Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ :
Hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần thiết để học sinh sử dụng
giải rất nhiều bài toán bắt đầu từ lớp 8. Vì vậy khi học và vận dụng kiến thức này, Học Sinh thường
gặp phải những thuận lợi và khó khăn sau đây:
1. Thuận lợi :
- Vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian,
bài giải gọn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi.
- Hằng đẳng thức đáng nhớ là một công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học
Sinh, để vận dụng giải bài toán từ lúc bắt đầu học cho đến các lớp trên.
- Khi vận dụng hằng đẳng thức tốt, Học Sinh sẽ có kết quả bất ngờ, đầy hứng thú. Kích thích
tinh thần say mê học toán.
2. Khó khăn:
- Học Sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng dạng hằng
đẳng thức nào.
- Phạm vi vận dụng hằng đẳng thức để giải toán rộng, nên không biết khi nào thì áp dụng.
- Khi vận dụng hằng đẳng thức thì Học Sinh còn nhầm lẫn về luỹ thừa, biểu thức, dấu, … dẫn
đến bế tắc.
 Do đó để vận dụng tốt hằng đẳng thức vào giải toán Đại Số lớp 8 (Chương I: phép nhân và
phép chia các đa thức)
Học Sinh cần:
o Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ
o Biết phối hợp với một số kiến thức khác
o Sử dụng chính xác hằng đẳng thức mà nội dung từng bài toán yêu cầu.
o Kết hợp với biến đổi, tính toán.
B/ NỘI DUNG: gồm 2 phần
I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
 7 hằng đẳng thức:(SGK)
Với A, B là các biểu thức
• (A + B)
2
= A

2
+ 2AB + B
2
• (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
• A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
• (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+B
3
• (A – B)
3
= A
3
– 3A
2

B + 3AB
2
- B
3
• A
3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
• A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B
2
)
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
 Các hằng đẳng thức liên quan :
• (A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
• (A – B)

2
= (A +B)
2
– 4AB
• A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
• A
3
+ B
3
= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
• (A + B – C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB - AC – BC)
 Các hằng đẳng thức dạng tổng quát :
• (A + B)
n

= A
n
+ n A
n-1
B + . . .+ n AB
n-1
+ B
n
• A
n
– B
n
= (A – B) (A
n-1
+ A
n-2
B + . . . +AB
n-2
+ B
n-1
)
• (A
1
+ A
2
+ . . . +A
n
)
2
= A

1
2
+ A
2
2
+ . . . + A
n
2
+ 2(A
1
A
2
+ A
1
A
3
+. . . +A
n-1
A
n
)
II. Áp dụng: Chúng tôi tạm chia theo nội dung sau, nhưng tất cả đều sử dụng hằng đẳng thức
để giải.
1. Thực hiện các phép tính :
 Phương pháp:
- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn).
 Bài tập:
1. (a – b – c)

2
– (a –b + c)
2

2. (a – x – y )
3
– (a + x – y )
3
3. (a + 1)(a + 2)(a
2
+ 4)(a – 1)(a
2
+ 1)(a – 2)
4. (1 – x - 2x
3
+ 3x
2
)(1 – x + 2x
3
– 3x
2
)
5. (a
2
– 1)(a
2
– a +1)(a
2
+ a +1)
Giải:

5. (a
2
– 1)(a
2
– a +1)(a
2
+ a +1)
= (a + 1) (a – 1) (a
2
– a + 1) (a
2
+ a +1)
= [(a + 1) (a
2
– a +1)] [(a – 1) (a
2
+ a + 1)]
= (a
3
+1) (a
3
– 1) = (a
3
)
2
– 1
= a
6
– 1
2. Rút gọn biểu thức:

 Phương pháp:
a) Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
b) Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
c) Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết qủa thường thì kết quả rất gọn).
 Bài tập:
a) (2x + y) (4x
2
– 2xy + y
2
) – (2x – y) (4x
2
+ 2xy + y
2
)
b) 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)
2
+ (3x – 1)
2
c) (x – y + z)
2
+ (z – y)
2
+ 2(x –y +z) . (y – z)
d) (x – 3) (x + 3) – (x - 3)
2
e) (x
2
– 1) (x +2) – (x – 2) (x
2
+ 2x +4)

Giải:
c) (x – y + z)
2
+ (z – y)
2
+ 2(x –y +z) (y – z)
= (x – y + z)
2
- 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)
2
= [(x – y + z) – (z – y)]
2

= (x – y + z –z + y)
2
= x
2
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
3. Tính nhanh:
 Phương pháp:
 Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
 Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng
thức.
 Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
 Bài tập:
a) 3
4
. 5
4
– (15

2
+ 1) (15
2
– 1)
b) 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80 . 45
c) 50
2
– 49
2
+ 48
2
– 47
2
+ . . . +2
2
- 1
2
d) 3(2
2
+ 1) (2
4
+ 1) (2
8
+ 1) (2

16
+ 1)
e) (3 +1) (3
2
+1) (3
4
+ 1) (3
8
+ 1) (3
16
+ 1)
Giải:
e) (3 +1) (3
2
+1) (3
4
+ 1) (3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
=
1
2
.(3
2
– 1) (3
2
+ 1) (3
4

