Khóa luận tốt nghiệp toán một số bài toán và cách giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở bậc THCS

A: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình” ở bậc THCS là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do
đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và
thường được kết hợp giữa toán học, vật lý, hóa học và một số bài toán về
thực tế.
Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh
phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để
lập được phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong phân phối chương trình toán ở trường THCS thì ở lớp 8 học
sinh mới được học khái niệm về phương trình nhưng việc giải phương
trình đã có trong chương trình toán từ các lớp dưới với mức độ và yêu
cầu đơn giản hơn.
Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được
gắn liền với nội dung thực tế. Vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những
đại lượng có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải bài toán học sinh
thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của
ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ ràng buộc trong thực tế.
Từ những lý do dẫn đến nhiều học sinh rất ngại giải dạng toán này. Mặt
khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan
giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa
biết phân loại dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi
dạng toán do kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu. Vì thế
1
trong quá trình đặt ẩn, mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến
lúng túng trong việc giải dạng toán này.
Để giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán
thành những quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của những người thầy là
phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập. Vì vậy khi hướng dẫn cho

học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình phải dựa trên các nguyên tắc sau:
- Yêu cầu về giải bài toán
- Quy tắc giải bài toán về cách lập phương trình
- Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại
lượng (tăng giảm, thêm bớt,…)
- Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được
phương trình, hệ phương trình dễ dàng.
Với mong muốn có một chuyên đề chuyên sâu cho dạng toán
phương trình, hệ phương trình vì thế em đã chọn đề tài “Một số bài toán
và cách giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở bậc
THCS”.
Trong quá trình học tập tại trường em không ngừng học hỏi từ thầy
cô, bạn bè, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
thầy Phan Trọng Tiến, Khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng
Bình đã giúp em hoàn thành đề tài này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Thông qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu tới những bạn đọc đam
mê Toán, sinh viên ngành sư phạm Toán một số vấn đề cơ bản liên quan
2
đến giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. Đề tài đi
sâu vào nghiên cứu một số ví dụ cụ thể về các dạng toán giải bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình bậc THCS.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh bậc THCS
- Khách thể nghiên cứu: Trình bày một số kiến thức phù hợp với từng nội
dung của đề tài, từ đó hình thành cách giải, hệ thống các ví dụ nhằm bổ
sung sáng tỏ phần lý thuyết và bài tập giúp người đọc hiểu sâu hơn.
4. Giả thuyết khoa học
Để có thể học tốt dạng toán này, học sinh phải nắm vững các kiến

thức liên quan. Từ những bài toán thực tế giáo viên giúp học sinh thấy
được toán học gắn liền với đời sống thực tế, toán học không phải là
những con số khô khan, không biết nói. Nhờ vào toán học giúp chúng ta
giải được các bài toán thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển chung
của xã hội; giúp ta định hướng được các công việc cần làm, tìm được lời
giải tối ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho cuộc sống.
Đề tài giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải toán
bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, từ đó phát huy cao tính
tích cực, chủ động, tìm tòi, khám phá của bạn đọc nói chung cũng như
của học sinh và giáo viên THCS nói riêng.
5. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, các tạp chí Toán học
và tuổi trẻ. Tuy nhiên trong các tài liệu đó tác giả chỉ trình bày các nội
dung kiến thức phù hợp với yêu cầu giảng dạy, yêu cầu tự học của sinh
viên, học sinh, yêu cầu tham khảo của giáo viên mà không đi sâu vào
từng nội dung về “Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình, hệ
3
phương trình cho một số dạng toán trong chương trình THCS” gắn với
tên tuổi các nhà toán học vĩ đại.
6. Nhiệm vụ của đề tài
- Hệ thống những kiến thức cơ bản về “Phương pháp giải toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cho một số dạng toán trong
chương trình THCS”.
- Hệ thống các ví dụ mở đầu.
- Hệ thống các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp.
- Tìm ra phương pháp giải hiệu quả nhất với từng dạng toán.
- Rút ra điểm cần lưu ý cho một số dạng toán.
7. Phạm vi nghiên cứu
Trong chương trình THCS, bài tập về giải toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh

giỏi.
8. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách có liên quan đến đề tài.
- Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách
chi tiết.
- Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống những kiên thức tiên
quyết, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi.
9. Đóng góp của đề tài
Tìm hiểu sâu các dạng toán giải bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình thông qua bước phân tích bài toán, nhằm giúp cho học sinh
tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn.
4
Nếu học sinh nắm vững bước phân tích bài toán thì các em không
còn lúng túng khi gặp loại bài này nữa, từ đó các em có niềm tin, say mê,
hứng thú trong học toán, tạo cho các em tính tự tin, độc lập suy nghĩ,
phát triển tư duy logic và suy luận toán học.
10. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài
* Cơ sở lý luận: Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là
phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân
văn cao.
Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra là phải làm
cho học sinh nắm được các kiến thức toán học một cách chính xác, vững
chắc và có hệ thống, có năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết
các bài toán thực tế. Muốn vậy thì học sinh phải có phương pháp học tập
thích hợp. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học thì học sinh đóng
vai trò chủ động trong việc tìm hiểu tri thức qua sự dẫn dắt, hướng dẫn
của giáo viên.
* Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại
khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu
thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu

trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin
vào khả năng của mình trong quá trình học tập.
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là
phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi
dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thỏa mãn
điều kiện bài cho.
11. Cấu trúc của đề tài
Bố cục gồm 3 phần:
5
• Phần 1: Mở đầu
• Phần 2: Nội dung
Chương 1: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán
Chương 2: Phân loại dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình’’ và các giai đoạn giải một bài toán
- Phần 3: Kết luận
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI
TOÁN
I. Phương pháp nghiên cứu
6
- Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục – Đào tạo về
chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình.
- Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên
tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
* Nội dung quy tắc gồm các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình (gồm)
- Chọn ẩn (Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn)
- Biểu thị các số liệu chưa biết và đã biết qua ẩn
- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình, hệ phương

trình
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình
(Chọn cách giải cho phù hợp)
Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời
- So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có phù hợp không
rồi trả lời kết quả.
II. Yêu cầu về giải một bài toán
1. Yêu cầu 1
Lời giải không phạm phải sai lầm, không sai sót dù là nhỏ nhất. Muốn
vậy giáo viên phải cho học sinh hiểu kỹ đề bài, trong quá trình giải
không có sai sót về kiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính
toán, cách ký hiệu ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và phù
hợp với thực tế.
Ví dụ 1
Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi
7
mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi.
+ Phân tích đề bài
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Nên nếu tuổi con là x thì tuổi mẹ là
3x
Bảy năm về trước tuổi mẹ là 3x – 7, tuổi con là x – 7.
Giải:
Gọi tuổi con năm nay là x (tuổi)
Vậy tuổi mẹ năm nay là 3x (tuổi) ĐK : x ∊ N
∗
, y ∊ N
∗
; x >
7
Trước đây 7 năm tuổi con là x – 7

Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x – 7
Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có
phương trình :
3x – 7 = 5(x – 7) + 4
3x – 7 = 5x – 35 + 4
3x – 5x = -35 + 4 + 7
-2x = -24
8
⇒ x = 12 (TMĐK)
Vậy năm nay tuổi con là 12 tuổi và tuổi mẹ là 36 tuổi.
2. Yêu cầu 2
Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện
từng bước phải có lôgic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc
biệt phải chú ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định
ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi
bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài
toán thiết lập được phương trình từ đó tìm được các giá trị của ẩn. Muốn
vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là dữ kiện,
đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không. Từ đó
mà xác định được hướng đi, xây dựng được lời giải.
Ví dụ 2
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5m. Tính chu
vi của mảnh đất đó. Biết diện tích của mảnh đất là 500m
2
.
+ Phân tích đề bài
Nếu chiều dài của mảnh đất HCN là x (m) thì chiều rộng là x – 5 (m)
9
Khi đó diện tích của mảnh đất HCN là x (x – 5) (m
2

