Tóm tắt ôn tập kiến thức toán 9 cả năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (280.39 KB, 25 trang )
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI
* Ôn tập kiến thức:
+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.
a
m
. a
n
= a
m + n
VD: 2
2
. 2
3
= 2
2 + 3
= 2
5
; 5 . 5
3
= 5
1 + 3
= 5
4
+ Chia hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số, lấy số mũ của lũy thừa bò chia trừ cho
số mũ của lũy thừa chia.
a
m
: a
n
= a
m – n
(m
≥
n )
VD: 5
7
: 5
5
= 5
7 – 5
= 5
2
+ Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.
(x . y)
n
= x
n
. y
n
VD: (2.3)
2
= 2
2
. 3
2
= 4 . 9 = 36 ; 3
2
. 5
2
= (3 . 5)
2
+ Tính lũy thừa của một lũy thừa ta giữ nguyên cơ số nhân hai số mũ.
(x
n
)
m
= x
n . m
VD: (3
2
)
3
= 3
2 . 3
; 2
10
= (2
2
)
5
= (2
5
)
2
+ Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.
n
n
n
y
x
y
x
=
( y
≠
0)
VD:
2
2
2
5
3
5
3
=
;
3
3
3
15
3
15
3
=
+ Căn bậc hai của một số a không âm là một số x, sao cho x
2
= a, kí hiệu căn bậc hai là “
”
VD: Số 4 có hai căn bậc hai là
24 =
và
24 −=−
. Vì 2
2
= 4 và (- 2)
2
= 4.
Số 3 có hai căn bậc hai là
3
và
3−
.
+ Số a không âm, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của số a.
VD: Căn bậc hai số học của 16 là 4.
Căn bậc hai số học của 19 là
.19
+ So sánh hai căn bậc hai số học.
Đònh lý: Với hai số a và b không âm, ta có:
a < b
⇔
a
<
b
VD: 2 <
5
vì 2 =
4
mà
54 <
( vì 4 < 5)
4 >
15
vì 4 =
16
mà
16
<
15
( vì 16 > 15)
11
>3 vì 3 =
9
mà
11
>
9
+ Căn thức bậc hai :
- Người ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, với A là một biểu thức đại số.
- Điều kiện để
A
xác đònh ( hay có nghóa) là A phải không âm (A
≥
0)
VD:
x3
có nghiã khi 3x
≥
0 hay x
≥
0
x25−
xác đònh khi 5 – 2x
≥
0.
⇔
- 2x
≥
- 5
⇔
x
≤
2
5
−
−
⇔
x
≤
2
5
(Nhắc lại về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn:
+ Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức ta đổi dấu của hạng
tử (cộng thành trừ, trừ thành cộng), chiều bất đẳng thức không đổi.
+ Quy tắc nhân:
- Nếu nhân hay chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số lớn hơn 0 thì chiều của
bất đẳng không đổi.
- Nếu nhân hay chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số nhỏ hơn 0 thì chiều
của bất đẳng thức thay đổi.)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b)
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
)
Hằng đẳng thức:
AA =
2
Đònh lí: Với mọi số a, ta có:
aa =
2
.
VD:
( )
5)5(55;333
2
2
=−−=−=−==
Tổng quát:
<
≥
==
0 a nếu a -
0 a nếu a
aa
2
VD:
( )
255252
2
−=−=−
(vì
5
> 2)
+ Liên hệ giữa phép nhân với phép khai phương ( phép chia với phép khai phương)
- Đònh lí: Với số a và b không âm, ta có:
baba =
VD:
63.29.49.4 ===
;
18010.2.9100.4.8110.4.10.8140.810 ====
101010020.520.5
2
====
.
262.134.134.13.1310.52.3,110.52.3,1
2
=====
- Đònh lí: Với số a không âm và số dương b, ta có:
b
a
b
a
=
VD:
11
5
11
5
121
25
121
25
2
2
===
;
10
9
5
6
4
3
6
5
:
4
3
36
25
:
16
9
36
25
:
16
9
=⋅===
39
111
999
111
999
===
;
3
2
9
4
117
52
117
52
===
+ Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Với hai biểu thức A, B mà B
≥
0, ta có:
BAB
BAB
BABA
−=≥<
=≥≥
=
2
2
A thì 0B 0,A Nếu
A thì 0B 0, A Nếu
:là tức ,.
2
VD: a)
24
28 ba
với b
≥
0.
Ta có:
24
28 ba
=
( )
727 2)(4.7
22
2
2222
bababa ==
với b
≥
0.
b)
42
72 ba
với a < 0.
Ta có:
42
72 ba
=
( ) ( )
262) (62 62.36
22
2
222
2
22
abbababa −=−==
với a < 0.
- Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Nếu A
≥
0, B
≥
0 thì A
B
=
BA
2
Nếu A < 0, B
≥
0 thì A
B
=
BA
2
−
VD: a)
455.95.353
2
===
; b)
2,75.44,15.2,152,1
2
===
.
c) ab
4
a
với a
≥
0. Ta có: ab
4
a
=
( )
83
2
42
baaba =
.
d) – 2ab
2
a5
với a
≥
0.Ta có: – 2ab
2
a5
=
( )
43
2
222
20.5 2 baaba −=−
.
- Khử căn thức ở mẫu:
Với A, B mà A.B
≥
0 và B
≠
0, ta có:
B
AB
B
AB
BB
BA
B
A
===
2
.
.
VD: *
5
20
5.5
5.4
5
4
==
; *
25
15
25.25
15
5.5.25
5.3
5.25
3
125
3
====
*
3
2
3
a
với a > 0. Nhân tử và mẫu của phân thức cho 2a, ta được:
243
2
6
4
6
2.2
2.3
a
a
a
a
aa
a
==
+ Trục căn thức ở mẫu:
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:
B
BA
BB
BA
B
A
==
.
.
- Với các biểu thức A, B, C mà A
≥
0, B
≥
0 và A
≠
B, ta có:
( )
BA
BAC
BA
C
−
=
±
- Với các biểu thức A, B, C mà A
≥
0, A
≠
B
2
, ta có:
( )
2
BA
BAC
BA
C
−
=
±
VD:
12
25
4.3
25
163
25
2.83
25
83
5
) ====a
;
b
b
b
b
bb
b
b
22
.
