khoảng
cách d(x, Ä) từ X tới A được định nghĩa
d(x,A) = inf{||a; — a|| : a G A}, (1.3.1)
trong đó
11.11
là chuẩn thông thường trên Mn
Do đó d(x, Ä) = d(x, Ã) > 0 và d(x, A) = 0 khi và chỉ khi X ẽ Ã là bao
đóng của A trong
1
Ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng A và В của Mn
là
dH{A,B) = max{d*H(A, B),d*H{B, A)} (1.3.2)
trong đó
d*H (B, Ä) = sup{d(b, A) :b e B} (1.3.3)
d*
H
(A, В) = sup{d(a, B) : a G A} (1.3.4)
Kí hiệu /C£ bao gồm tất cả các tập con lồi, compact khác rỗng của Mn và JC
n
bao gồm tất cả các tập con compact khác rỗng của Mn. Khi đó từ Lakshmikantham
and R.N Mohapatra [13 ]ta có
Mệnh đề 1.3.1. Nếu A,A',B,B' e /C£ thì
dH(tA,tB) = tdn{A, B) với mọi t > 0, (1.3.5)
dH{A + B,Ä + B') < dH(A,A') + dH(B,B'), (1.3.6)
dH{coA,coB) < dH(A,B). (1.3.7)
Mệnh đề 1.3.2. Nếu A,B& K.Ç và с & ìcn thì
dH{A + C,B + C) < dH{A,B). (1.3.8)
1.4. Không gian E
n

Kí hiệu không gian E
n
của tất cả các tập con mờ и của R
71
thỏa mãn các giả thiết:
1) Ánh xạ и :

Rn —> I =
[о,
1]
2) [u]° là tập con bị chặn của Mn;
1
3) [u]
a
là tập compact của Rn với mọi a £ I;
4) и là lồi mờ, tức là
u(Xx + (1 — A)y) > min[u(x),u(y)]
với bất kỳ Л G [0,1].
Ta sẽ định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng của tập mờ trong E
n
theo
các tập mức, với u
:
V G E
n
và с G R \ {0}
[u + v]a = [u]a + [v]a (1.4.1)
và
[cu]a = c[u]a (1.4.2)
với a G I.

Trên E
n
ta xét hàm d như sau
d ( u , v ) = sup{íi#([w|a, [г>]а) : a G1 } (1.4.3)
với u,v G E
n
. Rõ ràng từ tính chất của d
H
ta
d là một metric trên
En
Ví dụ 1.4.1. Cho u,v € E1 được định nghĩa trên tập mức bởi
[u]
a
= [v]
a
= [о, 1] với 0 < a < -
2
và
[u]
a
= о, [г?]“ = [0,2(1 — a)] với - < а < 1.
Vì vậy
1
{0 với 0 < a < - '2
2(1 — cc) với - < a < 1.
Thì sup{ệ(a) : a € 1} — 1, nhưng điều này là không đạt được.
Từ các tính chất của metric Hausdorff được liệt kê trong các Mệnh đề 1.3.1 và
1.3.2 ta có
d(cu,cv) = \c\d(u,v)',

d(u + w,v + w) = d(u, v)\
d( u + w, V + w1 ) < d (u, V) + d(w, W1);
với c > 0 và u, V, w, w' G E
n
.
Kết quả sau được chứng minh trong [7]; [4].
Định lý 1.4.1. (En,d) là một không gian metric đầy đủ.
1.5. Tính đo được
Trong phần này ta sẽ thảo luận về tính đo được của các hàm mờ. Cho T c H. là
một tập compact.
Định nghĩa 1.5.1. Ta nói rằng một ánh xạ F : T —»• En là đo được nếu
với mọi a & [0,1] tập ánh xạ đa trị Fa : T —>■ /C£ được xác định bởi
Fa(t) = [Fa(t)]a
là đo được (Lebesgue).
Bổ đề 1.5.1. Nếu F : T —»■ En là ỉiên tục đối với metric dnghĩa là
với mọi t0 G T ; e > 0
;
và tồn tại ô > 0 sao cho 11 — t0\ < ô thì
d(F(t), F(ío)) < e í/ỉì raó /à đo được .
1
Chứng minh. Cho € tùy ý, € > 0 và to G T. Từ tính liên tục nên tồn tại
ỏ > 0 sao cho
d(F(t), F(t0)) < e khi \t — t0\ < ỗ.
Nhưng theo định nghĩa của d ta có d
H
(F
a
(t), F
a
(tữ)) <

