Lý thuyết lượng giác tổng hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (489.53 KB, 14 trang )
Hoàng Ngọc Phú Page 1
ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
0. Các hàm số lượng giác :
a. Hàm số y = sinx
1)
D
.
2) 1; 1].
3)
2T
.
4)
2 ; 2
22
kk
3
2 ; 2 ,
22
k k k
.
5)
b. Hàm số y = cosx
1)
D
.
2) 1; 1].
3)
T2
.
4)
2 ; 2kk
2 ; 2 ,k k k
.
5)
Hoàng Ngọc Phú Page 2
c. Hàm số y = tanx
D \ k , k
2
.
1) .
2)
T
.
3)
;,
22
k k k
.
4)
2
x k k
d. Hàm số y = cotx
1)
D \ k , k
.
2) .
3)
T
.
4)
;,k k k
.
5)
x k k
Hoàng Ngọc Phú Page 3
a. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác thường gặp :
0
6
4
3
2
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
tan
0
3
1
1
3
cot
3
1
3
1
0
b
1/ H : (-
cos(-
) = cos
sin(-
) = - sin
tan(-
) = - tan
cot(-
) = - cot
2/ nhau : (
-
sin(
-
) = sin
cos(
-
) = - cos
tan(
-
) = - tan
Hoàng Ngọc Phú Page 4
cot(
-
) = - cot
3/ nhau :
2
sin
2
= cos
cos
2
= sin
tan
2
= cot
cot
2
= tan
4/ nhau
: (
+
sin(
+
) = - sin
cos(
+
) = - cos
tan(
+
) = tan
cot(
+
) = cot
h
2
:
2
sin
2
= cos
cos
2
= - sin
tan
2
= - cot
cot
2
= - tan
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch
”
2
a. Công thức cơ bản :
1/ sin
2
x + cos
2
x = 1 2/ tanx =
x
x
cos
sin
3/ cotx =
x
x
sin
cos
4/
xxcottan
= 1
Hoàng Ngọc Phú Page 5
5/ 1 + tan
2
x =
x
2
cos
1
6/ 1 + cot
2
x =
x
2
sin
1
b. Công thức cộng :
1/ cos(a – b) =
baba sinsincoscos
2/ cos(a + b) =
baba sinsincoscos
3/ sin( a b) =
baba sincoscossin
4/ sin( a + b) =
baba sincoscossin
5/ tan(a b) =
ba
ba
tantan1
tantan
6/ tan( a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
7/
ba
ba
ba
cotcot
1cotcot
cot
8/
ba
ba
ba
cotcot
1cotcot
cot
c. Công thức góc nhân đôi, nhân ba, hạ bậc :
1/
aaa cossin22sin
2/
aaa
22
sincos2cos
=
aa
22
sin211cos2
3/
a
a
a
2
tan1
tan2
2tan
4/
2
2cos1
cos
2
a
a
5/
2
2cos1
sin
2
a
a
6/
aaa
3
sin4sin33sin
7/
aaa cos3cos43cos
3
8/
a
aa
a
2
2
tan31
tan3tan
3tan
d. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1/
bababa coscos
2
1
coscos
2/
bababa sinsin
2
1
cossin
3/
bababa coscos
2
1
sinsin
e. Công thức biến đổi tổng thành tích :
1/
2
cos
2
sin2sinsin
baba
ba
2/
2
sin
2
cos2sinsin
baba
ba
3/
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba
4/
2
sin
2
sin2coscos
baba
ba
5/
ba
ba
ba
coscos
sin
tantan
6/
ba
ba
ba
coscos
sin
tantan
7/
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
ab
a b a b k k Z
ab
8/
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
ab
a b a b k k Z
ab
Lưu ý : sin+sin =2sinsin
sin-sin=2cossin
Hoàng Ngọc Phú Page 6
cos+cos=2coscos
cos-cos=-2sinsin
f. Các công thức đặc biệt :
1/
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
2/
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
3/
xbaxbaxbxa sincossincos
2222
22
22
sin
cos
ba
b
ba
a
;
22
22
cos
sin
ba
b
ba
a
4/
xxx 2sin
2
1
1cossin
244
=
x4cos
4
1
4
3
5/
12sin
4
3
cossin
266
xxx
=
x4cos
8
3
8
5
6/
2
1 sin 2cos
42
x
x
7/
2
1 sin 2sin
42
x
x
8/
2cos
4
1 tan
cos
x
x
x
9/
tan cot 2cot2
2
x x x x k
10/
2sin
4
1 tan
cos
x
x
x
11/
cotg 2cotg 2xx tgx
12/
2
cotg
sin2
x tgx
x
13/
2
tan cot
sin2 2
x x x k
x
14/
1
cotg cotg 2x
sin2
x
x
g. Công thức theo
2
tan
a
:
2
tan
a
1/
2
1
2
sin
t
t
x
2/
2
2
1
1
cos
t
t
x
3/
2
1
2
tan
t
t
x
3. Phương trình lượng giác :
a. Pt lượng giác cơ bản : a, tanx = a, cotx = a.