.22
2
===
với b > 0.
13
31025
1225
31025
)32(5
)325(5
325
5
)
22
+
=
−
+
=
−
+
=
−
b
;
a
aaa
aa
aa
a
a
−
+
=
+−
+
=
−
1
22
)1)(1(
)1(2
1
2
(với a
≥
0 và a
≠
1)
c)
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2
574
57
574
57
574
5757
574
57
4
22
−
=
−
−
=
−
−
=
−+
−
=
+
;
( )
( )( )
( )
( )
( )
ba
baa
ba
baa
baba
baa
ba
a
−
+
=
−
+
=
+−
+
=
−
4
26
2
26
22
26
2
6
22
(với a > b > 0).
* Bài tập vận dụng:
1) Tìm x để mỗi căn thức sau có nghóa:
a)
3
x
b)
x5−
c)
x−4
d)
43 +− x
e)
x+−1
1
g)
2
1 x+
2) Tính:
a)
( )
2
3,0−
b)
( )
2
3,1−−
c)
( )
2
4,04,0 −−
d)
225
289
e)
49:19625.16 +
f)
16918.3.2:36
2
−
g)
25
14
2
h)
18
2
i)
735
15
k)
53
5
3.2
6
m)
01,0
9
4
5
16
9
1 ⋅⋅
n)
164
124165
22
−
l)
22
22
384457
76149
−
−
3) Rút gọn biểu thức:
a)
xxx 33273432 −+−
;
281878523 ++− xxx
b)
( )
2
3218 −
;
28
632
−
−
;
21
22
+
+
;
520
2
1
5
1
5 ++
c)
3
1
15
11
33
75248
2
1
+−−
;
( )
12056
2
−+
;
32
1
32
1
−
+
+
4) Tìm x, biết:
a)
050.2 =−x
b)
012.3
2
=−x
c)
020
5
2
=−
x
d)
( )
312
2
=−x
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
*Đònh nghóa:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng (được cho bởi công thức) y = ax + b, trong đó a, b là
các số cho trước (a
≠
0).
+ Hàm số y = ax + b, b = 0 có dạng y = ax.
(Hàm số y = ax, có đồ thò là đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ O(0; 0))
*Tính chất:
Hàm số y = ax + b xác đònh với mọi giá trò của x thuộc R và có tính chất như sau:
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R. (Hàm số có đồ thò là đường thẳng, nếu x tăng
thì y tăng.)
+ Nếu a < 0 thì hàm số nghòch biến trên R. (Hàm số có đồ thò là đường thẳng, nếu x tăng
thì y giảm)
VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến trên R. (vì a = 3 > 0).
Hàm số y = - 2x + 5, nghòch biến trên R. (vì – 2 < 0)
*Đồ thò hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thò hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng:
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0; trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0.
( Đồ thò hàm số y = ax + b (a
≠
0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b là tung độ gốc của
đường thẳng; a là hệ số gốc)
* Cách vẽ đồ thò:
- Khi b = 0 thì y = ax có đồ thò đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A (1; a).
- Khi b
≠
0 thì y = ax + b có đồ thò là một đường thẳng đi qua hai điểm. Ta sẽ tìm hai
điểm thuộc đồ thò để vẽ đường thẳng như sau:
Cho x = 0, ta được y = b, ta có điểm P(0; b) nằm trên trục Oy.
Cho y = 0, thì ax + b = 0
⇔
x =
a
b−
, ta có điểm Q (
a
b−
; 0) thuộc trục Ox.
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thò hàm số y = ax + b.
Ví dụ: Vẽ đồ thò hàm số y = 2x + 1.
Giải: Cho x = 0 thì y = 1, ta được điểm P(0; 1) thuộc đồ thò.
Cho y = 0 thì 2x + 1 = 0
⇔
2x = -1
⇔
x =
2
1−
, ta được điểm Q(
2
1−
; 0) thuộc đồ thò.
Đồ thò hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng PQ.
y
x
-1/2
1/2
-3
-2
-1
3
2
1
O
D
C
B
A
-4
-2
-1
2
1
^
>
y = 2x + 1
-1
1
2
3
y
x
O
-2
-1
2
1
>
^
* Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thò hàm số.
+ Điểm M(x
M
; y
M
) là một điểm thuộc đồ thò hàm số y = ax + b, nếu với x = x
M
thì y = y
M
.
Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thò hàm số y = 2x + 1, vì với x = -1 ta có: y = 2.(-1) + 1 =
-1.
+ Điểm M(x
M
; y
M
) là một điểm không thuộc đồ thò hàm số y = ax + b, nếu với x = x
M
thì
y
≠
y
M
.
Ví dụ: Điểm B(2; 3) không thuộc đồ thò hàm số y = 2x + 1, vì với x = 2 ta có: y = 2.2 + 1
= 5
≠
3.
* Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a
≠
0) và y = a’x + b’(a’
≠
0) cắt nhau hay song
song hay trùng nhau qua các hệ số.
+ Cắt nhau khi và chỉ khi: a
≠
a’.
+ Song song khi và chỉ khi: a = a’; b
≠
b’.
+ Trùng nhau khi và chỉ khi: a = a’; b = b’.
* Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau:
+ Nếu hai đường thẳng cắt nhau có cùng tung độ gốc thì giao điểm là điểm nằm trên trục
tung có tung độ là tung độ gốc.
+ Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm của hai
đường thẳng. Giải phương trình tìm được hoành độ, thay vào một trong hai hàm số để tìm
tung độ giao điểm.
VD: Cho hai hàm số y = 2x – 1 và y = 4x + 2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
trên và vẽ đồ thò trên cùng hệ trục tọa độ.
Giải:
+ Đồ thò hàm số y = 2x – 1 là đường thẳng
đi qua hai điểm A(0; - 1) và B(
2
1
; 0).
+ Đồ thò hàm số y = 4x + 2 là đường thẳng
đi qua hai điểm C(0; 2) và D(
2
1
−
; 0).