6
với mọi \t—t
0
\ < ỏ, mà
F
a
là liên tục đối với metric Hausdorff. Do đó F~
l
(U) là mở và đo được, với mỗi u
mở trong K,£. □
Nếu F là ánh xạ từ T vào E1 thì F
a
(t) là đoạn compact, F
a
(t) =
Ịi
a
(t)]. Với Àa và ịẲ
a
là đo được.
1.6. Tính khả tích
Ánh xạ F : T —> E
n
được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm khả tích
h sao cho Ị|a^|Ị < h(t) với mọi X € F
0
(t).
Định nghĩa 1.6.1. Cho F : T En. Tích phân của FtrênT được kí
b
hiệu f F(t)dt hoặc J F(t)dt được xác định bởi phương trình

T a
í F{t)dt]‘ = Ị Fa(t)dt
T T
= {J f(t)dt\f : T —> M
n
là hàm chọn đo được của Fa}
T
với 0 < a < 1. Một ánh xạ đo được và bị chặn khả tích F : T —¥ En được
gọi là khả tích trên T nếu f F(t)dt G En.
T
Nhận xét 1.6.1. Nếu F : T —»■ E1 ỉà khả tích thì xa và ịia ỉà đo được f F
thu được bằng cách tính tích phân a-level curves (đường cong mức-a),
đó là
1
[Ị n = {Ị Ằ“>//<“]
với
F.(i) = [A“(()/(()|,«e|ũ, 1].
Hệ quả 1.6.1. Nếu F : T —>■ En là liên tục theo metric d thì F khả tích.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.5.1 thì F là đo được. Vì FQ liên tục, F
ữ
(t) €
/C£ với mọi t £ T và T là compact, thì ỊJ F
0
(t) là compact.
teT
[a, c\ và g
2
là hàm chọn đo được của F
a
trong [c, 6]. Thì / được xác định

qAt) nếu t € \a, cl
f(t) =:
g
2
(t) nếu t € [c, 6]
1
Ịf=Ịgi+Ịg2=z
a a c
[JF]° + [ỊF}° C[J F ]°
a c a
và định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.6.2. Nếu F : T —»■ En ỉà liên tục thì G(t) trên T.

Chứng minh. Cho s
:
t G T và giả sử rằng s > t. Thì theo Định lý 1.6.1 và tính
chất của d ta có
s t s
d ( J F, J F ) = d ( J F, Ô )
a a t
với
1 nếu t — 0
0 còn lại.
Vì ỊJ F
ữ
(t) là compact (xem Hệ quả 1.6.1Ị) thì tồn tại M > 0 sao cho
íeT _____
1^11 < M với mọi X G F
ữ
(t) và t G T. Nhưng điều này có nghĩa là

Hệ quả đã được chứng minh
Các tính chất sau được chứng minh chi tiết trong Lakshmikantham and R.N
Mohapatra [13]
1
□
t
f
F là
Lipshỉtz
do đó
là hàm chọn đo được của F
a
trong T và
ô(t) =
□
Định lý 1.6.2. Cho F,G : T —»■ En là khả tích và X € R
n
. Thì i) f(F + G) =
ỈF + ỊG; iì)Ị\F=\ỊF;
iii) d(F, G) là khả tích;
iv) d{ỊF,ỊG)<Ịd(F,G).
Ví dụ 1.6.1. Cho A G En và định nghĩa nếu F : [0,t] —> En với
F(s) = Ả với 0 < s < t. Thì f F = tA.
0
t
Rõ
ràng tA

С
/

F.

