Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

PHÒNG GD& T QUỲNH LƯU

KH O SÁT NĂNG KHI U H C SINH L P 8
NĂM H C 2014 - 2015

THI CHÍNH TH C

thi mơn: Tốn
Th i gian: 120 phút (Không k th i gian giao

)

Câu 1 (2,5 i m).

3   x2
1 
1
+ 2
+
:
2
x + 3
 3 x − 3x   27 − 3x


Cho bi u th c A = 
a) Nêu i u ki n xác

nh r i rút g n A.

b) Tìm giá tr c a x

giá tr c a A < -1.

Câu 2 (2,5 i m).
a) Gi i phương trình: x3 – 3x – 2 = 0.
b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (1,0 i m).
Cho các s : x, y, x th a mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3.
Tính giá tr c a bi u th c: P = x25 + y4 + z2015.
Câu 4 (3,0 i m).
Cho hình vng ABCD có AC c t BD t i O. M là i m b t kỳ thu c c nh BC (M khác B, C). Tia AM
c t ư ng th ng CD t i N. Trên c nh AB l y i m E sao cho BE = CM.
a) Ch ng minh: OEM vuông cân.
b) Ch ng minh: ME // BN.
c) T C, k CH ⊥ BN (H ∈ BN). Ch ng minh r ng ba i m O, M, H th ng hàng.
Câu 5 (1,0 i m).
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (v i k ∈ N*). Ch ng minh r ng: 4S + 1là
bình phương c a m t s t nhiên.
------ H t ------

H và tên thí sinh: ......................................................................

SBD: ............................................


HƯ NG D N CH M MƠN: TỐN
N i dung

Câu

1a.

1b

2a.

2b.

KX : x ≠ -3;0;3
x 2 − 3x + 9 x 2 − 3 x + 9
x+3
A=
:
=−
x
3 x( x − 3) 3(3 − x)(3 + x)
V i x ≠ {-3;0;3} ta có:
x+3
3
< −1 ⇔ > 0 ⇔ x > 0
A < −1 ⇔ −
x
x
K t h p v i i u ki n ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1
x3 - 3x - 2 = 0 ⇔ (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
⇔ (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 ⇔ (x - 2)(x + 1)2 = 0
⇔ x = 2; x = - 1
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010

3
1
=> Giá tr nh nh t c a P = 2010 khi x = ; y =
2
2
Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx <=> 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx)

<=> (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = 0

i m
0,5

1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

0,25

<=> x = y = z
3.

Thay vào bi u th c: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = ± 1

0,25

0,25

V i x = y = z = 1 thi P = 3
V i x = y = z = -1 thì P = -1

0,25

E

A

B
1

1
O

2
3

M
H'
1

D
C

4a

Xét OEB và OMC

Vì ABCD là hình vng nên ta có OB = OC
Và B1 = C1 = 450
BE = CM ( gt )
Suy ra OEB = OMC ( c .g.c)

H

N

0,5


⇒ OE = OM và O1 = O3

L i có O2 + O3 = BOC = 900 vì t giác ABCD là hình vng

⇒ O2 + O1 = EOM = 900 k t h p v i OE = OM ⇒ OEM vuông cân t i O

4b

0,5

T (gt) t giác ABCD là hình vng ⇒ AB = CD và AB // CD
AM BM
+ AB // CD ⇒ AB // CN ⇒
=
( Theo L Ta- lét) (*)
MN MC
Mà BE = CM (gt) và AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*)
AM AE

Ta có :
=
⇒ ME // BN ( theo L o c a l Ta-lét)
MN EB
G i H’ là giao i m c a OM và BN

0,25
0,25
0,25
0,25

T ME // BN ⇒ OME = OH ' B ( c p góc ng v )
Mà OME = 450 vì OEM vng cân t i O

4c

⇒ MH ' B = 450 = C1
⇒ OMC
BMH’ (g.g)
OM
MC
⇒
=
,k t h p OMB = CMH ' ( hai góc i nh)
BM MH '
CMH’ (c.g.c) ⇒ OBM = MH ' C = 450
⇒ OMB
V y BH ' C = BH ' M + MH ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN
Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay 3 i m O, M, H th ng hàng ( pcm)
Ta có:

k(k + 1)(k + 2) =
=

5

0,25

0,25
0,25
0,25

1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). [ (k + 3) − (k − 1)]
4
4

1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4
4

0,5

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k +
2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1
= (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2

Suy ra pcm.
(H c sinh làm cách khác úng v n cho i m t i a)

0,25

M t khác

0,25


S GIÁO D C VÀ ÀO T O
B C GIANG
THI CHÍNH TH C

KỲ THI CH N H C SINH GI I VĂN HỐ C P T NH
NĂM H C 2012-2013
MƠN THI: TỐN; L P: 8 PH THƠNG

Ngày thi: 30/3/2013
Th i gian làm bài 150 phút, không k th i gian giao

thi có 01 trang

Câu 1. (4,5 i m)
1) Phân tích bi u th c sau thành nhân t : P = 2a 3 + 7a 2b + 7ab 2 + 2b3 .
2) Cho x 2 + x = 1 . Tính giá tr bi u th c Q = x 6 + 2 x5 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 .
Câu 2. (4,5 i m)
 x −1

x +1

4

 4026

1) Cho bi u th c: R =  2
. Tìm x
+ 2
− 3
:
 x − 2x x + 2x x − 4x  x
nh, khi ó hãy rút g n bi u th c.

bi u th c xác

2) Gi i phương trình sau: x − 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 4 .
Câu 3. (4,0 i m)
1) Cho n là s t nhiên l . Ch ng minh n3 − n chia h t cho 24.

