Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một

Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
1 Định lý thác triển Hartogs 3
1.1 Hàm chỉnh hình một biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Thác triển giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Không gian C
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . 8
1.2.4 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Định lý thác triển Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Định lý 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Định lý 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một 14
2.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến
tính cấp một hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Hệ phương trình elliptic hệ số hằng . . . . . . . . . 14
2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
MỤC LỤC
2.2 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến
tính cấp một hệ số hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hàm 26
2.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình
2.1’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Định lý thác triển đối với một số hệ phương trình 44
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
ii
Lời cảm ơn
Luận văn “ Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình
elliptic tuyến tính cấp một ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
của thầy Lê Hùng Sơn. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn trân trọng nhất
đến thầy. Em cũng xin được cảm ơn các thầy, cô trong Viện Toán – Tin
ứng dụng – Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện và cơ hội học tập
cho em trong suốt hai năm cao học.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng chắc chắn
không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em mong nhận được những góp ý của
các thầy cô để nội dung của luận văn hoàn thiện hơn .
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và
giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt
nghiệp.
Hà Nội, ngày 19 tháng 9 năm 2014
Nguyễn Thị Vân Anh
1
Lời mở đầu
Định lý thác triển Hartogs là một kết quả nổi bật, nó thể hiện tính chất
khác biệt về bản chất của hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm
chỉnh hình một biến phức. Nội dung của bài toán thác triển kiểu Hartogs
là tìm các tiêu chuẩn để mọi nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng
elliptic trên một miền cho trước có thể thác triển được lên một miền lớn

hơn.
Mục đích của luận văn là đưa ra tiêu chuẩn ma trận để nghiệm của các
hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một (2.1) và (2.1’) có tính chất
thác triển Hartogs. Đồng thời trình bày kết quả đối với một số hệ phương
trình mà nghiệm có thể thác triển được ra một miền lớn hơn khi ta bổ
sung điều kiện thích hợp. Nội dung chính của luận văn được trình bày
trong ba chương:
• Chương 1: Định lý thác triển Hartogs. Chương này giới thiệu các kiến
thức cơ bản về hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến phức. Thêm
vào đó là định lý thác triển Hartogs đối với hàm chỉnh hình nhiều
biến phức.
• Chương 2: Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một. Mục đích chương 2 là đưa
ra các tiêu chuẩn ma trận đối với hệ elliptic tuyến tính cấp một hệ số
hằng và hàm, tiếp đó là ví dụ áp dụng.
• Chương 3: Định lý thác triển đối với một số hệ phương trình. Dựa vào
tiêu chuẩn ma trận được trình bày trong chương 2 đối với hệ phương
trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng tìm ra các điều kiện thích
hợp để một số hệ phương trình có tất cả các nghiệm thác triển được
ra một miền lớn hơn, tức là có định lý thác triển Hartogs.
2
Chương 1
Định lý thác triển Hartogs
Đối với miền D ⊂ C tồn tại hàm chỉnh hình trong D và không thác
triển giải tích được ra ngoài giới hạn của miền. Nhưng trong không gian
C
n
(n > 1) tại những miền mà hàm chỉnh hình bất kỳ trong nó luôn thác
triển được ra miền rộng hơn. Chương này trình bày những khái niệm đơn
giản mở đầu về hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến phức đồng thời

đưa ra định lý thác triển Hartogs đối với hàm chỉnh hình nhiều biến phức.
1.1 Hàm chỉnh hình một biến phức
1.1.1 Hàm khả vi
Hàm R - khả vi
Giả sử D ⊂ R
2
và f(x, y) là hàm giá trị thực hoặc phức xác định trong
D, z
0
= x
0
+ iy
0
∈ D. Hàm f được gọi là R - khả vi tại điểm (x
0
, y
0
∈ D)
nếu tồn tại hàm tuyến tính Ah + Bk của các biến thực h và k sao cho với
h và k đủ bé số gia của f thỏa mãn hệ thức
f(x
0
+ h, y
0
+ k) − f(x
0
, y
0
) = Ah + Bk + ε(h, k)ρ,
trong đó A, B thực hoặc phức, ρ =

√
h
2
+ k
2
và ε(h, k) → 0 khi ρ → 0.
Nếu f là hàm R - khả vi tại điểm thì các hằng số A và B (thực hoặc
phức) được xác định duy nhất và tương ứng bằng
A =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
B =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)
3
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Và biểu thức
df =
∂f
∂x

(x
0
, y
0
)h +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)k,
được gọi là vi phân của hàm f tại điểm x
0
, y
0
.
Ký hiệu: h = dx, k = dy.
=⇒
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)dx +
∂f
∂y
(x
0

