Tài liệu ôn thi lớp 10 có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (889.17 KB, 112 trang )
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
T1-9
CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức:
1. Định nghĩa căn bậc hai:
- CBH của số a không âm là số x sao cho x
2
= a
- Số dương a có đúng hai CBH là hai số đối nhau:
+ Số dương :
a
; + Số âm:
a−
- Số 0 có CBH là chính số 0,
0 0
=
2. Định nghĩa căn bậc hai số học.
- Với số dương a, số
a
gọi là căn bậc hai số học của a.
- Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0.
-
2
x 0
x a
x a
≥
= ⇔
=
3. So sánh các căn bậc hai số học. Với a > 0 và b > 0:
a b a b> ⇔ >
B. Ví dụ:
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X
2
= A.
Phương pháp:
2
X 0
X A
X A
≥
= ⇔
=
Ví dụ 1: Tìm x biết x
2
= 8. Giải : x =
228 ±=±
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
X A=
VỚI
X 0≥
Phương pháp:
2 2
X A X A X A= ⇔ = ⇔ =
Ví dụ 2 : Tìm số x không âm :
a)
x 5 x 25 x 25= ⇔ = ⇔ =
b)
2x 6 2x 36 2x 36 x 18
> ⇔ > ⇔ > ⇔ >
III. SO SÁNH:
Phương pháp so sánh : Với a > 0 và b > 0 thì nếu a > b ⇔ >
Ví dụ 3: So sánh:
a)
15
và 4; b)
2 3
và
3 2
c) 2
5
và 6 d) 2 và
5
-2
Giải:
a) Ta có: 4 =
16 15>
b) Ta có:
2 3 12
3 2 18 2 3 3 2
12 18
=
= ⇒ <
<
c) ta có: 6 = 2.3 = 2
9
> 2
5
(vì
9
>
5
)
d) 2 = 4 – 2 =
16
- 2 >
5
-2 (vì
16
>
5
)
C. Bài tập.
Bài 1: Tính
4916.100
2
1
)
4
1
.25,0) +++
−
ba
Bài 2: Tìm số x không âm, biết:
a)
x 7=
b)
3x 6=
c)
x 4≤
d)
5x 7>
e)
x 1 7+ =
f)
x 9 7+ =
g)
( )
2 x 2 x 4− − =
h)
( )
x 2 3 x 0+ − >
1
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bài 3: SO SÁNH các giá trị chứa căn thức ( Không dùng máy tính )
a) 12 và
147
b) – 8 và
67−
c)
2 3+
và
5 3+
d) 11 và
120
e)
17 10
+
và 7 f)
26 17
+
và 9 g)
8 24
+
và
65
h)
117 7
−
và 4
i) 4
5
và 12 k) 8 và
34 2−
l) -3
7
và -9 m) -2
5
và -6
Bài 4: So sánh hai số sau:
a. 5 và
3 3
b. 6 và
41
c. 7 và
47
d.
3 3
và
3
+ 1
Bài 5: So sánh: a.
2 2
và 2 +
2
b.
2 5
và 5 -
5
Bài 6: So sánh: a.
2004
-
2003
và
2006
-
2005
b. 2 -
3
và 3 -
2 2
………………………………………………………………
CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức :
1. Căn thức bậc hai : A một là biểu thức, ta gọi
A
là căn thức bậc hai.
2.
A
có nghĩa khi A (xác định)
A 0≥
.
3. Hằng đẳng thức:
2
n
A êu A 0
A A
AnêuA 0
≥
= =
− <
.
B. Ví dụ:
I. DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH
Phương pháp tìm điều kiện: xác định khi A ≥ 0 Cần lưu ý xác định khi B
≠
0.
- Nếu A là nhị thức bậc nhất thì ta phải giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Nếu A là đa thức bậc hai, Ta phải giải bất phương trình bậc hai.
+ Nếu A phân tích được thành nhân tử ta giải bất phương trình bằng xét dấu các nhị
thức bậc nhất.
. Trường hợp bất phương trình có dạng: x
2
≤
a , hoặc x
2
≥
a trong đó a là hằng số
dương, ta có thể giải thích bằng cách:
x
2
≤
a
x a a x a⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
2
x a
x a x a
x a
≥
≥ ⇔ ≥ ⇔
≤ −
+ Nếu A không phân tích được thành nhân tử, ta sẽ chứng tỏ rằng A:
. Luôn có giá trị dương (khi đó
A
có nghĩa với mọi x).
. Hoặc luôn có giá trị âm (khi đó
A
không có nghĩa với mọi x)
Ví dụ : Xác định giá trị của biến để biểu thức sau xác định:
a)
42 −x
có nghĩa ?. Giải : Ta có
42 −x
có nghĩa khi
2042 ≥⇔≥− xx
b)
5
2
+x
có nghĩa? Giải : Ta thấy
xx ∀≥ 0
2
nên
5
2
+x
có nghĩa với mọi x.
c)
5
x 3−
có nghĩa? Giải:
5
x 3−
có nghĩa khi : x – 3 > 0
⇔
x > 3
d)
2
1 4x−
có nghĩa khi
2
1 – 4x 0≥
Cách 1: Ta có:
( ) ( )
2
1 1
1 – 4x 0 1 2x 1 2x 0 x
2 2
≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤
Cách 2:
2 2
1 1 1 1
1 4x 0 x x x
4 2 2 2
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH = B
2
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Phương pháp giải phương trình = B ⇔
Ví dụ: Tìm x biết
21 =−x
Giải : Ta có
5
5
1
41
01
=⇔
=
≥
⇔
=−
≥−
x
x
x
x
x
III. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI THEO HẰNG ĐẲNG THỨC
Phương pháp rút gọn đưa về dạng : = | A |
B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A
B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại
B3: đưa về dạng = | A |
B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0
Ví dụ: Tính
( )
2
1 3 ; 4 2 3
− −
Giải : Ta có :
( )
( )
2
2
1 3 1 3 3 1
4 2 3 3 1 3 1 3 1
− = − = −
− = − = − = −
IV. PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Phương pháp: Áp dụng: A =
( )
2
A
với A
≥
0
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:
a) x
2
– 5; b) x – 3 c) x + 2
x
+ 1 d) x
2
- 2
3
x + 3
Giải:
a) x
2
– 5 = x
2
-
( ) ( ) ( )
2
2
x 5 x 5 x 5
− = − +
; b)
( ) ( )