2) Tìm s t nhiên n

n 2 + 4n + 2013 là m t s chính phương.

Câu 4. (6,0 i m)
1) Cho hình thang ABCD vng t i A và D. Bi t CD=2AB=2AD và BC = a 2 .
a. Tính di n tích hình thang ABCD theo a .
b. G i I là trung i m c a BC, H là chân ư ng vng góc k t D
xu ng AC. Ch ng minh HDI = 450 .
2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c .
dài các ư ng phân giác

trong c a tam giác k t các nh A, B, C l n lư t là la , lb , lc . Ch ng minh r ng:
1 1 1 1 1 1
+ + > + +
la lb lc a b c

Câu 5. (1,0 i m)
Cho hai s không âm a và b tho mãn a 2 + b 2 = a + b . Tìm giá tr l n nh t c a bi u
th c:
S=

a
b
+
a +1 b +1

---------------H t---------------Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh: .................................................................S báo danh:.......................
Giám th 1 (H tên và ký)..............................................................................................................
Giám th 2 (H tên và ký)..............................................................................................................


S GIÁO D C VÀ ÀO T O
B C GIANG

HƯ NG D N CH M
BÀI THI CH N H C SINH GI I VĂN HOÁ C P T NH

NGÀY THI 30 /3/2013
MƠN THI: TỐN; L P: 8 PH

CHÍNH TH C

THƠNG

B n hư ng d n ch m có 04 trang
Câu 1

Hư ng d n gi i
Ta có P = 2 ( a + b ) + 7ab ( a + b )
3

3

= 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) + 7 ab ( a + b )
= ( a + b ) ( 2a 2 + 2b 2 + 5ab )
= ( a + b ) ( 2a 2 + 4ab + 2b 2 + ab )

1
(2.5 i m)

= ( a + b )  2a ( a + 2b ) + b ( b + 2a ) 



= ( a + b )( 2a + b )( a + 2b )

K t lu n P = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b )
Ta có Q = x 2 ( x 4 + 2 x3 + x 2 ) + ( x 4 + 2 x3 + x 2 ) + x 2 + x + x + 1
2

2

2

(4.5 i m)
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5

= x2 ( x2 + x ) + ( x2 + x ) + x + 2

0.5

= x2 + x + 3 = 4

(2.0 i m)

0.5

V y Q=4
Câu 2

0.5
(4.5 i m)

 x −1

 x
x +1
4
.
+
−
2
 x ( x − 2 ) x ( x + 2 ) x ( x − 4 )  4026


2
K: x ( x − 4 ) ≠ 0

Ta có R = 

x ≠ 0
⇔
 x ≠ ±2
1
(2.5 i m)

0.5

0.5

Khi ó:
1  x −1 x + 1
4 
+
− 2



4026  x − 2 x + 2 x − 4 
1 ( x − 1)( x + 2 ) + ( x + 1)( x − 2 ) − 4
=
.
4026
x2 − 4
2
1 2 ( x − 4)
1
=
. 2
=
4026 x − 4
2013
x ≠ 0
1
V y R xác nh khi 
và R =
2013
 x ≠ ±2
R=

0.5

0.5
0.5

+ N u x ≥ 2 , phương trình ã cho tr thành

( x − 2 )( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 4

0.5

⇔ ( x 2 − 1)( x 2 − 4 ) = 4
⇔ x4 − 5x2 = 0 ⇔ x2 ( x2 − 5) = 0

2
(2 i m)

 x = 0 (l )

⇔  x = 5 ( tm )

 x = − 5 (l )

N u x ≥ 2 , phương trình ã cho tr thành
( 2 − x )( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 4

0.5

0.5

⇔ ( x − 2 )( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = −4
⇔ ( x 2 − 1)( x 2 − 4 ) = −4
⇔ x4 − 5x2 + 8 = 0
2

5 7

⇔  x 2 −  + = 0 vô nghi m
2 4

KL: Phương trình có m t nghi m x = 5 .