+ Tìm hoành độ giao điểm:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
2x – 1 = 4x + 2
⇔
4x – 2x = - 1 – 2
⇔
2x = - 3
⇔
x =
2
3−
Thay x =
2
3−
vào y = 2x – 1, ta được:
y = 2.(
2
3−
) – 1 = - 3 – 1 = - 4.
Vậy: giao điểm có tọa độ (
2
3−
; - 4) là giao điểm cần tìm.
* Các bài tập rèn luyện:
1) Cho hàm số y = ax + 3.
a) Xác đònh hệ số góc a, biết rằng đồ thò hàm số đi qua điểm A(2; 6).
b) Vẽ đồ thò hàm số trên.
2) Xác đònh hàm số y = ax + b trong các trường hợp sau:
a) a = 2 và đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5.
b) a = 3 và đồ thò hàm số đi qua điểm A = (2; 2).
c) Đồ thò hd song song với đường thẳng y =
3
.x và đi qua điểm B(1;
53 +
).
3)+ Với những giá trò nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 đồng biến.
+ Với những giá trò nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 – k)x + 1 nghòch biến.
4) Với giá trò nào của m thì đồ thò các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau
tại một điểm trên trục tung.
5) + Tìm giá trò của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a
≠
1) và y = (3 – a)x + 1 (a
≠
3)
song song với nhau.
+ Xác đònh k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:
y = kx + (m – 2) (k
≠
0) ; y = (5 – k)x + (4 – m ) (k
≠
5).
Giải:
1a) Đồ thò hàm số y = ax + 3 đi qua điểm A(2; 6), ta có:
6 = a.2 + 3
⇔
2a = 6 – 3
⇔
a =
2
3
= 1,5
Vậy hàm số đã cho là y = 1,5x + 3.
b) Vẽ đồ thò hàm số y = 1,5x + 3.
+ Với x = 0 thì y = 3, ta được điểm P(0; 3) thuộc đồ thò.
+ Với y = 0
⇒
1,5x + 3 = 0
⇔
1,5x = - 3
⇔
x = - 2, ta được điểm Q(-2; 0) thuộc đồ thò.
+ Đồ thò hàm số y = 1,5x + 3 là đường thẳng PQ.
y = 1,5x + 3
>
^
1
3
2
-1
-2
P
Q
O
2
1
x
y
-3
-2
-1
3a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 đồng biến khi và chỉ khi : m – 1 > 0 hay m > 1.
b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 nghòch biến khi và chỉ khi: 5 – k < 0 hay k > 5.
4) Hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) có đồ thò cắt nhau tại một điểm trên trục
tung khi và chỉ khi ta có:
3 + m = 5 – m
⇔
2m = 5 – 3
⇔
m = 1.
Vậy: Với m = 1 thì đồ thò hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm trên trục tung. “I(0; 4)”
5a) Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a
≠
1) và y = (3 – a)x + 1 (a
≠
3) song song với nhau
khi ta có: a – 1 = 3 – a
⇔
2a = 4
⇔
a = 2.
Vậy: với a = 2 thì hai đường thẳng đã cho sẽ song song với nhau.
b) Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) (k
≠
0) và y = (5 – k)x + (4 – m) (k
≠
5) trùng nhau
khi ta có:
=
=
⇔
=
=
⇔
−=−
−=
3
2
5
62
52
42
5
m
k
m
k
mm
kk
Vậy: với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng đã cho sẽ trùng nhau.
* Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
* Ôn tập kiến thức:
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các
số cho trước. (a
≠
0 hoặc b
≠
0)
- Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trò x = x
0
và y = y
0
là cho vế trái và vế phải của
phương trình bằng nhau thì cặp số (x
0
; y
0
) được gọi là một nghiệm của phương trình trên.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó
được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c.
- Trong phương trình ax + by = c; nếu a
≠
0, b
≠
0 thì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là
đồ thò hàm số y =
b
c
x
b
a
+−
.
VD: Phương trình 5x + 4y = 8, các cặp số (0; 2); (4; -3) là hai nghiệm của phương trình. Vì:
5.0 + 4.2 = 8 = VP
2a) Với a = 2 hàm số có dạng y= 2x + b, vì đồ thò cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5 nên ta có:
0 = 2.1,5 + b
⇔
b = - 3.
Vậy hàm số đã cho: y = 2x – 3.
b) Với a = 3, hàm số có dạng y = 3x + b, vì đồ thò đi
qua điểm A(2; 2), ta có: 2 = 3.2 + b
⇔
b = 2 – 6 = - 4.
Vậy hàm số đã cho: y = 3x – 4.
c) Đồ thò hàm số song song với đường thẳng y =
3
x,
nên ta có a =
3
và đồ thò đi qua điểm B(1;
3
+5), ta
có:
3
+5 =
3
.1+ b
⇔
b =
3
+ 5 –
3
= 5
Vậy hàm số đã cho: y =
3
x + 5.
5.4 + 4.(-3) = 20 – 12 = 8 = VP
Ta có 5x + 4y = 8
⇔
4y = 8 – 5x
⇔
y =
2
4
5
4
58
+−=
−
x
x
Tập nghiệm của phương trình: S =
∈
+− Rxxx 2
4
5
;
Hay 5x + 4y = 8
⇔
5x = 8 – 4y
⇔
x =
5
8
5
4
5
48
+−=
−
y
y
Tập nghiệm của phương trình: S =
∈
+− Ryyy ;
5
8
5
4
* Bài tập vận dụng:
Tìm tập nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x – y = 2 b) x + 5y = 3 c) 4x – 3y = - 1 d) x + 5y = 0
e) 4x + 0y = – 2 g) 0x + 2y = 5
Giải:
a) 3x – y = 2
⇔
– y = 2 – 3x
⇔
y = 3x – 2.
