bai tap ve he phuong trinh chon loc

ONTHIONLINE.NET
ONTHIONLINE.NET
1. Giải hệ phương trình :



=+
=−+−
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
Đặt x-y=a ta được pt: a
2
+3a=4 => a=-1;a=-4.
Từ đó ta có



=+
=−+−
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
<=>
*




=+
=−
1232
1
yx
yx
(1) *



=+
−=−
1232
4
yx
yx
(2)
Giải hệ (1) ta được x=3, y=2
Giải hệ (2) ta được x=0, y=4
Vậy hệ phương trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc
x=0; y=4
2. Giải hệ phương trình :








=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
ĐKXĐ :
.0,0,0
≠≠≠
zyx
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
81

2 81
81 2
27
2( ) 2 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
⇒ + + =
⇔ + + + + + =
⇔ + + = − + +
⇔ + + =
⇒ + + = + +
⇒ + + − + + =
⇔ − + − + − =

− =
=



⇔ − = ⇔ = ⇔ = =
 
 
=
− =


x y z
x y z xy yz zx

x y z xy yz zx
x y z
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
x y y z z x
x y
x y
y z y z x y z
z x
z x
Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thoả mãn hệ phương trình . Vậy
hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
3. Giải hệ phương trình



+−=+−
−+=−
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
( 2) ( 2)( 4)
( 3)(2 7) (2 7)( 3)
2 2 4 8
2 6 7 21 2 7 6 21
4
0
x -2

y 2
− = + −


− + = − +

− = + − −

⇔

− + − = − + −

− = − =
 
⇔ ⇔
 
+ = =
 
x y x y
x y x y
xy x xy y x
xy y x xy y x
x y
x y
Bài 2: (2 điểm)
Cho các đường thẳng: y = x-2 (d
1
)
y = 2x – 4 (d

2
)
y = mx + (m+2) (d
3
)
a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d
3
) luôn đi qua
với mọi giá trị của m.
b. Tìm m để ba đường thẳng (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy .
Giải:
a. (d
3
): y = mx + (m +2 <=> m (x+1)+ (2-y) = 0
Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m



=−
=+
02
01
y
x

=.>



=
−=
2
1
y
x
Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d
3
) đi qua
b. Gọi M là giao điểm (d
1
) và (d
2
) . Tọa độ M là
nghiệm của hệ



−=
−=
42
2
xy
xy
=>




=
=
0
2
y
x
Vậy M (2; 0) .
Nếu (d
3
) đi qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiệm (d
3
) Ta
có : 0 = 2m + (m+2) => m= -
3
2
Vậy m = -
3
2
thì (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy
VD3.Giải các hệ phương trỡnh sau
1 1 5
x 5y 7

x y x y 8
a) b)
3x 2y 4 1 1 3
x y x y 8
x 2y 3z 2
c) x 3y z 5
x 5y 1

+ =

+ =
+ −


 
− =


− =

− +

+ − =


− + =


− =


Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4
x 7 5y x 7 5y x 2
21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ =

⇔
 
− − =
− =


= − = − =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = = =
  
hoặc
x 5y 7 3x 15y 21
3x 2y 4 3x 2y 4
17y 17 y 1
3x 2y 4 x 2

+ = + =
 
⇔
 
− = − =
 
= =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
b) ĐK:
x y≠ ±
. đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
1
ONTHIONLINE.NET
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2

5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =

 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2
x 5y 1 1 5y 3y z 5
x 1 5y x 6
7y 3z 1 y 1
2y z 4 z 2
+ − = = +
 
 
− + = ⇔ + + − =
 
 
− = + − + =
 
= + =
 
 
⇔ − = ⇔ =
 
 
+ = =
 
BT: 3.Giải các hệ phương trỡnh sau
2 2

2 2
x y 24
3x 4y 5 0
a) b)
x y 8
2x 5y 12 0
2
9 7 9
m n p 21
2u v 7 n p q 24
c) d)
p q m 23
u 2v 66
q m n 22
+ =

+ − =


 
− + =
+ =



+ + =



− = + + =

 
 
+ + =
+ =




+ + =

4.C
ho hệ phương trỡnh
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
b) Tỡm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho
x + y dương.
Bài 1. Giải các hệ phương trỡnh sau
3x 5y 3 2x 3y 2
1. 2.
5x 2y 1 3x 2y 3
x y
3u v 8
1

3. 4.
5 15
7u 2v 23
2x 5y 10
+ = + = −
 
 
+ = − = −
 

+ =
= −


 
− =


− =

x 6y 17 40x 3y 10
5. 6.
5x y 23 20x 7y 5
− = + =
 
 
+ = − =
 
1 1 4a 5b 10 0
x y 2 0

7. 8.
3 4
a b 1
0
5x y 11
5 3 3
− − =
 
+ − =
 
 
− + =
 
− =
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
6 x y 8 2x 3y
9.
5 y x 5 3x 2y
2 2x 1 1,5 3 y 2 6x
10.
11,5 4 3 x 2y 5 x
+ = + −


