Mối quan hệ của nhị thức và phân phối poisson

Đề tài :Mối quan hệ của nhị thức và phân phối poisson
I. Phân phối nhị thức:
a. Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy
luật nhị thức, ký hiệu X B(n,p) nếu nó nhận các giá trị
0,1…..n với xác xuất tương ứng:

P(X=k)= ;k=0,1…,n

q=1-p
chú ý : trong trường hợp X B(n,p) với n=1 ta nói phân phối theo
quy luật không- một, ký hiệu X A(p)
khi đó bảng phân phối xác xuất của X là
x 0 1
p Q p
Ta dễ thấy rằng nếu X A(p), thì E(X)=p; Var(X)=pq.
b. Các số đặc trưng của phân phối nhị thức
Nếu X B(n,p) thì E(X)=np, Var(X)=npq. Còn Mod(X) là số nguyên thỏa
mãn điều kiện :np-q Mod(X) np+q.
II. Phân phối poisson:
a. Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy
luật poisson nếu nó có thể nhận các giá trị :0,1..n,.. với các xác
xuất tương ứng
P(X=k)= , k=0,1,2….
Trong đó 0 là tham số.
Nếu X có phân phối poisson với tham số ta ký hiệu X P( ).
b. Các số đặc trưng
Nếu X P( ) thì E(X)= , Var(X)= .
Còn Mod(X)là số nguyên thảo mãn điều kiện
Mod(X) .
III. Mối liên hệ giữa nhị thức và phân phối poisson.
Giả sử X B(n,p). khi n lớn , p khá bé thì X có phân phối xấp xỉ

phân phối Poisson với tham số =np. Khi đó
P(X=k)=
Chứng minh
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham
số(n,p)và =np. Trong đó n khá lớn và p khá bé
Ta có P(X=K)=
=
=
Do n khá lớn và p khá bé nên:
; ;
Khi đó ta có thể thay công thức bernoulli bằng công thức poisson
( đpcm)
IV. Ví dụ
Bài ví dụ 1) Một trạm điện thoại trung bình một giờ có 240 lần
gọi đến . tìm xác suất để trong 1 phút
a) Không có lần gọi nào
b) Có từ 2 đến 3 lần gọi.
Giải
Gọi X là số lần gọi điện thoại trong 1 phút
Ta có X P( ) với =E(X)= =4.
P(X=0)= = =0,01832
P(2 X 3)=P(X=2)+P(X=3)= + =0,34189
Bài ví dụ 2: Nước giải khát được chở từ sài gòn đi vũng tàu, mỗi xe
chở 1000 chia bia sài gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây.
Xác suất để một chai mỗi loại bị bể trên đường đi tương ứng là
0,2%,0,11%,và 0,3%. Nếu không quá một chai bị bể thì lái xe được
thưởng .
a) Tính xác suất có ít nhất một chai bia sài gòn bị bể
b) Tính xác suất để lái xe được thưởng
c) Lái xe phải trở ít nhất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một

chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9?
Giải
Gọi là ĐlNN chỉ số chai bai SG bị bể trong một chuyến. khi đó
có phân phối nhị thức B( ) với =1000 và =0,002
Vì khá lớn , khá bé có phân phối poisson
P( ) với = . =1000.0,002=2 X=P(2).
bị bể trong một chuyến. Khi đó , có phân phối poisson
P(2000;0,0011)=P(2,2)
P(800;0,003)=P(2,4)
a) Xác suất để có ít nhất một chai bia sài gòn bị bể là
P( 1)= 1-P( =0)
=1- =0,8647
b) Tính xác suất lái xe được thưởng
Theo giả thiết, lái xe được thưởng khi có không quá một chai bị bể,
nghĩa là
+ + 1
P(2); P(2,2) ; P(2,4) nên
+ + P(2+2,2+2,4)=P(6,6)
lái xe được thưởng là
P( + + 1 )=P( + + =0)+P( + + =1)
= +
=0,0103.
c) Lái xe phải chở ít nhất mấy chuyến để xác suất có ít nhất 1 chuyến
được thưởng không nhỏ hơn 0,9?
Gọi n là số chuyến xe cần thực hiện
A là biến cố có ít nhất 1 chuyến xe được thưởng
Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(A) 0,9
Biến cố độc lập của A là A không có chuyến nào được thưởng
Theo câu b xác suất để lái xe được thưởng trong 1 chuyến là P=0,0103
Do đó theo công thức bernoulli ta có

P(A)=1-P(A ) =1- =1- =1-
Suy ra
P(A) 0,9 1- 0,9
0,1
n.ln(0,9897) ln(0,1)
n 222,3975
n