+ 1) (3
8
+ 1) (3
16
+ 1)
=
1
2
.(3
4
- 1) (3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
=
1
2
. ( 3
8
- 1) (3
8
+ 1) (3
16
+ 1)
=
1
2

. (3
16
- 1) (3
16
+ 1)
=
1
2
. (3
32
– 1)
4. Tính giá trò biểu thức :
 Phương pháp:
 Dựa vào hằng đẳng thức thu gọn biểu thức.
 Thay giá trò của biến vào biểu thức thu gọn.
 Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.
 Bài tập:
a) x
2
– 2xy - 4z
2
+ y
2
tại x = 6, y = - 4, z = 45
b) x
3
+ 9x
2
+ 27x + 27 tại x = 97
c) 27 x

3
– 27x
2
y + 9xy
2
– y
3
tại x = 8, y = 25
d) x
2
- y
2
tại: x = 87, y = 13
e) 5x
2
z – 10xyz + 5y
2
z tại x = 124, y = 24, z = 2
Giải:
a) x
2
– 2xy - 4z
2
+ y
2

=( x
2
– 2xy + y
2

– 4z
2
= (x – y)
2
– (2z)
2
=(x – y + 2z) (x – y – 2z)
=(6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90)
=100 . (-80)
= - 8000
5. Phân tích đa thức thành nhân tử :
 Phương pháp:
a) Bản thân các hằng đẳng thức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử.
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
b) Dựa vào hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách
hạng tử, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
c) Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức.
 Bài tập:
a) (a + b) (a
3
– b
3
) – (a – b) (a
3
+ b
3
)
b) x
6
– y

6
c) x(y + z)
2
+ y(x + z)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
d) x
8
+ x
4
+ 1
e) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – y
3
Giải:
c. x(y + z)
2
+ y(x + z)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
= x(y
2
+ 2yz + z

2
) + y(x
2
+ 2xz + z
2
) + z(x + y)
2
– 4xyz
= xy
2
+ 2xyz + xz
2
+ x
2
y + 2xyz + yz
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
=(xy
2
+ x
2
y) + (xz
2
+ yz
2
) + z(x + y)
2
=xy(y + x) + z

2
(x + y) + z(x + y)
2
=(x + y) [xy + z
2
+ z(x + y)]
=(x + y) (xy + z
2
+ zx + zy)
=(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)]
=(x + y) (y + z) (x + z)
6. Chứng minh : có nhiều dạng
a) Phương pháp:
 Chia hết:
a) Dựa vào hằng đẳng thức
b) Phân tích đa thức đã cho vềù dạng tích. Trong đó có ít nhất một thừa số chia hết
cho số đó.
c) Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia hết cho số
đó.
 Biểu thức không phụ thuộc vào biến:
a) Dựa vào hằng đẳng thức.
b) Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến.
 Biểu thức dương hoặc âm:
a) Dựa vào hằng đẳng thức
b) Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với
∀
x hoặc f(x,y) > 0 với
∀
x, y
f(x) < 0 với

∀
x hoặc f(x,y) < 0 vơiù
∀
x, y
 Chứng minh đẳng thức:
a) Chú ý điều kiện đã cho phù hợp với hằng đẳng thức nào.
b) Biến đổi biểu thức để sử dụng được điều kiện.
b) Bài tập:
a) x
6
+ 3x
2
y
2
+ y
6
= 1 với x
2
+

y
2
= 1
b) (x – 1)
3
- (x + 1)
3
+ 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x.
c) Số có dạng 1 +
2007

3
2
không phải là số nguyên tố.
d) Cho A = (2x + y + 3)
2
– (2x – y -1)
2
. Chứng minh rằng:
A
M
4 ( với x,y thuộc z)
A > 0 (với x > 0, y > 0)
e) Nếu x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác thì A = 4x
2
y
2
– (x
2
+

y
2
- z
2
)
2
luôn dương.
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
Giải:
c) Ta biết: 3

2007
M
3
Đặt 3
2007
= 3n
Ta có: 1 +
2007
3
2
= 1 + 2
3n
= 1
3
+ (2
n
)
3
= (1 + 2
n
) ( 1 – 2
n
+ 2
2n
)
(tích 2 thừa số khác 1 và 1 + 2
3n
)
Vậy: 1 +

2007
3
2

không phải là số nguyên tố.
7. Tìm giá trò nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu th ức:
 Phương pháp:
 Nhỏ nhất: Min f(x) = m
+Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh:
f(x)
≥
m (m là hằng số)
∃
x
0
: f(x
0
) = m
 Lớn nhất: Max f(x) = M
+Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh:
f(x)
≤
M (M là hằng số)
∃
x
0
: f(x
0
) = M
 Thông thường để làm loại toán này ta phải biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức

bình phương của một tổng (hoặc một hiệu), cộng (trừ) với một hằng số .
Lưu ý: hệ số của x
2
trong tam thức bậc 2 âm(hoặc dương) để tìm giá trò lớn nhất
(hoặc nhỏ nhất).
 Trường hợp: biểu thức là phân thức mà tử là một hằng số thì kết quả nghòch đảo
với giá trò đa thức.
 Trường hợp: biểu thức có 2 biến ta nhóm lại làm cho từng biến như trên.
 Bài tập:
a) x
2
- x + 1
b) x – x
2
c) x
2
+ y
2
– x – 6y + 10
d)
2
2
6 5 9x x
− −
e)
2
3
2 2 3x x
+ +
Giải:

c) x
2

+ y
2
– x – 6y + 10
= (x
2
– x + 1) + ( y
2
– 6y + 9)
= (x
2
– 2. x .
1
2
+
1 3
4 4
+
) + (y – 3)
2
=(x -
1
2
)
2
+
3
4