2 2
2
x 2 x 1 x 2 x.1 1 x 1
+ + = + + = +
C. Bài tập.
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức sau:
a) g) m) s)
b) h) t) r) 2 - 4
c) i) o) u)
d) j) p) v)
e) w) f) l)
Bài 2: Tìm ĐKXĐ của biểu thức:
a)
2
3 1 16x− −
b)
2
8x x 15− −
c)
2
x x 1− +
d)
2
x 5−
e)
2
1
1 x 3− −
f)
2
1
x 8x 15− +
g)
2
1
9x 6x 1− +
h)
1
1 x-1−
i)
1
x 2x 1− −
k)
1
2x 4x 1− −
l)
2
2
6 x x− −
m)
2
2
16 x
x 8x 14
−
− +
Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa ?
a,
3x
;
3x
−
;
5 10x
+
b,
1
3
x− +
;
2
1x
+
;
2
5x
−
c,
2
9x
−
;
1
2x
−
;
2
3x
+
;
( 3)( 2)x x
− +
3
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bài 4 :Giải phương trình :
a) = 4 g) = 12 l) = x
b) = 4 h) = 21 m) = 2 s) = 3
c) = 10 i) = o) = t) = x
d) = 12 j) - = 0 p) = 8
e) = 2 k) = 2 q) = 3 v) = 5
f) + x = 11 y) = 1 - 2x
Bài 5 : Giải phương trình :
a)
2
4x 20x 25 1− + =
b)
2
25x 30x 29 x 7− + = +
Bài 6 : Rút gọn căn bậc hai :
a)
6 2 5+
b)
7 2 6−
c)
12 2 11−
d)
24 2 23+
e)
7 4 3−
f)
18 8 2+
g)
14 6 5−
h)
155 24 11
+
Bài 7 : Cho biểu thức :
2
A 3x 1 4x 9 12x= − − + −
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 8: Cho biểu thức:
2 2
B x 6x 9 x 6x 9= − + − + +
a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị của x để A = 1.
Bài 9 : Phân tích thành nhân tử :
a) x – 7 ; b) 2x – 5 c) x
2
-
2
x 2 5x 5− +
d)
2
x 2 7x 7− +
Bài 10 : Rút gọn biểu thức :
a)
3 3
3
−
b)
x 25
x 5
−
+
c)
2
x 6x 9
2x 6
− +
−
d)
2
x 8x 16
12 3x
− +
−
Bài 11: Rút gọn
a,
2
(3 2)−
b,
2
(1 5)+
c,
2
(1 3)−
d,
4
(4 2)−
Bài 12: Rút gọn:
a, A = 3.
2
( 3)a −
+
2
( 1)a −
với 1<a<3 b, B =
2
(4 )x+
- 2.
2
( 8)x −
+x với x>8
c, C =
2
( 7)x −
- (3x+1) với x bất kỳ
Bài 13: Giải các phương trình: a,
3 6x −
= 3 b,
1
5 1
4
x + =
Bài 14: Giải các phương trình: a,
2 1x x+ =
b,
4 3 2x x− = +
Bài 15: Giải các phương trình: a,
2 2
(3 1) ( 2)x x− = −
b,
2 2
4 4 6 9x x x x+ + = − +
………………………………………………………………………….
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức.
A.B A. B=
với A
≥
0, B
≥
0
2
A. B nêuA 0; B 0
A .B A . B
A. B nêu A 0; B 0
≥ ≥
= =
− < ≥
;
A A
B
B
=
với A
≥
0, B >0
Với A
≥
0 ta có:
( )
2
2
A A A= =
B. Ví dụ:
I. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI
4
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Phương pháp rút gọn đưa về dạng : sử dụng
A.B A. B=
với A
≥
0, B
≥
0; =
A
B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A
B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại
B3: đưa về dạng = | A |
B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0
Ví dụ : Rút gọn biểu thức :
a)
5 2 6−
b)
9 2 20+
c)
2
0,09x
với x < 0
Giải:
a)
( )
2
5 2 6 3 2 3. 2 2 3 2 3 2 3 2− = − + = − = − = −
b)
( )
2
9 2 20 4 2 4. 5 5 4 5 2 5 2 5+ = + + = + = + = +
c)
2 2
0,09x 0,09. x 0,3x= =
II. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI
Phương pháp khai phương:
2 2
A. B NeuA 0
A B A . B A B
A. B NeuA 0
≥
= = =
− <
VỚI B ≥ 0
Lưu ý: Để tạo nên A trong căn ta lấy biểu thức chia cho các số chính phương như :
2= 4,3= 9, 4= 16, 5 = 25, 6= 36, 7 = 49,
Ví dụ 1: M = - 2 + N = 2 - + 3 - P = - -
Giải:
( )
M 20 2 10 45 4.5 2 2. 5 9.5
2 5 2 2. 5 3 5 5 5 2 2. 5 5 5 2 2
= − + = − +
= − + = − = −
N 2 12 48 3 27 108 2 4.3 16.3 3 9.3 36.3
4 3 4 3 9 3 6 3 3 3
= − + − = − + −
= − + − =
2
P 343 112 63 49 16.7 9.7
49 4 7 3 7 49 7 7
= − − = − −
= − − = −
Ví dụ 2: rút gọn biểu thức:
A x 2 x 1 x 1= + − − −
với x > 1
( )
2
A x 2 x 1 x 1 (x 1) 2 x 1 1 x 1
x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1
= + − − − = − + − + − −
= − + − − = − + − − = − + − − =
Bài tập:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a)
2 2
122 22−
b)
2 2
68 32−
c)
2 2
116 84−
d)
25,6.250
e)
3 6
3 2
+
+
f)
7 14
7 2
−
−
g)
( )
(
)
(
)
5 4 2 3 2 1 2 3 2 1 2+ + + − +
Bài 2: Rút gọn biểu thức
5
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
a) b) c) d) e) f) g) h)
i) j) k) l) m) n) o)
p) q) r) s) t)
u) v) w) x) y) c') d') e')
f') g') z) .( + )
a') ( +7 ). b') 2.( - ).
h') (4 + )( - ) i') ( 7 + ).
