Đối xứng chuẩn và hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
PHẠM THỊ HOÀN
ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ
HIỆN TƯỢNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Hà Nội, năm 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
PHẠM THỊ HOÀN
ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ
HIỆN TƯỢNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. PHÙNG VĂN ĐỒNG
Hà Nội, năm 2015
Lời cảm ơn
Đầu tiên tôi xin gửi lời biết ơn chân thành nhất Thầy Phùng Văn Đồng
vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẽ những kinh nghiệm quý báu để tôi có thể
dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận.
Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đại
học đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi.
Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy trong bộ môn vật lý lý thuyết trường
Đại học SPHN 2 đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vật lý từ cổ điển đến
hiện đại. Đó chính là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình.
Mặc dù đã cố gắng hết sức song do thời gian nghiên cứu có hạn nên
những vấn đề mà tôi trình bày không tránh khỏi sai sót. Vì vậy, tôi rất mong
được sự đóng góp ý kiến từ phía thầy cô và các bạn để khóa luận của tôi được
hoàn thiện.
Hà Nội, ngày 8 tháng 3 năm 2015

Phạm Thị Hoàn
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự cố
gắng, nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Phùng Văn Đồng.
Những kết quả mà tôi thu được trong đề tài không trùng với kết quả nghiên cứu
của bất kì tác giả nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đại
học đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 8 tháng 3 năm 2015
Phạm Thị Hoàn
Mục lục
Danh sách thuật ngữ viết tắt 1
Mở đầu 2
1 Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn 5
1.1 Đối xứng chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Lý thuyết trường chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Trường Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs 15
3 Mô hình chuẩn 22
3.1 Cơ sở của mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Các tương tác của Higg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
Danh sách thuật ngữ viết tắt
e electron
µ muon
ν

e
electron neutrino
ν
µ
muon neutrino
ν
τ
tau neutrino
u up
d down
c charm
s strange
t top
b bottom
QCD Quantum ChromoDynamics
GWS Glashow-Weiberg-Salam
SM Standard Model
VEV Vacuum Expectation Value
1
Mở đầu
Ta biết rằng trong tự nhiên có 4 loại tương tác cơ bản là tương tác hấp dẫn,
tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu. Tương tác hấp dẫn là một
tương tác bao trùm mọi vật, nó tồn tại giữa tất cả các vật chất không trừ một
loại vật chất nào. Tương tác này tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn, tương
tác này điều khiển mọi quá trình trong vũ trụ.Với hạt truyền tương tác này là
graviton. Tương tác điện từ là tương tác giữa các hạt mang điện , lực này được
trung chuyển bởi trường điện từ xảy ra ở quy mô nguyên tử, phân tử. Trường
điện từ được hình dung là dòng các hạt nhỏ gọi là photon cấu thành nên và
chính là hạt truyền tương tác.
Tương tác mạnh xảy ra trong liên kết giữa các nucleon trong hạt nhân. Ta

biết rằng nguyên tử trung hòa về điện, nhưng chúng bao giờ cũng có một phân
cực điện và một phân cực từ. Do vậy các nguyên tử vẫn có thể tương tác với
nhau nhờ hai phân cực này, khi đó người ta gọi lực liên kết này là lực Van der
Waals. Hạt nhân bao gồm các proton có thành phần uud và notron có thành
phần ddu. Các hạt quark mang màu gọi là màu tích. Khi các màu hạt tương tác
với nhau người ta gọi là tương tác mạnh. Các hạt nucleon trung hòa về màu,
giống như nguyên tử trung hòa về điện, nhưng giữa chúng vẫn có lực hạt nhân.
Tương tác mạnh được mô tả bởi nhóm đối xứng SU(3) được truyền thông qua
các hạt gluon. Có 8 hạt gluon, các gluon có khối lượng bằng không. Như vậy, đối
xứng chuẩn mô tả được tượng tác chỉ khi hạt truyền có khối lượng bằng không.
Vậy còn tương tác yếu? Ta biết rằng trong tự nhiên các hạt nhân luôn có xu
hướng biến đổi để trở thành hạt nhân bền vững. Các hạt nhân nặng sẽ biến đổi
qua các quá trình phóng xạ để trở thành hạt nhân nhẹ bền vững hơn. Trong
phân rã β có phân rã β
+
và phân rã β
−
, trong phân rã β
+
sẽ kèm theo hạt
neutrino, phân rã β
−
sẽ kèm theo phản hạt neutrino. Vậy phân rã β có kèm theo
2
Mở đầu
neutrino chính là dấu hiệu nhận biết tương tác yếu. Tương tác yếu xảy ra trong
khoảng bán kính hạt nhân. Các hạt tương tác vì có yếu tích nên gọi tương tác
yếu. Các hạt truyền tương tác là W +, W −, Z.
Vũ trụ của chúng ta được cấu thành bởi 5% thành phần vật chất thông
thường, 95% thành phần còn lại là vật chất tối và năng lượng tối mà chúng ta