+ (y – 3)
2

≥

3
4
Vậy giá trò nhỏ nhất của biểu thức bằng
3
4
Khi: (x -
1
2
)
2
= 0 và (y – 3)
2
= 0
=> x -
1
2
= 0 => y – 3 = 0
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
=>x =
1
2
=>y = 3
8. Làm tính chia đa thức cho đa thức :
 Phương pháp:
 Xem đa thức bò chia hoặc đa thức chia ở dạng hằng đẳng thức nào.

 Biến đổi đa thức về dạng tích và rút gọn ta có kết quả.
 Bài tập:
a. (x
3
– 3x
2
y + 3xy
2
– y
3
) : (x
2
– 2xy +y
2
)
b. (x
2
– 2xy +y
2
) : (y – x)
c. (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) : (x + y)
d. (4x

2
– 9y
2
) : (2x – 3y)
e. (27x
3
– 1) : (3x – 1)
Giải:
e. (27x
3
– 1) : (3x – 1)
= [(3x)
3
– 1] : (3x – 1)
= (3x – 1) (9x
2
+ 3x + 1) : ( 3x – 1)
= 9x
2
+ 3x + 1
9. Tìm x:
 Phương pháp:
 Dựa vào hằng đẳng thức phân tích một vế thành tích các đa thức.
 Thu gon các thừa số, nhận xét và giải phương trình ax + b = 0, tìm x.
Bài tập:
a. (x – 2)
3
– (x – 3) (x
2
+ 3x + 9) + 6(x + 1)

2
= 15
b. 2x
3
– 50x = 0
c. 5x
2
– 4(x
2
– 2x +1) – 5 = 0
d. x
3
– x = 0
e. 27x
3
– 27x
2
+ 9x – 1 = 1
Giải:
c. 5x
2
– 4(x
2
– 2x +1) – 5 = 0
=> 5(x
2
– 1) – 4(x – 1)
2
= 0
=> 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)

2
= 0
=> (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0
=> (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0
=> (x – 1) . (x + 9) = 0
x - 1 = 0 => x = 1
x + 9 = 0 => x = - 9

10. Một số dạng khác:
Nói chung hằng đẳng thức áp dụng rất nhiều dạng toán khác nhau. Nên tuỳ từng bài
toán yêu cầu ta có vận dụng phù hợp.
 Phương pháp:
 Xem xét bài toán có thể thấy ngay dạng hằng đẳng thức hay không.
 Biến đổi như thế nào để sử dụng được hằng đẳng thức.
 Phối hợp các phương pháp nào nữa để giải quyết bài toán.
Bài tập:
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
a) Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= 1 (1)
xy + yz + zt + tx = 1 (2)
b) Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện:
x + y + z = 6

x
2
+ y
2
+ z
2
= 12
c) Phân tích đa thức 4x
3
+ 8x
2
– 9x – 18 thành tích ba đa thức bậc nhất có dạng
(x + a) (2x + b) (2x + c) . Tính a. b. c
d) Cho a + b = -3, ab = 4. Tính : a
3
+ b
3
e) Cho a + b = 10, ab = -11. Tính : (a – b)
2
f) Cho x
2
– 2x = 2. Tính : E = (x
4
– 4x
3
+ 4x
2
) + 5(x
2
– 2x) + 6

g) Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp bằng 11. Tìm 2 số ấy.
Giải:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= 1 (1)
xy + yz + zt + tx = 1 (2)
2 x
2
+2 y
2
+ 2z
2
+ 2t
2
= 2 (1’)
2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 2 (2’)
(1’) – (2’) = 2 x
2
+2 y
2
+ 2z
2
+ 2t
2

- 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 0
=> (x
2
– 2xy + y
2
) + (y
2
– 2yz + z
2
) + (z
2
– 2zt + t
2
) + (t
2
– 2tx +
x
2
) = 0
=> (x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – t)
2
+ (t – x)
2
= 0
(x – y)
2

= 0 x – y = 0 x = y
(y – z)
2
= 0 y – z = 0 y = z
(z – t)
2
= 0 z – t = 0 z = t
(t – x)
2
= 0 t – x = 0 t = x
=> x = y = z =t
Do đó (1): 4x
2
= 1
x
2
=
1 1
4 2
x
⇒ ±
Vậy:
1
2
x y z t
= = = = ±
Sổ tích lũy chuyên môn Toán
=>
=>
=> =>