Tập nghiệm của phương trình: S =
( )
{ }
Rxxx ∈− 23;
b) x + 5y = 3
⇔
x = 3 – 5y
Tập nghiệm của phương trình: S =
( )
{ }
Ryyy ∈− ;53
c) 4x – 3y = – 1
⇔
4x = 3y – 1
⇔
x =
4
13 −y
Tập nghiệm của phương trình: S =
∈
−
Ryy
y
;
4
13
d) x + 5y = 0
⇔
x = – 5y
Tập nghiệm của phương trình: S =
( )
{ }
Ryyy ∈− ;5
e) 4x + 0y = – 2
⇔
4x = – 2
⇔
x =
2
1
−
Tập nghiệm của phương trình: S =
∈
− Ryy;
2
1
g) 0x + 2y = 5
⇔
2y = 5
⇔
y = 2,5
Tập nghiệm của phương trình: S =
( )
{ }
Rxx ∈5,2;
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
(I)
=+
=+
''' cybxa
cbyax
Số nghiệm của hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ của hai đường
thẳng trong hệ.
Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0.
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có duy nhất một nghiệm.
≠
'' b
b
a
a
- Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vô nghiệm.
≠=
''' c
c
b
b
a
a
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm.
==
''' c
c
b
b
a
a
* Cách giải hệ phương trình:
+ Giải bằng phương pháp thế:
Quy tắc thế: ( xem SGK trang 13)
VD:
=+−
=−
)2(152
)1(23
yx
yx
Ta có: (1)
⇔
x = 3y + 2 . Thay x = 3y + 2 vào (2), ta được:
– 2.(3y + 2) + 5y = 1
⇔
– 6y – 4 + 5y = 1
⇔
– y = 1 + 4
⇔
y = – 5
Thay y = – 5 vào (1), ta được:
x – 3. (– 5) = 2
⇔
x = 2 – 15
⇔
x = – 13.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (– 13; –15)
( có thể trình bày bài giải theo các hệ phương trình tương đương)
−=
−=
⇔
−=
+−=
⇔
+=−
+=
⇔
=++−
+=
⇔
=+−
+=
⇔
=+−
=−
5
13
5
2)5.(3
41
23
15)23.(2
23
152
23
152
23
y
x
y
x
y
yx
yy
yx
yx
yx
yx
yx
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (– 13; –15)
+ Giải hệ phương trình: (*)
=+
=−
42
32
yx
yx
(*)
⇔
=
=
⇔
=
+−=
⇔
+−=
−=−
⇔
+−=
=−+−
⇔
+−=
=−
1
2
1
41.2
42
835
42
3)42.(2
42
32
y
x
y
x
yx
y
yx
yy
yx
yx
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; 1)
+ Giải hệ phương trình:
=−
=−
163
354
yx
yx
Giải:
=−
=−
163
354
yx
yx
⇔
=−=
=
−
−
=
⇔
−=
−=−
⇔
−=
=−−
⇔
−=
=−
5167.3
7
11
77
163
80311
163
3)163.(54
163
354
y
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
Phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (7; 5)
+ Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số:
Quy tắc cộng đại số: (xem SGK trang 16)
( Chú ý: Sử dụng phương pháp cộng đại số đối với các hệ phương trình có hệ số đi chung với
cùng một biến bằng nhau hoặc đối nhau. Nếu đối nhau thì cộng vế với vế của hai phương
trình trong hệ; nếu bằng nhau thì trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ.)
+ Ghpt:
=+
=−
)2(2
)1(12
yx
yx
Giải:
Cộng vế với vế của phương trình (1) và (2), ta được:
(2x – y) + (x + y) = 1 + 2
⇔
3x = 3
⇔
x = 1.
Thay x = 1 vào (2), ta được: (2)
⇔
1 + y = 2
⇔
y = 1.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 1)
( giải theo các hệ phương trình tương đương)
=
=
⇔
=
=+
⇔
=
=+
⇔
=+
=−
1
1
1
21
33
2
2
12
y
x
x
y
x
yx
yx
yx
Vậy: (1; 1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
+Ghpt:
=−
=+
432
922
yx
yx
Giải: Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
(2x + 2y) – (2x – 3y) = 9 – 4
⇔
2x – 2x + 2y + 3y = 5
⇔
5y = 5
⇔
y = 1.
=−
=+
432
922
yx
yx
=
=
⇔
=
−=
⇔
=
=+
⇔
=
=+
⇔
1
2
7
1
292
1
91.22
1
922
y
x
y
x
y
x
y
yx
Vậy: Hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (3,5 ; 1)
( Với hệ phương trình mà các hệ số đi chung cùng một biến khong bằng nhau hoặc không
đối nhau, ta có thể nhân hay chia một số cho hai vế của một phương trình hay hai phương
trình trong hệ để làm cho các hệ số đó bằng nhau hoặc đối nhau)
+ Ghpt:
=+
=+
332
723
yx
yx
Giải:
−=
=
⇔
−=
+=
⇔
−=
=−+
⇔
=−
=+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+
1
3
1
332
1
3)1.(32
55
332
996
1446
332
723
).2(
).3(
y
x
y
x
y
x
y
yx
yx
yx
yx
yx
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; – 1)
* Giải các hệ phương trình sau:
a)
=−
=+
72
33
yx
yx
⇔
−=−=
=
⇔
=
=+
⇔
=
=+
363
2
2
32.3
105
33
y
x
x
y
x
yx
Vậy: (2; – 3) là nghiệm của hệ phương trình.
b)
−=−=
=
⇔
=+
=
⇔
=+
−=−
⇔
−=−−
=+
⇔
=+
=+
264
3
43.2
3
42
62
1236
634
42
634
y
x
y
x
yx
x
yx
yx
yx
yx
Vậy: (3; – 2) là nghiệm của hệ phương trình.
c)
=+
=−
5
43
1
11
yx
yx
Đặt a =
x
1
; b =
y
1
, ta được:
=+
=−
543
1
ba
ba
=+
=−
543
1
ba
ba
⇔
=
=
⇔
=
+=
⇔
−=
+=
⇔
=++
+=
7
2
7
9
7
2
1
7
2
357
1
54)1.(3
1
b
a
b
a
b
ba
bb
ba
*
9
7
7
91
7
9
=⇔=⇔= x
x
a
*
2
7
7
21
7
2
=⇔=⇔= y
y
b
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (
2
7
;
9
7
)
d)
−=+
=+
⇔
−=−−
=+
⇔
=+
=+
300
252
552
252
1
5
2
252
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Phương trình 0x + 0y = – 3 vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. ( hai đường thẳng trong hệ song song)
e)
−=−=
=
⇔
−=−
=+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+
12.23
2
2
32
53
32
53
3,01,02,0
y
x
x
yx
yx
yx
yx
yx
Vậy: (2; – 1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
* Chương IV: HÀM SỐ y = ax
2
(a
≠
0)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
* Hàm số y = ax
2
(a
≠
0).
