Tiểu luận toán c1 TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG TRONG kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
TRUNG

T
Â
M

Đ
À
O

T
Ạ
O

B
Ằ
NG

H
AI

TIỂU LUẬN
MÔN: TOÁN CAO CẤP C1
ĐỀ TÀI:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
KINH TẾ
GVHD: ThS. Nguyễn Tấn Huy
NHÓM THỰC HIỆN

1. Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN
2. Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT
3. Trần Thị Thanh Hà – B20 KDN
Đà Nẵng, Tháng 06/2015
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

1. NGUYÊN HÀM: 2

1.1. Định nghĩa: 2

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM) 3

2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích 3

2.2. Phương pháp đổi biến số 3

2.3. Phương pháp tích phân từng phần 4

3. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 5

3.1. Định nghĩa 5

PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 8

1. BÀI TẬP DẠNG 1. 8

Bài tập 1 8

Bài tập 2 : 8

2. BAI TẬP DẠNG 2 9

Bài tập 3 : 9

Bài tập 4: 10

Bài tập 5: 11

3. BAI TẬP DẠNG 3 12

Bài tập 6: 12

Bài tập 7: 14

4. BAI TẬP DẠNG 4 15

Bài tập 8: 15

5. BAI TẬP DẠNG 5 16

Bài tập 9: 16

Bài tập 10 : 17

Bài tập 11: 18

KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20




Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy



Trang
1


LỜI MỞ ĐẦU

Những vấn đề thường gặp trong các hoạt động kinh tế rất đa dạng và phức tạp.
Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải
quyết các vấn đề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết
thực. Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình toán học thích
hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải
cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu
cấp bách đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế.
Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọn
đề tài “Tích phân và ứng dụng trong kinh tế”. Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể
hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng
của tích phân nhằm giải các bài toán trong kinh tế học.
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
2


PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm:
1.1. Định nghĩa:
Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí để sản
xuất x đơn vị sản phẩm là C
ሺ
x
ሻ
, thì hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
=C′
ሺ
x
ሻ
.
Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
và cần tìm hàm chi phí
thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số Cሺxሻ sao cho C

ᇱ
ሺ
x
ሻ
=
MCሺxሻ. Đó là bài toán tìm nguyên hàm.
ĐỊNH NGHĨA:
Cho K là một khoảng trong ℝ (tức là K là một trong các dạng:
ሺ
a,b
ሻ
,
ሺ
a,b
ሿ
,[a,bሻ hoặc [a,bሿ). Hàm Fሺxሻ được gọi là nguyên hàm của hàm fሺxሻ
trên K nếu
F
ᇱ
ሺ
x
ሻ
=f
ሺ
x
ሻ
,∀x∈K.
Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía.
Như vậy, trong một khoảng nếu f′ሺxሻ là đạo hàm của fሺxሻ thì ngược lại fሺxሻ được
gọi là nguyên hàm của f′ሺxሻ.

Ví dụ 1:
i) Hàm ݕ=ݔ+ 1 có nguyên hàm là hàm ݕ=
௫
మ
ଶ
+ ݔ trên ܭ=
ሺ
−∞,∞
ሻ
.
ii) Hàm
ݕ=
ଵ
ଶ
√
௫
có nguyên hàm là ݕ=
√
ݔ trên miền ܭ=ሺ0,+∞ሻ.
ĐỊNH LÝ:
Nếu fሺxሻ có nguyên hàm là Fሺxሻ trên K thì fሺxሻ có vô số nguyên hàm và các
nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Nghĩa là
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
3


∫ ݂
ᇱ

ሺ
ݔ
ሻ
݀ݔ=݂
ሺ
ݔ
ሻ
+ ܥ
2. Các phương pháp tính phân bất định (Nguyên hàm)
Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu ột số phương pháp chung để tìm tích phân bất định bao
gồm các dạng toán như sau:
2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích
Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản,
ta có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách phân tích thành tổng của
các hàm đã có tích phân được tìm sẵn.
Ví dụ:
2
2 2 2
1 1
1
1 1 1
arctan
x
dx dx dx dx
x x x
x x C
 
= − = −
 
+ + +

 
= − +
∫ ∫ ∫ ∫

2.2. Phương pháp đổi biến số
dx
là một vi phân nên ta có thể viết như sau

( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
'
f x dx F x C f x t x t dt F x t C
= + ⇔ = +
∫ ∫

a) Phép biến đổi thuận:
Đặt
(
)
x x t
=
để chuyển việc tính
( )
f x dx
∫
thành

( )
(
)
( )
'
f x t x t dt
∫
.
Ví dụ: Tính

2
5
I x dx
= −
∫

Đặt
5sin
x t
=
, với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
, ta được:

2
arcsin ; 5 cos ; 5 5cos
5
x
t dx tdt x t
= = − =

Nên
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
4


( )
2
5 cos 5 cos
5
5 cos 1 cos2
2
5 sin 2
2 2
I t tdt
tdt t dt
t
t C
=
= = +
 
= + +

 
 
∫
∫ ∫

Thế
arcsin
5
x
t =
vào kết quả trên, ta được
5 1
arcsin sin 2arcsin
2 2
5 5
x x
I C
 
 
= + +
 
 
 
 

b) Phép biến đổi ngược:
Đặt
(
)
'

x t dt dx
=
để chuyển việc tính
(
)
(
)
(
)
'
f x t x t dt

thành
( )
f x dx
∫
.
Ví dụ: Tính

(
)
2
2 2
2
4 5 '
2 4
4 5 4 5
ln 4 5
x x
x

I dx dx
x x x x
x x C
+ −
+
= =
+ − + −
= + − +
∫ ∫

2.3. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử
(
)
u x
và
(
)
v x
là hai hàm số có đạo hàm
(
)
'
u x
và
(
)
'
v x
, là các hàm

liên tục trên khoảng
K
. Khi đó,

(
)
' ' '
uv u v uv
= +

Lấy tích phân cả hai vế, ta được
' '
uv u vdx uv dx
= +
∫ ∫

Hay

udv uv vdu
= =
∫ ∫

Ví dụ: Tính I =
∫
ݔ݈݊ݔ ݀ݔ

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
5

Đặt u = lnx du =
ଵ
௫
݀ݔ
dv = xdx v =
௫
మ
2

Vậy: I =
௫
మ
2
݈݊ݔ−
∫
௫
మ
ଶ

ଵ
௫
݀ݔ
=
௫
మ
2
݈݊ݔ−
௫

మ
ସ
+ ܥ

=
௫
మ
4
ሺ2݈݊ݔ−1ሻ ൅ ܥ


3. Tích phân xác định
3.1. Định nghĩa
Đặt vấn đề:
Giả sử
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
và
( )
[ ]
0, ,f x x a b> ∀ ∈
. Gọi
S
là hình phẳng
được giới hạn bởi: đồ thị hàm số
( )
y f x

=
; hai đường thẳng đứng
,x a x b= =
; trục
hoành.
S
được minh họa bởi hình sau đây:

Tính diện tích hình
S
?
Để tính diện tích hình
S
, ta chia đoạn
[ ]
,a b
thành
n
phần với cách chia:
0 1 2

n
a x x x x b= < < < < =
. Tại mỗi khoảng
( )
1
,
i i
x x
+

, ta xét diện tích
1i
S
+
như minh
họa ở hình vẽ sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
6



Khi giá trị
1i i i
x x x
−
∆ = −
là đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ giá trị diện tích
i
S
là diện tích
hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh lần lượt là:
i
x∆
và
( )
1i
f x
−

. Kết quả là diện tích
S

có thể được xấp xỉ như sau
( )
1
1
n
i i
i
S f x x
−
=
≈ ∆
∑


Như vậy, ta có thể khẳng định:
( )
1
1
lim
n
i i
n
i
S f x x
−
→+∞
=

= ∆
∑

Phương pháp xác định giá trị diện tích của một hàm như trên được tổng quát
hóa bằng phương pháp tích phân xác định. Theo đó,
ĐỊNH NGHĨA:
Tích phân xác định của một hàm số
( )
y f x
=
trên miền
[ ]
,a b
được ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫

Được định nghĩa như sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
7


( ) ( )
1
1

lim
n
b
i i
a
n
i
f x dx f x x
−
→+∞
=
= ∆
∑
∫

Với
0 1 2

n
a x x x x b
= < < < < =
.
ĐỊNH LÝ 1:
Điều kiện khả tích đủ để một hàm số
(
)
y f x
=
khả tích trên miền
[

]
,
a b
bao gồm
các điều kiện sau:
•
(
)
f x
liên tục hoặc có một số điểm gián đoạn hữu hạn trên
[
]
,
a b
;
•
(
)
f x
đơn điệu và bị chặn trên
[
]
,
a b

ĐỊNH LÝ 2
Hàm
(
)
y f x

=
khả tích trên miền
[
]
,
a b
thì nó bị chặn trên đoạn đó.