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
A = - 7 - 14 - B = 3( 4 - ) + 3( 1 - 2)
C = 2 + 5 - 3 D = + - 4
E = ( - 2) + 12 F = 3 - 7 + 12
G = 2 - 2 + 2 H = - 4 + 7
I = - + 2 J = - + 3
K = - 2 + 5 L = 5 - 3 + 2 -
Bài 4: Rút gọn biểu thức:nhiều căn thức:
A = 4 - B = + 1
C = - D = +
E = - IV = -
H = - F = + - 2 G = I = -
J = + K = -
L = (3 + ). M = -
N = - O = +
R = - S = +
P = - T= +
U = - V = +
W = + Y =
Z = + II = -
Bài 5 : Rút gọn biểu thức :
a)
A 7 2 6 7 2 6= − − +
b)
B 9 4 5 9 4 5= − − +
c)
C 4 2 3 4 2 3= + − −
d)
D 4 7 4 7= − − +
Bài 6 : Rút gọn biểu thức :
a)
( )
2 3 7 4 3+ −
b)
(
)
5 2 6 2 3− +
c)
4 2 3 5 2 6 2+ − + +
d)
3 2 2 6 4 2+ + −
e)
2 17 4 9 4 5+ − +
g)
2 2 3 18 8 2+ + −
Bài 7 : Rút gọn biểu thức :
( ) ( ) ( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1= − − + +
( )
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
+ +
= + − +
+
C 3 2 2 6 4 2= − − +
D 2 3 2 3= + + −
Bài 8 : Rút gọn biểu thức :
a)
A 2x 4x 1 2x 4x 1= + − − − −
với
1
x
2
>
6
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
b)
A 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1
= + − − − −
Với
1
x
2
≥
, HD: A
2
= 2, mà A> 0 nên
A 2
=
Bài 9: So sánh
a) 2 và b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , - (tăng dần)
d) 2 và e) 2 - 1 và 2 f) 6 và g) và 1 h) - và - 2 i) - 1 và 3 j) 2 - 5
và 1 k) và
l) 6 , 4 , - , 2 , (Sx giảm dần)
m) - 2 và - n) 2 - 2 và 3 o) 28, , 2, 36 (sắp xếp tăng dần)
q) và - r) - 7 và 4 p) - 27, 4, 16 , 21 (sắp xếp giảm dần )
…………………………………………………………………………….
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức.
A A
B
B
=
với A
≥
0, B >0 ; Với A
≥
0 ta có:
( )
2
2
A A A= =
B. Ví dụ :
Ví dụ 1 : Tính :a)
68 68 4 2
153 9 3
153
= = =
( ) ( )
( )
b) 32 50 8 : 2 16.2 25.2 4.2 : 2
4 2 5 2 2 2 : 2 2 : 2 1
− + = − +
= − + = =
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :
( )
2
3 1
2 3 2 3 4 2 3 3 1
A
2 4 4 2
2
−
− − − −
= = = = =
C. Bài tập :
Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức :
a)
( )
5 48 3 27 2 12 : 3− +
b)
9 1
2 : 2
2 2
+ −
÷
c)
6 2 5
1 5
+
+
d)
9 6 2 6
3
− −
e)
3 5 : 2−
f)
27 7 5 : 2+
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :
x 2x 1
A
2
− −
=
với
1
x 1
2
≤ <
x 2 2x 4
B
2
− −
=
với a)
x 4
≥
b)
2 x 4
≤ <
………………………………………………………………
T2-10
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
A. Kiến thức :
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
2
A. B Neu A 0
A B A B
A. B Neu A 0
≥
= =
− <
với B
≥
0
7
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
A B A B=
với A
≥
0, B
≥
0;
2
A B A B= −
với A < 0, B
≥
0
3. Khử mẫu biểu thức lấy căn:
A AB
B B
=
với A
≥
0, B
≥
0 , B
≠
0
4. Trục căn thức ở mẫu
a) Với các biểu thức A, B > 0 ta có:
A A B
B
B
=
b) Với các biểu thức A, B, C mà A
≥
0 và A
≠
B
2
ta có:
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
c) Với các biểu thức A, B, C, mà A
≥
0, B
≥
0 , A
≠
B ta có:
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
B. Ví dụ:
I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG SỐ
Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là hai
biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A
2
– B
2
để trục căn ở mẫu .
→ Nghĩa là
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
;
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ.
+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8 để giải
các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:
→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )
→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )
→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp 9 )
→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:
A =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 5 2 3 5 2
3 3
5 2 5 2
5 2 5 2 5 2 5 2
+ −
− = −
− +
− + + −
3 5 3 2 3 5 3 2
3 5 3 2 3 5 3 2 6 2
5 4 5 4
+ −
= − = + − + =
− −
B=
( ) ( )
6 2 1 6 2 1
2 3 6 6 1
: 6 : 6 : 6 : 6
2 2
8 2 2 2 2 2( 2 1)
+ +
+
= = = =
÷
+ + +
C
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 5
2
2 2 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
− +
= =
+ +
+ + − +
8
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 2 3 5
8 1 5
8 6 2 5 8 1 5 7 5
8 3 5 5 5
5 5 1 5 5 1
2 2 3 5
− +
− +
− + − − −
= = = = =
− − −
− −
− +
Bài tập: Rút gọn các biểu thức:
a)
3 5
3 5
+
−
b/
43
13
3
363
21
36
+
−
+
+
−
−
c)
6 3 10 15 1
2 1 5 3 2
− −
− −
− +
d)
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
− −
+
÷
÷
− − −
e) + : f)
2 5 33 10
8 7
5 2
3 11 1
+ − +
−
g)
( )
3 4 5
2 60 15 3 5 3
5
3 7
− + − −
−
h)
7 7 35 7
7 5 1
+ +
−
+
II.RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG CHỨA CHỮ
Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là hai
biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A
2
– B
2
để trục căn ở mẫu .
