Tải bản đầy đủ (.pdf) (14 trang)

Lý thuyết lượng giác tổng hợp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (489.53 KB, 14 trang )

Hoàng Ngọc Phú Page 1

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC


A. LÝ THUYẾT
0. Các hàm số lượng giác :
a. Hàm số y = sinx
1) 
D
.
2) 1; 1].
3) 

2T
.
4)     
2 ; 2
22
kk






     
3
2 ; 2 ,
22


k k k



  


.
5) 

b. Hàm số y = cosx
1) 
D
.
2) 1; 1].
3) 
T2
.
4)     
 
2 ; 2kk
  

     
 
2 ; 2 ,k k k
  

.
5) 

Hoàng Ngọc Phú Page 2

























































c. Hàm số y = tanx

D \ k , k

2
.
1)  .
2) 
T
.
3) 
;,
22
k k k



   


.
4)  
 
2
x k k


  



d. Hàm số y = cotx
1) 
D \ k , k

.
2)  .
3) 
T
.
4) 
 
;,k k k
  

.
5) 
 
x k k




Hoàng Ngọc Phú Page 3



a. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác thường gặp :


0
6


4



3


2



sin

0
2
1

2
2

2
3

1

cos

1
2
3

2

2

2
1

0

tan

0
3
1

1
3



cot


3

1
3
1

0

b

1/ H : (-




cos(-

) = cos


sin(-

) = - sin


tan(-

) = - tan


cot(-

) = - cot


2/  nhau : (

-





sin(

-

) = sin


cos(

-

) = - cos


tan(

-

) = - tan


Hoàng Ngọc Phú Page 4

cot(

-

) = - cot



3/  nhau :









2



sin









2
= cos



cos









2
= sin


tan









2
= cot


cot










2
= tan


4/  nhau

: (

+




sin(

+

) = - sin


cos(


+

) = - cos


tan(

+

) = tan


cot(

+

) = cot


 h
2

:










2



sin









2
= cos


cos










2
= - sin


tan









2
= - cot


cot









2
= - tan



 “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch



2
a. Công thức cơ bản :
1/ sin
2
x + cos
2
x = 1 2/ tanx =
x
x
cos
sin

3/ cotx =
x
x
sin
cos
4/
xxcottan
= 1
Hoàng Ngọc Phú Page 5

5/ 1 + tan
2

x =
x
2
cos
1
6/ 1 + cot
2
x =
x
2
sin
1


b. Công thức cộng :
1/ cos(a – b) =
baba sinsincoscos 
2/ cos(a + b) =
baba sinsincoscos 

3/ sin( a  b) =
baba sincoscossin 
4/ sin( a + b) =
baba sincoscossin 

5/ tan(a  b) =
ba
ba
tantan1
tantan



6/ tan( a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan



7/
 
ba
ba
ba
cotcot
1cotcot
cot



8/
 
ba
ba
ba
cotcot
1cotcot
cot





c. Công thức góc nhân đôi, nhân ba, hạ bậc :
1/
aaa cossin22sin 

2/
aaa
22
sincos2cos 
=
aa
22
sin211cos2 

3/
a
a
a
2
tan1
tan2
2tan


4/
2
2cos1
cos

2
a
a



5/
2
2cos1
sin
2
a
a


6/
aaa
3
sin4sin33sin 

7/
aaa cos3cos43cos
3

8/
 
a
aa
a
2

2
tan31
tan3tan
3tan




d. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1/
   
 
bababa  coscos
2
1
coscos
2/
   
 
bababa  sinsin
2
1
cossin

3/
   
 
bababa  coscos
2
1

sinsin

e. Công thức biến đổi tổng thành tích :
1/
2
cos
2
sin2sinsin
baba
ba


2/
2
sin
2
cos2sinsin
baba
ba



3/
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba



4/
2
sin
2
sin2coscos
baba
ba



5/
 
ba
ba
ba
coscos
sin
tantan


6/
 
ba
ba
ba
coscos
sin
tantan




7/
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
ab
a b a b k k Z
ab


   
8/
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin

   
ab
a b a b k k Z
ab



Lưu ý : sin+sin =2sinsin
sin-sin=2cossin
Hoàng Ngọc Phú Page 6

cos+cos=2coscos
cos-cos=-2sinsin

f. Các công thức đặc biệt :
1/













 aaaa
4
sin2
4
cos2sincos


2/














 aaaa
4
sin2
4
cos2sincos


3/
   

 xbaxbaxbxa sincossincos
2222













22
22
sin
cos
ba
b
ba
a


;











22
22
cos
sin
ba
b
ba
a




4/
xxx 2sin
2
1
1cossin
244

=
x4cos
4
1
4
3


5/
12sin
4
3
cossin
266
 xxx
=
x4cos
8
3
8

5


6/
2
1 sin 2cos
42
x
x


  


7/
2
1 sin 2sin
42
x
x


  



8/
2cos
4
1 tan

cos
x
x
x






9/
tan cot 2cot2
2
x x x x k


    