Hoàng Ngọc Phú Page 7
Cách giải :
a
>1 pt
a
1 thay a = sin
sinx = sin
2
2
kx
kx
Zk
a
>1 pt
a
<1 thay a = cos
cosx = cos
2kx
Zk
+ tanx = a, thay a = tan
kx
kax arctan
Zk
+ cotx = a, thay a = cot
kx
kaarcx cot
Zk
khi sin,cos = 0,1,-1 ta tiếp tục giải trên đường tròn lượng giác
+ sinx = 0
kx
+ cosx = 0
kx
2
+ sinx = 1
2
2
kx
+ cosx = 1
2kx
+sinx = -1
2
2
kx
+cosx = -1
2kx
: 1. sinx =
2
1
2.cos
4
x
= -
2
2
3. cot
315
0
x
4. sin2x + cos2x = 1 5. sin2x = cos3x
b.Pt bậc hai, bậc ba đối với hàm số lượng giác :
1/
cxbxa sinsin
2
1,1
2/
0tantan
2
cxbxa
: 1.
04cos2sin5
2
xx
2.
xx cos54sin2
2
3.
2
1
2sincossin
44
xxx
4.
x
xx
sin21
2
cos
2
sin
44
c. Pt bậc nhất đối với sinx và cosx :
Dạng :
cxbxa sincos
222
cba
:
cxbxa sincos
222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a
22
22
cos
sin
ba
b
ba
a
pt :
22
sin
ba
c
ax
Hoàng Ngọc Phú Page 8
: 1.
1cos3sin xx
2.
x
x
cos
1
3tan
3.
xx
x
sin
1
cos
3
sin8
4.
xxxx 7sin5cos35sin7cos
d. Pt thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :
Dạng : 1/
0coscossinsin
22
xcxxbxa
(1)
:
kxx
2
0cos
pt
pt)
kxx
2
0cos
x
2
cos
:
0tantan
2
cxbxa
pt
2/
dxcxxbxa
22
coscossinsin
:
dxcxxbxa
22
coscossinsin
xxdxcxxbxa
2222
cossincoscossinsin
0coscossinsin
22
xdcxxbxda
: 1.
0coscossin3sin5
22
xxxx
2.
4cos22sin33sin4
22
xxx
3.
xx
x
cossin
sin
1
4.
xx
xx
xx
2cos62sin4
tancot
tancot
e. Pt có chứa
xx cossin
và
xxcossin
Dạng : 1/
0cossincossin cxxbxxa
:
4
sin2
x
hay
4
cos2
x
22 t
2
1
cossincossin21cossin
2
2
t
xxxxxx
pt :
0
2
1
2
c
t
bat
22 t
2/
0cossincossin cxxbxxa
Cách giải :
: 1.
05cossin222sin xxx
2.
05sincos2cossin xxxx
3.
1cossincossin xxxx
4.
1cossin2cossin
33
xxxx
f. Pt đưa về dạng tích :
Hoàng Ngọc Phú Page 9
: 1.
23sin2sinsin
222
xxx
2.
xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
3.
82cos2sin3cos6sin9 xxxx
4.
x
xx
x
4
2
4
cos
3sin2sin2
1tan
g. Pt lượng giác không mẫu mực :
- :
22
A=0
A +B 0
B=0
:
1
n
2
i=1
f0
f0
f0
f0
i
n
x
x
x
x
f 0, 1,
i
x i n
.
- -
AM
A=M
BM
B=M
A=B
.
- (N
1
1
1
1
11
AA
A=A
BB
B=B
A+B=A B
4. Phương trình hàm lượng giác :
a. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác:
-
sinf x x
:
3
3 3 4 ,f x f x f x x
.Quy
3
3
f x f x
-
sf x co x
:
2
2 2 1,f x f x x
2 ; ,f x y f x y f x f y x y
-
sin , cosf x x g x x
. ; ,
;,
f x y f x g x f y g x x y
g x y g x g y f x f y x y
-
f x tgx
:
1.
f x f y
f x y
f x f y
21
, , ( )
2
k
x y x y k
,
;
22
x k y k
-
cotf x gx
:
.1f x f y
f x y
f x f y
, , ,( )x y x y k k
,
;x k y k
Hoàng Ngọc Phú Page 10
b. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác ngược:
-
arcsinf x x
:
22
1 1 ; , 1;1f x f y f x y y x x y
-
arccosg x x
:
22
1 . 1 ; , 1;1g x g y g xy x y x y
-
h x arctgx
:
; , , 1
1
xy
h x h y h x y xy
xy
-
cotp x arc g
:
1
; , , 0
xy
p x p y p x y x y
xy
c.Phương trình hàm Cauchy:
*Phát biểu:
; , 1f x y f x f y x y
f x ax
i
a
*Chứng minh:
0 0,f f x f x
.
yx
2 2 , 2f x f x x
,f kx kf x x
1 , ,f k x f kx x x k
,3f nx nf x x
f x f x
,,f mx mf x m x
2
2
2 2 2
2
22
n
n
x x x
f x f f f
1
, , 4
22
nn
x
f f x n x
. 1 , ,
22
nn
mm
f f m n
, , 1f x ax x a f
5. Các hằng đẳng thức trong tam giác :
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
Hoàng Ngọc Phú Page 11
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
222
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
222
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
sin2 sin2 sin2 4sin sin sinA B C A B C
cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
1
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
ACCBBA
6. Một số tổng và tích hữu hạn :
a.
1
1
sin sin
22
sin sin2 sin
sin
2
na
na
S a a na
a
sin
2
a
b.
2
1
sin sin
22
cos cos2 cos
2sin
2
n na
a
S a a na
a
sin
2
a
c.
3
2
1 1 1 1
cot cot 2
sin sin2 sin2 sin2 2
n
n
a
S g g a
a a a a
1
cotg cotg 2x
sin2
x
x
cos
1 1 1 cos2
2
sin sin 2 sin 2 sin 2
sin
2
n
nn
a
a
a
a a a a
2
2cos 1
cos
1 cos
2
2
sin
sin 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2
a
a
a
a a a a a
a
VT
cos2
sin2
n
n
a
a
Hoàng Ngọc Phú Page 12
d.
4
1 1 1 1
cos cos2 cos2 cos3 cos 1 cos sin
S tgna tga
a a a a n a na a
e.
5
2
sin 1
cos cos2 cos
1
cos cos cos sin .cos
nn
na
a a na
S
a a a a a
sin 1 sin 1
cos sin .cos
cos sin .cos 2sin .cos
k k k
k a k a
ka a ka
a a a a a
1
sin 1
sin
sin .cos sin .cos
kk
ka
ka
a a a a
sin 1
sin .cos
n
na
S
aa
f.
6
2 2 3 1
tgna
S tgatg a tg atg a tg n atgna n
tga
1
11
tg n a
tgna
tg n atgna
tga tga
tgna
Sn
tga
g.
7
22
1 1 1 1
cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
a a a a
S tg tg tg g ga
cotg 2cotg 2xx tgx
h.
8
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
sin
cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
nn
nn
S
a a a a
a
a
2 2 2
1 1 1
4sin 4cos sin 2x x x
i.
1
1
2cos2 1
2cos 1 2cos2 1 2cos2 1
2cos 1
n
n
T a a a
a
2cos 1a
k.
1
2
1
1 1 1 2
1 1 1
cos cos2 cos2
2
n
n
tg a
T
a
a a a
tg
2
a
tg
VT
2
2 2 2 1
21
2cos
2cos 2cos 2 2cos 2
2
. .
cos cos2 cos2 cos2
n
n
a
a a a
a a a a
22
1
2 cos cos cos2 cos2
2
sin sin .
2 2 cos2
nn
n
a
a a a
aa
VT
Hoàng Ngọc Phú Page 13
1
1
cos sin 2
2
sin cos2
2
n
n
a
a
VT
a
a
VP
l.
3
21
cos cos cos
2 1 2 1 2 1
2 sin
21
n
n
T
n n n
n
sin
21n
1.
1
11
sin2 sin
n
i
i
xx
2. :
1
cos 40 cos20
n
i
i
(1)
Gi:
sin2 0; 1,
i
x i n
3
S
1
2
; 2 ,
12
n
k
x x l k l
2.
2
S
(1)
1 40
sin 40 sin
22
cos20
40
2sin
2
nn
sin40 4sin10 cos10 cos20
cos 20 10 2cos10 cos20
2sin10 2sin10
n
Do
0 <10 ;20 <90
cos10 cos20 >0
suy ra
0<20 n+10 <90
nN
Hoàng Ngọc Phú Page 14