, y
0
)dy.
Xét vi phân
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)dx +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)dy
Đối với các hàm z = x + iy, và z = x − iy,
ta có dz = dx + idy, dz = dx −idy.
Do đó
dx =
1
2
(dz + dz), dy =
1
2i
(dz − dz)
=⇒ df =
1

2
(
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
)dz +
1
2
(
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
)dz.
Đặt
∂f
∂z
=
1
2
(
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
),

∂f
∂z
=
1
2
(
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
)
Ta có
∂f
∂x
=
∂f
∂z
+
∂f
∂y
,
∂f
∂y
= i(
∂f
∂z
−
∂f
∂z

).
Hàm C - khả vi
Giả sử D ⊂ C và f là hàm biến phức z = x + iy xác định trong D,
hàm f được gọi là C - khả vi tại điểm z
0
∈ D nếu tồn tại giới hạn
lim
h→0
h=0
f(z
0
+ h) −f(z
0
)
h
.
Hệ Cauchy - Riemann
4
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Giả sử hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) là C - khả vi tại điểm z = x + iy.
Khi đó tại điểm (x, y) hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng theo
biến x và y thỏa mãn







∂u

∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂y
=
∂v
∂x
Hệ phương trình trên được gọi là hệ Cauchy – Riemann.
Mối liên hệ giữa C - khả vi và R
2
- khả vi
Hàm f R
2
- khả vi trong miền D là hàm C - khả vi trong miền đó khi
và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện
∂f
∂z
= 0.
1.1.2 Hàm chỉnh hình
Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z
0
nếu nó là C - khả vi tại
một lân cận nào đó của điểm z
0
. Hàm f được gọi là chỉnh hình trong miền
D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền đó. Tập hợp các hàm chỉnh
hình trong miền D được ký hiệu H(D).
1.1.3 Công thức tích phân Cauchy

Giả sử f ∈ H(D) và G ⊂ D một cách compact được giới hạn bằng một
số hữu hạn các đường cong (liên tục). Khi đó tại điểm z ∈ G bất kỳ hàm
f biểu diễn dưới dạng
f (z) =
1
2πi

∂G
fξ
ξ − z
dξ
trong đó ∂G là biên có hướng của G. Đại lượng ở vế phải của công thức
này được gọi là tích phân Cauchy.
1.1.4 Thác triển giải tích
Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
• Hàm f chỉnh hình trong miền D
5
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
• Hàm F chỉnh hình trong miền D ⊃ D
• F (z) |
D
≡ f (z)
Khi đó hàm F(z) được gọi là thác triển giải tích của hàm f(z) ( từ
miền D ra miền D ).
1.1.5 Hàm điều hòa
Hàm thực lớp C
2
được gọi là hàm điều hòa trong miền D ⊂ C nếu khắp
nơi trong D nó thỏa mãn phương trình Laplace
∂

2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0 (1.1)
Toán tử vi phân ở vế trái của 1.1 được gọi là toán tử Laplace và được ký
hiệu ∆.
• Mọi hàm chỉnh hình đều là hàm điều hòa.
• Phần thực và phần ảo của hàm chỉnh hình là các hàm điều hòa.
Định lý 1.1.1. (Định lý duy nhất) Nếu hai hàm u
1
và u
2
điều hòa ở trong
miền D là trùng nhau trên tập hợp E ⊂ D có ít nhất một điểm trong thì
u
1
≡ u
2
trong D.
1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức
1.2.1 Không gian C
n
Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R

2
, các điểm của nó là các bộ có thứ
tự 2n số thực (x
1
, x
2
, , x
n
). Ta đưa vào trong đó caaus trúc phức bằng
cách đặt z
v
= x
v
+ ix
n+v
, (v = 1, 2, , n). Kí hiệu lại x
n+v
= y
v
nên
z
v
= x
v
+iy
v
, (v = 1, 2, , n). Không gian mà điểm là những bộ n số phức
(hữu hạn) z = (z
1
, z