10/
2sin
4
1 tan
cos
x
x
x








11/
cotg 2cotg 2xx tgx


12/
2
cotg
sin2
x tgx
x

13/
2
tan cot
sin2 2
x x x k
x


   



14/
1

cotg cotg 2x
sin2
x
x
  

g. Công thức theo
2
tan
a
: 
2
tan
a

1/
2
1
2
sin
t
t
x


2/
2
2
1
1

cos
t
t
x



3/
2
1
2
tan
t
t
x




3. Phương trình lượng giác :
a. Pt lượng giác cơ bản : a, tanx = a, cotx = a.
Hoàng Ngọc Phú Page 7

Cách giải :

a
>1  pt 

a


1 thay a = sin



sinx = sin









2
2
kx
kx

 
Zk 


a
>1 pt 

a
<1 thay a = cos




cosx = cos



2kx 

 
Zk 

+ tanx = a, thay a = tan


kx 


kax  arctan

 
Zk 

+ cotx = a, thay a = cot


kx 


kaarcx  cot

 

Zk 

khi sin,cos = 0,1,-1 ta tiếp tục giải trên đường tròn lượng giác
+ sinx = 0

kx 
+ cosx = 0


kx 
2

+ sinx = 1


2
2
kx 
+ cosx = 1

2kx 

+sinx = -1


2
2
kx 
+cosx = -1


2kx 

: 1. sinx =
2
1
2.cos







4

x
= -
2
2
3. cot
 
315
0
x

4. sin2x + cos2x = 1 5. sin2x = cos3x

b.Pt bậc hai, bậc ba đối với hàm số lượng giác :
1/
cxbxa  sinsin

2

 
1,1

2/
0tantan
2
 cxbxa

 : 1.
04cos2sin5
2
 xx
2.
xx cos54sin2
2


3.
2
1
2sincossin
44
 xxx
4.
x
xx
sin21
2

cos
2
sin
44



c. Pt bậc nhất đối với sinx và cosx :
Dạng :
cxbxa  sincos

222
cba 

 :
cxbxa  sincos
222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a




















22
22
cos
sin
ba
b
ba
a


pt :
 
22
sin
ba

c
ax



Hoàng Ngọc Phú Page 8

 : 1.
1cos3sin  xx
2.
x
x
cos
1
3tan 

3.
xx
x
sin
1
cos
3
sin8 
4.
 
xxxx 7sin5cos35sin7cos 


d. Pt thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

Dạng : 1/
0coscossinsin
22
 xcxxbxa
(1)
 : 


kxx 
2
0cos
pt 
pt)



kxx 
2
0cos

x
2
cos
 :
0tantan
2
 cxbxa
pt 
2/
dxcxxbxa 

22
coscossinsin

 :
dxcxxbxa 
22
coscossinsin
 
xxdxcxxbxa
2222
cossincoscossinsin 

   
0coscossinsin
22
 xdcxxbxda

 : 1.
0coscossin3sin5
22
 xxxx
2.
4cos22sin33sin4
22
 xxx

3.
xx
x
cossin

sin
1

4.
xx
xx
xx
2cos62sin4
tancot
tancot




e. Pt có chứa
xx cossin 

xxcossin

Dạng : 1/
 
0cossincossin  cxxbxxa

 : 








4
sin2

x
hay







4
cos2

x

22  t


 
2
1
cossincossin21cossin
2
2


t

xxxxxx
pt :
0
2
1
2


 c
t
bat

22  t

2/
 
0cossincossin  cxxbxxa

Cách giải : 
 : 1.
 
05cossin222sin  xxx
2.
 
05sincos2cossin  xxxx

3.
1cossincossin  xxxx
4.
 

1cossin2cossin
33
 xxxx


f. Pt đưa về dạng tích :
Hoàng Ngọc Phú Page 9

 : 1.
23sin2sinsin
222
 xxx
2.
xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222


3.
82cos2sin3cos6sin9  xxxx
4.
 
x
xx
x
4
2
4
cos
3sin2sin2
1tan




g. Pt lượng giác không mẫu mực :
-  :
22
A=0
A +B 0
B=0





:
 
 
 
 
1
n
2
i=1
f0
f0
f0

f0
i
n

x
x
x
x













 
f 0, 1,
i
x i n
.
- -

AM
A=M
BM
B=M
A=B










.
-  (N
1
1
1
1
11
AA
A=A
BB
B=B
A+B=A B













4. Phương trình hàm lượng giác :
a. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác:
- 
 
sinf x x
:
     
3
3 3 4 ,f x f x f x x   
.Quy

   
3
3
f x f x



- 
 
sf x co x
:
   
2
2 2 1,f x f x x   


       

2 ; ,f x y f x y f x f y x y     

- 
   
sin , cosf x x g x x

         
         
. ; ,
;,
f x y f x g x f y g x x y
g x y g x g y f x f y x y
    



    



- 
 
f x tgx
:
 
   
   
1.
f x f y
f x y

f x f y





 
21
, , ( )
2
k
x y x y k


  
,
;
22
x k y k


   

- 
 
cotf x gx
:
 
   
   