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
8


PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
1. Bài tập Dạng 1.
Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của
Q(t) khi t thay đổi từ a
→
b
Bài tập 1: Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất
với tốc độ là
t
e
5.0
100
−
+ đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ
sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị giữa 9 giờ sáng và 11giờ trưa
Giải :

Gọi Q(t) là số đơn vị người đó sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng.
Ta có :
(
)
0.5
100’
t
Q
e
t
−
+=

Số đơn vị người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng (
1
t
=
) đến 11 giờ trưa (
3
t
=
) là :
( ) ( )
3 3
0.5
1 1
'( ) 100
3 – 1 200,76
t
Q Q dt dtQ t e

−
=+= =
∫ ∫
(đơn vị)
Bài tập 2 :
Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn vị được sản xuất là 4(q −
5)
3
đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản
phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị ?
Giải :
Ta có :
( ) ( )
3
’ 4 5
C q q= −
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
9


Chi phí tăng lên khi lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị là :
( ) ( )
10 10
3
7 7
'( )
10 – 7
4

09
( 5)
6
C C dq dqC q q= = =−
∫ ∫
( đô la )
2. Bài tập Dạng 2
Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q (a) =Q
0
.
Tính Q (b) ?
Bài tập 3 :
Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế
(GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là
30
1
5
2
t
+
+
tỷ
USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD.
a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015.
b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm
2015 Giải :
a) Gọi f(t) là GDP của quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có :
( )
’ 30
1

5
2
f t
t
= +
+
;
(
)
0 100
f =
( tỷ USD )
GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015 là :
(
)
(
)
(
)
(
)
11 11 – 0 0
f f f f= +

f(11) =
∫
11
0
)(' tf
dt + 100 =

∫
++
11
0
5
2
1
30 t
dt + 100 = 447,6 ( tỷ USD )
b) Ta có :
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
10


f’(t) = 30+
t+5
2
1

⇒
f(t) =
∫
)(' tf
dt =
∫
++ t5
2
1

30
dt = 30t +
3
)5(
2
3
t+
+ C
Sử dụng ĐKBĐ :
f(0) = 100
3
)5(
2
3
+ C = 100
⇒
C= 96,27
Vậy,
f(t) = 30t +
3
)5(
2
3
t+
+ 96,27
phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm 2015 thay đổi là :
)(
).('
tf
ttf

∆
=
)5,11(
5,0).5,11('
f
f

≈
0,034 = 3,4%
Bài tập 4:
Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ
chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay vì người nghèo” đã được tổ
chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của đất nước là: Hà Nội, Đà
Nẵng, TP. Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đài
truyền hình Việt Nam. Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài
nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc
quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số
tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300te
ି଴,ଵ୲
(triệu đồng/giờ). Hãy xác định số
tiền có được sau 05 giờ quyên góp?
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
11


Giải
Gọi ݂(ݐሻ là số tiền quyên góp được sau ݐ (giờ) quyên góp. Ta có:
݂’

(
ݐ
ሻ
= 300ݐ݁
ି଴,ଵ௧
,ݐݎ݋݊݃ đó: ݂(0ሻ = 0
⇒݂(ݐሻ =
׬
݂
ᇱ
(
ݐ
ሻ
݀ݐ =
׬
300ݐ݁
ି଴,ଵ௧
݀ݐ
Đặt:
ቄ
ݑ = 300ݐ⇒݀ݑ = 300 ݀ݐ
݀ݒ = ݁
ି଴,ଵ௧
݀ݐ⇒ ݒ = −10݁
ି଴,ଵ௧

Do đó,
݂ሺݐሻ = −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− න−3000ݐ݁

ି଴,ଵ௧
݀ݐ
= −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ ܥ
Mà
݂
ሺ
0
ሻ
= 0⇒ ܥ = 30000
⇒݂ሺݐሻ = −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ 30000
Sau 5 giờ (t = 5), số tiền quyên góp được là:
݂ሺ5ሻ = = −3000.5.݁
ି଴,ଵ.ହ
− 30000݁
ି଴,ଵ.ହ
+30000 = 2706,12
Vậy số tiền quyên góp được sau 5 giờ quyên góp là 2706,12 triệu đồng.
Bài tập 5:
Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng:

(
)

5 500
MP Q Q= − +

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
12


Biết rằng nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13.500 đơn vị tiền. Tìm hàm
lợi nhuận
(
)
P Q
?
Giải
Ta có:
ܲ(ܳሻ =නܯܲ(ܳሻ ݀ܳ =
−5ܳ
ଶ
2
൅ 500ܳ൅ܥ
Mà,
ܲ
(
50
ሻ
= −13.50⇒ܥ = −32.250
Vậy,
ܲ(ܳሻ =