2
, , z
n
) = {z
v
}.
Được gọi là không gian phức n chiều, kí hiệu C
n
.
Có thể xem với n tùy ý, không gian C
n
là tích của n mặt phẳng phức:
C = C × C × × C
  
n
.
6
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức
Cho miền D ∈ C
n
, xét hàm phức f : D → C.
Giả sử rằng f khả vi tại điểm z ∈ D theo nghĩa giải tích thực (R
2n
- khả
vi) tức là tồn tại vi phân:
df =
∂f
∂x
1

dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
+ +
∂f
∂x
2n
dx
2n
Khi đưa vào các biến phức z
v
và z
v
theo các công thức:
x
v
= −
z
v
+ z
v
2
x
v+n
=

z
v
− z
v
2i
,
(v = 1, 2, , n)
Ta có thể viết lại một cách hình thức dưới dạng:
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
+
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n

dz
n
= ∂f + ∂f
trong đó với v = 1, . . . , n.
Đặt
∂f
∂z
v
=
1
2

∂f
∂x
v
− i
∂f
∂x
n+v

,
∂f
∂z
v
=
1
2

∂f
∂x

v
+ i
∂f
∂x
n+v

và kí hiệu
∂f =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
,
¯
∂f =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z

n
dz
n
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f xác định trong lân cận nào đó của điểm z ∈ C
n
được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức(C
n
- khả vi), nếu
nó R
2n
- khả vi tại điểm đó và tại điểm này:
∂f
∂z
v
= 0, (v = 1, , n),
∂f = 0. (1.2)
7
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Tức là vi phân có dạng:
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz

n
.
Điều kiện khả vi phức 1.2 chứa 2n phương trình thực (u = Ref và
v = Imf). Với n > 1 hệ phương trình đó là xác định thừa số phương trình
trong đó lớn hơn số hàm đang xét.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm C
n
- khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của
điểm z ∈ C
n
, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình tại
mỗi điểm của tập mở nào đó Ω ⊂ C
n
được gọi là chỉnh hình trên tập Ω.
Tổng và tích hai hàm khả vi (C
n
- khả vi ) tại điểm z nào đó cũng khả
vi tại điểm này, do đó các hàm khả vi tại một điểm lập thành một vành.
Đặc biệt các hàm chỉnh hình trong miền D ⊂ C
n
lập thành một vành, ký
hiệu là H(D).
1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình
(A) Hàm f liên tục trong miền D ⊂ C
n
theo tập hợp các biến và tại mỗi
điểm z ∈ D chỉnh hình theo mỗi tọa độ.
• Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng
U = {z ∈ C
n

: |z
v
− a
v
| ≤ r
v
} thì tại mỗi điểm z ∈ U nó được biểu
diễn bởi tích phân bội Cauchy
f (z) =
1
2πi



Γ
f (ζ) dζ
1
dζ
n
(ζ
1
− z
1
) (ζ
n
− z
n
)
(1.3)
Trong đó Γ là khung của đa tròn tức là tích các vòng tròn biên

γ
v
= {|ζ
v
− a
v
| = r
v
}.
Với z

∈ U

tùy ý , trong đó z

và U

ký hiệu hình chiếu của z và U
trong không gian C
n−1
(z
1
, , z
n−1
) , hàm
f = f (z

, z
n
)

chỉnh hình theo z
n
trong hình tròn
{|z
n
− a
n
| ≤ r}
8
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
do đó theo công thức tích phân Cauchy
f (z) =
1
2πi

γ
n
f (z

, ζ
n
)
ζ
n
− z
n
dζ
n
Với ζ
n

∈ γ
n
và z

∈ U

tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn
bởi tích phân Cauchy theo biến z
n−1
, đồng thời do tính liên tục của
f theo tập hợp biến, tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội
theo tích
γ
n−1
× γ
n
. Công thức 1.3 được viết dưới dạng đơn giản
f (z) =
1
(2πi)
n

Γ
f (ζ) dζ
ζ −z
Trong đó
dζ = dζ
1
dζ
n

và
1
ζ −z
=
1
(ζ
1
− z
1
) (ζ
n
− z
n
)
Định lý 1.2.1. (Định lý Hartogs) Nếu hàm fchỉnh hình tại mọi điểm của
miền D ⊂ C
n
theo mỗi biến z
v
thì nó chỉnh hình trong D.
Định lý 1.2.2. (Định lý duy nhất) Nếu f ∈ H(D) cùng với mọi đạo hàm
riêng triệt tiêu tại điểm z
0
nào đó của miền D ⊂ C
n
thì f ≡ 0 trong D.
1.2.4 Hàm đa điều hòa
Nếu hàm f = u + iv chỉnh hình tại điểm z ∈ C
n
thì trong lân cận điểm

đó
∂f
∂z
v
= 0
(v = 1, . . . , n), do đó hàm f = u −iv là R
2n
- khả vi tại lân cận trên, và
ở đó, đối với v = 1, . . . , n tùy ý.
∂f
∂z
v
=
1
2