→ Nghĩa là
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
;
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ.
+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8 để
giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:
→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )
→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )
→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp 9 )
→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)
Lưu ý: Tìm tập xác định và cách tìm giá trị của ẩn x khi thay biểu thức bằng 1
giá trị xác định
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x x x x x x x 1 x x x 1
A 1 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 2 x 1 x 2 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
+ − + + + − − +
= + − = ×
÷ ÷
+ − + −
+ −
+ + − +
= × = × = + − = −
+ − + −
ĐKXĐ:
x 0, x 1≥ ≠ ±
Ví dụ 2: Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a) Rút gọn y. b) Tìm x để y = 2.
9
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
c) Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
+
+
= + − = + + − − = −
− +
b)
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
c) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x y y 0> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = − ⇒ − =
d) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
= − = − = − + − = + − ≥ −
÷
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
+ Thu gọn biểu thức (nếu có thể).
+ Thu gọn giá trị của biến (nếu có thể).
+ Thay giá trị thu gọn của biến vào biểu thức đã thu gọn.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
2
A x 3x y 2y= − +
tại
1 1
x ; y
5 2 9 4 5
= =
− +
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
A x 3x y 2y x x y 2x y 2y
x x y 2 y x y x y x 2 y
= − + = − − + ∞
= − − − = − −
Ta có:
( ) ( )
( )
5 2
1 5 2
x 5 2
5 4
5 2
5 2 5 2
+
+
= = = = +
−
−
− +
( ) ( )
( )
( )
2
2
5 2
1 9 4 5 5 2. 5.2 4
y 5 2
81 16.5 1
9 4 5
9 4 5 9 4 5
−
− − +
= = = = = −
−
+
+ −
y 5 2⇒ = −
Thay:
x 5 2= +
;
y 5 2= −
vào A ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
A 5 2 5 2 5 2 2 5 2 4 5 2 2 5 4 4 6 5
= + − + + − − = + − + = −
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A = - B = -
10
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
C = + D = -
E = + F = + - ( +)
G = - H = -
I = - J = 1+ .1 -
K = - L = - :
M = : N = +
O = + - P = -
Q = - .( - ) R = +
S = - T = -
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :
A = - ( với a ≥ 0, b ≥ 0, a
≠
b)
B = - ( với với a ≥ 0, b ≥ 0, a
≠
b)
C = - . (Với x ≥ 0, y ≥ 0, x
≠
y) D = x - 4 - ( x > 4)
E = : (a>0, b>0, a
≠
b) F = 2 + .2 - (Với a>0, a
≠
1)
G = - ( với a ≥ 9 ) H = - - 6 ( với x ≥ 9)
I = - : - 1 ( với x ≥ 0, x
≠
1)
J = - ( với x ≥ 6 )
K = + ( Với bất kì m)
L = + ( với 1 ≤ a ≤ 2)
M =
−
+
−
+
−
1
1
1
1
x
x
x
x
:
2
1
2
2
x
x
−
÷
÷
(Với x>0, x
≠
1) N =
x
xx
xx
xx +
−+
+−
+ 2
1
1
2
( với x>0)
O =
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
P =
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+
−
−
−
Q =
1
1
1
1
1
2
−
−
++
+
+
−
+
xxx
x
xx
x
R =
1212
1
.
1
1
2
−
+
−+
−
−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
S =
xxxx
x
xx ++
+
−
1
:
1
2
T =
xy
xyyx +
:
yx
yx
−
−
U =
3 1 4 4
4
2 2
a a a
a
a a
+ − −
− +
−
− +
V =
−
+
−
+
+
−
2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
W =
( )
2
1 1 3 1 1
:
1 1 1
3 1
a a a a
a a a a
a a
− − + +
÷
− −
÷
− − −
÷
+ −
X =
x
xx
x
x
xx
x
3
13
1
42
:3
1
2
3
2 −+
−
+
−
−
+
+
+
Y =
++
+
−
−
−
+
1
2
:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
Z =
( ) ( )
2 2 4 6 9
:
4
2 2
2 3
x x x x x
x
x x
x x
+ − − +
− −
÷
÷
−
− +
− −
Bài 3 : Chứng minh đẳng thức căn.
Phương pháp chứng minh: thực tế, Bài toán CM cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn 1 vế bất kì
rồi thu gọn cho thành vế còn lại. Vẫn sử dụng hết các tính chất của 8 bài toán đã học.
Chứng minh các đẳng thức sau :
a) = - 1 b) + - 2 = 0
c) = 1 + d) = 3
e) = 1 f) - . > 2
g) : = a - b h) ++ + + = 4
11
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
i) + . = 1 j) (4 + )( - ) = 2
k) + = 28 l) - = -
Bài 4: Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1
= +
− − −
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x= 3 - 2
2
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
………………………………………………………………
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC CHỨA CĂN
* DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
Bài 1: Rút gọn biểu thức
a/
721834520 ++−
. b/ (
847)73228
++−
.
c/
( )
12056
2
−+
.
1 1 3 4 1
d/ 2 200 :
2 2 2 5 8
− +
÷
÷
Bài 2. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
= + − − − −
÷ ÷
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
−
= −
÷
−
+
R 3 13 48= + +
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
12
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
a/
1 1
5 3 5 3
A = −
+ −
b/
4 2 3
6 2
B
−
=
−
c/
1 2 2
2 3 6 3 3
= + −
+ +
C
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − =
b/
2 3 2 3 6+ + − =
c/
( ) ( )
2 2
4 4
8
2 5 2 5
− =
− +
d/
75 48 300+ −
Bài 5: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
2 3+
và
10
b/
2003 2005+
và
2 2004
c/
5 3
và
3 5
Bài 6: Thực hiện phép tính:
a/
( )
12 75 27 : 15+ +
b/
252 700 1008 448
− + −
c/
( ) ( )
2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2
+ − − −
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 3 1 3
;
2 2
− −
+
b/
3 2 2 6 4 2;+ + −
c/
2 3 2 3 2 2 3
:
2 2
6 2 3
+ + +
÷
− +
÷
d/
13
33
:
12
22
−
−
+
+
e/
15281528
−−+
Bài 8: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
3 5 +
và
2 2 6+
; b/
7 1
2 21
và
4 1
9 5
; c/
14 13−
và
2 3 11−
.