0.25
0.25

Câu 3

(4 i m)
3

Ta có n − n = n ( n − 1)( n + 1)

0.5

Vì n − 1; n; n + 1 là ba s t nhiên liên ti p nên có m t trong ba s
1
(2 i m)

0.5

ó chia h t cho 3. Do ó ( n3 − n )M 3 (1)
Vì n là s t nhiên l nên n − 1 và n + 1 là hai s t nhiên ch n liên
ti p. Do ó ( n − 1)( n + 1)M8 ⇒ ( n3 − n )M8 (2)

0.5

Vì 3 và 8 là hai s nguyên t cùng nhau nên k t h p v i (1), (2)
suy ra ( n3 − n )M 24 ( pcm)

0.5

+ Gi s n 2 + 4n + 2013 = m 2 , ( m ∈

)

2

2

+ Suy ra ( n + 2 ) + 2009 = m2 ⇔ m 2 − ( n + 2 ) = 2009

0.5

⇔ ( m + n + 2 )( m − n − 2 ) = 2009

+ M t khác 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 và m + n + 2 > m − n − 2 nên
có các trư ng h p sau x y ra:
2
(2 i m)

m + n + 2 = 2009
m = 1005
⇔
m − n − 2 = 1
n = 1002

m + n + 2 = 287
m = 147
⇔
m − n − 2 = 7
n = 138
m + n + 2 = 49
m = 45
TH3: 
⇔
m − n − 2 = 41
n = 2

• TH1: 
•

V y các s c n tìm là: 1002; 138; 2.
Câu 4

0.5

• TH1: 

0.5

0.5
(6 i m)


A

B
H
I

D

C

E

a) + G i E là trung i m c a CD, ch ra ABED là hình vng và
BEC là tam giác vng cân.
1
(4 i m)

0.5

+T

0.5

ó suy ra AB = AD = a; BC = 2a

+ Di n tích c a hình thang ABCD là S =

=

( AB + CD ) . AD
2

( a + 2a ) .a = 3a 2
2

0.5
0.5

2

b) + ADH = ACD (1) (hai góc nh n có c p c nh tương ng vng
góc)

0.5

+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông t i D và B có
AD IB 1
=
= , do ó hai tam giác ADC và IBD
DC BD 2
Suy ra ACD = BDI (2)

ng d ng.

0.5

+ T (1) và (2), suy ra ADH = BDI
+ Mà ADH + BDH = 450 ⇒ BDI + BDH = 450 hay HDI = 450
M

A

2
(2 i m)

B

D

C

+ G i AD là ư ng phân giác trong góc A, qua C k
song song v i AD c t ư ng th ng AB t i M.
Ta có BAD = AMC (hai góc v trí ng v )

0.5

ư ng th ng

0.5


DAC = ACM (hai góc v trí so le trong)
Mà BAD = DAC nên AMC = ACM hay tam giác ACM cân t i A,
suy ra AM = AC = b
AD
BA
c
+ Do AD//CM nên
=
=

CM BM b + c

+ Mà CM < AM + AC = 2b ⇒

c
AD
1 11 1
>
⇒ >  +  (1)
b + c 2b
la 2  b c 

0.5
0.5

+ Tương t ta có
1 11 1
1 11 1
>  +  (2); >  +  (3)
lb 2  c a 
la 2  b c 

0.5

C ng (1), (2), (3) theo v , ta có pcm
Câu 5
+ Ta có a + 1 ≥ 2a; b + 1 ≥ 2b ⇒ a + b + 2 ≥ 2a + 2b ⇒ a + b ≤ 2
2

2

2

2

+ Ch ng minh ư c v i hai s dương x, y thì
1 i m

1 1
4
+ ≥
x y x+ y

1 
4
 1
+
≤1
≤ 2−
a +1+ b +1
 a +1 b +1 

+ Do ó S = 2 − 

+ K t lu n: GTLN c a S là 1,

t ư c khi a = b = 1 .

1 i m
0.25

0.25

0.25
0.25
i m toàn bài (20 i m)

Lưu ý khi ch m bài:

-

-

Trên ây ch là sơ lư c các bư c gi i, l i gi i c a h c sinh c n l p lu n ch t ch ,
h p logic. N u h c sinh trình bày cách làm khác mà úng thì cho i m các ph n
theo thang i m tương ng.
V i bài 4, n u h c sinh v hình sai ho c khơng v hình thì khơng ch m.


PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
QU N NGŨ HÀNH SƠN

KÌ THI CH N H C SINH GI I
NĂM H C 2012-2013

Đ CHÍNH TH C

MƠN THI: TỐN - L P 8
Th i gian: 150 phút (khơng tính th i gian giao ñ )
Bài 1: (1,50 ñi m)

2a + 1
thành hi u hai bình phương.
a (a + 1) 2
2.1 + 1
2.2 + 1
2.3 + 1
2.2012 + 1
b./ Cho M = 2 2 + 2
+ 2
+ ..... +
2
2
(1 + 1) (2 + 2) (3 + 3)
(20122 + 2012) 2

a./ Hãy vi t bi u th c sau :

2

Ch ng minh r ng M < 1
Bài 2: (2,00 ñi m)
a./ Ch ng minh r ng n3 – 28n chia h t cho 48 v i m i n là s nguyên ch n
x 2 + 3x + 7 3x + 2
=
x 2 + 5 x − 6 x + 15
x
1   1
2 
Bài 3: (2,50 ñi m) Cho bi u th c P = 
+ 2

+ 2 

:
 x −1 x − x   x + 1 x −1 

b./ Gi i phương trình sau:

a./ Rút g n bi u th c P.
b./ Tìm các giá tr c a x ñ P > -1
c./ Gi i phương trình P = 2
Bài 4: (1,00 ñi m).
Cho a > 0 ; b > 0 và a2 + b2 = 10; Tìm giá tr nh nh t c a Q =