∂f
∂x
v
− i
∂f
∂y
v

=

∂f
∂z
v


= 0.
9
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Những hàm f như vậy sẽ gọi là phản chỉnh hình tại điểmz.
Giả sử f chỉnh hình tại điểm z ∈ C
n
khi đó đối với phần thực
u =
1
2

f + f

trong lân cận của z.
Ta có
∂u
∂z
v
=
1
2
∂f
∂z
v
.
Và hàm chỉnh hình có đạo hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến
nên có thể khẳng định tồn tại
∂
2
u

∂z
µ
∂z
v
=
1
2
∂
2
f
∂z
µ
∂z
v
và có thể đổi thứ tự vi phân, tức là
∂
2
f
∂z
µ
∂z
v
=
∂
∂z
v

∂f
∂z
µ


= 0.
Như vậy đối với µ, v = 1, . . . , n tùy ý ta có
∂
2
u
∂z
µ
∂z
v
= 0 (1.4)
Tách các phần thực và ảo của toán tử trong vế trái của 1.4
∂
∂z
µ
∂
∂z
v
=
1
4

∂
2
∂x
µ
∂x
v
+
∂

2
∂y
µ
∂y
v

+
i
4

∂
2
∂x
v
∂y
µ
−
∂
2
∂x
µ
∂y
v

Điều kiện 1.4 phân thành phương trình đạo hàm riêng cấp hai:
∂
2
u
∂x
µ

∂x
v
+
∂
2
u
∂y
µ
∂y
v
= 0;
∂
2
u
∂x
v
∂y
µ
−
∂
2
u
∂x
µ
∂y
v
= 0, (µ, v = 1, . . . , n) (1.5)
Hàm u(x, y) lớp C
2
trong miền D ⊂ R

2n
thỏa mãn tại mỗi điểm (x, y) ∈ D
các phương trình 1.5 được gọi là đa điều hòa trong miền đó.
• Phần thực và phần ảo của hàm f chỉnh hình trong miền D ⊂ C
n
là
đa điều hòa trong miền đó.
• Đối với hàm u tùy ý ,đa điều hòa trong lân cận U của điểm (x
0
, y
0
) ∈
R
2n
, tồn tại hàm f chỉnh hình tại điểm z
0
= x
0
+ iy
0
có phần thực (
hay phần ảo ) bằng u.
10
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
1.3 Định lý thác triển Hartogs
Định lý thác triển Hartogs thể hiện tính chất khác biệt về bản chất của
hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình một biến phức.
1.3.1 Định lý 1
Định lý 1.3.1. Cho các miền D


⊂ C
n−1
(z

) và D
n
⊂ C (z
n
), hàm f tùy
ý chỉnh hình trong lân cận

(theo nghĩa C
n
) của tập M = ∂D

× ∂D
n
,
thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D = D

× D
n
.
Chứng minh.
Xét hàm
f (z) =
1
2πi

∂D

n
f (z

, ξ
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.
Với ξ
n
∈ ∂D
n
, Z

∈ D

, thì điểm (z

, ξ
n
) ∈

. Vì f (z

, ξ

n
) chỉnh hình
theo z

nên f chỉnh hình đối với z

trong D

(z
n
/∈ ∂D
n
). Mặt khác với
z

∈ D

thì hàm f chỉnh hình đối với z
n
∈ D
n
. Vậy f chỉnh hình với
z ∈ D.
Nếuz

gần ∂D

, ξ
n
∈ ∂D

n
sao cho (z, ξ
n
) ∈

thì tồn tại tập mở δ = ∅
mà δ ⊂

.
Theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z
n
thì
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, z
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.

Ta thấy f (z) = f (z) trong δ. Theo định lý duy nhất f = f khắp nơi
mà f chỉnh hình. Mà f ∈ H (D) nên f là thác triển giải tích của f.

Định lý 1.3.2. Giả sử cho các miền D

⊂ C
n−1
(z

) và D
n
⊂ C (z
n
) ,hàm
f tùy ý chỉnh hình trong lân cận

(theo nghĩa C
n
) của tập
M = (D

× ∂D
n
) ∪

z
0

× D
n


.
Trong đó z
0
∈ D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D =
D

× D
n
.
Chứng minh.
11
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Không giảm tính tổng quát ta coi D
n
giới nội bởi một số hữu hạn đường
cong trơn. Hàm
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, ξ
n
)
ξ
n

− z
n
dξ
n
Chỉnh hình trong miền D = D

× D
n
.
Thật vậy khi ξ
n
∈ ∂D
n
và z

∈ D

thì điểm
(z, ξ
n
) ∈ M
do đó
f (z

, ξ
n
)
chỉnh hình.
Suy ra f chỉnh hình đối với z


trong
D

(z
n
/∈ ∂D
n
) .
Mặt khác với z

∈ D

hàm f chỉnh hình đối với z
n
∈ D
n
.
Với z

rất gần z
0
, ξ
n
∈ ∂D
n
sao cho (z

, ξ
n
) ∈


thì tồn tại tập mở
δ = ∅ mà δ ⊂

.
Theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z
n
thì
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, z
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.
Ta thấy f (z) = f (z) trong δ. Theo định lý duy nhất f = f khắp nơi mà
f chỉnh hình.
Vì f ∈ H (D) nên f là thác triển giải tích của f.