+ Tính chất của hàm số bậc hai y = ax
2
(a
≠
0)
- Nếu a > 0 thì hàm số nghòch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghòch biến khi x > 0.
- Nếu a > 0 thì y > 0
0≠∀x
, y = 0 khi x = 0. Giá trò nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
- Nếu a < 0 thì y < 0
0≠∀x
, y = 0 khi x = 0. Giá trò lớn nhất của hàm số là y = 0.
+ Đồ thò hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm
trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
- Nếu a > 0 thì đồ thò nằm trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thò.
- Nếu a < 0 thì đồ thò nằm dưỡi trục hoành, O là điển cao nhất của đồ thò.
+ Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax
2
(a
≠
0) .
- Tìm một số điểm thuộc đồ thò bằng cách cho x một số giá trò để tìm các giá trò của y
tương ứng. ( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …)
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm thuộc đồ thò tìm được ở trên.
- Nối các điểm đó để được đường cong Parabol.
VD: Hàm số y = 2x
2
.
Giải: Các điểm thuộc đồ thò chho theo bảng sau:
x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
y = 2x
2
18 8 2 0 2 8 18
Đồ thò hàm số y = 2x
2
là đường cong Parabol
đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
và các điểm A(- 3; 18); B(- 2; 8); C(- 1; 2);
A’(3; 18); B’(2; 8); C’(1; 2).
* Các bài tập rèn luyện:
1) Cho hàm số y = x
2
.
a) Vẽ đồ thò hàm số đó.
b) Tìm các giá trò f(- 8), f(- 13),f(1,5).
2) Cho hàm số y = ax
2
, điểm M(2; 1) thuộc đồ thò hàm số.
a) Tìm hệ số a.
b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thò không?
c) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hoành độ x = -3.
d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = 8.
3) Cho hai hàm số y =
3
1
x
2
và y = - x + 6.
a) Vẽ đồ thò hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thò đó (nếu có)
* Hướng dẫn giải:
1)
a) Đồ thò của hàm số y = x
2
là một đường cong Parabol đi qua
các điểm có tọa độ:
O(0; 0), A(1; 1), B(2; 4),C(-1; 1), D(-2; 4).
b)
f(-8) = (-8)
2
= 64
f(-13) = (-13)
2
= 169
f(1,5) = 1,5
2
= 2,25
2)a) Điểm M(2; 1) thuộc đồ thò, ta có:
1 = a. 2
2
⇔
4a = 1
⇔
a =
4
1
. Hàm số đã cho là y =
4
1
x
2
.
b) Với x = 4, ta có y =
4
1
. 4
2
=
4
1
.16 = 4. Vậy điểm A(4; 4) thuộc đồ thò hàm số y =
4
1
x
2
.
c) Với x = -3, ta có y =
4
1
. (-3)
2
=
4
1
.9 = 2,25.
Vậy: y = 2,25 là tung độ của điểm cần tìm.
d) Với y = 8, ta có:
8 =
4
1
x
2
⇔
x
2
= 32
⇔
x =
24
hoặc x =
24−
Vậy: các điểm (
24
; 8) và (
24−
; 8) thuộc Parabol y =
4
1
x
2
.
3) - Đồ thò hàm số y =
3
1
x
2
là Parabol
đi qua các điểm O(0; 0), A(1;
3
1
), B(3; 3),
A’(-1;
3
1
), B’(-3; 3), C(6; 12), C’(-6; 12).
- Đồ thò hàm số y = - x + 6 là đường thẳng
đi qua hai điểm M(0; 6) và N(6; 0).
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
0183
06
3
1
6
3
1
2
2
2
=−+⇔
=−+⇔
+−=
xx
xx
xx
Giải phương trình ta được: x = - 6 hoặc x = 3.
Với x = - 6, ta có: y = - (- 6) + 6 = 12
⇒
Điểm (- 6; 12) là giao điểm thứ nhất.
Với x = 3, ta có: y = - 3 + 6 = 3
⇒
Điểm (3; 3) là giao điểm thứ hai.
* Phương trình bậc hai một ẩn:
- Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0, trong đó x là ẩn;
a, b, c là các số cho trước và a
≠
0.
VD: x
2
+ 5x + 50 = 0; -2x
2
+ 5x = 0; x
2
– 4 = 0; - 3x
2
= 0; 2x
2
= 8 là các phươngn trình bậc
hai một ẩn.
- Các ví dụ về giải phương trình bậc hai một ẩn:
+ Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1).
- Nếu b
≠
0 và c = 0, ta giải như sau:
(1)
⇔
ax
2
+ bx = 0
⇔
x(ax + b) = 0
⇔
x = 0 hoặc ax + b = 0.
* ax + b = 0
⇔
ax = - b
⇔
x =
a
b
−
Vậy phương trình có nghiệm là x
1
= 0 và x
2
=
a
b
−
VD: Gpt: a) 2x
2
+ 5x = 0. b) 2x
2
+ 10x = 0
a) 2x
2
+ 5x = 0
⇔
x(2x + 5) = 0
⇔
x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
⇔
x =
2
5
−
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x
1
= 0; x
2
=
2
5
−
b) 2x
2
+ 10x = 0
⇔
2x(x + 5) = 0
−=
=
⇔
=+
=
⇔
5
0
05
02
x
x
x
x
Vậy: phương trình có hai nghiệm là x
1
= 0; x
2
= - 5.
- Nếu b = 0 và c
≠
0, ta giải như sau:
(1)
⇔
ax
2
+ c = 0.