Bài 9: Cho
11 96A = +
và
2 2
1 2 3
B =
+ −
Không dùng bảng số, máy tính, hãy so sánh A và B.
Bài 10: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
( ) ( ) ( )
2
2 2 5 2 3 2 5 20 2 33− − − − = −
; b/
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10+ + + − + = +
c/
1 1 1
9
1 2 2 3 99 100
+ + + =
+ + +
Bài 11: Tìm x, biết
a/
21x2x =−−
( )
2
x x 1 x 5
b) 4 x . 81 36 c) 3 d) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a,
3 9 4 0x x+ + − =
b,
2 2
4 4 1 ( 3) 0x x x+ + + − =
c,
2
4 6 3 0x x− + − =
Bài 13: Rút gọn: A=
4 2 2 4 2 2x x x x+ − + + − − +
Bài 14: Giải phương trình:
a,
2 2
2 9 7 0x x− − + =
b,
2
3 4 15 2 1x x x+ + = +
c,
2 1 1
5 5 2 5
3 2 6
x x x− + − − − =
Bài 15 Giải các phương trình sau:
a)
3 5x − =
b)
2 1 0x x− + =
c)
( )
2
3 1x − =
d)
( )
2
3 3x x− = −
e)
( )
2
3 3x x− = −
f)
2 4 8 12x x− + − =
*DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
13
ễn tp toỏn lp 9 NTVKN
Bi 1: Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
+
= =
+
a) Rỳt gn A v B. b) Tỡm x A = B.
Bi 2: Cho
x 1
A
x 3
+
=
. Tỡm s nguyờn x A nhn giỏ tr nguyờn.
Bi 3: Cho biu thc
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
+
= +
ữ
+
vi a >0 v a
1
a/ Rỳt gn biu thc M. b/ So sỏnh giỏ tr ca M vi 1.
Bi 4: Cho biu thc :
+
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
a/ Rut gon biờu thc P. b/ Tinh gia tri cua P vi
223
=
x
.
Bi 5: Cho biu thc :
9
113
3
1
3
2
2
+
+
=
x
x
x
x
x
x
A
vi
3
x
a/ Rut gon A. b/ Tim x ờ A < 2. c/ Tim x nguyờn ờ A nguyờn.
Bi 6: Cho biu thc :
+
+
++
+
= x
x
x
xx
x
x
x
B
1
1
.
1
1
12
3
3
vi
0
x
va
1
x
a/ Rut gon B; b/ Tim x ờ B = 3.
Bi 7: Cho biu thc:
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
vi x >0, y > 0
a/ Rut gon A;
b/ Biờt xy = 16. Tim cac gia tri cua x, y ờ A co gia tri nho nhõt, tim gia tri o.
Bi 8: Cho biu thc
2
2 2
1 3 1
:
3 3
3 27 3
x
A
x
x x x
ữ
ữ
ữ
ữ
= + +
+
a) Rỳt gn A b) Tỡm x A < 1
Bài 9: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1
+
ữ ữ
ữ ữ
+
a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 10: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2
+ + +
ữ
ữ
ữ
+ +
a) Rút gọn B; b) Tìm giá trị của x để B > 0.
Bài 11: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn C; b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 12: Rút gọn biểu thức :
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
14
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
− + +
x 1 2 x 2
H =
x 2 1
− − −
− −
Bài 13. Cho các biểu thức: A =
2
232
−
−−
x
xx
và B =
2
22
3
+
−+−
x
xxx
a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị của x để A = B.
Bài 14. Cho biểu thức: P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa
xa
a) Rút gọn P. b) Tìm a để |P| = 1. c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N.
Bài 15. Cho biểu thức:
( )
1x
2x
2x
3x
2xx
3xx3
P
−
−
−
+
+
+
−+
−+
=
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
4
15
P <
.
Bài 16. Cho biểu thức:
+
+
−
−
+
−
+
−
+
+
+
+
=
1xy
1x
1xy
xxy
11
xy1
xxy
1xy
1x
P
a) Rút gọn P. b) Cho
6
11
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 17. Cho biểu thức:
+
−
+−
+
+
−
+
+
−
+
=
1x
x
1:
6x5x
2x
x3
2x
2x
3x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho biểu thức: P =
xx
xx
xx
xx
x
x
+
+
−
−
+
+ 1
_
122
a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, CMR biểu thức
P
8
chỉ nhận đúng một giá trị
nguyên.
Bài 19. Cho biểu thức:
+
−
−
+
−
−
+
−
+−
+
=
1x
x
2:
3x
2x
x2
3x
6x5x
2x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2
51
−≤
P
Bài 20. Cho biểu thức: P =
1
1
1
2
1
1
++
+
−
−
+
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
P
Q +=
2
.
Bài 21. Cho biểu thức: P =
1
)1(22
1
2
−
−
+
+
−
++
−
x
x
x
xx
xx
xx
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên.
15
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bài 22. Cho biểu thức:
2
2
x
x2
1
1x
1x
1x
1x
P
−
−
+
−
+
−
=
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2>
x
P
Bài 23. Cho biểu thức: P =
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+
−
−
−
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2
9
=P
Bài 24. Cho
( )
2
1 a a 1 a a
A 1 a : a a 1
1 a 1 a
− +
= − + − +
÷ ÷
− +
a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì
A A=
Bài 25. Cho biểu thức :
a b 1 a b b b
B
a ab 2 ab a ab a ab
+ − −
= + +
÷
+ − +
.
a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B nếu
a 6 2 5= +
c) So sánh B với -1
Bài 26. Cho
1 1 a b
A : 1
a a b a a b a b
+
= + +
÷
÷
− − + + −
a) Rút gọn A. b) Tìm b biết
A A= −
c) Tính giá trị của A khi
a 5 4 2 ; b 2 6 2
= + = +
Bài 27. Cho biểu thức
a 1 a 1 1
A 4 a a
a 1 a 1 a
+ −
= − + −
÷
÷
− +
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A nếu
6
a
2 6
=
+
c) Tìm giá trị của a để
A A>
Bài 28. Cho biểu thức
a 1 a a a a
A
2
2 a a 1 a 1
− +
= − −
÷ ÷
+ −
.