1.3.2 Định lý 2
Định lý 1.3.3. Giả sử cho các miền D

⊂ C
n−1
(z

) và D
n
⊂ C(z
n
), hàm
f tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa) của tập
M = (D

× ∂D
n
) ∪

z
0

× D
n

.
Trong đó z
0
∈ D


, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền
D = D

× D
n
.
12
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Chứng minh.
Không giảm tính tổng quát ta coi D
n
giới nội bởi một số hữu hạn đường
cong trơn. Hàm
∼
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, ξ
n
)
ξ
n
− z
n
dξ

n
Chỉnh hình trong miền D = D

× D
n
.
Thật vậy khi ξ
n
∈ ∂D
n
và z

∈ D

thì điểm

z

, ξ
n

∈ M do đó f

z

, ξ
n

chỉnh hình. Suy ra
∼

f chỉnh hình đối với z

trong D

(z
n
∈ ∂D
n
).
Mặt khác với z

∈ D

hàm

f chỉnh hình đối với z
n
∈ D
n
.
Với z

rất gần z
0
, ξ
n
∈ ∂D
n
sao cho (z


, ξ
n
) ∈

) thì tồn tại tập mở δ = ∅
mà δ ⊂

.
Theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z
n
thì
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, z
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.
Ta thấy

∼
f (z) = f (z) trong δ. Theo định lý duy nhất
∼
f = f khắp nơi mà
f chỉnh hình .
Vì
∼
f ∈ H (D) nên
∼
f là thác triển giải tích của f.

13
Chương 2
Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác
triển nghiệm của hệ phương trình
elliptic tuyến tính cấp một
Chương này đưa ra một số tiêu chuẩn để xét xem nghiệm của hệ elliptic
tuyến tính cấp một (hệ số hằng và hệ số hàm) ở lân cận biên có thác triển
được ra toàn bộ miền xác định hay không.
2.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình
elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng
2.1.1 Hệ phương trình elliptic hệ số hằng
Trong phần này ta xét hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một dạng:
L
(l)
(u) :=
m

i=1
n


j=1
A
(l)
ij
∂u
i
∂x
j
= 0, l = 1, , L (2.1)
Trong đó
A
(l)
ij
= const,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . , L,
u
i
= u
i
(x
1
, x
2
, , x
m
) giải tích thực theox
1
, x
2

, , x
n
u = (u
1
, u
2
, , u
m
) là hàm ẩn.
• Thác triển nghiệm. Cho u = (u
1
(x), u
2
(x), , u
m
(x)) là một nghiệm
của hệ 3.1 trong miền G và
∼
u
= (
∼
u
1
(x),
∼
u
2
(x), ,
∼
u

m
(x)) là một nghiệm
14
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
của hệ đó trong miền
G
với G ⊆
G
⊆ R
n
. Khi đó

u được gọi là thác
triển liên tục của u nếu

u = u trong G.
Định lý 2.1.1. (Định lý duy nhất) Cho u = (u
1
(x), u
2
(x), , u
m
(x)) là
một nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1 trong miền G, hơn nữa cho σ là
tập con mở khác rỗng của G. Nếu u = 0 với x = σ thì u ≡ 0 với x ∈ G.
Hệ elliptic thoả mãn định lý duy nhất.
2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận
Kí hiệu
A

(l)
= A
ij
(l)
m×n
, l = 1, , L (2.2)
−→
λ
i
= (λ
(1)
i
, , λ
(L)
i
) (2.3)
Với




→
λ
i




=


L

l=1

λ
(l)
i

2

1
2
A
(l)
là ma trận cỡ m × n và
−→
λ
i
là véc tơ L - chiều. Nếu véc tơ
−→
λ
i
được
chọn trước thì ta định nghĩa ma trận cỡ m ×n như sau:
D
i
=
L

l=1

λ
(l)
i
A
(l)
(2.4)
Hơn nữa định nghĩa ma trận B = (D
1
, , D
m
) có cỡ m ×(m.n).
Và ma trận C =