1 1
+
a 2 b2

Bài 5: (3,00 đi m)
Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a. Đư ng phân giác AD và
BE c t nhau t i I. G i M là trung ñi m c a AC, G là tr ng tâm tam giác ABC.
a./ Tính đ dài ño n th ng BD theo a.
b./ Ch ng minh IG // AC
c./ Tính t s di n tích c a t giác EIGM và ∆ ABC
H T

Tr n Văn H ng Phòng GD&ĐT


PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
QU N NGŨ HÀNH SƠN

KÌ THI CH N H C SINH GI I THCS
NĂM H C 2012-2013

MƠN THI: TỐN - L P 8
HƯ NG D N CH M
Bài

Câu

Đi m

N i dung
a + 2a + 1 − a
2a + 1
=
2
a 2 (a + 1) 2
a (a + 1)
2

2

0,25ñ

2

Câu a
0,75ñ

=

(a + 1) 2 − a 2
a 2 ( a + 1) 2

0,25ñ

(a + 1)2 − a 2  1   1 
=   −

a 2 (a + 1) 2
 a   a +1
2a + 1
1
1
= 2−
2
2
(a + a)
a (a + 1) 2
1
1 1 1 1
1
1
1
M = 1 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 +.....+
= 1−
−
2
2

2
2 3 3 4
2012 2013
20132
20132 − 1
=
<1; M<1
20132
3
3
3
n = 2k , v i k là s nguyên; n – 28n = (2k) – 28(2k) = 8k – 56k
2
2
= 8k ( k – 7) = 8k( k – 1 –6 )
= 8k(k2-1) – 48k = 8k(k-1)(k+1) – 48k
k(k-1)(k+1) là tích ba s nguyên liên ti p trong đó có m t s chia h t
cho 2; m t s chia h t cho 3, nên k(k-1)(k+1) chia h t 6;
8k(k-1)(k+1) – 48k chia h t cho 48 và K t lu n
Đi u ki n xác ñ nh : x ≠ -15; x ≠ 1; x ≠ -6
2

Bài 1
1,50ñ
Câu b
0,75ñ

Câu a
1,00ñ

2

x + 3 x + 7 3 x + 2 x + 3 x + 7 + 3 x + 2 x + 6 x + 9 ( x + 3)
= 2
=
=
=
x 2 + 5 x − 6 x + 15
x + 5 x − 6 + x + 15 x 2 + 6 x + 9 ( x + 3) 2
2

Bài 2
2,00ñ
Câu b
1,00ñ

2

2

0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ

2

Thay x = -3 vào phương trình và k t lu n nghi m c a phương
trình
V i x ≠ -3 ta có:

x 2 + 3x + 7 3x + 2 ( x + 3)
=
= 1 ⇔ 3x + 2 = x +15 ⇔ x = 13/2(t/h)
=
x 2 + 5 x − 6 x + 15 ( x + 3)2

0,25ñ

0,25ñ

2

Bài 3
2,50ñ
Câu a
0,75ñ

V y nghi m là x = 13/2 ; x = -3
Đi u ki n xác ñ nh x ≠ 0 ; x ≠ 1; x ≠ -1
x2 + 1
x −1+ 2
x 2 + 1 ( x + 1)( x − 1)
P=
:

=
.
x( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x( x − 1)
x +1
=

Câu b
0,75ñ

x2 + 1
x

x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1 + x
P> -1 ⇔
> -1 ⇔
+1>0 ⇔
>0
x
x
x

Tr n Văn H ng Phịng GD&ĐT

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25

0,25đ


Vì x2 + x + 1 = (x +

1 2 3
) + >0v im ix
2
4

x2 + 1 + x
>0 ⇔ x>0
x
K t lu n P > -1 ⇔ x > 0 ; x ≠ 1
Đ

0,25ñ
0,25ñ

P = 2 ⇔ P = 2 ; P = -2
0,25ñ
Câu c
1,00ñ

x +1
x +1− 2x
= 2⇔
= 0 ⇔ x = 1 (lo i)
x
x

x2 + 1
x2 + 1 + 2 x
P = -2 ⇔
= - 2⇔
= 0 ⇔ x = −1 (lo i)
x
x

P=2 ⇔

2

2

Phương trình vơ nghi m
1 1
1
a2 + b2 ≥ 2ab ; 2 + 2 ≥ 2
a b
ab
1 1
2
(a2 + b2 )( 2 + 2 ) ≥ 2ab.
≥4
a b
ab
1 1
4 2
+ 2 ≥
=

2
a b
10 5

Bài 4
1,00ñ

K t lu n

Câu a
1,00ñ

Bài 5
3,00ñ

Câu b
1,25ñ

0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ

BD DC
=
AB AC
BD DC BD + DC

=
=
AB AC AB + AC
BD DC BD + DC
BC
4a 4
=
=
=
=
=
AB AC AB + AC AB + AC 5a 5
8a
BD =
5
EA EC EA + EC
AC
3a 1
=
=
=
=
= ;
AB BC AB + BC AB + BC 6a 2
EA = a; EC = 2a
IE EA a 1
=
=
=
IB AB 2a 2