chưa biết rõ về chúng. Trong đó, vật chất tối chiếm 25%, chúng trung hòa về
điện, không hấp thụ và bức xạ ánh sáng. Biểu hiện duy nhất của nó là thông
qua tương tác hấp dẫn. Còn lại 70% là năng lượng tối, đặc tính của năng lượng
tối chính là sinh lực hấp dẫn. Ta biết rằng vật chất ngày nay chỉ được cấu thành
từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật chất. Đó chính là vấn đề bất đối
xứng vật chất - phản vật chất. Câu hỏi đặt ra là số phản hạt đã đi đâu?
Mô hình chuẩn ra đời đã khắc phục 2 khó khăn trước đó là lí thuyết 4 fecmion
không tái chuẩn hóa được và tương tác mạnh càng khai triển nhiễu loạn càng
sai. Mô hình chuẩn được cấu thành từ 3 yếu tố cơ bản đó là mẫu quark, đối
xứng chuẩn, phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs. Quark là một hạt cơ bản
sơ cấp và là một thành phần cơ bản của vật chất. Các quark kết hợp với nhau
tạo thành hạt tổ hợp gọi là các hadron. Các quark là những hạt cơ bản duy nhất
trong mô hình chuẩn của vật lí đều tham gia vào 4 tương tác cơ bản, đối với mỗi
quark có tương ứng một loại phản hạt gọi là phản quark. Đối xứng chuẩn xây
dựng các tương tác như đối xứng chuẩn Abelian U(1) cho tương tác điện từ, đối
xứng chuẩn của mô hình chuẩn. Ta biết rằng lí thuyết chuẩn được đưa vào chính
là lí thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn, đặc tính của lí thuyết chuẩn
là các trường truyền tương tác không có khối lượng do bất biến chuẩn. Điều này
tốt cho tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ và tương tác mạnh. Riêng đối với
tương tác yếu, đó là tương tác tầm gần do vậy hạt truyền tương tác W, Z phải
có khối lượng lớn. Điều này mẫu thuẫn với lí thuyết chuẩn, để giải quyết vấn
đề này người ta phát hiện ra một hiện tượng là hiện tượng phá vỡ đối xứng tự
phát thông qua cơ chế Higgs. Đây cũng chính là đặc tính của lực yếu. Mô hình
chuẩn với 3 thế hệ fecmion được sắp xếp: thế hệ 1 gồm ν
e
, e, u, d, thế hệ 2 gồm
ν
µ
, µ, c, s và thế hệ ba gồm ν
τ

, τ, t, b. Mỗi fermion có hai thành phần: phân
cực trái và phân cực phải. Riêng neutrino chỉ có phân cực trái. Photon gắn với
U(1)
Q
và các gluon gắn với SU(3)
C
có khối lượng bằng không. G
W
±
và G
Z
là
các hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các boson chuẩn khối
lượng W
±
và Z. Hạt Higgs là hạt cuối cùng được tìm thấy và sinh khối lượng
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 3 Sv: Phạm Thị Hoàn
Mở đầu
cho mọi hạt khác.
Mặc dù mô hình chuẩn rất thành công nhưng nó cũng tồn tại những vấn đề
chưa giải thích được như:
1. Không giải thích được tại sao có vật chất tối, năng lượng tối và bất đối
xứng vật chất - phản vật chất.
2. Trong mô hình chuẩn neutrino có khối lượng bằng không, nhưng thực
nghiệm thì nó lại khác không.
3. Vì sao chỉ có 3 thế hệ fermion? tại sao các điện tích quan sát được chỉ bằng
bội nguyên lần điện tích nguyên tố?
4. Tại sao quark top nặng bất thường? Tại sao neutrino có khối lượng rất
nhỏ?
Vì những lí do trên, SM cần được mở rộng. Đã có rất nhiều hướng phát triển

của SM như: mở rộng phổ hạt( mô hình 2 lưỡng tuyến Higgs, mô hình với tam
tuyến Higgs ), mở rộng số chiều không gian, mở rộng siêu đối xứng, mở rộng đối
xứng chuẩn (gồm các mô hình 3-3-1 , LR, thống nhất lớn,vv).
Mô hình chuẩn cũng như các lí thuyết mở rộng đều dựa trên 3 ý tưởng cơ sở
đã đề cập( mẫu quark, đối xứng chuẩn, phá vỡ đối xứng tự phát), vì vậy việc
tìm hiểu về đối xứng chuẩn và sự phá vỡ đối xứng tự phát là cần thiết. Trong
khóa luận này chúng tôi đề cập đến 2 vấn đề nêu trên và minh họa chúng bởi mô
hình chuẩn. Đề tài khóa luận được chọn như sau: "Đối xứng chuẩn và hiện
tượng phá vỡ đối xứng tự phát". Ngoài mở đầu và kết luận phần chính của
khóa luận gồm:
1. Chương 1: Trình bày về đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
2. Chương 2: Hiện tượng phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs
3. Chương 3: Trình bày về mô hình chuẩn với sự nhấn mạnh 2 ý tưởng trên
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 4 Sv: Phạm Thị Hoàn
Chương 1
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường
chuẩn
1.1 Đối xứng chuẩn
Đối xứng là một vấn đề chung của nhiều khoa học, khái niệm đối xứng càng đi
sâu và mở rộng vào những địa hạt trừu tượng. Đối xứng của các định luật vật
lí được định nghĩa: nếu qua các phép toán nào đó, dạng của các phương trình
vẫn không thay đổi thì ta nói rằng các phương trình đối xứng với các phép toán
này. Các phép toán khi đó được gọi là những phép biến đổi đối xứng của các
định luật vật lí, còn các định luật vật lí là bất biến đối với nhóm đối xứng.
Lý thuyết trường lượng tử bao gồm các đối xứng: Nhóm đối xứng ngoài-
nhóm poincare, các biểu diễn unita, nhóm đối xứng trong( nhóm Lie). Các
phương trình trong lý thyết trường lượng tử thường hiệp biến với biến đổi liên
quan tới nhóm đối xứng ngoài- nhóm poincare, và thường bất biến với các biến
đổi khác liên quan tới các nhóm đối xứng trong: U(1), SU(2), Ở đây chúng ta
đặc biệt quan tâm đến các biến đổi liên quan tới nhóm đối xứng trong được biểu