− = + +



− + + = − −


− − = − −


( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x 1 x 2 9y
11.
y 3 y 2 5x
2 2
2
3x y 5
x 2 y 1
12. 13.
2 3
x 3y 1
1
x 2 y 1

− − + =


− − + =




+ =


+ =
− −
 
 
− =



− =

− −

x 2 z x y 3
14. y 2 3z 15. y z 6
z 3x 3y 2 z x 1
x y z 12
16. 2x 3y z 12
x y 2z 9
= + + =
 
 
= + + =
 
 

− − = − + =
 
+ + =


− + =


+ − = −

Bài 2. Với giỏ trị nào của tham số m thỡ
a)
x y m 2
3x 5y 2m
+ = +


+ =

cú nghiệm nguyờn.
b)
mx 2y 1
3x y 3
− =


+ =

vụ nghiệm.
Bài 3: Cho hệ phương trình




−=+−
=−
33
33
ymx
myx
1. Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm .
2. Giả hệ phương trình với m = - 2.
3. Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x >
0, y > 0.
Bài 4 : Cho hệ phương trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
1. Giải và biện luận theo tham số m
2. Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x,
y∈ Z
2
ONTHIONLINE.NET
Bài 5: Cho hệ phương trình:
3

1
1
2
mx y
x y
− = −



− =


1. Giải hệ phương trình khi m =
3
2
−
2. Tìm m để HPT có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 6: Cho hệ phương trình
2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ = +


+ + =

1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm
M( x; y) luôn luôn thucộc một đường thẳng cố định
khi m thay đổi.

2. Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ nhất.
3. Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là
gốc toạ độ và bán kính bằng
5
.
Hướng dẫn:
Khi m khác 0 và 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
1 1
;
m
x y
m m
−
= =
Ta có
1
1 1 1x x y x y
m
= − ⇔ = − ⇔ + =
Vậy M thuộc đường thẳng có pt y = -x + 1.
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:
a )
1
2 4 8
3 9 27
x y z
x y z
x y z
+ + =



+ + =


+ + =

b)
2 3 11
2 3 2
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + = −


+ + =

KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )
Bài 8: Giải hệ phương trình:
2 5
+ = 2
x x + y
3 1
+ = 1,7
x x + y








Bài 9 Cho hệ phương trình:
(a + 1)x + y = 4
ax + y = 2a



(a là tham số)
1.Giải hệ khi a = 1
2.Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có
nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x + y
≥
2
VD : Giải các HPT sau:
a.
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =

b.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =

c.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

Giải:

a. * Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =

2 3 2 3
3 2 3 7 5 10
2 2
2.2 3 1
= − = −
 
⇔ ⇔
 
+ − = =
 
= =
 
⇔ ⇔
 
= − =
 
y x y x
x x x
x x
y y

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

* Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =

5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + = =
  

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

b. Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng
cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =

10 15 10 11 22
10 4 12 5 2 6
2 2
5 2.( 2 6) 2
+ = − = −
 
⇔ ⇔
 

+ = + =
 
= − =
 
⇔ ⇔
 
+ − = = −
 
x y y
x y x y
y x
x y
Vậy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


= −

c. Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai
cách giải sau đây:
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y≠ − ≠
.

2 3
1

1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

2
2
1
2 5
2 5
1
1
1 1
1
1
1 3
1
2 2

2
4
1 1
1

=
=


 
⇔ ⇔
 
+ =
 
+ =
+


+

=

 
+ = − = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= −
  
= =

+
 

y
y
x
x y
y
x x
y y
x
3
ONTHIONLINE.NET
Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

= −



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y≠ − ≠
.
Đặt

1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   
1
2
3
1
2
1
1
1

x
x
y
y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 
=
=



(TMĐK)
Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

= −




=

Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở
dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bài tập. Giải các hệ phương trình sau:
1,
2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

;
2 5
3 1

x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =


+ − =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =

;
3 2
2 4 2007

x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =


;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2,

3 5
1
x y
x y

+ =


− + = −


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= − +


= −


;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =




− =


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ − =


− =

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

− =


+ = −


;
3 3 3 2 3
2 3 6 2

x y
x y

− = −


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ − = + −


− + = − +

.
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4

( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
− − + + − =


− + − − − =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + − =


− + + − =

;
( )( 1) ( )( 1) 2
( )( 1) ( )( 2) 2
x y x x y x xy
y x y y x y xy
+ − = − + +


− + = + − −

3,
1 1 4

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =


+ −

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

− +



− = −

− +

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y


− =

− + + −



+ =

− + + −

Bài 2: Cho hệ phương trình
4 3 6
5 8
x y
x ay
− =


− + =

1. Giải phương trình.
2. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm.
4