−5ܳ
ଶ
2
൅ 500ܳ−32.250

3. Bài tập Dạng 3
Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Chi phí tăng thêm
khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b :
C(b) –C(a) =
׬
ܯܥ
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔
=
׬
ܥ′
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔

Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)
Bài tập 6:
Giả sử một máy công nghiệp hoạt động sau t giờ tính từ bây giờ thì tốc độ sinh

doanh thu của máy là R’(tሻ = 24000 – 40t
ଶ
triệu đồng/năm và chi phí hoạt động
và chi phí bảo dưỡng của máy tăng với tốc độ là C’(tሻ = 10500 + 20t
ଶ
triệu
đồng/năm.
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
13


a. Hỏi bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm.
b. Tính tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian đã được xác định trong
câu (a).
Giải
a. Ta có:
ܲ
(
ݐ
ሻ
= ܴ
(
ݐ
ሻ
– ܥ
(
ݐ
ሻ

⇒ ܲ’(ݐሻ = ܴ’(ݐሻ – ܥ’(ݐሻ
ܲ’(ݐሻ = 24000 – 40ݐ
ଶ
− 10500 − 20ݐ
ଶ
= 13500 − 60ݐ
ଶ

Cho
ܲ’ሺݐሻ = 0⇔ 13500 − 60ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 225
⇔
൜
ݐ=25
ݐ=−25(݈݋ạ݅ሻ



ݐ

-∞ -25 0 25 +∞
+ -
ܲ
’

ܲ



Vậy sau 25 năm thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm.
b) Tiền lãi thực sinh trong khoảng thời gian trên là:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
14


ܲ
(
25
ሻ
– ܲ
(
0
ሻ
= න ܲ
ᇱ
(
ݐ
ሻ
݀ݐ
ଶହ
଴
= න
(

13500 − 60ݐ
ଶ
ሻ
݀ݐ
ଶହ
଴

= 13500 ݐ – 20ݐ
ଷ

= 135000 (triệu đồng)
Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian trên là 135000 (triệu đồng)
Bài tập 7:
Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ ܴ′
(
ݐ
ሻ
=
7250 − 18ݐ
ଶ
(triệu/năm) sau ݐ năm. Chi phí kinh doanh của cửa hàng tăng với tốc
độ ܥ
ᇱ
ሺ
௧
ሻ
=3620 ൅ 12ݐ
ଶ
(triệu /năm). Sau bao nhiêu năm lợi nhuận của cửa hàng
bắt đầu giảm và lợi nhuận sinh ra trong khoảng thời gian đã được xác định là bao

nhiêu?
Giải
Ta có:
ܲ
(
ݐ
ሻ
= ܴ
(
ݐ
ሻ
– ܥ
(
ݐ
ሻ
⇒ ܲ’(ݐሻ = ܴ’(ݐሻ – ܥ’(ݐሻ
ܲ’
(
ݐ
ሻ
=7250 − 18ݐ
ଶ
− 3620 − 12ݐ
ଶ
= 3630 − 30ݐ
ଶ

ܲ’
(
ݐ

)
= 0 ⇔ 3630 − 30ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 121
⇔
൜
ݐ = 11
ݐ = −11(݈݋ạ݅)




Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
15



Vậy sau 11 năm thì sự sinh lãi của cửa hàng bắt đầu giảm.
ܲ
(
11
ሻ
– ܲ
ሺ
0

ሻ
= න ܲ
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
݀ݐ
ଵଵ
଴
= න
ቆ
−30ݐ
ଷ
3
+ 3620ݐ
ቇ
݀ݐ
ଵଵ
଴

=
൫
3620 ݐ – 10ݐ
ଷ
൯
௧ୀ଴
௧ୀଵଵ

=26510 (triệu đồng)
Vậy tiền lãi thực sinh của cửa hàng trong khoảng thời gian trên là 26510 (triệu

đồng)
4. Bài tập Dạng 4
Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] là
1
ሺܾ− ܽሻ
න ݂
ሺ
ݔ
ሻ
݀ݔ
௕
௔

Bài tập 8:
Sau t tháng làm việc tại xưởng may, một nhân viên cắt may có thể cắt ܳ
(
ݐ
ሻ
=
700 − ݁
ି଴.ହ௧
chiếc quần dài trên một giờ. Tính tốc độ sắp xếp trung bình của nhân
viên cắt may trên trong 3 tháng đầu tiên làm việc.
Giải
Tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trong 3 tháng đầu tiên làm việc
là:
t -∞ -11 0 11 +∞
+ -

ܲ
’