diễn qua các toán tử unita.
Giả thiết Lagrangian bất biến dưới 1 nhóm biến đổi đối xứng G. Nhìn chung,
G là 1 nhóm Lie gồm n vi tử X
a
(số vi tử bằng số tham số độc lập)a = 1, 2 , n
thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[X
a
, X
b
] = if
abc
X
c
(1.1)
5
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
và các ma trận biểu diễn T
a
thỏa mãn hệ thức giao hoán như các vi tử:
[T
a
, T
b
] = if
abc
T
c
(1.2)
Nhóm G là biến đổi Unita do đó f

abc
là thực và X là Hermitic.
Trường vật lý ψ biến đổi như sau:
ψ(x) → ψ

(x) = Uψ(x) (1.3)
với U = e
iα
a
X
a
, a = 1, 2 n là một biến đổi đối xứng.
Nếu α
a
không phụ thuộc vào tọa độ thì nhóm G là nhóm toàn cục( biến đổi
toàn cục). Trong đối xứng số fermion, cả số lepton L và số baryon B đều tương
ứng với những đối xứng toàn cục ψ
a
→ e
−iQ
a
θ
ψ
a
, chỉ số α để phân biệt lepton và
quark. Nếu neutrino không khối lượng, ta có bảo toàn riêng lẻ số lepton thế hệ.
Ngược lại, nếu α
a
phụ thuộc vào tọa độ α
a

= α
a
(x) tức là tại các điểm không
thời gian khác nhau các biến đổi đổi đối xứng khác nhau. Khi đó G được gọi là
đối xứng định xứ hay đối xứng chuẩn.
Dưới đối xứng chuẩn nhìn chung Lagrangian không bất biến do biểu thức
lagrangian có chứa đạo hàm. Khi yêu cầu lý thuyết bất biến chuẩn, chính điều
này sinh động lực để ta đưa vào lý thuyết các trường chuẩn tức là xuất hiện
tương tác của trường vật chất với trường chuẩn. Ta có các tương tác điện từ
được mô tả bởi đối xứng chuẩn nhóm U(1), mô hình thống nhất tương tác điện
yếu dựa trên các đối xứng chuẩn SU(2)
L
× U(1)
Y
, đối xứng chuẩn của mô hình
chuẩn thống nhất 4 tương tác SU(3)
C
×SU(2)
L
×U(1)
Y
hay các tương tác khác
được mô tả bởi đối xứng chuẩn của nhóm Lorent - Poincare
1.2 Lý thuyết trường chuẩn
1.2.1 Trường Fermion
Trường fermion là các trường vật chất có spin
1
2
được mô tả bởi spinor Dirac
ψ(x). Ta xét Lagrangian tự do của trường ψ(x)

L
F
0
=
¯
ψ(x)(iγ
µ
∂
µ
− m)ψ(x) (1.4)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 6 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
Dưới phép biến đổi U(α) ta có
ψ(x) → ψ

(x) = e
−iα
a
T
a
ψ(x)
¯
ψ(x) →
¯
ψ

(x) = e
iα
a
T

a
¯
ψ(x) (1.5)
Nếu α
a
phụ thuộc vào x thì ta gọi đó là đối xứng chuẩn định xứ. Do đó ta đi
xây dựng lí thuyết bất biến của pha khi phụ thuộc vào x
ψ(x) → ψ

(x) = e
−iα
a
(x)T
a
ψ(x)
¯
ψ(x) →
¯
ψ

(x) = e
iα
a
(x)T
a
¯
ψ(x) (1.6)
Ta thấy thành phần
¯
ψ(x)∂

µ
ψ(x) không bất biến chuẩn. Thật vậy
¯
ψ(x)∂
µ
ψ(x) →
¯
ψ

(x)∂
µ
ψ

(x) =
¯
ψ(x)e
iα
a
(x)T
a
∂
µ
(e
−iα
a
(x)T
a
ψ(x))
=
¯

ψ(x)∂
µ
ψ(x) −iT
a
¯
ψ(x)∂
µ
α
a
(x)ψ(x) (1.7)
còn m
¯
ψψ luôn bất biến chuẩn,
m
¯
ψψ → m
¯
ψ

ψ

= m
¯
ψU
+
Uψ
m
¯
ψψ = m
¯

ψψ (1.8)
Do đó L
0
không bất biến dưới phép biến đổi U(α) định xứ.
Để L
0
bất biến dưới phép biến đổi chuẩn, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến D
µ
thay cho đạo hàm thường ∂
µ
. Đạo hàm hiệp biến biến đổi như sau:
D
µ
ψ(x) → [D
µ
ψ(x)]

= e
−iα
a
(x)T
a
D
µ
ψ(x) (1.9)
với
D
µ
ψ = (∂
µ

+ igA
µa
T
a
)ψ
= (∂
µ
+ igA
µ
)ψ (1.10)
trong đó A
µ
≡ A
µa
T
a
là trường chuẩn vecto, g là một hằng số, sẽ khác nhau với
các tương tác khác nhau. Sau khi thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến
thìL luôn bất biến dưới phép biến đổi do thành phần khối lượng luôn bất biến
chuẩn và thành phần
¯
ψγ
µ
D
µ
ψ →
¯
ψ

γ

µ
(D
µ
ψ)

=
¯
ψU
+
γ
µ
UD
µ
ψ
=
¯
ψU
+
Uγ
µ
D
µ
ψ
=
¯
ψγ
µ
D
µ
ψ

GVHD: TS. Phùng văn Đồng 7 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
cũng bất biến chuẩn.
Từ phép biến đổi (1.9) của đạo hàm hiệp biến ta rút ra quy luật biến đổi của
trường chuẩn A
µ
(D
µ
ψ)

= UD
µ
ψ
⇔ ∂
µ
ψ

+ igA

µ
ψ

= U∂
µ
ψ + igUA
µ
ψ
⇔ ∂
µ
(Uψ) + igA


µ
Uψ = U∂
µ
ψ + igUA
µ
ψ
⇔ U∂
µ
ψ + (∂
µ
U)ψ + igA

µ
Uψ = U∂
µ
ψ + igUA
µ
ψ
⇔ (∂
µ
U)ψ + igA

µ
Uψ = igUA
µ
ψ
Nhân 2 vế với U
−1
ta được

U
−1
(∂
µ
U)ψ + igU
−1
A

µ
Uψ = igA
µ
ψ
(U
−1
(∂
µ
U) + igU
−1
A

µ
U)ψ = igA
µ
ψ
⇒ U
−1
(∂
µ
U) + igU
−1

A

µ
U = igA
µ
(1.11)
Nhân trái 2 vế với U, nhân phải 2 vế với U
−1
vào 2 vế của (1.17) ta được
(∂
µ
U)U
−1
+ igA

µ
= igUA
µ
U
−1
(1.12)
Chia cả 2 vế cho ig ta được
A

µ
= UA
µ
U
−1
+

i
g
(∂
µ
U)U
−1
(1.13)
Biểu thức (1.13) chính là quy luật biến đổi của trường chuẩn(trường vecto)
dưới phép biến đổi U(α)
Ta có
([D
µ
, D
ν
]ψ)

= [(D
µ
D
ν
− D
ν
D
µ
)ψ]

= (D
µ
D
ν

ψ)

− (D
ν
D
µ
ψ)

= D

µ
(D
ν
ψ)

− D

ν
(D
µ
ψ)

= UD
µ
D
ν
ψ − UD
ν
D
µ

ψ
([D
µ
, D
ν
]ψ)

= U[D
µ
, D
ν
]ψ (1.14)
Ta sẽ tính giao hoán tử của đạo hàm hiệp biến [D
µ
, D
µ
]
[D
µ
, D
ν
]ψ = (D
µ
D
ν
− D
ν
D
µ
)ψ (1.15)

GVHD: TS. Phùng văn Đồng 8 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
thay D
µ
= ∂
µ
+ igA
µ
và D
ν
= ∂
ν
+ igA
ν
vào (1.17)
trước hết ta tính D
µ
D
ν
ψ
Ta có
D
µ
D
ν
ψ = (∂
µ
+ igA
µ
)(∂

ν
+ igA
ν
)ψ
= (∂
µ
+ igA
µ
)(∂
ν
ψ + igA
ν
ψ)
= ∂
µ
∂
ν
ψ + ig∂
µ
(A
ν
ψ) + igA
µ
∂
ν
ψ − g
2
A
µ
A

ν
ψ
= ∂
µ
∂
ν
ψ + ig(∂
µ
A
ν
)ψ + igA
µ
∂
µ
ψ + igA
µ
∂
ν
ψ − g
2
A
µ
A
ν
ψ (1.16)
tương tự
D
ν
D
µ

ψ = ∂
ν
∂
µ
ψ + ig(∂
ν
A
µ
)ψ + igA
µ
∂
ν
ψ + igA
ν
∂
µ
ψ − g
2
A
ν
A
µ
ψ (1.17)
Từ (1.16) và (1.17) suy ra
[D
µ
, D
ν
]ψ = ig(∂
µ

A
ν
− ∂
ν
A
µ
)ψ − g
2
(A
µ
A
ν
− A
ν
A
µ
)ψ
= ig{∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
+ ig[A
µ
, A
ν
]}ψ (1.18)

Người ta định nghĩa
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
+ ig[A
µ
, A
ν
] (1.19)
là Tenxo cường độ trường chuẩn
Thay (1.21) vào (1.16)
([D
µ
, D
ν
]ψ)

= U[D
µ
, D
ν
]ψ
⇒ (D

µ
, D
ν
)

ψ

= igUF
µν
ψ
⇒ igF

µν
ψ

= igUF
µν
ψ
⇒ F

µν
ψ

= UF
µν
ψ
⇒ F

µν
U = UF

µν
(1.20)
suy ra
F
µν
→ F

µν
= UF
µν
U
+
(1.21)
(1.21) là quy luật biến đổi của F
µν
.
Động năng của trường chuẩn
L
A
= −
1
2
T rF
µν
F
µν
(1.22)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 9 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
L

A
→ L
A
= −
1
2
T rF

µν
F
µν
= −
1
2
T rUF
µν
U
+
UF
µν
U
+
= −
1
2
T rUF
µν
F
µν
U

+
= −
1
2
T rF
µν
F
µν
động năng của trường chuẩn là bất biến.
Mà F
µν
≡ F
aµν
T
a
. Ta có
F
µν
≡ ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
+ ig[A
µ
, A
ν