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4
Bài 29. Cho biểu thức
c ac 1
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
−
= + −
÷
+
+
+ −
+ −
a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.
Bài 30. Cho biểu thức:
2 2 2
2mn 2mn 1
A= m+ m 1
1+n 1 n n
+ − +
÷
+
với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của A với
m 56 24 5
= +
.
16
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 31. Cho
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
= − −
÷ ÷
+
− + − −
với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P < 0
Bài 32. Xét biểu thức A
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
.
a) Rút gọn A. Tìm x để A = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : A - | A| = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Bài 33. Cho A =
−
+
+
−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
a
aaaa
a
a. Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi a =
223 +
c) Tìm a để A < 0
Bài 34. Cho P =
−
−
−
−
+
+ xxx
x
x
x
x
x 2
2
1
:
4
8
2
4
a. Rút gọn P b) Tính giá trị của x để P = -1
Bài 35. Cho P =
+
−
+
−
−
xx
x
x
x
x
x
11
:
1
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại x=
32
2
+
c) Tìm x thỏa mãn
436. −−−= xxxP
Bài 36. Cho B =
−
+
−
+
−
−
1
1
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
a. Rút gọn B b) Tìm x để B = 2 c) Tìm x để B > 0
Bài 37. Cho A =
1
)12(2
:
11
−
+−
+
+
−
−
−
x
xx
xx
xx
xx
xx
a. Rút gọn A b) Tìm x
∈
Z để A
∈
Z
Bài 38. Cho A =
2
1
:
1
1
11
2 −
−
+
++
+
−
+ x
xxx
x
xx
x
a. Rút gọn A b) Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 39. Cho K =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2009
.
1
14
1
1
1
1
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
a. Rút gọn K b) Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên
17
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bài 40. Cho P =
−
++
+
+
−
+
−
+
xy
xyyx
xy
yx
xy
yx
1
2
1:
11
a. Rút gọn P b) Tính P tại x =
32
2
+
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 41. Cho P =
+
−+
+
−
−+
−
− xx
xxx
x
xx
xx 1
12
1
12
:
1
1
1
a. Rút gọn P b) Tính P tại x =
347 −
Bài 42. Cho M =
1
1
1
1
1
2
−
−
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
a. Rút gọn M b) Chứng minh rằng 1 > 3M
Bài 43. Cho A =
++
+
−
−
−
−
+
1
4
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a. Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 44. Cho M =
−
+
+
−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a. Rút gọn M b) Tìm x sao cho M > 0
Bài 45. Cho M =
−
+
+
−
−
−
+
x
xx
x
x
x
x 1
4
1
1
1
1
a. Rút gọn M b) Chứng minh rằng M > 0
Bài 46. Cho P =
−
+
−
−
−
−
+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
a. Rút gọn P b) Tìm x để P = 3
Bài 47. Cho M =
1212
1
.
1
1
2
−
+
−+
−
−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a. Tìm x để M có nghĩa b) Rút gọn M
c. Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên d) Chứng minh rằng M < 1 với mọi x
Bài 48. Cho P =
ba
abab
ba
bbaa
ab
ab
+
+−
−
−
−
−
−
2
)(
:
a. Rút gọn P b) Chứng minh rằng P
≥
0
Bài 49. Cho P =
−+
−
−
+
−
+
−
−
−
−
−
6
9
3
2
2
3
:
9
3
1
xx
x
x
x
x
x
x
xx
18
ễn tp toỏn lp 9 NTVKN
a. Rỳt gn P b) Tỡm x P = 1
Bi 50. Cho P =
+
+
+
a
a
aa
aa
a
aa
a
1
1
:
11
12
a. Rỳt gn P b) Tỡm a
01. < aP
Bài 51: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2
và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q; b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 52: Cho các biểu thức
+
+
=
3
2
2
3
6
9
:
9
3
1
x
x
x
x
xx
x
x
xx
B
a) Rút gọn biểu thức B. b) Tim x ờ B > 0 .
c) Vi x > 4 ; x
9
, Tim gia tri ln nhõt cua biờu thc B( x + 1).
Bài 53: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2
+
+ +
ữ
ữ
+ +
a) Rút gọn P; b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.
Bài 54: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
+ + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +
a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để
1 5
P 2
.
Bài 55: Cho
2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ +
= + +
+ + + + + +
với x 0. Chứng minh rằng giá trị của
A không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 56: Cho biểu thức: M =
+
+
+
+
+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
a) Rút gọn M. B) Tính giá trị của M nếu a=
32
và b=
31
13
+
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu
4=+ ba
Bài 57: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
+
+ +
ữ
ữ
ữ
+
với x>0 ,x
1
a. Rút gọn A b) Tính A với a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+
(KQ:A= 4a)
Bài 58: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
+
ữ ữ
ữ ữ
+ +
với x
0 , x
9, x
4 .
a. Rút gọn A. b) x= ? Thì A < 1. c) Tìm
x Z
để
A Z
(KQ:A=
3
2x
)
19
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bµi 59: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b) T×m GTLN cña A. c) T×m x ®Ó A =
1
2
d) CMR : A
2
3
≤
.