⇔
ax
2
= - c
⇔
x
2
=
a
c
−
( Nếu
a
c
−
< 0 thì phương trình vô nghiệm;
Nếu
a
c
−
> 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
a
c
−
; x
2
=
a
c
−−
VD: Gpt: a) x
2
– 3 = 0 b) 2x
2
+ 6 = 0 c) 5x
2
– 20 = 0
Giải:
a) x
2
– 3 = 0
⇔
x
2
= 3
⇔
x =
3
hoặc x =
3−
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x
1
=
3
; x
2
=
3−
.
b) 2x
2
+ 6 = 0
⇔
2x
2
= - 6
⇔
x
2
= - 3
Vì – 3 < 0 , nên phương trình đã cho vô nghiệm.
c) 5x
2
– 20 = 0
⇔
5x
2
= 20
⇔
x
2
= 4
⇔
x = 2 hoặc x = - 2.
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x
1
= 2 ; x
2
= - 2.
- Nếu b
≠
0 và c
≠
0, ta giải như sau:
Phương trình ax
2
+ bx + c = 0. ( Sử dung công thức nghiệm tìm
∆
)
Ta có:
∆
= b
2
– 4ac.
*
∆
> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
*
∆
= 0, phương trình có nghiệm kép:
x
1
= x
2
=
a
b
2
−
*
∆
< 0, phương trình vô nghiệm.
VD: Gpt: 2x
2
+ 5x + 2 = 0.
Ta có:
∆
= b
2
– 4ac = 5
2
– 4. 2. 2 = 25 – 16 = 9 > 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−
=
2
1
4
35
2.2
95
−=
+−
=
+−
x
2
=
a
b
2
∆−−
=
2
4
35
2.2
95
−=
−−
=
−−
Gpt: x
2
– 2x + 1 = 0.
Ta có:
∆
= (- 2)
2
– 4.1.1 = 4 – 4 = 0
Phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
=
1
1.2
)2(
=
−−
* Ứng dụng hệ thức Vi-et giải phương trình bậc hai:
+ Đònh lý Vi-et:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì:
=
−
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
+ Gpt: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0). ( Sử dụng đònh lí Vi-et nhẫm nghiệm)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
x
1
= 1 và x
2
=
a
c
.
VD: a) Gpt: 2x
2
+ x – 3 = 0.
Ta có: 2 + 1 + (- 3) = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x
1
= 1 và x
2
=
2
3−
=
a
c
b) Gpt: x
2
– 7x + 6 = 0.
Ta có: 1 + (-7) + 6 = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x
1
= 1 và x
2
=
6
1
6
==
a
c
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
x
1
= - 1 và x
2
=
a
c−
.
VD: a) Gpt: x
2
– 4x + (- 5) = 0.
Ta có: 1 – (- 4) + (- 5) = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x
1
= - 1 và x
2
=
5
1
)5(
=
−−
=−
a
c
b) Gpt: 3x
2
+ 7x + 4 = 0.
Ta có: 3 – 7 + 4 + 0.
Phương trình có hai nghiệm là x
1
= - 1 và x
2
=
3
4−
=−
a
c
* Ứng dụng hệ thức Vi-et tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:
+ Nếu hai số có tổng bằng S và có tích bằng Phương trình thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình bậc hai có dạng: x
2
– Sx + P = 0.
+ Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P
≥
0.
VD: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 21.
Giải:
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x
2
– 10x + 21 = 0.
Ta có:
∆
= b
2
– 4ac = (- 10)
2
– 4.1.21 = 100 – 84 = 16 > 0.
Phương trình có hai nghiệm:
x
1
=
a
b
2
∆+−
=
7
2
410
1.2
16)10(
=
+
=
+−−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
=
3
2
410
1.2
16)10(
=
−
=
−−−
Vậy: hai số cần tìm là 7 và 3.
* Các phương trình quy về phương trình bậc hai:
+ Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax
4
+ bx
2
+ c = 0.
Cách giải:
- Đặt t = x
2
( t
≥
0).
- Chuyển phương trình đã cho theo ẩn t đã đặt.
- Giải phương trình theo t, tìm giá trò của t.
- Giải tìm x theo giá trò của t tìm được ở trên.
VD: Gpt: 4x
4
+ x
2
– 5 = 0.
Đặt t = x
2
( t
≥
0).
Ta có phương trình: 4t
2
+ t – 5 = 0.
Ta có: 4 + 1 + (- 5) = 0, phương trình có nghiệm: t
1
= 1 ; t
2
=
4
5−
< 0 ( loại)
Với t = 1, ta có: x
2
= 1
⇔
x = 1 hoặc x = - 1.
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x
1
= 1; x
2
= - 1.
Gpt: 3x
4
+ 4x
2
+ 1 = 0.
Đặt t = x
2
( t
≥
0).
Ta có phương trình: 3t
2
+ 4t +1 = 0.
Ta có: 3 – 4 + 1 = 0, phương trình có nghiệm: t
1
= - 1; t
2
=
3
1−
.
Vì t
1
và t
2
đều nhỏ hơn 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Phương trình tích:
Ta có tính chất: Nếu a. b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
VD: Gpt: (x + 1)(x
2
+ 2x – 3) = 0.
Giải: (x + 1)(x
2
+ 2x – 3) = 0
=−+
=+
⇔
032
01
2
xx
x
* x + 1 = 0
⇔
x = - 1.
* x
2
+ 2x – 3 = 0
⇔
x = 1 hoặc x = - 3.
Vậy: phương trình đã cho có ba nghiệm: x
1
= -1; x
2
= 1; x
3
= - 3.
Gpt: x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0.
(Gợi ý: ta sẽ phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích)
x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0
⇔
x(x
2
+ 3x + 2) = 0
⇔
=++
=
023
0
2
xx
x
* x
2
+ 3x + 2 = 0. Ta có: 1 – 3 + 2 = 0, phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
= - 2.
Vậy: phương trình đã cho có ba nghiệm: x
1
= 0; x
2
= - 1; x
3
= - 2.
PHẦN HÌNH HỌC
* HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
+ Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
Theo hình vẽ ta có:
∆
ABC vuông tại A.