D
1
.
.
.
D
m



, có cỡ m
2
× n.
Định lý 2.1.2. Giả sử rằng m ≤ n và tồn tại m véc tơ
−→

λ
1
, ,
−→
λ
m
sao cho
các điều kiện sau được thỏa mãn :
(i) Rank D
i
= 1 với ∀i = 1, 2, , m,
(ii) Rank B = m,
(iii) Rank C = m.
15
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực ) u của hệ 3.1 trong

có thể thác
triển liên tục được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn G ⊂ R
n
(

là lân cận mở của ∂G ).
Chứng minh.
Trong phần chứng minh sẽ chỉ ra tồn tại các ánh xạ A biến x thành ξ
và A
1
biến u thành u


thỏa mãn
∂u

1
∂ξ
1
= 0, ,
∂u

m
∂ξ
m
= 0
trong đó ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ G

là một miền trong R
n
và G

= A (G) ),
u

= (u

1
, , u


m
) được cho trong


là giải tích (thực) theo ξ
1
, , ξ
m
(


= A (

) ).
Từ đó chỉ ra được u

thác triển liên tục thành hàm giải tích (thực) trong
toàn G

. Suy ra tìm đc thác triển của u trong toàn G.
Kí hiệu
D
1
=

D
(1)
kj


k=
1,m,j=1,n
(2.5)
Từ giả thiết (i) của định lý ta có
RankD
1
= 1 (2.6)
Do đó tồn tại ít nhất một phần tử của không bị triệt tiêu. Không giảm
tính tổng quát ta giả sử rằng
D
1
11
= 0 (2.7)
Có nghĩa là
D
1
11
= a
11
α
11
(2.8)
Trong đó
a
11
= 0, α
11
= 0 (2.9)
Ký hiệu
D

(1)
12
a
11
= α
21
, ,
D
(1)
1n
a
11
= α
n1
16
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Thì ta nhận được
D
(1)
12
= a
11
α
21
, , D
(1)
1n
= a
11

α
n1
(2.10)
Từ 2.6 tồn tại các hằng số γ
(1)
k
sao cho
[D
(1)
k1
, , D
(1)
kn
] =γ
(1)
k
[D
(1)
11
, , D
(1)
1n
], k = 2, , n (2.11)
Ở đây
[D
(1)
k1
, , D
(1)
kn

]
là hàng thứ k của ma trận D
1
. Từ 2.8, 2.10 và 2.11 ta có
D
(1)
kj
= γ
(1)
k
D
(1)
1j
= γ
(1)
k
a
11
α
j1
, k = 1, , m, j = 1, , n (2.12)
Đặt
γ
(1)
k
a
11
= a
1k
, k = 1, , m (2.13)

Ta được
D
(1)
kj
= a
1k
α
j1
, k = 1, , m, j = 1, , n (2.14)
Do đó tồn tại hai bộ số (a
11
, , a
1m
) và (α
11
, , α
n1
) thỏa mãn điều kiện
2.9 và 2.10.
Bằng lập luận tương tự ta chứng minh sự tồn tại của các bộ số
(a
i1
, , a
im
) , (α
1i
, , α
ni
) (2.15)
thỏa mãn điều kiện

D
(i)
kj
= a
ik
α
ji
, i = 2, , m (2.16)
Từ 2.14, 2.16 và giả thiết (ii) của định lý 2.1.2 ta có








a
11
α
j
1
1
a
21
α
j
2
2
a

m1
α
j
m
m
a
12
α
j
1
1
a
22
α
j
2
2
a
m2
α
j
m
m
+ + + +
a
1m
α
j
1
1

a
2m
α
j
2
2
a
mm
α
j
m
m








= 0 (2.17)
17
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
trong đó 1 ≤ j
l
≤ m, l = 1, . . . , L.
Do 2.17 ta có
α
j

1
1
α
j
2
2
α
j
m
m
×








a
11
a
21
a
m1
a
12
a
22
a

m2
+ + + +
a
1m
a
2m
a
mm








= 0
Hay








a
11
a
21

a
m1
a
12
a
22
a
m2
+ + + +
a
1m
a
2m
a
mm








= 0 (2.18)
Từ 2.14, 2.14 và giả thiết (iii) cho ta
Rank









a
1k
1
α
11
a
1k
1
α
21
a
1k
1
α
n1
a
1k
2
α
12
a
1k
2
α
22
a

1k
2
α
n2
+ + + +
a
1k
m
α
1m
a
1k
m
α
2m
a
1k
m
α
nm








= m (2.19)
Trong đó 1 ≤ k

l
≤ m, l = 1, . . . , L.
Kí hiệu
−→
α
1
= (α
11
, , α
n1
)
−→
α
2
= (α
12
, , α
n2
)