)
Giải:
Gọi chiều dài mảnh đất HCN là x (m)
Vậy chiều rộng của mảnh đất là x – 5 (m) ĐK :0 < x < 500
Vì diện tích của mảnh đất HCN là 500 m
2
nên ta có :
x(x – 5) = 500
⇔ x
2
– 5x – 500 = 0 có {a = 1, b = -5, c = -500}
+ ∆ = b
2
– 4ac
+ ∆ = (-5)
2
– 4.1.(-500) = 25 + 2000 = 2025
+ ∆ = 2025 ⇒ PT có hai nghiệm phân biệt
+ = = 45
⇒ x
1
= = = 25 (TMĐK)
10
x
2
= = = -20 (loại)
Vậy chiều dài của mảnh đất HCN là 25 (m)
Chiều rộng của mảnh đất HCN là 25 – 5 = 20 (m)
Chu vi mảnh đất HCN là : (20 + 25).2 = 90 (m)
Chú ý

Ở bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh loại nghiệm x = -
20. Chỉ lấy nghiệm x = 25
3. Yêu cầu 3
Lời giải phải giải thích đầy đủ mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh
không được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, không thừa, không thiếu. Rèn
cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa. Kết quả của
bài toán đã đúng với mọi cách giải chưa. Nếu thay đổi điều kiện của bài
toán rơi vào trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng.
Ví dụ 3
Một cạnh của tam giác có chiều cao bằng lần cạnh đáy nếu chiều cao
tăng thêm 3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng
lần diện tích tam giác ban đầu. Tính chiều cao và diện tích của tam giác
ban đầu.
+ Phân tích đề bài
Dù chiều cao và cạnh đáy của tam giác thay đổi nhưng diện tích của tam
giác vẫn được tính theo công thức :
S =
Giải:
11
Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là x (cm) ĐK: x > 5
Nên chiều cao của tam giác ban đầu là x (cm)
Vậy diện tích tam giác ban đầu là (x. x) : 2 = x
2
Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là x + 3 (cm)
Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì đáy mới là x – 5 (cm)
Suy ra diện tích của tam giác mới là [( x + 3)(x – 5)] : 2 (cm
2
)
Theo đầu bài ta có phương trình : [( x + 3)(x – 5)] : 2 = .x
2

x
2
– 10x – 200 = 0 có { a = 1 ; b = -10 ⇒-b
’
= -5 ; c = -200}
∆
’
= b
’2
- ac ∆
’
= (-5)
2
- 1(-200) = 25 + 200 = 225
∆
’
= 225 > 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇒
’
= = 15
12
⇒ x
1
= = = 20 (TMĐK)
⇒ x
2
= = = -10 (loại)
Vậy cạnh đáy của tam giác ban đầu là 20cm
Chiều cao của tam giác ban đầu là .20 = 15 (cm)
4. Yêu cầu 4

Lời giải bài toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thức trình độ của học
sinh, đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
Ví dụ 4
Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai
thác được 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn
than, do đó đội đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và còn vượt mức
13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than.
Giải:
Gọi x là số than mà đội phải khai thác theo kế hoạch (x nguyên, dương)
Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là
Thực tế đội khai thác được x + 13 (tấn)
13
Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là
Theo đầu bài ta có phương trình :
= – 1
(x + 13).50 = x.57 – 2850
50x + 650 = x.57 – 2850
7x = 3500
x = 500 (TMĐK)
Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.
5. Yêu cầu 5
Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải
trong bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy ra từ
các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã
biết trước.
Ví dụ 5
Chiều cao của một tam giác vuông là 2,4 m. Chia cạnh huyền làm hai
loại hơn kém nhau là 1,4 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
+ Phân tích đề bài A
Xét tam giác ABC vuông tại A. Giả sử AC > AB

⇒ CH > BH
14
Và AH
2
= BH.CH (theo hệ thức lượng)
Giải:
Gọi độ dài BH là x (x > 0; m)
⇒ Độ dài CH là x + 1,4 (m)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
AH
2
= HB.HC
2,4
2
= x (x + 1,4)
x
2
+ 1,4x – 5,76 = 0 có { a = 1 ; b = 1,4 ; c = -5,76}
∆ = (1,4)
2
- 4.1. (-5,76)
= 1,96 + 23,04 = 25
⇒ = = 5 > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
x
1
= = = 1,8 (TMĐK)
x
2
= = = -3,2 (loại)
Vậy BH = 1,8m