AB = c; AC = b; BC = a
AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền.
HB = c’; HC = b’ tương ứng là hình chiếu của
cạnh AB và AC trên cạnh huyền BC.
Ta có các hệ thức: b
2
= a . b’ ; c
2
= a . c’
h
2
= b’. c’ ; bc = ah
a
b
c
b'
c'
h
A
B
C
a
b
c
222
111
cbh
+=
+ Bài tập áp dụng:
Cho hình vẽ hãy:
a) Tính c’ và b’, biết: c = 6; b = 8.
b) Tính c’ và b’, biết: c = 12; a = 20.
c) Tính c và b, biết: c’ = 1; b’ = 4.
d) Tính h và a, biết: c = 5; b = 7.
e) Tính b và b’, biết: h = 2; c’ = 1.
+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông tại A.
Ta có tỉ số lượng giác của góc nhọn B:
AC
AB
gB
AB
AC
tgB
BC
AB
B
BC
AC
B
==
==
cot;
cos;sin
(Cách tìm: - Tìm “sin” lấy đối chia huyền.
- Tìm “cosin” lấy kề chia huyền.
- Tìm “tang” lấy đối chia kề.
- Tìm “cotang” lấy kề chia đối.)
- Hai góc nhọn phụ nhau ( tổng hai góc bằng 90
0
) có tỉ số lượng giác chéo nhau: Sin
của góc này bằng cosin của góc kia và ngược lại; tang của góc này bằng cotang của góc kia
và ngược lại.
Nếu
°=+ 90
ˆ
ˆ
CB
thì
sinB = cosC ; cosB = sinC
tgB = cotgC ; cotgB = tgC
+ Bài tập áp dụng:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có
α
=B
ˆ
;
β
=C
ˆ
. Hãy:
a) Tính tỉ số lượng giác của góc B, biết: AB = a; AC = a
3
; BC = 2a.
b) Viết các tỉ số lượng giác của góc C, biết: AB = AC = a; BC = a
2
.
+ Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:
Tam giác ABCvuông tại A, có:
AB = c; AC = b; BC = a.
Ta có đònh lý:
Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cotang góc kề.
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cot
cot
cos.sin.
cos.sin.
==
==
==
==
A
B
C
Hình 1
A
B
C
(O; R) có AB là dây
a) OC
⊥
AB tại I
⇒
IA = IB.
b) OC cắt AB tại I
có IA = IB
⇒
OC
⊥
AB.
R
I
O
A
B
C
Hình 2
H
M
I
O
E
D
C
B
A
I
a
R
O
- Từ các hệ thức trên ta có: a =
C
b
B
b
cossin
=
hay a =
B
c
C
c
cossin
=
- Cho góc nhọn
α
. Ta có:
0 < sin
α
<1; 0 < cos
α
< 1.
sin
2
α
+ cos
2
α
= 1; tg
α
=
α
α
cos
sin
; cotg
α
=
α
α
sin
cos
tg
α
. cotg
α
= 1
*ĐƯỜNG TRÒN
+ Các kiến thức cần nhớ:
1) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Nếu một tam
giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác
vuông. (Hình 1)
2) Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường kính.
3) Trong một đường tròn: (Hình bên)
a) Đường kính vuông góc với một dây
thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây
không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
4) Trong một đường tròn hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây bằng nhau thì cách
đều tâm.
Trong một đường tròn dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn. ( Hình 2)
+ (O; R) hai dây AB và CD, ta có:
- AB = CD
⇒
OI = OM
- OI = OM
⇒
AB = CD.
+ (O; R) hai dây AB và AE, ta có:
- AE > AB
⇒
OH < OI.
- OH < OI
⇒
AE > AB.
5) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán kính đi
qua tiếp điểm. Ngược lại, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính của một đường
tròn tại tiếp điểm thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
* Đường tròn (O; R), a là tiếp tuyến
⇒
a
⊥
OI
* Đường tròn (O; R) tiếp xúc với a tại I và OI
⊥
a
⇒
a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
6) Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a) Điểm đó cánh đều hai tiếp điểm.
b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tia tiếp tuyến.
c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp
điểm.
B
A
O
C
O'
O
B
A
I
sđ
AnB
sđ
AmB
Trên hình vẽ:
∠
AOB là góc ở tâm.
AnB
là cung nhỏ
AmB
là cung lớn
m
O
n
B
A
+ Đường tròn (O; R) có: a tiếp tuyến tại
điểm A; b là tiếp tuyến tại điểm B; a cắt b
tại điểm c, ta có:
a) CA = CB.
b) Tia CO là tia phân giác của
∠
ACB
⇒
∠
ACO =
∠
BCO.
c) Tia OC là tia phân giác của
∠
AOB
⇒
∠
AOC =
∠
BOC.
7) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
+ Đường tròn (O; R) cắt đường tròn (O’; r) có
dây AB chung, ta có: OO’
⊥
AB tại I và IA = IB
hay OO’ là đường trung trực của AB.
* GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1) Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.
Góc ở tâm chia đường tròn thành hai phần: phần nằm trong góc (cung bò chắn) gọi là
cung nhỏ; phần còn lại gọi là cung lớn.
Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm; Số đo cung lớn bằng 360
0
– sđ cung nhỏ.
Giả sử
∠
AOB = 85
0
⇒
= 85
0
và = 360
0
– 85
0
= 275
0
2) Trong một đường tròn (hay trong hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau nếu
chúng có số đo bằng nhau; Trong hai cung, cung nào lớn hơn thì có số đo lớn hơn.
3) Góc nội tiếp một đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai
dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc gọi là cung bò chắn.
Trên hình vẽ:
∠
BAC là góc nội tiếp
BC
là cung bò chắn
A
B
C
O
A
B
C
O
O
C
B
A
* Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bò chắn.
* Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn
một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
4) Cho hình vẽ:
+ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bò chắn.
Trong hình trên:
+ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
m
n
O
D
C
B
A
E
O
C
B
E
E
A
B
C
O
5) * Cho hình vẽ:
+ Trong một đường tròn, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì góc nội tiếp nhỏ hơn.