−→
α
m
= (α
1m
, , α
nm
)
(2.20)
Khi đó ta lấy hệ m véc tơ với n thành phần {

−→
α
1
, ,
−→
α
m
}
Điều kiện 2.19 nghĩa là hệ véc tơ {
−→
α
1
, ,
−→
α
m
} là độc lập tuyến tính.
Do m ≤ n ta có thể thêm vào hệ này (n −m) véc tơ (với n thành phần)
{
−−−→
α
m+1
, ,
−→
α
n
}
sao cho hệ sau là độc lập tuyến tính
{
−→

α
1
, ,
−→
α
m
,
−−−→
α
m+1
, ,
−→
α
n
} (2.21)
18
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Do đó














α
11
α
21
α
n1
+ + + +
α
1m
α
2m
α
nm
α
1m+1
α
2m+1
α
nm+1
+ + + +
α
1n
α
2n
α
nn














= 0 (2.22)
Trong đó
−−−→
α
m+1
= (α
1m+1
, , α
nm+1
)

−→
α
n
= (α
1n
, , α
nn
)

(2.23)
Ta chứng minh sự tồn tại của n
2
số D
ij
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n thỏa
mãn các điều kiện 2.16, 2.22. Tồn tại các phép biến đổi tọa độ như sau:
u

i
=
m

j=1
a
ij
u
j
, i = 1, , m (2.24)
x
l
=
n

k=1
α
lk
ξ
k
, l = 1, , n (2.25)

Do 2.18, 2.22 các phép biến đổi 2.24, 2.25 là các phép biến đổi tuyến tính
đơn ánh.
Ký hiệu
G

= A (G) (2.26)


= A



(2.27)
thì dễ dàng thấy rằng G

là một miền trong (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
và


là một
lân cận của ∂G

. Khi đó các hàm u
1
(x), , u

m
(x) được cho trong

và
giải tích (thực) theo x
1
, , x
m
.
19
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Theo đó u

1
(ξ), , u

m
(ξ) được cho trong


là giải tích (thực) theo
ξ
1
, , ξ
m
.
Từ 2.24, 2.25 ta có
∂u


i
∂ξ
k
=
m

j=1
a
ij
∂u
j
∂ξ
k
=
m

j=1
n

l=1
a
ij
∂u
j
∂x
l
∂x
l
∂ξ
k

=
m

j=1
n

l=1
a
ij
α
lk
∂u
j
∂x
l
, i = 1, , m, k = 1, , n. (2.28)
Trường hợp đặc biệt
∂u

i
∂ξ
i
=
m

j=1
n

l=1
a

∂ij
α
li
∂u
j
∂x
l
, i = 1, , m (2.29)
thỏa mãn.
Áp dụng 2.29 thay j bởi k và l bởi j và lấy
∂u

i
∂ξ
i
=
m

k=1
n

j=1
a
ik
α
ji
∂u
k
∂x
j

, i = 1, , m (2.30)
Từ 2.30 và 2.16 ta thấy
∂u

i
∂ξ
i
=
m

k=1
n

j=1
D
(i)
kj
∂u
k
∂x
j
, i = 1, , m (2.31)
Các hệ số của vế phải trong 2.31 là các phần tử của ma trận D
i
. Do 2.4
nên vế phải của 2.31 là một tổ hợp tuyến tính của L
(1)
(u), , L
(l)
(u).

Do đó
∂u
i

∂ξ
i
= 0, i = 1, , m
Suy ra rằng u

i
không phụ thuộc vào ξ
i
. Khi đó u
i

(ξ) được cho trong một
lân cận


của G

, ta có thể mở rộng hàm này thành hàm giải tích(thực)
trong toàn G

. Kí hiệu mở rộng của u

i
(ξ) bởi

u


1
(ξ), ,

u

m
(ξ) (2.32)
Xét

u = A
−1
1
(

u

) (2.33)
20
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
trong đó

u

= (

u

1

, ,

u

m
). Dễ dàng chỉ ra rằng các hàm

u
i
xác định trong
toàn G và giải tích thực theo x
1
, , x
n
.
Mặt khác ta có

u
i
= u
i
, trong

(2.34)
Khi u = (u
1
, , u
m
) là nghiệm của 3.1 trong


, theo đó
L
(l)
(

u) = L
(l)
(u) = 0, trong

, l = 1, , L (2.35)
Lại có L
(l)
(

u) giải tích thực theo x
1
, , x
n
Từ Định lý duy nhất và 2.35,
ta thấy trong toàn G
L
(l)
(

u) = 0, l = 1, , L (2.36)
Điều kiện 2.35 có nghĩa là

u = (

u

1
, ,

u
m
) là một nghiệm của hệ 3.1
trong toàn G. Do đó

u là thác triển của u trong toàn G.