15
⇒ CH = 1,8 + 1,4 = 3,2m
⇒ BC = 1,8 + 3,2 = 5m
6. Yêu cầu 6
Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bước lập luận không được chồng chéo,
phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi
giải xong cần phải thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh
bỏ sót nghiệm đặc biệt là phương trình bậc hai, hệ phương trình.
Ví dụ 6
Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25m, tổng độ dài hai cạnh góc
vuông là 36m. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
Giải:
Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là x, y (m)
ĐKXĐ: 0 < x < 35; 0 < y < 35.
Vì tổng độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác là 35 nên ta có:
x + y = 35 (1)
16
Mặt khác theo định lý pitago áp dụng vào tam giác đã cho ta có:
x
2
+ y
2
= 25
2
= 625 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
⇒
x, y là nghiệm của phương trình : t
2
– 35t + 300 = 0

Giải ra ta được t
1
= 20 ; t
2
= 15 (TMĐK)
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là 15 và 20
Chú ý
Ở bài toán này khi tìm ra hai kết quả là 15 và 20, học sinh sẽ lúng túng
chọn 1 hay 2 đáp số : (x = 15 ; y = 20) hoặc (x = 20 ; y = 15)
Thực tế hai tam giác vuông này đều là một. Giáo viên cần xây dựng cho
học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm
bảo điều kiện thì các nghiệm tìm được đều hợp lý.
CHƯƠNG II
PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN : “GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ VÀ CÁC GIAI ĐOẠN
17
GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. Phân loại dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình”
Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình có thể phân loại như sau :
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học
3. Loại toán về năng suất lao động
4. Loại toán có liên quan đến công việc làm chung, làm riêng
5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm bớt, tăng, giảm…)
6. Loại toán có liên quan đến hình học
7. Loại toán có liên quan đến vật lý, hóa học
8. Loại toán về xác định các hệ số của một đa thức
9. Dạng toán có chứa tham số

10. Một số bài toán khác
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình
- Bài toán bậc nhất một ẩn là dạng bài toán sau khi xây dựng phương
trình biến đổi tương đương về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0).
- Bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai là bài toán sau khi xây
dựng phương trình biến đổi tương đương về dạng ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0).
- Bài toán giải toán bằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán
sau khi biến đổi tương đương về dạng nguyên (như mẫu số) có dạng:
18
(a; a
’
; b; b
’
không đồng thời bằng 0)
Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thì bài toán có thể chia
thành các giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài
toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì?
Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình.
Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn.
Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại
lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến
đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng
đã biết, đã giải được.
Giai đoạn 4: Giải phương trình phải vận dụng các kỹ thuật giải
phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình.

Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời
giải của bài toán, tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của
bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không.
Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm (sau khi đã
thử lại).
Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng
cho học sinh khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi
bài toán thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư
duy học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
III. Những loại bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán
19
1. Dạng toán chuyển động
1.1: Bài toán 1
Một ô tô đi từ Hà Nội từ lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30
’
.
Nhưng mỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến
11h20
’
xe mới đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
+ Phân tích đề bài
Đây là loại toán chuyển động mà vận tốc được chia làm hai giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định
+ Giai đoạn 2: Ô tô đi với vận tốc thực tế
Giải:
Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (km) ĐK: x > 0
Vận tốc mà xe dự kiến đi là: (km/h)