* Cho hình vẽ:
+ Trong các hình trên
∠
BEC được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bò chắn.
(cung lớn trừ cung nhỏ).
+ Trong hình trên, ta có:
+ Trong một đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn và góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì góc nội tiếp lớn hơn.
6) + Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
.
+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn. ( đây là cách chứng minh một tứ giác nội tiếp một đường tròn)
7) Cho đường tròn tâm O bán kính R, ta có:
+ Công thức tính độ dài đường tròn:
C = 2
π
R hay C =
π
d
( d = 2R là đường kính)
+ Công thức tính độ dài cung tròn ( có số đo n
0
):
180
Rn
π
=
VD: Đường tròn (O; 21cm). Tính độ dài đường tròn và cung tròn 50
0
.
Giải: Ta có: C = 2
π
R = 3,14 . 2 . 21 = 3,14 . 42 = 131,88 (cm)
)(32,18
180
50.21.14,3
180
cm
Rn
≈==
π
+ Công thức tính diện tích hình tròn:
S =
π
R
2
+ Công thức tính diện tính hình quạt tròn (có số đo cung n
0
):
S =
360
2
nR
π
hay S =
2
R
(
là độ dài cung n
0
của hình quạt tròn)
VD: Diện tích hình tròn (O; 21 cm) là
S =
π
R
2
= 3,14 . 21
2
= 1384,74 (cm
2
)
Diện tích hình quạt tròn có số đo 50
0
là (của đường tròn (O; 21 cm))
S =
2
R
=
2
21.32,18
= 192,36 (cm
2
)
* HÌNH TRỤ:
Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn có cùng bán kính
( bằng nhau)
Trên hình vẽ, AB được gọi là một đường sinh của hình
trụ.
Đường sinh của hình trụ vuông góc với hai mặt đáy của
hình trụ, độ dài đường sinh gọi là chiều cao của hình trụ.
+ Diện tích xung quanh:
S
xq
= 2
π
r h
( r: bán kính đường tròn đáy; h: chiều cao hình trụ)
+ Diện tích toàn phần:
Đáy
Đường sinh
Đường cao
O
D
C
B
A
S
tp
= S
xq
+ 2
π
r
+ Thể tích:
V = S.h =
π
r
2
h
* HÌNH NÓN:
+ Diện tích xung quanh:
S
xq
=
π
r
+ Diện tích toàn phần:
S
tp
= S
xq
+
π
r
2
+ Thể tích hình nón:
V =
π
3
1
r
2
h
( r: bán kính đáy; h: chiều cao;
: độ dài đường sinh)
* HÌNH CẦU:
+ Diện tích mặt cầu:
S = 4
π
R
2
hay S =
π
d
2
( R: Bán kính mặt cầu; d = 2R: đường kính mặt cầu)
+ Thể tích hình cầu:
V =
π
3
4
R
3
10 KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN
- Biết lắng nghe.
- Làm theo các bước.
- Tn theo quy tắc.
- Vượt qua sự sao nhãng.
- Biết u cầu giúp đỡ.
- Chờ đợi đến lượt mình.
- Hòa đồng với mọi người.
- Bình tĩnh trước người khác.
- Chịu trách nhiệm về hành vi của mình.
- Làm việc tốt cho người khác.
Chúng ta biết rằng tốn học có một vai trò rất quan trọng trong sự phát triển của
khoa học - kỹ thuật và khơng q đáng khi cho rằng những thành tựu của khoa học - kỹ
thuật trên tất cả các lĩnh vực khơng thể có được nếu khơng có những cơng trình tốn học
đỉnh cao. Điều đó còn khẳng định vai trò của Tốn học như là “chiếc chìa khố”, “ ngọn
đèn chiếu” để nhân loại chúng ta mở cửa vào kho tàng của nền văn minh.
Vì tốn học có vai trò quan trọng như vậy, nên nó đã trở thành một mơn học chính ngay
từ những buổi đầu đi học. Và chúng ta hãy hỏi phải học tốn như thế nào cho tốt? Theo
các nhà khoa học, muốn học tốt cái gì thì sớm hay muộn cũng phải đạt đến sự tự giác
học tập, say sưa học tập đó chính là điều cơ bản đầu tiên. Nhưng tất cả vấn đề là ở chỗ
làm sao có được sự tự giác, sự say sưa trong học tập. Nhiều học sinh khi được hỏi có
suy nghĩ gì về mơn tốn, đa số các em đều cho rằng: đây là mơn học khó và khơ khan,
học khó nhớ, mau qn. Do đó dẫn đến nhiều học sinh học Tốn thiếu sự say mê, học
một cách gượng ép; các em học chỉ vì Tốn học là một mơn học chính và bắt buộc trong
các kỳ thi tốt nghiệp,… thậm chí các em sợ học tốn, khi gặp phải bài tốn hơi khó là
nghĩ mình khơng giải được, vì thế mà càng sợ mơn Tốn. Vậy ngun nhân nào làm cho
mơn Tốn trở nên khó với nhiều học sinh? Phải chăng chỉ có những người thơng minh,
những người có năng khiếu đặc biệt mới học giỏi được Tốn? Như chúng ta đã biết
hồn tồn khơng phải như vậy, đây chỉ là một phần nhỏ, mà phần lớn quyết định có học
giỏi tốn hay khơng là kết quả của một q trình lao động miệt mài cùng với một
phương pháp học tập đúng đắn, phù hợp với điều kiện của từng học sinh. Thực tế đã
chứng minh cho ta thấy, nhiều nhà khoa học nổi tiếng trên thế giới để có được những
cơng trình Tốn học nổi tiếng cho đến ngày nay là do họ biết được phương pháp học
hợp lí, biết tạo cho mình hứng thú và sự say mê trong cơng việc để đạt được chất lượng
cao. Còn các em suy nghó thế nào? Hãy xem lại cách học của mình và hãy tìm cho
mình một phương pháp học tập thích hợp để có kết quả tốt hơn nhé!
“ Chúc các bạn học sinh rèn luyện thành công, chăm ngoan học tốt”