Nếu m, n bất kỳ ta có:
Định lý 2.1.3. Giả sử tại m véc tơ
−→
λ
1
, ,
−→
λ
m
sao cho ma trận phụ thuộc
D
i
, B, Cthỏa mãn các giả thiết sau:
(i) RankD
i
= 1, với i = 1, , m,
(ii) RankB = m,
(iii) RankC = 1.
Khi đó nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1 trong


có thể thác triển
liên tục thành nghiệm của chính nó trong toàn miền G.
Chứng minh.
Bằng lập luận tương tự như đã sử dụng đối với chứng minh của định
lý 2.1.2 ta sẽ tìm các ánh xạ tuyến tính đơn ánh ξ = A (x) và u

= A
1
(u)
sao cho hệ 3.1 kéo theo các điều kiện
∂u

i
∂ξ
1
= 0, i = 1, , m (2.37)
21
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Lấy u
1
, , u
m
là các hàm giải tích thực cho trước trong

, khi đó các hàm
u

1
(x), , u


m
(x) xác định trong


và giải tích thực theo ξ
1
, , ξ
n
.
Từ 2.37 thấy rằng u

1
(x), , u

m
(x) không phụ thuộc vào ξ
1
.
Do đó u

i
(x), i = 1, . . . , m có thể thác triển thành các hàm giải tích thực
trong toàn bộ G

.
Kí hiệu các hàm thác triển của u

1
(x), , u


m
(x) bởi

u

1
(x), ,

u

m
(x) .
Cũng theo cách chứng minh của định lý 2.1.2 ta chỉ ra rằng

u = A
−1
1
(

u

)
là thác triển của u trong toàn G.
Từ giả thiết (i) của định lý 2.1.3 ta có sự tồn tại của a
11
, , a
1n
và
α

11
, , α
n1
thỏa mãn
D
(1)
kj
= a
1k
α
j1
, k = 1, , m, j = 1, , n
a
11
= 0, α
11
= 0.
Tương tự từ giả thiết (i) của định lý 2.1.3 ta lấy
(a

i1
, , a

im
), (α

1i
, , α

ni

), i = 1, , m (2.38)
thỏa mãn điều kiện
D
(i)
kj
= a

ik
α

ji
, k = 1, , m, j = 1, , n (2.39)
Từ giả thiết (iii) có
Rank













a
11
α

11
a
11
α
21
a
11
α
n1
+ + + +
a
1m
α
11
a
1m
α
21
a
1m
α
n1
a

21
α

12
a


21
α

22
a

21
α

n2
+ + + +
a

m1
α

1m
a

m1
α

2m
a

m1
α

nm
+ + + +

a

mm
α

1m
a

mm
α

2m
a

mm
α

nm














= 1 (2.40)
Suy ra
(a

il
α

1i
, , a

il
α

ni
) = γ
(i,l)
(a
1l
α
11
, , a
1l
α
n1
) (2.41)
22
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Trong đó i, l = 1, , m , γ

(i,l)
là các hằng số. Ta được
a

il
α

ki
= γ
(i,l)
a
1l
α
k1
(2.42)
với i, l = 1, , m, k = 1, , n. Kí hiệu
γ
(i,l)
a
1l
= a
il
(2.43)
Thay 2.43 vào 2.42 được
a

il
α

ki

= a
il
α
k1
, i, l = 1, , m, k = 1, , n (2.44)
Do các giả thiết(i), (ii) ta có các số
a
ik
, α
j1
, i, k = 1, , m, j = 1, , n (2.45)
theo 2.39 và 2.44 thỏa mãn điều kiện
a
ik
α
j1
= D
(i)
kj
, i, k = 1, , m, j = 1, , n (2.46)
Từ giả thiết (ii) ta được
Rank


a
11
α
11
a
11

α
n1
a
m1
α
11
a
m1
α
n1
+ + + + + + +
a
1m
α
11
a
1m
α
n1
a
mm
α
11
a
mn
α
n1


= 1 (2.47)

hoặc






a
11
a
m1
+ + +
a
1m
a
mm






= 0
Ta có thể thêm vào các số vừa tìm được ở trên (n
2
− n) số α
jk
, j =
2, , n, k = 1, , n sao cho







a
11
a
1n
+ + +
a
n1
a
nn






= 0 (2.48)
23