.1f x f y
f x y
f x f y





, , ,( )x y x y k k

  
,
;x k y k



Hoàng Ngọc Phú Page 10

b. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác ngược:
-
 
arcsinf x x
:
   


 
22
1 1 ; , 1;1f x f y f x y y x x y       


-
 
arccosg x x
:
   


 
22
1 . 1 ; , 1;1g x g y g xy x y x y       

-
 
h x arctgx
:
   
; , , 1
1
xy
h x h y h x y xy
xy


   




-
 

cotp x arc g
:
   
1
; , , 0
xy
p x p y p x y x y
xy


    




c.Phương trình hàm Cauchy:

*Phát biểu:

       
; , 1f x y f x f y x y    

 
f x ax

i
a

*Chứng minh:


     
0 0,f f x f x   
. 
yx

     
2 2 , 2f x f x x  


   
,f kx kf x x  


 
 
 
1 , ,f k x f kx x x k      


     
,3f nx nf x x  


   
f x f x  

   
,,f mx mf x m x    



 
2
2
2 2 2
2
22
n
n
x x x
f x f f f
     
   
     
     


   
1
, , 4
22
nn
x
f f x n x

    




 

. 1 , ,
22
nn
mm
f f m n


   





   
, , 1f x ax x a f   




5. Các hằng đẳng thức trong tam giác :

sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C  


cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C

A B C   


tan tan tan tan tan tanA B C A B C  

Hoàng Ngọc Phú Page 11


cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A  


222
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C   


222
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C   


sin2 sin2 sin2 4sin sin sinA B C A B C  


cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    


cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  



1
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan 
ACCBBA

6. Một số tổng và tích hữu hạn :
a.
 
1
1
sin sin
22
sin sin2 sin
sin
2
na
na
S a a na
a


    

 
sin
2
a

b.
2
1
sin sin
22
cos cos2 cos
2sin
2
n na
a
S a a na
a


    

 
sin
2
a

c.

3
2
1 1 1 1
cot cot 2
sin sin2 sin2 sin2 2
n
n
a
S g g a
a a a a
      



1
cotg cotg 2x
sin2
x
x
  


cos
1 1 1 cos2
2

sin sin 2 sin 2 sin 2
sin
2
n

nn
a
a
a
a a a a

    


2
2cos 1
cos
1 cos
2
2
sin
sin 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2
a
a
a
a a a a a
a





   


 VT
cos2
sin2
n
n
a
a


Hoàng Ngọc Phú Page 12

d.
 
 
4
1 1 1 1

cos cos2 cos2 cos3 cos 1 cos sin
S tgna tga
a a a a n a na a
     


 

e.
 
5
2
sin 1

cos cos2 cos
1
cos cos cos sin .cos
nn
na
a a na
S
a a a a a

     



   
sin 1 sin 1
cos sin .cos
cos sin .cos 2sin .cos
k k k
k a k a
ka a ka
a a a a a
  

 
1
sin 1
sin
sin .cos sin .cos
kk
ka

ka
a a a a




 
sin 1
sin .cos
n
na
S
aa



f.
 
6
2 2 3 1
tgna
S tgatg a tg atg a tg n atgna n
tga
      



 
 
1

11
tg n a
tgna
tg n atgna
tga tga

    

tgna
Sn
tga
  

g.
7
22
1 1 1 1
cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
a a a a
S tg tg tg g ga     

 
cotg 2cotg 2xx tgx

h.
8
2
2 2 2 2 2

2
1 1 1 1 1

sin
cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
nn
nn
S
a a a a
a
a
     

 
2 2 2
1 1 1
4sin 4cos sin 2x x x


i.
  
 
1
1
2cos2 1
2cos 1 2cos2 1 2cos2 1
2cos 1
n
n

T a a a
a


    



 
 
2cos 1a 

k.
1
2
1
1 1 1 2
1 1 1
cos cos2 cos2
2
n
n
tg a
T
a
a a a
tg


    

    
    
    



2
a
tg


VT
2
2 2 2 1
21
2cos
2cos 2cos 2 2cos 2
2
. .
cos cos2 cos2 cos2
n
n
a
a a a
a a a a




22

1
2 cos cos cos2 cos2
2
sin sin .
2 2 cos2
nn
n
a
a a a
aa
VT




Hoàng Ngọc Phú Page 13

1
1
cos sin 2
2
sin cos2
2
n
n
a
a
VT
a
a



  
VP
l.
3
21
cos cos cos
2 1 2 1 2 1
2 sin
21
n
n
T
n n n
n
  


  


 
sin
21n



 1.
1

11
sin2 sin
n
i
i
xx



2. :
 
1
cos 40 cos20
n
i
i



(1)
Gi:
sin2 0; 1,
i
x i n


3
S

 

1
2
; 2 ,
12
n
k
x x l k l



  


2. 
2
S
 (1)

1 40
sin 40 sin
22
cos20
40
2sin
2
nn



 

sin40 4sin10 cos10 cos20
cos 20 10 2cos10 cos20
2sin10 2sin10
n    

Do
0 <10 ;20 <90

cos10 cos20 >0
suy ra
0<20 n+10 <90
nN

























Hoàng Ngọc Phú Page 14








×