]
= ∂
µ
A
aν
T
a
− ∂
ν
A
aµ
T
a
+ ig[A
aµ
T
a
, A
bν
T
b
]
= ∂
µ
A
aν
T
a
− ∂
ν

A
aµ
T
a
+ igA
aµ
A
bν
[T
a
, T
b
]
= ∂
µ
A
aν
T
a
− ∂
ν
A
aµ
T
a
− gf
cba
A
cµ
A

bν
T
a
= [∂
µ
A
aν
− ∂
ν
A
aµ
− gf
cba
A
cµ
A
bν
]T
a
= [∂
µ
A
aν
− ∂
ν
A
aµ
− gf
abc
A

bµ
A
cν
]T
a
= F
aµν
T
a
(1.23)
với F
aµν
= ∂
µ
A
aν
− ∂
ν
A
aµ
− gf
abc
A
bµ
A
cν
Suy ra
T rF
µν
F

µν
= T rF
aµν
T
a
F
µν
b
T
b
= F
aµν
F
µν
b
T rT
a
T
b
= F
aµν
F
µν
b
T r
λ
a
2
λ
b

2
=
1
4
F
aµν
F
µν
b
2δ
ab
=
1
2
δ
ab
F
aµν
F
µν
b
=
1
2
F
aµν
F
µν
a
(1.24)

Thay (1.24) vào (1.22), ta có động năng của trường chuẩn khi đó:
L
A
= −
1
2
T rF
µν
F
µν
= −
1
4
F
aµν
F
µν
a
(1.25)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 10 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
Vậy Lagrangian toàn phần bất biến
L
tt
= L
F
+ L
A
=
¯

ψ(iγ
µ
D
µ
− m)ψ −
1
2
T rF
µν
F
µν
(1.26)
=
¯
ψ(iγ
µ
∂
µ
− m)ψ −g
¯
ψγ
µ
A
µ
ψ −
1
4
F
aµν
F

µν
a
(1.27)
ta thu được:
Tương tác giữa photon với trường fecmion
L
int
= −g
¯
ψγ
µ
A
µ
ψ (1.28)
Số hạng tự tương tác bậc 3 của trường chuẩn:
g
4
∂
µ
, số hạng tự tương tác bậc
4 của trường chuẩn−
g
2
4
Các trường chuẩn không có khối lượng do số hạng khối lượng m
2
A
µ
A
µ

không
bất biến chuẩn.
Thật vậy, dưới đối xứng chuẩn nhóm U(1) ta có:
m
2
A
µ
A
µ
U(1)
−→ m
2
A

µ
A
µ
= m
2
(A
µ
−
1
g
∂
µ
α(x))(A
µ
−
1

g
∂
µ
α(x))
= m
2
A
µ
A
µ
Tương tự dưới đối xứng chuẩn nhóm SU(2) với quy luật biến đổi
A
µ
SU (2)
−→ A

µ
= U
−1
A
µ
−
i
g
∂
µ
UU
−1
thì trường chuẩn A
µ

cũng không có khối lượng.
Tổng quát hóa: Lý thuyết trường chuẩn với nhóm SU(n) thì trường chuẩn
đều không có khối lượng.
Số hạng khối lượng của các fermion
L
fermion
mass
= m
¯
ψ
L,R
ψ
L,R
(1.29)
trong đó
ψ = ψ
L
+ ψ
R
(1.30)
ψ
L
=
1 −γ
5
2
ψ = P
L
ψ (1.31)
ψ

R
=
1 + γ
5
2
ψ = P
R
ψ (1.32)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 11 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
có
P
L
P
R
= 0 (1.33)
P
L
P
L
= P
L
(1.34)
P
R
P
R
= P
R
(1.35)

(1.29) tương đương:
L
fermion
mass
= m(ψ
L
+ ψ
R
)(ψ
L
+ ψ
R
)
= m(
¯
ψ
L
ψ
L
+
¯
ψ
L
ψ
R
+
¯
ψ
R
ψ

L
+
¯
ψ
R
ψ
R
)
Mà ta có
¯
ψ
L
ψ
L
= P
L
ψP
L
ψ
=
¯
ψ
¯
P
L
P
L
ψ
=
¯

ψP
R
P
L
ψ
= 0 (1.36)
tương tự
¯
ψ
R
ψ
R
= 0 (1.37)
Suy ra
L
fermion
mass
= m(
¯
ψ
L
ψ
R
+
¯
ψ
R
ψ
L
) (1.38)

Ta thấy số hạng khối lượng liên kết 2 thành phần chiral ngược nhau của cùng
một trường nhưng có quy luật biến đổi khác nhau nên khối lượng không bất
biến. Vậy các fermion chiral không khối lượng.
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 12 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
1.2.2 Trường vô hướng
Trường vô hướng gồm trường vô hướng thực và trường vô hướng phức. Ở đây
ta chỉ xét trường vô hướng phức.
Trường vô hướng phức mô tả hạt vô hướng mang điện, Lagrangian tự do của
nó
L
0
= (∂
µ
φ)
+
(∂
µ
φ) −m
2
φ
+
φ (1.39)
Tương tự như trường fecmion, dưới phép biến đổi U(α) định xứ α
a
= α
a
(x) :
φ(x) → φ


(x) = e
−iα
a
(x)T
a
φ(x)
¯
φ(x) →
¯
φ

(x) = e
iα
a
(x)T
a
¯
φ(x) (1.40)
thì L
0
→ L

0
Ta có
L

0
= ∂
µ
(φ


)
+
∂
µ
φ

− m
2
(φ

)
+
φ

= (∂
µ
Uφ)
+
(∂
µ
Uφ) −m
2
(φ
+
U
+
)(Uφ)
= [(∂
µ

U)φ + U∂
µ
φ]
+
[(∂
µ
U)φ + U∂
µ
φ] −m
2
φ
+
φ
= φ
+
(∂
µ
U)
+
(∂
µ
U)φ + φ
+
(∂
µ
U)
+
U∂
µ
φ] + (∂