Vận tốc thực tế là: (km/h)
Vì vận tốc thực tế kém vận tốc dự định là 10km/h nên ta có phương trình:
-
= 10
4x – 3x = 100 ⇒ x = 100 (TMĐK)
Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là 100 (km).
1.2: Bài toán 2
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian nhất
20
định nào đó. Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên xe phải dừng lại để
sửa chữa mất 10 phút. Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng
vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô.
+ Phân tích bài toán
- Thời gian ô tô đi được chia làm 3 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định
+ Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa
+ Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới
- Thời gian dự định bằng thời gian thực tế
Giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ĐK: x > 0
Thời gian ô tô đi theo dự định là: (h)
Sau 1 giờ xe đi được: 1.x = x (km)
Quãng đường còn lại là: 120 – x (km)
Vận tốc mới của ô tô là x + 6
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:
Theo bài ra ta có phương trình: = 1 +
⇒ x
2
+ 42x – 4320 = 0 có { a = 1; b = 42 ⇒ b
’

= 21; c = - 4320}
21
∆
’
= (b
’
)
2
– ac = (21)
2
– 1.(- 4320) = 4761 > 0 ⇒ có 2 nghiệm phân biệt
⇒ = = 69
x
1
= = = 48 (TMĐK)
x
2
= = = - 90 (loại)
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48km/h.
1.3: Bài toán 3
Một bè gỗ được thả trôi trên một dòng sông. Sau khi thả bè gỗ trôi được 5
giờ 20 phút, một xuồng máy cũng xuất phát từ chỗ bè gỗ bắt đầu thả đuổi
theo bè gỗ. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc
của bè gỗ biết rằng vận tốc của xuồng máy hơn vận tốc của bè gỗ là 12km/h.
+ Phân tích đề bài
Vận tốc xuôi dòng của xuồng máy = vận tốc thực + vận tốc dòng nước
Vận tốc của bè gỗ chính bằng vận tốc dòng nước
Giải:
Gọi vận tốc của bè gỗ là x (km/h) ĐK: x > 0
22

Vậy vận tốc của xuồng máy là x + 12 (km/h)
Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là:
Thời gian xuồng máy đi cho đến khi đuổi kịp bè gỗ là:
Theo bài ra ta có phương trình:
- =
x
2
+ 12x – 45 = 0 có {a = 1 ; b = 12 ⇒ b
’
= 6 ; c = - 45}
∆
’
= (b
’
)
2
– ac = 6
2
– 1.(- 45) = 81 > 0 ⇒ có 2 nghiệm phân biệt
= = 9
x
1
= = = 3 (TMĐK)
x
2
=
=
= - 15 (loại)
Vậy vận tốc của bè gỗ là 3km/h.
* Tóm lại

Với các bài toán minh họa ở trên, giáo viên phần nào đã giúp cho học sinh
23
làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phương
trình. Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc
nhất, bậc hai.
Trong các bài toán về chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên
hệ giữa các đại lượng vận tốc, quãng đưỡng và thời gian. Thông thường một
trong ba đại lượng đó được chọn là ẩn số. Một đại lượng đã được xác định là
phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn dựa vào mối liên hệ trong bài toán để
lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nhỏ:
+ Nếu 2 chuyển động ngược chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp
nhau, ta có: s
1
+ s
2
= khoảng cách ban đầu.
+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động
cùng nhau, ta có: s
1
– s
2
= khoảng cách ban đầu (s
1
> s
2
).
+ Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là 2 đại
lượng tỷ lệ nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A.

Biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì: Tổng thời gian – Thời gian
đi + Thời gian về.
+ Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực – Vận tốc dòng nước
Vận tốc xuôi dòng – Vận tốc ngược dòng = 2 lần vận tốc dòng nước
2. Dạng toán liên quan đến số học
2.1: Bài toán 1
24
Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết thêm chữ số 0
vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho là 360 đơn vị.
+ Phân tích bài toán
Với số có 2 chữ số = 10a + b
Với số có 3 chữ số = 100a + 10b + c
Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì được số mới
có 3 chữ số. Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu trở thành chữ số
hàng trăm của số mới, còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ
số hàng đơn vị của chữ số mới.
Giải:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x (x ≤ 7) ĐK: x ∊ N
⇒ Chữ số hàng chục là 7 – x
Chữ số ban đầu là (7 – x)x = 10(7 – x) + x = 70 – 9x
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 số của số đã cho thì số mới là :
(7 – x)0x = 100(7 – x) + 0.10 + x = 700 – 99x
Theo bài ra ta có phương trình :
25