GM 1
G là tr ng tâm ∆ ABC suy ra
= ;
GB 2
GM IE
1
=
= ⇒ IG // EM ( Ta let ñ o); IG // AC
GB IB
2
Cách 1:

0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ

2

Câu c
0,75ñ

S BIG  2 
4
=  = ;

S BEM  3  9
S
S
0,5a 1 S BIG
S
4 1 2
Tính EM = 0,5a; BEM =
= ;
= BIG . BEM = . =
S ABC
3a
6 S ABC S BEM S ABC 9 6 27
S EIGM S BEM − S AIG 1 2
5
=
= −
=
6 27 54
S ABC
S ABC

Tr n Văn H ng Phịng GD&ĐT

0,25đ
0,25đ
0,25đ


Cách 2:
1

a
3
K BH ⊥ AC t i H, c t IG t i K.
2
1
BK = BH; HK = BH
3
3

Tính EM = 0,5a; IG =

S EIGM
S ABC

0,25ñ
0,25ñ

1
1
1

( IG + EM .) HK ( IG + EM ) .HK  3 a + 0,5a  3 BH 5
=2
=
=
=
1
AC.BH
3a.BH
54

AC.BH
2

0,25đ

A
H

Hình
v

E
K

M
I
G

B

D

C

Chú ý:
-Trên đây là sơ lư c hư ng d n ch m trong quá trình ch m các nhóm th ng nh t chi
ti t đáp án.
- H c sinh có cách gi i khác ñáp án n u ñúng v n cho ñi m t i ña ph n y.

Tr n Văn H ng Phòng GD&ĐT

PHÒNG GIÁO D C VÀ ÀO T O
HUY N HÒA AN

THI CH N H C SINH GI I C P HUY N
NĂM H C 2011-2012
Mơn: Tốn - L p 8
Th i gian làm bài: 150 phút
(Không k th i gian giao )

BÀI
CHÍNH TH C

Bài 1 (2 i m). Ch ng minh r ng: 1110 - 1 chia h t cho 100.
Bài 2 (3,5 i m). Phân tích a th c thành nhân t :
a) x5 + x + 1
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
c) 4x2 - 3x - 1
1
2
x +1
x3 − 2 x2
Bài 3 (4 i m). Cho bi u th c: Q = 1 + ( 3 −
):
−
x + 1 x − x 2 − 1 x + 1 x3 − x 2 + x

a) Rút g n Q.
b) Tính giá tr c a Q bi t: x −

3 5
=
4 4

c) Tính giá tr nguyên c a x Q có giá tr nguyên
Bài 4 (2 i m). Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:
A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
Bài 5 (5,5 i m). Cho hình vng ABCD, M là i m b t kì trên c nh BC. Trong
n a m t ph ng b AB ch a C d ng hình vng AMHN. Qua M d ng ư ng th ng
d song song v i AB, AH c t d E, AH c t DC F. Ch ng minh:
a) Ch ng minh r ng: BM = ND
b) Ch ng minh r ng: N, D, C th ng hàng.
c) EMFN là hình gì?
d) Ch ng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không i khi M
thay i v trí trên BC.
Bài 6 (3,5 i m). Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC). K ư ng cao AH.
Trên o n HC l y i m D sao cho HD = HB. K CI vng góc v i ư ng th ng
AD. Ch ng minh tam giác AHI cân.

************************ HÕt ****************************


ÁP ÁN

Bài

THI CH N H C SINH GI I C P HUY N
NĂM H C 2011-2012
Mơn: Tốn - L p 8

Câu

N i dung

1110 - 1 = (11 - 1)(119 +118 + 117 + ... + 11 + 1)
= 10(119 +118 + 117 + ... + 11 + 1)
Bài 1: Vì 10 M 10
và có ch s t n cùng (hàng ơn v ) b ng 0 nên (119 +118 + 117 + ... +
2,0
11 + 1) chia h t cho 10.
V y 1110 - 1 chia h t cho 100.

Câu a
1,25

Bài 2:
3,5

Câu b
1,25

Câu c
1,0

x 5 + x + 1 = x5 - x 2 + x 2 + x + 1
= x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)

i m
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2z - y2x + z2x - z2y
= x2(y - z) + yz(y - z) + x(z2 - y2)
= x2(y - z) + yz(y - z) + x(z - y)(z + y)
= (y - z)(x2 + yz - xz - xy)
= (y - z)(x - z)(x - y)

0,25
0,25
0,25

4x2 - 3x - 1
= 3x2 + x2 - 3x - 1
= 3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1)
= (x - 1)(3x + x + 1)
= (x - 1)(4x + 1)

0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

i u ki n: x ≠ 0; -1; 2
=1+ (
Bài 3:
4,0

Câu a

x + 1 + x + 1 − 2( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1
.
( x + 1)( x 2 − x + 1)
x( x − 2)

−2 x 2 + 4 x
x2 − x + 1
.
( x + 1)( x 2 − x + 1) x( x − 2)
−2 x( x − 2)
x2 − x + 1
=1+ (
.
( x + 1)( x 2 − x + 1) x( x − 2)

=1+ (

0,5
0,5
0,5


−2
x +1
x −1
=
x +1

= 1+

3 5
=
4 4
−1
x=
ho c x = 2 (lo i)
2
−1
thì Q = - 3
V ix=
2
2
Q=1x +1

0,25
0,25

x−

Câu b

Câu c

Q nh n giá tr nguyên khi x + 1 là ư c c a 2.
v y x ∈ {−3; −2;1}
A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
= x4 - 6x3 + 9x2 + x2 - 6x + 9
= (x2 - 3x)2 +(x - 3)2 ≥ 0
X y ra ng th c khi và ch khi x = 3
Giá tr nh nh t c a bi u th c b ng 0 khi x = 3.
V hình úng

Câu 4
2

0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
05

ABCD là hình vng (gt)
⇒ ∠A1 = ∠MAD = 900

Câu 5
5

Câu a

Câu b
Câu c

Câu d

(1)
Vì AMHN là hình vng (gt)
(2)
⇒ ∠A2 = ∠MAD = 900
T (1) và (2) suy ra:
∆ AND = ∆ AMB (g.c.g)
⇒ ∠B = ∠D1 = 900 và BM = ND.
ABCD là hình vng nên: ∠D2 = 900
⇒ ∠NDC = 1800

V y N; D; C th ng hàng.
Ch ng minh ư c MENF là hình thoi
FM = FN = PD + DN
Mà DN = MB (cmt)
MF = DF + BM
G i chu vi tam giác MCF là p và c nh hình vng là a
p = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF ( vì MF = DF +
MB)
= (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a
Hình vng ABCD cho trư c nên a không i. V y p không

i.

1,0

1,0
1,0
0,5
0,5
0,5


Câu 6
3,5

V hình úng 0,5
G i A' là giao i m c a AH và tia CI.
Ch ng minh ∠B = ∠ADB ⇒ ∠ACB = ∠BCI
∆AHC = ∆A ' HC (g-c-g) nên AH = AH'.
Trong ∆AA ' I có góc I vuông, IH là ư ng trung tuy n ng
v i c nh huy n nên IH = AH.

0,5
1
1
1


PHÒNG GIÁO D C VÀ ÀO T O
QU N NGŨ HÀNH SƠN

KÌ THI CH N H C SINH GI I THCS
NĂM H C 2010 -2011

CHÍNH TH C

MƠN THI: TỐN - L P 8
Th i gian: 150 phút (khơng tính th i gian giao
( g m có 01 trang)

)

Bài 1: (2,0 i m)
a) Gi i phương trình: (x + 4)( x2 +
b) Gi i b t phương trình: x +
Bài 2: (2,0 i m)

1
1
x – 1,5) = (3 - x )(x2 + x – 1,5)
2
2

1
< 2
x

a) Tính giá tr c a bi u th c sau:

x16 − 1
; v i x = 2011

( x + 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)

b) Cho (x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) = -19
Tính giá tr c a bi u th c x + 3y
Bài 3: (1,0 i m)
M

A

M t trư ng h c ư c xây d ng trên khu t hình
ch nh t ABCD có AB = 50m; BC = 200m. phía
chi u r ng AB ti p giáp ư ng chính, ngư i ta s
d ng hai lơ t hình vng AMEH, BMIK
xây
d ng phòng làm vi c và nhà xe. Di n tích cịn l i
xây phịng h c và các cơng trình khác (hình v ). Tính
di n tích l n nh t còn l i
xây phòng h c và các
cơng trình khác.

I
H

D

B

K
E

C

Bài 4: (2,0 i m)
 x
x3 − 8 x2 − 2 x + 4  1
x 2 + 3x + 2
:
− 3
.
. 2
x2 − 4  x + 2 x + x + 1
 x+ 2 x +8


Cho bi u th c: P = 


a) Tìm i u ki n xác nh và rút g n bi u th c P.
b) Tìm các giá tr c a x P > 0
Bài 5: (3,0 i m)
Cho hình ch nh t ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm; g i H là hình chi u c a A
trên BD. G i M, N l n lư t là trung i m c a DH, BC.
a) Tính di n tích t giác ABCH.
b) Ch ng minh: AM ⊥ MN
H T


PHÒNG GIÁO D C VÀ ÀO T O
QU N NGŨ HÀNH SƠN

KÌ THI CH N H C SINH GI I THCS
NĂM H C 2010-2011

MƠN THI: TỐN

L P8

Th i gian: 150 phút (Không k th i gian giao

Bài

Câu

Câu a
1,0
Bài 1:
2,0
Câu b
1,0

Bài 2:
2,0

Câu a
1,25

Câu b
0,75

Bài 3:

1,0
Bài 4:
2,0

Câu a
1,25

)

HƯ NG D N CH M
N i dung
1
1
( x+4)( x2 + x – 1,5) = (3-x )(x2 + x – 1,5)
2
2
1
⇔ ( 2x + 1)( 2x2 + x – 3) = 0
2
x = - 0,5
2x2 + x – 3 = ( x -1)(2x + 3)
x = 1 ; x = - 1,5
1
x2 + 1
x+ < 2 ⇔
<2 ; K:x ≠0
x
x
+ x > 0 ; x2 +1 < 2x ⇔ (x – 1)2 < 0 lo i
+ x < 0 ; x2 +1 > 2x ⇔ (x – 1)2 > 0 v i m i x < 0

K t lu n : x < 0
x16 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
x16 − 1
( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
=
( x + 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
( x + 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
= x-1
k t qu 2010
(x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) - 8 = -27
(x + 3y - 2)3 = -27
⇒ x + 3y - 2 = -3 ⇒ x + 3y = -1
t AM = a ; MB = b ⇒ (a+b)2 = 502
(a – b)2 ≥ 0 ⇔ a2 -2ab +b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
2(a2 + b2) ≥ (a + b )2 = 502
⇔ a2 + b2 ≥ 1250
Di n tích nh nh t SAMEH + SBMIK = 1250 (m2)
Di n tích l n nh t cịn l i: 10000 – 1250 = 8750 (m2)
KX : x ≠ ±2
x 3 − 8 x 2 − 2 x + 4 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 − 2 x + 4
=
.
.
x3 + 8
x2 − 4
( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ( x − 2)( x + 2)

x 2 + 2x + 4
=
( x + 2) 2

i m
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

x
x 2 + 2x + 4
x( x + 2) − ( x 2 + 2 x + 4)
−4
−
=
=
2

2
x+2
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2) 2

0,25

1 x 2 + 3 x + 2 − 4.( x + 2)( x + 1)( x + 2)
−4
− 4.( x + 1)
:
=
= 2
. 2
2
2
2
( x + 2) x + 2 x + x + 1
( x + 2) ( x + x + 1)
x + x +1

0,5


Câu b
0,75

Câu a
1,5

Bài 5
3,0
Câu b
1,5

1 2
3
) +
>0v im ix
2
4
P > 0 ⇒ -4(x + 1) > 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < -1
V y
P > 0 thì x < - 1 ; x ≠ -2
∆ ABH
∆ DBA
Tính AH = 4,8cm; BH = 6,4cm
K KC ⊥ BD ch ng minh KC = AH = 4,8cm
1
1
SABCH = SABH + SBHC = AH.HB + CK.HB = 30,72 (cm2)
2
2
AH AD HD
∆ AHD
∆ ABC ⇒
=
=
AB AC BC

AD AM
AD DM
; ∆ ADM
=
=
∆ ACN ⇒
AC CN
AC AN
AD AM
∠ MAD = ∠ NAC ⇒ ∠ NAM = ∠ CAD ;
=
AC AN
∆ ADC
∆ AMN ( c-g-c)
AM ⊥ MN
x2 + x + 1 = (x +

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
B

A
K

Hình v

N

H
M
D

Chú ý:
-H c sinh có bài gi i cách khác, n u làm úng v n cho i m t i a.
-Th ng nh t i m ch m n 0,25 .

C


PHỊNG GD & T HỒ AN

THI H C SINH GI I C P HUY N
NĂM H C 2011-2012
Mơn : TỐN L P : 8
Th i gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (4 i m)
Phân tích a th c sau ây thành nhân t :
1. 8( x 2 + 3x + 5) 2 + 7( x 2 + 3x + 5) − 15
2. x11 + x 7 + 1

Câu 2: (4 i m)
Gi i phương trình:
3

1.

8  −5 3 
9
 − x =
81  16 8  64

2.

x2 + 2 x + 1 x2 + 2 x + 2 7
+
=
x2 + 2 x + 2 x2 + 2 x + 3 6

Câu 3: (2 i m)
Tìm s dư trong phép chia c a a th c ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8 ) + 2010 cho a
th c x 2 + 10 x + 21 .
Câu 4: (6 i m)
Cho tam giác ABC vuông t i A (AC > AB), ư ng cao AH (H ∈ BC). Trên tia
HC l y i m D sao cho HD = HA. ư ng vng góc v i BC t i D c t AC t i E.
1. Ch ng minh r ng: ∆BEC và ∆ ADC ng d ng. Tính
dài o n BE
theo m = AB .
2. G i M là trung i m c a o n BE. Ch ng minh r ng hai tam giác
BHM và BEC ng d ng. Tính s o c a góc AHM
3. Tia AM c t BC t i G. Ch ng minh:

GB
HD
=
.
BC AH + HC

Câu 5 : (4 i m)
Cho hình ch nh t ABCD. V BH vng góc v i AC (H ∈ AC) . G i M là
trung i m c a AH , K là trung i m c a CD . Ch ng minh r ng : BM ⊥ MK .

***

H t

***


PHỊNG GD & T HỒ AN

HƯ NG D N CH M THI H C SINH GI I C P HUY N
NĂM H C 2011 – 2012

Mơn : TỐN
L P:8
Th i gian làm bài: 150 phút
ÁP ÁN VÀ THANG I M:
Bài
1.