µ
φ)
+
U
+
(∂
µ
U)φ
+(∂
µ
φ)
+
U
+
)U∂
µ
φ −m
2
φ
+
φ
= φ
+
[iU
+
(∂
µ
α)
+
][−i(∂

µ
α)U] + φ
+
[iU
+
(∂
µ
α)
+
]U∂
µ
φ
+(∂
µ
φ)
+
U
+
[−iU(∂
µ
α)φ] + (∂
µ
φ)
+
U
+
U∂
µ
φ −m
2

φ
+
φ
= φ
+
(∂
µ
α)
+
(∂
µ
α) + iφ
+
(∂
µ
α)
+
∂
µ
φ −i(∂
µ
φ)
+
(∂
µ
α)φ
+∂
µ
φ
+

∂
µ
φ −m
2
φ
+
φ
= φ
+
(∂
µ
α)
+
(∂
µ
α) + iφ
+
(∂
µ
α)
+
∂
µ
φ −i(∂
µ
φ)
+
(∂
µ
α)φ + L

0
Như vậy ta thấy dưới phép biến đổi U(α) định xứ Lagranggian không bất biến.
Để Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi U(α) định xứ ta đưa vào trường
chuẩn (thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến)
L = (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −m
2
φ
+
φ (1.41)
Ta có
L
U
−→ L

= (D
µ
ϕ

)
+
(D
µ
ϕ


) −m
2
(ϕ

)
+
ϕ

(1.42)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 13 Sv: Phạm Thị Hoàn
Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn
Số hạng thứ 2 trong biểu thức của Lagrangian dưới phép biến đổi U(α) định xứ
luôn bất biến.
Biểu thức của đạo hàm hiệp biến
D
µ
φ = ∂
µ
φ + igA
aµ
T
a
φ
= ∂
µ
φ + igA
µ
φ (1.43)
với A
µ

≡ A
aµ
T
a
Đạo hàm hiệp biến sẽ biến đổi như toán tử trường
D
µ
φ
U
−→ (D
µ
φ)

= UD
µ
φ
(D
µ
ϕ)
+
U
−→ (D
µ
φ

)
+
= (D
µ
φ)

+
U
+
⇒ (D
µ
φ

)
+
(D
µ
φ

) = (D
µ
φ)
+
U
+
UD
µ
φ
= (D
µ
φ)
+
D
µ
φ
(1.44)

Vậy ta có quy luật biến đổi (D
µ
φ

)
+
(D
µ
φ

) = (D
µ
φ)
+
D
µ
φ thay vào biểu thức L

ta được biểu thức Lagrangian toàn phần bất biến
L
tt
= (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −m
2
φ

+
φ
= (∂
µ
φ + igA
µ
φ)
+
(∂
µ
φ + igA
µ
φ) −m
2
φ
+
φ
= (∂
µ
φ)
+
∂
µ
φ + igA
µ
(∂
µ
φ)
+
φ + igA

µ
φ
+
∂
µ
φ −g
2
A
µ
A
µ
φ
+
φ −m
2
φ
+
φ (1.45)
= L
0
+ L
int
Tương tự như trường fecmion, từ quy luật biến đổi của đạo hàm hiệp biến
ta rút ra quy luật biến đổi của trường chuẩn:
A

µ
= UA
µ
U

−1
+
i
g
(∂
µ
U)U
−1
(1.46)
Biểu thức của Tenxo cường độ trường
F
aµν
= ∂
µ
A
aν
− ∂
ν
A
aµ
− gf
abc
A
bµ
A
cν
(1.47)
Số hạng động năng của trường chuẩn
L
A

= −
1
4
F
aµν
F
µν
a
(1.48)
Các tương tác chuẩn: tương tác φ
+
φA
µ
, tương tác A
µ
A
µ
φ
+
φ.
Tương tác bậc 4 của trường φ:
λ
4
(φ
+
φ)
2
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 14 Sv: Phạm Thị Hoàn
Chương 2
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và

cơ chế Higgs
Các trường chuẩn mà ta nghiên cứu không có khối lượng do số hạng m
2
A
µ
A
µ
không bất biến chuẩn, mà tương tác yếu là tương tác tầm gần nên hạt truyền
trong tương tác yếu phải có khối lượng lớn. Vì lí do đó ta cần phải cho trường
chuẩn có khối lượng. Giải quyết vấn đề này người ta tìm ra hiện tượng phá vỡ
đối xứng tự phát thông qua cơ chế Higgs và từ đó cũng chứng minh được rằng
phá vỡ đối xứng tự phát cũng là đặc tính của lực yếu.
Ta sẽ tìm hiểu hiện tượng này với trường hợp đơn giản: Nhóm U(1) định xứ.
Xét trường vô hướng phức có tích U(1). Lagrangian mô tả trường vô hướng
phức
L = (∂
µ
φ)
∗
(∂
µ
φ) −V (φ) (2.1)
trong đó V (φ) = m
2
φ
∗
φ + λ(φ
∗
φ)
2

. Lagrangian trên không bất biến dưới phép
biến đổi U(1) định xứ:
φ(x) →)φ

(x) = e
−iα(x)
φ(x) (2.2)
Ta có L
U(1)
−→ L

.
Thế năng V (φ) luôn bất biến với phép biến đổi chuẩn, thành phần còn lại
15
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs
không bất biến
(∂
µ
φ)
∗
(∂
µ
φ) → ∂
µ
(φ