Bµi 60: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A. b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bµi 61: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A. b. CMR :
0 1A
≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bµi 62: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
− − + −
− − +
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − + −
víi x
≥
0 , x
≠
9. x
≠
25
a. Rót gän A. b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
5
3x +
)
Bµi 63: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
víi a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rót gän A. b. T×m a ®Ó A < 1 c. T×m
a Z∈
®Ó
A Z∈
Bµi 64: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
− + + −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− − +
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A. b) So s¸nh A víi
1
A
( KQ: A =
9
6
x
x
+
)
Bµi 65: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
− +
−
−
÷
+
÷
−
− +
víi x
≥
0 , y
≥
0,
x y≠
a. Rót gän A. b) CMR : A
≥
0 ( KQ: A =
xy
x xy y− +
)
Bµi 66: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
− + + −
− + − +
÷
÷
÷
− + − +
Víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bµi 67: Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
− +
÷
+ −
÷
÷
÷
− −
−
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bµi 68: Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
+ − +
÷ ÷
− + − +
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
20
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Bµi 69: Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
+ +
− −
÷
÷
÷
− + +
−
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 70: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
−
− −
÷
÷
÷
−
+ − + − −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN.
Bµi 71: Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
+ −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − −
víi x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bµi 72: Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
+ − − −
− − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
c . CMR : A
1≤
Bµi 73: Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
+
÷
− − − +
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A b. So s¸nh A víi 1 (KQ: A =
1x
x
−
)
Bµi 74: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
− −
− + −
÷ ÷
÷ ÷
−
− + +
Víi
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A =
6
5
c. T×m x ®Ó A < 1
Bµi 75: Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
− + − +
−
÷
÷
−
+ +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c. TÝnh A khi x =3+2
2
d. T×m GTLN cña A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 76: Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
+ −
+ +
÷
÷
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. CMR nÕu x
≥
0 , x
≠
1 th× A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bµi 77: Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−
− +
÷
− −
+
víi x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A =
1
2
Bµi 78 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
+ − − +
− +
÷
÷
÷
− −
− +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36 c. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
Bµi 79: Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
+ + +
− + +
÷ ÷
÷ ÷
+ − − − +
víi x
≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
21
ễn tp toỏn lp 9 NTVKN
a. Rút gọn A. b. Tìm
x Z
để
A Z
c. Tìm x để A < 0
B i 80: Cho biu thc
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
+
= +
ữ
+
vi a >0 v a
1
a/ Rút gn biu thc M. b/ So sánh giá tr ca M vi 1.
B i 81 : Cho biu thc
+
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
a/ Rut gon biểu thc P. c/ Tinh gia tri cua P vi
223
=
x
.
B i 82 : Cho biu thc
2
2 2
1 3 1
:
3 3
3 27 3
x
A
x
x x x
ữ
ữ
ữ
ữ
= + +
+
a) Rút gn A b) Tìm x A < 1
Bài 83: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 84: Cho các biểu thức
+
+
=
3
2
2
3
6
9
:
9
3
1
x
x
x
x
xx
x
x
xx
B
b) Rút gn B. b) Tim x để B > 0 . c) Vi x > 4; x
9
, Tim GTNN B( x + 1)
Bài 85: Cho
2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ +
= + +
+ + + + + +
với x 0. Chứng minh rằng giá trị của
A không phụ thuộc vào biến số x.
T3-11,12
HM S BC NHT
A. Kin thc.
I. Khỏi nim chung.
1. Khỏi nim v hm s (khỏi nim chung).
Nu i lng y ph thuc vo i lng thay i x sao cho vi mi giỏ tr ca x ta luụn xỏc
nh c ch mt giỏ tr tng ng ca y thỡ y c gi l hm s ca x v x c gi l
bin s.
*) Vớ d: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x +
3
;
*) Chỳ ý:
Khi i lng x thay i m y luụn nhn mt giỏ tr khụng i thỡ y c gi l hm hng.
*) Vớ d: Cỏc hm hng y = 2; y = - 4; y = 7;
2. Cỏch xỏc nh hm s:
a) Hm s c cho bng bng.
b) Hm s c cho bng cụng thc.
3. Hm ng bin, nghch bin:
Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a; b). Xột hai giỏ tr bt kỡ x
1
, x
2
thuc khong
(a; b) sao cho x
1
< x
2
.
- Nu f(x
1
) < f(x
2
) thỡ hm s ng bin trờn khong (a; b).
- Nu f(x
1
) > f(x
1
) thỡ hm s nghch bin trờn khong (a; b).
22
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
4. Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm biểu diễn cặp số (x ; y) trên mặt phẳng tọa độ.
II. Hàm số bậc nhất.
1. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó:
a,b R, a 0∈ ≠
2. Tính chất:
a) Hàm số xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
b) Hàm số đồng biến nếu a > 0, nghịch biến nếu a < 0.
c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng.
- Cắt trục tung (Oy) tại điểm có tọa độ
( )
0; b
.
- Cắt trục hoành (Ox) tại điểm có tọa độ:
b
; 0
a
−
÷
3. Hệ số góc. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Hệ số góc: Đường thẳng y = ax + b với
a,b R, a 0∈ ≠
có hệ số góc là a = tan
α
b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
* Hai đường thẳng : (d
1
): y = ax + b (
≠
a 0
) và (d
2
): y = a’x + b’ (
≠
a' 0
)
- d
1
và d
2
trùng nhau
⇔
a = a’, b = b’.
- d
1
và d
2
song song với nhau
⇔
a a '; b b'= ≠
- d
1
và d
2
vuông góc với nhau
⇔
a.a’ = -1
* Hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0.
- Trùng nhau
⇔
a b c
a' b' c '
= =
- Cắt nhau
⇔
a b
a' b'
≠
- Song song với nhau
⇔
a b c
a' b' c'
= ≠
B. Các dạng bài tập
I. Dạng: Xác định điểm thuộc đồ thi, điểm không thuộc đồ thị.
Phương pháp:
- Điểm A(x
A
; y
A
)
∈
(d): y = ax + b (a
≠
0) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
+ b
- Điểm B(x
B
; y
B
)
∉
(d): y = ax + b (a
≠
0) khi và chỉ khi y
B
≠
ax
B
+ b
II. Dạng xác định hàm số.
1. Xác định hàm số y = ax + b, Biết đồ thị hàm số đi qua A(x
A
; y
A
); B(x
B
; y
B
).
Phương pháp:
- Thay x = x
A
; y = y
A
vào phương trình ta có: y
A
= ax
A
+ b
x = x
B
; y = y
B
vào phương trình ta có: y
B
= ax
B
+ b
- Giaỉ hệ phương trình:
A A
B B
y ax b
y ax b
= +
= +
ta tìm được a và b theo x
A
, y
A
, x
B
, y
B
- Thay a và b tìm được vào phương trình y = ax + b ta được hàm số cần xác định.
2. Xác định hàm số y = mx + b (m là hằng số đã biết). biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
; y
A
)
Phương pháp:
- Thay x = x
A
; y = y
A
vào phương trình ta có: y
A
= mx
A
+ b giải phương trình ta
tìm được b theo m, x
A
, y
A
.
- Thay b tìm được vào y = mx + b ta được hàm số cần xác định.
3. Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m,
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ n.
23
Ôn tập toán lớp 9 NTVKN
Phương pháp:
- Đường thẳng cắt tung độ tại điểm có tung độ bằng m nên b = m.
- Đường thẳng y = ax + m đi qua điểm A(n; 0) nên ta có: 0 = a.n + m
m
a
n
−
⇒ =
- Thay
m
a
n
−
⇒ =
; b = m vào phương trình y = ax + b ta được hàm số cần xác định.
III. Dạng xác định điểm cố định của hàm số:
Phương pháp:
Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b (
≠
a 0
; a,b có chứa tham số) luôn đi qua
với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:
Bước 1: Gọi điểm cố định là A(x
0
; y
0
) mà đường thẳng y = ax + b luôn đi qua với mọi giá
trị của tham số m
Bước 2: Thay x = x
0
; y = y
0
vào hàm số được y
0
= ax
0
+ b, ta biến đổi về dạng <=>
0 0 0 0
A(x ,y ).m B(x ,y ) 0
+ =
, đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của tham số m hay
phương trình có vô số nghiệm m
Bước 3: Đặt điều kiện để phương trình có vô số nghiệm.
0 0 0 0
A(x ,y ).m B(x ,y ) 0
+ =
, có vô số nghiệm
=
⇔
=
0 0
0 0
A(x ,y ) 0
B(x ,y ) 0
IV. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Phương pháp:
Giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
Là nghiệm của hệ phương trình
1 1
2 2
y a x b
y a x b
= +
= +
V. Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm
Chứng minh đường thẳng y = A(m).x + B(m) luôn đi qua điểm A(x
A
; y
A
).
Phương pháp:
- Thay x = x
A
; y = y
A
vào phương trình đường thẳng ta có phương trình:
y
A
= A(m).x
A
+ B(m)
- Chứng tỏ đẳng thức y
A
= A(m).x
A
+ B(m) đúng với mọi m.
VI. Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định
Chứng minh đường thẳng A (m).y = B(m).x + C(m) luôn đi qua điểm cố định
Phương pháp:
- Gọi điểm A(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua vói mọi m
- Thay x = x
0
; y = y
0
vào phương trình đường thẳng và biến đổi về dạng:
D(x
0
; y
0
). m+ E(x
0
; y
0
) = 0
- Chứng tỏ đẳng thức D(x
0
; y
0
). m + E(x
0
; y
0
) = 0 với mọi m khi
( )
( )
0 0
0 0
D x ;y 0
E x ;y 0
=
=
VII. Chứng minh ba đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng.
Bước 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại.
VII. Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đồng qui.
d
1
: y = a
1
x + b
1
; d
2
: y = a
2
x + b
2
d
3
: y = a
3
x + b
3
Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đơn giản nhất.(giả sử d
1
và d
2
)
24
ễn tp toỏn lp 9 NTVKN
Bc 2: Thay to giao im trờn vo phng trỡnh ng thng cũn li (d
3
). Gii ph-
ng trỡnh v tỡm tham số. (Kt hp vi iu kin ca tham s ng thng cũn li phi ct
hai ng thng kia l:
3 2 1
a a a
). Ta tỡm c giỏ tr ca tham s.
VIII. Xỏc nh giỏ tr ca tham s m ng thng y = ax + b ct hai trc ta Ox,
Oy to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng c
Bc 1: th hm s y = ax + b ct hai trc ta to thnh mt tam giỏc thỡ ta cú
iu kin cn l:
a 0,b 0
=> iu kin ca m
Bc 2: Tỡm giao im ca th vi hai trc ta ; gi s A v B ln lt l giao im
ca th vi trc tung v trc honh
A(0 ; b) v B(
b
;0
a
)
Bc 3: Xột tam giỏc vuụng OAB cú : S
OAB
=
b
1 1
OA.OB b . c
2 2 a
= ì =
=> m = ? (kim tra vi iu kin bc 1)
IX. Xỏc nh giỏ tr ca tham s m ng thng y = ax + b ct hai trc ta Ox, Oy
to thnh mt tam giỏc cõn
Cỏch 1:
Bc 1: th hm s y = ax + b ct hai trc ta to thnh mt tam giỏc thỡ ta cú
iu kin cn l:
a 0,b 0
=> iu kin ca m
Bc 2: Tỡm giao im ca th vi hai trc ta ; gi s A v B ln lt l giao im
ca th vi trc tung v trc honh
A(0 ; b) v B(
b
;0
a
)
Bc 3: Tam giỏc OAB cõn <=> OA = OB <=>
b
b
a
=
(*)
Gii phng trỡnh (*) ta tỡm c giỏ tr ca m (kim tra iu kin bc1)
Cỏch 2: th hm s ct hai trc ta to thnh mt tam giỏc cõn khi v ch khi ng
thng y = ax + b song song vi ng thng y = x hoc song song vi ng thng y = - x
C. Các ví dụ:
Vớ d 1:
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :
+=
+=
ba
ba
4
2
=
=
1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
3
1
Vớ d 2: Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tỡm iu kin ca m hm s luụn nghch bin.
2) Tỡm m th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3.
3) Tỡm m th ca hm s trờn v cỏc th ca cỏc hm s y = -x + 2; y = 2x 1 ng quy
Hng dn :
1) Hm s y = (m 2)x + m + 3
m 2 < 0
m < 2.
2) Do th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vo hm s y = (m 2)x + m + 3, ta c m =
4
3
.
25