Câu

N i dung

i m
4,0

1.1

8( x 2 + 3x + 5) 2 + 7( x 2 + 3x + 5) − 15
t t= x2 +3x+5, ta có :
2
8( x 2 + 3x + 5) 2 + 7( x 2 + 3x + 5) − 15 = 8t +7t -15

1

= 8t2 -8t +15t-15 = 8t(t-1)+15(t-1) = (t-1)(8t+15)
Thay t=x2+3x+5 vào a th c ta có :
8( x 2 + 3x + 5) 2 + 7( x 2 + 3x + 5) − 15

= (x2+3x+5-1)[8(x2+3x+5)+15]
=(x2+3x+4)[8(x2+3x+5)+15]
=(x2 +3x+4)(8x2+24x+55)

1

1.2
11

10

9

10

9

8

x11 + x 7 + 1 = (x + x + x ) + ( –x - x – x )

+ (x8 +x7 +x6) + ( –x6 –x5 - x4) + (x + x4 + x3)
+ (–x3–x2 –x ) + (x2+x+1)
= x9(x2+x+1) – x8(x2+x+1) + x6(x2+x+1)
- x4 (x2+x+1) + x3 (x2+x+1) + (x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1)
2.

2
4

2.1

3

8  −5 3 
9
 − x =
81  16 8  64
3

9 81
 −5 3 
⇔  − x = .
 16 8  64 8
3

 −5 3   9 
⇔  − x =  
 16 8   8 
−5 3
9
⇔
− x=
16 8
8
9 5
+
8 16
⇔x=
3
−
8
−23
⇔x=
6

0,5

3

0,5

0,5

0,5


Bài

Câu

2.2

N i dung

i m

x2 + 2 x + 1 x2 + 2 x + 2 7
+
=
x2 + 2 x + 2 x2 + 2 x + 3 6

KX : x ∈R vì :
x +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 v i m i x∈R
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 v i m i x∈R
t t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , K : t≥2
Phương trình tr thành :
2

t − 2 t −1 7
+
=
6
t −1
t
6t (t − 2) 6(t − 1)(t − 1) 7t (t − 1)
⇔
+
=
t (t − 1)
t
6t (t − 1)
⇒ 6t 2 − 12t + 6t 2 − 12t + 6 = 7t 2 − 7t

0,5

0,5
0,5

⇔ 5t 2 − 17t + 6 = 0
2
⇔ (t − 3)(t − ) = 0
5

(nh n),

⇔t =3

t=

2
(lo i)
5

0,5

2

V i t= 3 , ta có x +2x+3 =3

x=0 , x = -2
V y nghi m c a phương trình là : x=0 , x = -2
3

2.0

Ta có:
P( x) = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 2010
= ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 2010

1

2

t t = x + 10 x + 21 , bi u th c P(x) ư c vi t l i:
P( x) = ( t − 5 )( t + 3) + 2010 = t 2 − 2t + 1995
Do ó khi chia t 2 − 2t + 1995 cho t ta có s dư là 1995
4

0,5
0,5
6,0


4.1

A

V
hình
úng
0,5

E

1
2

M
1

2

B

H

D

G

C

∆CDE và ∆CAB có :
Góc C chung.
CDE = CAB = 900

0,5

S

CD CE
CD CA
=
=>
=
CA CB
CE CB
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA
=
(cmt)
CE CB

=>∆CDE

∆CAB =>

0,5

0,5

S

0,5

S

0,5

0,5

0,5

S

S

4.2

∆BEC (c.g.c).
Do ó ∆ADC
Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân t i H
theo gi thi t).
Nên AEB = 450 do ó tam giác ABE vng cân t i A. Suy ra:
BE = AB 2 = m 2
BM 1 BE 1 AD
Ta có:

= ⋅
= ⋅
(do ∆BEC
∆ADC )
BC 2 BC 2 AC
mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân t i H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
nên
= ⋅
= ⋅
=
=
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
(do ∆ABH
∆CBA )
Do ó
∆BHM
∆BEC(c.g.c)
0
suy ra: BHM = BEC = 135 ⇒ AHM = 450
Tam giác ABE vuông cân t i A, nên tia AM cịn là phân giác góc
BAC.
GB AB
Suy ra:
=
,
GC AC

AB ED
mà
=
(∆ABC
∆DEC)
AC DC
ED AH
Ta l i có ED // AH =>
=
DC HC
ED AH HD
Mà HD =HC =>
=
=
DC HC HC
GB HD
GB
HD
GB
HD
=>
=
⇒
=
⇒
=
GC HC
GC + GB HC + HD
BC HC + AH

0,5

S

4.3

0,5

0,5
0,5


5

5

I

A

O

M

0,5

H

D

K

C

G i O là trung i m c a o n th ng BH
Ta có M, O l n lư t là trung i m c a AH , BH nên :
MO là ư ng trung bình c a ∆ HAB.
V y MO =

1
AB , MO // AB .
2

0,5

0,5

1
Mà AB = CD , AB//CD , KC = CD ,
2

Do ó MO = KC , MO // KC , suy ra t giác MOCK là
hình bình hành .
T ó có : CO // MK .
Ta có : MO // KC , KC ⊥ CB ⇒ MO ⊥ CB
Tam giác MBC có MO ⊥ CB , BH ⊥ MC nên O là
tr c tâm c a tam giác MBC => CO ⊥ BM.
Ta có : CO ⊥ BM và CO // MK nên BM ⊥ MK
(H c sinh làm cách khác úng v n ư c tr n i m )

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5