)
+
∂
µ

φ

= (∂
µ
Uφ)
+
(∂
µ
Uφ)
= [(∂
µ
U)φ + U∂
µ
φ]
+
[(∂
µ
U)φ + U∂
µ
φ]
= φ
+
(∂
µ
U)
+
(∂
µ
U)φ + φ
+

(∂
µ
U)
+
U∂
µ
φ] + (∂
µ
φ)
+
U
+
(∂
µ
U)φ
+(∂
µ
φ)
+
U
+
)U∂
µ
φ
= φ
+
[iU
+
(∂
µ

α)
+
][−i(∂
µ
α)U] + φ
+
[iU
+
(∂
µ
α)
+
]U∂
µ
φ
+(∂
µ
φ)
+
U
+
[−iU(∂
µ
α)φ] + (∂
µ
φ)
+
U
+
U∂

µ
φ
= φ
+
(∂
µ
α)
+
(∂
µ
α) + iφ
+
(∂
µ
α)
+
∂
µ
φ −i(∂
µ
φ)
+
(∂
µ
α)φ
+∂
µ
φ
+
∂

µ
φ
= φ
+
(∂
µ
α)
+
(∂
µ
α) + iφ
+
(∂
µ
α)
+
∂
µ
φ −i(∂
µ
φ)
+
(∂
µ
α)φ
+∂
µ
φ
+
∂

µ
φ
Để Lagrangian bất biến thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến
D
µ
= ∂
µ
+ igA
µ
(2.3)
Đạo hàm hiệp biến biến đổi như toán tử trường
D
µ
φ
U(1)
−→ (D
µ
φ)

= UD
µ
φ
(D
µ
φ)
+
U(1)
−→ (D
µ
φ


)
+
= (D
µ
φ)
+
U
+
⇒ (D
µ
φ

)
+
(D
µ
φ)

= (D
µ
φ)
+
U
+
UD
µ
φ
= (D
µ

φ)
+
(D
µ
φ) (2.4)
Như vậy, ta có lagragian toàn phần bất biến
L
tt
= (D
µ
φ)
∗
(D
µ
φ) −V (φ) −
1
4
F
µν
F
µν
(2.5)
trong đó
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂

ν
A
µ
(2.6)
là Tenxo cường độ trường. Từ quy luật biến đổi của đạo hàm hiệp biến dưới
phép biến đổi U(1) định xứ, ta cũng rút ra được quy luật biến đổi của trường
chuẩn
A

µ
(x) = A
µ
(x) +
1
g
∂
µ
α(x) (2.7)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 16 Sv: Phạm Thị Hoàn
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs
Để khảo sát hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát, trước tiên ta tìm cực tiểu
của thế năng
V (φ) = m
2
φ
∗
φ + λ(φ
∗
φ)
2

(2.8)
Ta có
∂V (φ)
∂φ
= 0
⇔ m
2
φ
∗
+ 2λφ
∗
(φ
∗
φ) = 0
⇒ [
φ
∗
= 0
φ
∗
φ = −
m
2
2λ
(2.9)
Khi φ
∗
= 0 hay φ = 0 lý thuyết không bị phá vỡ do
φ → φ


= e
−iα(x)
φ = φ
⇔ (1 − iα(x))φ = φ
⇔ −iα(x))φ = 0
Chân không trong trường hợp này là bất biến.
Khi φ
∗
φ = −
m
2
2λ
= φ
2
. Điều kiện có phá vỡ đối xứng φ
2
> 0
⇒ −
m
2
2λ
> 0 (2.10)
⇔

λ > 0
m
2
< 0
⇒ φ =


−m
2
2λ
(2.11)
Ta có
φ → φ

= e
−iα(x)
φ = φ
⇔ (1 − iα(x))φ = φ
⇒ −iα(x)φ = 0
(2.12)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 17 Sv: Phạm Thị Hoàn
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs
Vậy lý thuyết bị phá vỡ.
Như vậy, đã có hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra. Ta thấy cả
Lagrangian và phương trình chuyển động đều đối xứng với nhóm chuẩn G. Chỉ
riêng chân không là không đối xứng, tức là vi tử X
a
tác dụng lên chân không
X
a
= 0 (2.13)
Từ đó ta rút ra hệ quả: Trung bình chân không (VEV)của toán tử trường khác
không
φ = 0 (2.14)
Trung bình chân không của toán tử trường là giá trị của trường cổ điển tại điểm
mà Lagrangian có giá trị cực tiểu
∂(φ)

∂φ
= 0 ⇒ φ =
v
√
2
(2.15)
với v =

−
m
2
λ
Do chỉ có thể cho các thành phần trung hòa có VEV vì nếu cho các thành
phần mang điện có VEV thì sẽ dẫn đến những hệ quả vật lý sai có thể kể ra đó
là sự không bảo toàn điện tích. Mà trường ta đang xét là trường vô hướng phức
nên φ không phải trường vật lý, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng 2 trường thực
φ
1
và φ
2
:
φ =
1
√
2
[φ
1
(x) + iφ
2
(x)] (2.16)

Ta chọn trường vật lý là φ

(x)
φ

(x) = φ − φ (2.17)
Để thỏa mãn điều kiện φ =
v
√
2
, ta chọn
φ
1
 = v (2.18)
φ
2
 = 0 (2.19)
Tương ứng ta sẽ có các trường vật lý thành phần
φ

1
(x) = φ
1
(x) − v (2.20)
φ

2
(x) = φ
2
(x) (2.21)

GVHD: TS. Phùng văn Đồng 18 Sv: Phạm Thị Hoàn
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs
Theo cách ta chọn thì trường thành phần φ
2
có trung bình chân không bằng
0 đồng nghĩa với vi tử tác dụng lên nó bằng không. Trường này luôn đối xứng
với nhóm chuẩn G và không có khối lượng. Ta sẽ chứng minh trường φ
2
chính
là trường Goldstone hay boson Higgs không khối lượng thông qua cơ chế Higgs.
Và cũng qua cơ chế Higgs các trường chuẩn sẽ trở nên có khối lượng đóng vai
trò là trường truyền trong tương tác yếu.
Thay biểu thức(2.3), (2.15), (2.19), (2.20) vào biểu thức động năng của trường
vô hướng phức trong biểu thức Lagangian:
L = (D
µ
φ)
∗
(D
µ
φ)
= |∂
µ
φ + igA
µ
φ|
2
=
1
2

[∂
µ
φ
1
∂
µ
φ
1
+ ∂
µ
φ
2
∂
µ
φ
2
− 2gA
µ
(∂
µ
φ
1
φ
2
+ φ
1
∂
µ
φ
2

) + g
2
A
µ
A
µ
(φ
2
1
+ φ
2
2
)]
=
1
2
[∂
µ
φ

1
∂
µ
φ

1
+ ∂
µ
φ


2
∂
µ
φ

2
] − gA
µ
(∂
µ
φ

1
φ

2
+ φ

1
∂
µ
φ

2
) + gvA
µ
∂
µ
φ


2
+
g
2
2
A
µ
A
µ
(φ

1
φ

1
+ φ

2
φ

2
+ 2vφ

1
+ v
2
) (2.22)
biểu thức (2.21) cho ta số hạng khối lượng của trường chuẩn A
µ
khi thay trường

φ bằng các trường vật lý thành phần có trung bình chân không
m
A
= gv (2.23)
Cơ chế sinh khối lượng cho trường chuẩn trong tương tác yếu như trên người ta
gọi là cơ chế Higgs.
Để chứng minh trường φ

2
không khối lượng, thay (2.15), (2.19), (2.20) và
v =

−
m
2
λ
vào biểu thế năng V (φ), ta có
V (φ) = m
2
φ
∗
φ + λ(φ
∗
φ)
2
=
m
2
2
(φ

2
1
+ φ
2
2
) +
λ
4
(φ
2
1
+ φ
2
2
)
2
=
m
2
2
(φ
2
1
+ 2φ

1
v + v
2
+ φ
2

2
) +
λ
4
[φ
4
1
+ 4φ
3
1
v + 6φ
2
1
v
2
+ 4φ

1
v
3
+v
4
+ 2(φ
2
1
+ 2φ

1
v + v
2

)φ
2
2
+ φ
4
2
]
= −
m
2
v
2
4
+ m
2
φ
2
1
+
λ
4
[(φ
2
1
+ φ
2
2
)
2
+ 4vφ

3
1
+ 4vφ

1
φ
2
2
(2.24)
Ta thấy biểu thức(2.21) chứa số hạng gvA
µ
∂
µ
φ

2
trộn lẫn giữa trường chuẩn
A
µ
và φ

2
. Trong biểu thức(2.22)ta thấy trường φ

1
có khối lượng
√
2m còn trường
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 19 Sv: Phạm Thị Hoàn
Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs

φ

2
không có khối lượng và được gọi là trường pseudo- Goldstone. Ta sẽ làm mất
trường này cũng như mất số hạng trộn lẫn bằng cách sử dụng chuẩn Unita.
Trong chuẩn Unita, toán tử trường ban đầu sẽ được biểu diễn dưới dạng khác
φ(x) =
1
√
2
[v + η(x)]e
iρ(x)
v
(2.25)
=
1
√
2
[v + η(x) + iρ(x) + ] (2.26)
Khi giao thoa nhỏ thì η(x) và ρ(x) tương ứng là các trường vật lý φ

1
(x) và φ

2
(x).
Ta định nghĩa 1 trường mới
φ
u
(x) = e

−
iρ(x)
v
φ(x) =
1
√
2
(v + η(x)) (2.27)
có thể xem như phép biến đổi chuẩn vớiω(x) =
ρ(x)
v
đã làm mất trường ρ(x) khỏi
lý thuyết. Khi đó trường chuẩn A
µ
biến đổi thành
B
µ
(x) = A
µ
(x) −
∂
µ
ρ(x)
gv
(2.28)
Ta có đạo hàm hiệp biến
D
µ
φ = e
iρ(x)

v
(∂
µ
φ
u
− igB
µ
φ
u
) (2.29)
= e
iρ(x)
v
(∂
µ
η − igB
µ
(v + η(x))
√
2
(2.30)
Tính [D
µ
, D
ν
]φ ta suy ra được biểu thức của F
µν
F
µν
= ∂

µ
B
ν
− ∂
ν
B
µ
(2.31)
Ta có
|D
µ
φ|
2
=
1
2
|∂
µ
η − igB
µ
(v + η)|
2
(2.32)
Biểu thức lagrangian toàn phần của trường vô hướng phức
L = D
µ
φ
∗
(x)D
µ

φ(x) − m
2
φ
∗
(x)φ(x) − λ(φ
∗
(x)φ(x))
2
−
1
4
F
µν
F
µν
(2.33)
biểu diễn theo các trườngη, B
µ
có dạng
L =
1
2
|∂
µ
η(x) − igB
µ
(v + η(x))|
2
−
1

2
m
2
(v + η(x))
2
−
λ
4
(v + η(x))
4
−
1
4
(∂
µ
B
ν
− ∂
ν
B
µ
)
2
(2.34)
GVHD: TS. Phùng văn Đồng 20 Sv: Phạm Thị Hoàn