Ngược lại, cho а

e
[о,
1] và lấy bất kì J
/
e
/
F
a
, 0
khi đó Ị f có thể được biểu diễn như là một giới hạn của tổng
Sn = - íi-l)/(T;)
i—1
với {(r, [íj_i, íj]) : г = 1,2, ,n} là các phân hoạch của [0,í) với độ đo ịi
n
. Vì Ĩ{tì) g
[A]
a
với i = 1, 2 , . . . , n và [Л]а là hội tụ nên suy ra Sn £ HnịA]
01
với mọi n. Tiến
qua giới hạn thì ịi
n
—¥ t và do đó
lim dH(t[A]a,ịin[A]a) = 0
n—>00
suy ra / / ẽ t[A]

a
nên Ị F с tA.
0
1.7. Tính khả vi
Ta nhắc lại định nghĩa sai phân Hukahara .
Cho x,y € E
n
. Nếu tồn tại một phần tử z ẽ E
n
sao cho X = y + z thì ta gọi
z là sai phân Hukahara của X và y, kí hiệu X — y. Định nghĩa sau đây do Puri
and Ralescu được đưa ra trong [10].
1
Định nghĩa 1.7.1. Ánh xạ F : T —¥ En là khả vi tại tữ €E T nếu tồn tại
F'(t
0
) e En sao cho các giới hạn sau
v F{to + h) — F(t
0
) F(t0) — F(tữ — h)
lim và lim
/i-> 0+ h /ỉ-> 0+ h
tồn tại và bằng F’(to).
Giới hạn này được thực hiện trong không gian metric (En, d). Tại các điểm
cuối của T ta chỉ xét các đạo hàm 1 phía .
Nhận xét 1.7.1. Từ định nghĩa suy ra rằng nếu F khả vi thì ánh xạ đa trị F
a
là
khả vi Hukahara với mọi a G [0,1] và
DFa{t) = [F'(t)]a (1.7.1)

với DF
a
là kí hiệu đạo hàm Hukahara của F
a
.
Điều ngược lại không đúng, vì sự tồn tại sai phân Hukahara [x]
a
— [y]
a
, a G
[0,1], không bao hàm sự tồn tại của sai phân Hukahara X — y.
Định lý 1.7.1. Cho F : T —»• E1 là khả vi. Kí hiệu Fa(t) = [fa{t),
9a{t)]ĩa € [0,1]. Khi đó ta có fa(t) và ga(t) khả vi và [F'(í)]
a
= [/'(t),
g'a{t)}.
Chứng minh. Có
[F(t + h) - F(t)]a = [fa(t + h)~ fa(t),ga(t + h) - ga(t)]
Tương tự với [F(t) — F(t — h)]
a
. Chia biểu thức trên cho h và lấy giới hạn cho
ta kết luận. □
Định lý 1.7.2. Nếu F : T —>• En ỉà khả vi thì nó liên tục theo metric d.
Chứng minh. Cho t,t + h e T với h > 0. Nên theo tính chất của d và bất đẳng
thức tam giác ta có
1
d(F(t + h), F(t)) = d(F(t + h)~ F(t), ô)
< hd{{F(t + h)~ F(t))/h, F'{t)) + hd{F'{t), ô)
với h là vô cùng bé để sai phân Hukahara F(th) — F(t) tồn tại. Do F khả vi và vế
phải tiến tới 0 khi h —> 0+ do đó F là liên tục phải. Tính liên tục trái được chứng

minh tương tự. □
Các kết quả sau đây được suy ra từ các tính chất của d được Laksh- mikantham
and Mohapatra đưa ra trong [13]
Định lý 1.7.3. Nếu F,G :T —¥ En là khả vi và X G M thì (F +
GỴ(t) = F\t) + ơ{t) và (ЛFỴ{t) = XF'{t).
Định lý 1.7.4. Nếu F : T —)■ En là liên tục thì với mọi t £ T tích phấn t
G(t) = J F là khả vi và G\t) = F ự).
a
Chứng minh. Chú ý rằng theo Hệ quả |l.6.l| F là khả tích. Với h > 0, ta có
theo Định lý 1.6.1
£+ h
G(t + h)~ G(t) = Ị F.
t
Cho € tùy ý và € > 0. Từ Ví dụ 1.6.1| Định lý 1.6.2 và tính liên tục của
1
t-\-h t-\-h
d(G{t + hị-G(t)

^m)
=
ịd( j F{s)ds^ j F{t)ds)
t t
t-\- h
< — j d(F(s), F(t))ds < e t
với h > 0 đủ nhỏ. Do đó
G(

t +

h)-G(t)

= m
h-¥ồ+ h
và tương tự
m

-

G ( t

-

h )

=
/i-> 0+ h
chứng minh xong định lý. □
Định lý 1.7.5. Cho F : T —»• En là khả vi và giả sử rằng đạo hàm F' là
khả tích trên T. Khi đó với mỗi s £ T, ta có
í với môi S&T, ta có
s
F{s) = F(a) + Ị F'.
a
-t 1 ' + • 1 m “
Chứng minh. Cho a € [0,1], a cố định. Ta sẽ chứng minh rằng
s
Fa{s) = Fa{a) + J DFa (1.7.2)
a
với DF
a

là sai phân Hukahara của F
a
.
Mà giá của phiếm hàm Ỗ(-,K) : Mn —> M của K e /C£ được định nghĩa là
ố(a, K) = sup{a.fc : k G K}
2
F ta
với a.k là kí hiệu tích vô hướng thông thường của a và k. Nếu Ki,K
2
€ /C£ thì
theo Định lý 11-18 trong Castaing and Valadier [5] có phương trình
d{K
u
K
2
) = sup |<5(a, KT) - ỗ{a, K
2
)\. (1.7.3)
a
Cho t,t + h G T với h > 0 đủ nhỏ để sai phân Hukahara F(t + h) — F(t) tồn tại.
Theo Định lý 11-17 ở [5] ta có
ỗ(x,

(F

a

(t + h

) - F

a

(t)) = ỗ(x,

(F

a

(t + h

)) - ỗ(x,F

a

(t))
với mọi X G M
n
, OL € [0,1] nên có
Fg{t

h

) - F

a

(t)^ _ ỗ(x, {F

a

(t

h

)) - ô(x,F

a

(t))
(1.7.4)
h
Theo tính khả vi của F
a
và phương trình (|1.7.3|) và (|1.7.4|) ta có ỗ(x, F
a
(t)) là
khả vi phải và đạo hàm phải bằng ô(x, D F
a
(t )), với X là một phần tử tùy ý trên
hình cầu đơn vị s trong IR
n
. Lập luận tương tự cho h < 0 ta có kết luận rằng với
mọi X G s, ô(x, F
a
(t) khả vi trên T và
Ị

t

5(x,F

a

(t)) = S(x,DF

a

(t)).
Vì DF
a
(t ) là compact và lồi nên nó có thể được biểu diễn như giao của
tất cả nửa không gian đóng chứa nó
DF
a
= Pl H,
x£S
với H

x

— {z

e R

n



: x.z < ỗ(x, DF

a

(t))}

khi đó DF

a

(t

) bằng đạohàm
của tập ánh xạ giá trị F
a
. □
-
ỗ(
h
Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN MỜ
2.1. Giới thiệu
Chương này dành cho lý thuyết định tính của phương trình vi phân mờ. Đầu tiên
phần 2.2 chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn vế phải. Sau đó các nguyên lý so
sánh và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài toán được trình bày
trong phần 2.3 và 2.4. Cuối cùng phần 2.5 là kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn
cục của phương trình vi phân mờ.
2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ
u' = u(t0 ) = u0,t0>

0
, (
2
.
2
.
1
)
ở đây / e C[J X E
n
, En], J = [t
0
, t
0
+ a], a > 0.
Định nghĩa 2.2.1. Ánh xạ u : J —>• En gọi là một nghiệm của bài toán
(2.2.1) nếu nó liên tục và thỏa mãn phương trình tích phân
t
(t) = u0 + Ị f(s,u(s))ds, t € J. (2.2.2)
to
Áp dụng của nguyên lý ánh xạ co, chúng ta sẽ thấy rằng nếu f(t, ù) thỏa mãn
điều kiện Lipschitz, thì bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất trên J. Điều đó được trình
bày cụ thể trong định lý sau
Định lý 2.2.1. Giả sử rằng f G cự X En,En] và thỏa mãn điều kiện
Lipschitz
d[f{t, u), f(t, v)] < kd[u, v] (2.2.3)
với t G J,u:v € En. Khi đó bài toán (2.2.1) có một nghiệm duy nhất trên
J.
Chứng minh. Cho C[J, E
n

] kí hiệu tập tất cả các hàm số liên tục từ J tới E
n
. Định
nghĩa metric có trọng có trong C[J, E
n
] như sau
H(u,v) = sup d[u(t),v(t)]e
J
với u,v G C[J, E
n
] và A > 0. Vì (E
n
,d) là không gian metric đầy, ta cũng có không
gian (C[J, E
n
], H) cũng đầy.
Với u, V G C[J, E
n
], ta định nghĩa Tu trên C[J, E
n
] bằng mối quan hệ
í
Tu(t) = u0 + j f(s,u(s))ds. (2.2.4)
ío
Theo Hệ quả 1.6.2,Tu € C[J,E
n
]. Hơn nữa từ điều kiện (2.2.3) và tính
u
-
í í d ( Tu ( t ) , T v ( t ) ) = d[ u

0
+ Ị
f ( s , u ( s ) ) d s , u
0
+ Ị f ( s , v ( s )) d s ]
to to
t t
= d[Ị /(s, u{s))ds, J f(s, v(s))ds]
to t
0
t
J d[f{s,u(s)),f(s,v(s))]ds
í € J.
Từ đây suy ra, với t € J, ta có
í
e~Xid[Tu(t),Tv(t)] < ke~xtH[u, v] J eXsds < ^H[u,v].
to
Do đó, chọn Л = 2к, ta có
H[Tu,Tv] < —H[u,v].
2
Nguyên lý ánh xạ co đảm bảo sự tồn tại duy nhất điểm cố định u* của T, điều này
cho thấy u*(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.2.1) trên
Định lý được chứng minh. □
Ví dụ 2.2.1. Cho A,B : J —)■ E1 là liên tục. Định nghĩa f : JxE1 —»■ E1
là f(t,u) = A(t)u + B(t) với phép nhăn trong E
1
được cho bởi nguyên lý
mở rộng Zadeh. Nếu [A(t)]
a
= [a“(í), a

>2
(í)] và [ж]
а
= [ж“, а?2] thì
[A(t)u]a = [min(a“ (t)Xị, a% (t)Xị, a“(t)x%, ữg
{t)x2 ), max(a“(i)z“, Й2 a“(i)^2, Û2 (Фз)]
< J d[f{s,u{s)),f{s,
to
t
— kJ

d[u(s),

f(s)]ds,
ío
chất của tích phân trong Định lý 1.6.2 ta có
2
Hàm số |a“Ị, \a%Ị là bị chặn trên J bởi một hằng số không phụ thuộc với Oi.
Sau phép tính đơn giản cho thấy f(t,u) thỏa mãn các giả thiết của
Định lý |2.2.l| do đó bài toán giá trị ban đầu
u' — A(t)u + B(t), u(t
ữ
) = u0
có nghiệm duy nhất trên J.
Kết quả sự tồn tại địa phương tương tự như định lý của Peano là không có giá trị
đối với phương trình vi phân mờ, vì (E
n
,d) là một không gian metric, không là
compact địa phương, do vậy tính liên tục của / trong (2.2.1) là không đủ để đảm bảo
sự tồn tại địa phương như trong hữu hạn chiều. Hơn nữa, nếu / là liên tục và bị chặn,

chúng ta có thể chứng minh kết quả tồn tại. Sau đây thật vậy ta tiếp tục xét bài toán
(2.2.1). Chúng ta sẽ sử dụng không gian metric C[J, En] nhưng với metric không
trọng
H[u, v\ = sup d[u(t), v(t)], u, V € C[J, E
n
].
J
Với mỗi u G C[J, En], chúng ta định nghĩa ánh xạ Tu bằng mối quan hệ
(2.2.4) như trước. Chúng ta chú ý rằng điểm cố định của T cũng là một nghiệm của
(2.2.1). Bây giờ ta cần chứng minh kết quả sau.
Định lý 2.2.2. Giả sử rằng f G C[J X En,En] và
d[ f(t, u ), 0] < M,t e J,u e En
ở đây ô € En được định nghĩa là Ô(x) = 1 nếu X = 0 và Ô(x) = 0 nếu X Ỷ 0-
đó bài toán (2.2.1) có một nghiệm u(t) trên J.
23
Chứng minh. Cho B là một tập bị chặn trong C[J, En]. Tập TB = [Tu : u G B\
là bị chặn và nó là liên tục đều với mọi t e J khi và chỉ khi [TB](t) = [[Tu] : t €E
chất của tích phân trong Định lý 1.6.2 ta có
2