ܲ


Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
16


ଵ
ଷି଴
׬
ܳ(ݐሻ݀ݐ=
ଵ
ଷ
ଷ
଴
׬
(
700 − ݁
ି଴.ହ௧
ሻ
݀ݐ
ଷ
଴
=

ଵ
ଷ
(
700 × (3ሻ ൅ 2݁
ି଴.ହ×ଷ
ሻ
−
ଵ
ଷ
(
700 ×
(
0
ሻ
൅ 2݁
ି଴.ହ×଴
ሻ
=699,41 ( chiếc/tháng)
Vậy trong 3 tháng đầu tiên nhân viên cắt được 699,41 chiếc/tháng.
5. Bài tập Dạng 5
Bài tập 9:
Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên.
Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save)
phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y
5,0−
, với Y là thu nhập và
S = S(Y) là hàm tiết kiệm. Cho điều kiện ban đầu S = 0 khi Y = 81. Tìm hàm tiết
kiệm.
Giải :
Ta có:

0,5 0,5
0,3 – 0,3 0
0,1 )
,( 1
dS Y dY
dS
Y
dY
− −
== − ⇒


⇔

( )
0,5
0,3 – 0,(0,3 0,1 )
2
S Y dY
Y Y Y C
−
−
= = +
∫

Sử dụng đkbđ :
(
)
81 0
S

=

0,3.81 0,2.81 0 22,5
C C
− + = ⇒ = −

Vậy,
(
)
0,3 – 0,2 –22,5
S Y Y Y=

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
17


Bài tập 10 :
Bài toán đầu tư và hình thành vốn.
Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I
= I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept). Vốn tích trữ
K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân
)(tI
dt
dK
=
. Vế
trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, còn

vế phải là cường độ đầu tư. Biết hàm
(
)
3
I t
t
=
. Xác định vốn tích trữ sau 3 tháng ?
Giải :
Gọi
(
)
0
K
là vốn tích trữ được tại
0
t
=
thì :
( )
3/2

3 2
K t dt t C
t
= = +
∫
, trong đó C = K(0).
Do đó,
(

)
3/2
2
( )
0
K t t K
= +

Vốn tích trữ sau 3 tháng
( )
3
3/2 3/2
0
3 2(3) 2(0) 10,39
K t tdt= = − =
∫
( tỷ USD )


 Chú ý :
Nếu cho
(
)
100000 /
I t USD tháng const
= =
thì vốn tích trữ sau 3 tháng là:
3 3
0 0
( ) 1000

300000
00I t dt dK t= ==
∫ ∫

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
18


Bài tập 11:
Cho tốc độ thay đổi đầu tư là ܫ(ݐሻ = 60ݐ
ଵ/ଷ
và tại thời điểm ܭ(1ሻ = 85. Hãy tìm
nguồn vốn ܭሺݐሻ?
Giải:
Ta có:
ܭ(ݐሻ = ׬ ܫ(ݐሻ ݀ݐ = ׬ 60ݐ
ଵ/ଷ
݀= 45ݐ
ସ/ଷ
൅ ܥ
Mà,
ܭ
(
1
ሻ
= 85 ⇒85 = 45.1
ସ/ଷ
+ ܥ ⇒ ܥ = 40

Vậy nguồn vốn ܭ(ݐሻ được tính toán bởi hàm:
ܭ(ݐሻ = 45ݐ
ସ/ଷ
൅ 40

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
19


KẾT LUẬN

Có thể nói rằng, khi ứng dụng Tích phân trong Kinh tế, chúng ta đã có thể
tìm được các lời giải quan trọng cho các bài toán kinh tế đã đề ra. Đó là:
- Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của
Q(t) khi t thay đổi từ a
→
b
- Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q(a) =
Q0. Tính Q (b).
- Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Ta tính được
chi phí tăng thêm khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b [Áp dụng tương tự với
hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)]
- Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Ta tính được giá trị trung bình của f(x) trên [a,b]
- Bài toán đầu tư và hình thành vốn…
Trong phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu một số các ứng dụng
của tích phân trong vô vàn ứng dụng đa dạng của tích phân trong kinh tế… Kính
mong các thầy cô chân thành góp ý để nhóm chúng tôi có thể hoàn thiện hơn trong
những lần thực hiện tiếp theo.

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
20



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Toán cao cấp I & II dành cho khối ngành kinh tế - Nguyễn Văn Bắc
[2] Tiểu luận toán cao cấp C – Trần Thị Phượng
[3] Giáo trình toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung; ThS Nguyễn Thị
Ngọc Bích
[4] Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy
[5] Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences –
Raymond A. Barnett; Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen