“Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

I.t vn :
T l thc l kin thc khỏ trng tõm trong chng trỡnh toỏn lp 7 v cng l mt mng
kin thc quan trng trong chng trỡnh toỏn ph thụng. Vỡ th vic rốn luyn cho hc sinh
k nng gi bi tp v t l thc l mt iu cn thit trong quỏ trỡnh ging dy toỏn chng
trỡnh lp 7. Vic giỳp hc sinh rốn k nng gii bi tp v t l thc giỳp hc sinh hiu sõu,
nm vng dng toỏn ny trong chng trỡnh lp 7 ngoi ra cũn giỳp hc sinh gii quyt tt
cỏc dng toỏn cú liờn quan n t l thc chng trỡnh lp trờn: cỏc dng bin i v phõn
thc i s, chng minh mt ng thc, gii phng trỡnh cú hai v l nhng phõn thc i
s, toỏn chia ht, bin i cỏc biu thc dng tớch hai on thng vớ d: MN.PQ=EF.GH
hoc EF
2
=MN.PQtrong hỡnh hc v on thng t l, nh lý Thales hay tam giỏc ng
dng. Qua vic rốn k nng gii bi tp v t l thc gúp phn vo vic giỳp cỏc em hc sinh
hiu bi t ú cỏc em s cú thúi quen nhn nh tng th dng bi tp, sau ú nh hng
gii quyt theo phng phỏp ỳng n. Khi nm vng lớ thuyt, c rốn luyn k nng mt
cỏch thớch hp ó phn no thỳc y c hng thỳ trong gii bi tp, cỏc em s bt phn
ngi khú, ngi gii bi tp. Cng c v hng dn hc sinh lm bi tp nhm nõng cao cht
lng ging dy, nhm nõng cao trỡnh chuyờn mụn nghip v cho bn thõn thụng qua ú
gii thiu cho bn bố ng nghip tham kho, vn dng vo quỏ trỡnh ging dy mụn Toỏn
Trng THCS t hiu qu cao v cú ý thc vn dng linh hot sỏng to cỏc kin thc k
nng ó thu nhn c.T ú hiu qu ging dy s tt hn.
II.Gii quyt vn :
1.C s lớ lun:
Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì vậy, việc giảng
dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo thế
hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có khả năng t duy, sáng tạo,
t duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học. Môn Toán là môn học góp phần
tạo ra những yêu cầu đó. Việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là
việc làm chính không thể thiếu đợc của ngời thầy, rèn luyện cho các em có khả năng t duy
sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các em yêu thích môn Toán. Môn
Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trờng phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh

phát triển các năng lực và phẩm chất trớ tuệ .Toán hc l mt môn khoa hc gây nhiu hng
thú cho hc sinh, nó l mt môn hc không th thiu trong quá trình hc tp, nghiên cu v
c trong cuc sng hng ngy. Mt nh toỏn hc ó núi: Toán hc c xem nh l mt
khoa hc minh.
Thật vậy, do tính chất trừu tợng, tính chính xác, t duy suy luận logic. Toán học đợc coi
là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong cỏc mụn hc
trng ph thụng, Toỏn hc c coi nh l mt mụn hc c bn, l nn tng cỏc em
phỏt huy c nng lc bn thõn, gúp phn to iu kin cỏc em hc tt cỏc mụn khoa
hc t nhiờn khỏc. Vy dy nh th no hc sinh khụng nhng nm chc kin thc c bn
mt cỏch cú h thng m cũn phi c nõng cao phỏt trin cỏc em cú hng thỳ say mờ
hc tp l mt cõu hi m mi thy cụ luụn t ra cho mỡnh. Tuy nhiờn hc tt mụn toỏn
thỡ ngi giỏo viờn phi bit cht lc ni dung kin thc, phi i t d n khú, t c th n
tru tng v phỏt trin thnh tng quỏt giỳp hc sinh cú th phỏt trin t duy toỏn hc, lm
cho cỏc em tr lờn yờu thớch toỏn hn t ú cỏc em cú ý thc hc tp m bo yờu cu ca
thi i mi. L mt giỏo viờn dc phõn cụng ging dy lp 7A2, 7A5 vi i tng hc
sinh khỏ gii, cỏc em cú t duy nhy bộn v nhu cu hiu bit ngy cng cao, lm th no


1
phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Qua
giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy đề tài về Tỉ lệ thức là một đề tài thật lý thú,
phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn đại số lớp 7.
Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các
em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm
tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó trong năm học này tôi chọn đề tài
“Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức”để thực hiện trong chương trình toán
lớp 7.
2. Thực trạng của vấn đề :
2.1. Khó Khăn:
Lớp 7A2, 7A5 có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn

cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp.Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó
khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận
thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em
cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp
thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới.
Hầu hết các em đều hấp tấp khi giải các bài tập dạng này.
VD: Lời giải của em Nguyễn Thụy yến Vi - Lớp 7A5
(Bài 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai số x, y biết:
x y
= ; xy=10
2 5
HS giải: Ta có:
x y xy 90
= = = =9
2 5 2.5 10
x=2.9=18; y=5.9=45
→
Lời giải đúng:



=
=
→==
k5y
k2x
k
5
y
2

x
Mà xy = 90  2k . 5k = 9010k
2
= 90k
2
= 9 



−=
=
3k
3k
* Với k = 3  x = 2.3 = 6 ; y = 5.3=15 ; * Với k = -3 x = 2.(-3) = -6 ; y = 5.(-3)
= -15 ; Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
(Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau).
Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau:
+ Lớp 7A2: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm
được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%.
+ Lớp 7A5 Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 85%, số học sinh nắm được
kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%.
2.2.Nguyên nhân:
Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế
hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu
sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm


2
tũi kin thc mi qua sỏch nõng cao, sỏch tham kho, cũn hin tng du dt, khụng chu
hc hi bn bố, thy cụ. ng trc thc trng trờn tụi thy cn phi lm th no khc

phc tỡnh trng trờn nhm nõng cao cht lng hc sinh, lm cho hc sinh thớch hc toỏn
hn Vy tụi thit ngh ti ca tụi nghiờn cu v vn ny l bc i ỳng
n vi tỡnh trng v sc hc ca hc sinh hin nay
3.Cỏc gii phỏp ó tin hnh gii quyt vn :
T thc t trờn ca hc sinh mỡnh trc tip ging dy, tụi cm nhn c vic rốn k
nng gii bi tp liờn quan v t l thc l mt nhim v cn thit ca ngi giỏo viờn t
hiu qu ging dy. Nhn thc v mc tiờu l nh th nhng lm th no nõng cao cht
lng hiu qu ging dy cũn ph thuc rt nhiu vo mụi trng, i tng hc sinh, cỏch
truyn th ca bn thõn giỏo viờn. Sau mt thi gian t tỡm hiu, hc hi thy cụ, ng
nghip, bn thõn toi ó tỡm ra mt vi gii phỏp khi ging dy v rốn luyn cho hc sinh v
phn kin thc trờn nh sau:
+ giỳp hc sinh nm vng nh ngha.
+Gỳp hc sinh nm vng cỏc tớnh cht c bn v t l thc,
+Nm tớnh cht ca dóy t s bng nhau.
+Rốn k nng gii mt vi dng bi tp c bn v t l thc, bit cỏch nh hng bin i
cỏc t l thc mt cỏch thớch hp.
+cho hc sinh lm quen mt s bi tp nõng cao, m rng v t l thc.
3.1 . cỏc gii phỏp:
-Giỳp hc sinh nm vng nh ngha, sau khi hc sinh bit nh ngha T l thức là một đẳng
thức của hai tỉ số
a c
=
b d
(hoặc a : b = c : d). tụi nhn mnh các số a, b, c, d đợc gọi là các số
hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng
trong hay còn gọi là trung tỉ.
- Giúp học sinh nắm vững các tính chất cơ bản về tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau: Khi giảng dạy về tỉ lệ thức, tôi thờng cho học sinh chuẩn bị trớc ở nhà bảng câu hỏi
gây chú ý: +thế nào là một tỉ lệ thức? Hay: tỉ lệ thức là gì? em hãy tự tìm một ví dụ về tỉ lệ
thức. Có đợc câu hỏi kích thích sự tò mò của học sinh kèm theo sự kiểm tra việc chuẩn bị sẵn

ở nhà nên khi đến lớp các em tiếp thu nhanh hơn.
Khi giảng dạy tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:
Tính chất 1: nếu
a c
=
b d
thì ad = bc; đối với tính chất này, để giúp các em dễ nhớ, tôi thờng
giúp các em hình ảnh trực quan nh sau:
a c
=
b d
thì ad = bc và khắc sâu bằng lời nói: Tích hai
số ngoại tỉ bằng tích hai số trung tỉ.
Tính chất 2: nếu ad= bc và a, b, c, d 0, thì ta có các tỉ lệ thức sau:


3
a c
=
b d
,
a b
=
c d
,
d c
=
b a
,
d b

=
c a
đối với tính chất này, để các em dễ nhớ, tôi thờng khắc sâu bằng
cách sau: Từ tỉ lệ thức
a c
=
b d
suy ra
a b
=
c d
tôi thờng dùng phấn màu khác nhau để viết hai số
trung tỉ b, c và nói: cách biến đổi thứ nhất: giữ nguyên hai số ngoại tỉ, đổi chỗ hai so trung tỉ.
Từ tỉ lệ thức :
a c
=
b d
, suy ra
d c
=
b a
tôi thờng dùng phấn màu khác nhau để viết hai số ngoại tỉ a,
d và nói: cách biến đổi thứ hai: đổi chỗ hai số ngoại tỉ và đổi chỗ hai số trung tỉ.
Sau đó lu ý các em sau khi viết xong luôn luôn kiểm tra xem tích hai số ngoại tỉ có bằng tích
hai số trung tỉ hay không?
Đối với học sinh khá giỏi, tôi thờng hớng dẫn thêm cách chứng minh cho các trờng hợp tổng
quát, học sinh đại trà tôi thờng cho các em nghiên cứu từ ví dụ rồi đi đến tổng quát.
Qua thực tế giảng dạy ở những năm trớc đây, khi gặp tính chất này, học sinh thờng lúng túng
khi giáo viên yêu cầu kiểm tra tính chất này, các em học thuộc máy móc nên khó tái hiện
kiến thức. Nhng nhờ kinh nghiệm nhỏ này, tôi thấy học sinh dễ nhớ hơn. Thực tế khi kiểm tra

về phần lý thuyết này ở lớp 7A2 trong năm học 2013-2014 có 38 em làm đợc trên trung bình
với sĩ số lớp là 38 em.
-Tính chất: Từ
a c
=
b d
suy ra:
a c a+c a-c
= = =
b d b+d b-d
- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

a c e
= =
b d f
suy ra:
a c e a+b+c a-b+c
= = = = =
b d f b+d+f b-d+f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Chú ý: Khi có dãy tỉ số
a b c
= =
2 3 5
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
Sau khi hc sinh ó nm chc c lý thuyt thỡ vic vn dng lý thuyt vo gii bi
tp l vụ cựng quan trng, do vy ngi giỏo viờn khụng ch n thun cung cp li gii m
quan trng hn l dy cho cỏc em bit suy ngh tỡm ra con ng hp lý gii bi toỏn
nh nh toỏn hc Pụlia ó núi Tỡm c cỏch gii mt bi toỏn l mt iu phỏt minh.

-Rèn kỹ năng giải các bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, biết cách định hớng biến đổi các tỉ lệ thc
một cách thích hợp.
Các bài tập về tỉ lệ thức rất đa dạng, tôi xin trình bày vài dạng thờng gặp trong quá trình
giảng dạy.
Dạng 1: lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trớc.
ví dụ: lâp tỉ lệ thức từ đẳng thức: 6.63 =9.42 cho trớc:
trớc đây, học thuộc lòng tính chất nên khi gặp bài tập này, các em thờng chỉ mò mẩm ra đợc
1 hoặc 2 tỉ lệ thức rồi lúng túng.
để rèn luyền học sinh tránh tồn tại trên, khi dạy học sinh giải bài tập này, tôi thờng cho các
em định hớng giải nh sau:
+ xác định các số ngoại tỉ, số trung tỉ:
Số ngoại tỉ là: 6, 63. Số trung tỉ 9, 42 hoặc số ngoại tỉ là 9, 42, số trung tỉ là 6, 63.
+ áp dụng tính chất 2: 6.63 = 9.42 =>
6 42
9 63
=


4
+ tỉ số đợc thành lập
6 42
9 63
=
áp dụng tính chất 1 bằng cách nhớ đã trình bày trong phần
lý thuyết, học sinh dễ dàng suy ra các tỉ lệ còn lại:
6 9
42 63
=
;
63 42

9 6
=
;
9 63
6 42
=
+ lu ý các em luôn kiểm tra tích hai số ngoại tỉ có bằng tích hai số trung tỉ hay không?
Dạng 2: tìm x trong tỉ lệ thức ( tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức)
ví dụ 1: tìm x trong tỉ lệ thức
2
27 3,6
x

=
; đối với học sinh khá giỏi, các em có thể giải quyết một
cách dễ dàng nhng đối với các em khác thì thờng mắc sai lầm là các em thực hiện phép tính
chia : -2 : 3,6 trớc rồi sau đó mới tìm x, làm nh vậy nếu gặp phép chia không hết, bài toán sẽ
rờm rà và dễ dẫn đến sai số, còn 1 số em thì quy đồng mẫu số.
Đễ giải bài toán trên, tôi đã định hớng cho các em nh sau:
+ từ
2
27 3,6
x

=
nêu số ngoại tỉ, số trung tỉ; + trong tỉ lệ thức muốn tìm số ngoại tỉ ta làm nh thế
nào?Muốn tìm số ngoại tỉ, ta lấy tích hai trung tỉ đã biết chia cho ngoại tỉ đã biết
Tơng tự cho trờng hợp tìm số trung tỉ.
Nếu đề bài viết dới dạng: -0.52:x = -9,16:16,38 thì
cách làm cũng tơng tự nh trên.

Khi có phơng pháp giải, hiểu và biết cách làm, các em sẽ rất hứng thú khi làm bài và không
ngại khó nữa. Qua thử nghiệm, tôi thấy kết quả khả quan hơn các năm trớc, cụ thể ở học sinh
lớp 7A5 khi gặp dạng bài tập này các em giải quyết tơng đối tốt hơn, khoảng 33/39 bài đạt
trung bình trở lên.
Bên cạnh việc rèn các kỹ năng trên, tôi luôn chú trọng đến việc khuyến khích các em luôn ôn
kiến thức cũ, luyện kiến thức mới để sau không bị quên và bên cạnh những bài toán cơ bản,
tôi còn cho các em làm các bài tập khó hơn.
Ví dụ1 : cho tỉ lệ thức
a c
= 1
b d

với a, b, c, d 0. Chứng minh rằng
a-b c-d
=
a c
;
Cách 1: học sinh thờng áp dụng tính chất 1để chứng minh rằng
a-b c-d
=
a c
thì(a - b).c=a(c- d)
Tuy nhiên giáo viên cần phải cho học sinh tập chứng minh tỉ lệ thức theo hớng khác tránh
tình trạng giải bài tập một cách cứng nhắc theo một hớng mà cần rèn luyện trí thông minh
sáng tạo trong quá trình biến đổi.
Cách 2: ta đặt
a c
k
b d
= =

suy ra a = kb, c= kd
Ta có
( 1) 1
(1)
a b kb b b k k
a kb kb k

= = =

( 1) 1
(2)
c d kd d d k k
c kd kd k

= = =
Từ (1) và (2) suy ra
a b c d
a c

=
; Trong cách giải này, để chứng minh tỉ lệ thức
a b c d
a c

=
,
ta chứng minh hai tỉ số ở hai vế cùng bằng một tỉ số thứ ba. Do đó ta đặt giá trị chung của
các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng
minh theo k.
Cách 3:

a c a b a b
b d c d c d

= = =

Vậy:
a b a a b c d
c d c a c

= =

Trong cách này, ta đã hoán vị
các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, sau đó ta sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Cuối
cùng, lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới đợc tạo để đi đến cách chứng minh.


5
x -2 (-2) . 27
= 3,6 x=(-2) . 27 x= 15
27 3,6 3,6
= > =
Cách 4: vì
a c
b d
=
nên
b d
a c
=
; Ta có:

1 1
a b a b b d c d
a a a a c c

= = = =
; Vậy:
a b c d
a c

=
.
Trong cách này, ta cần biến đổi tỉ số ở vế trái của tỉ lệ thức cần chứng minh thành vế phải.
Đây là cách thờng dùng để chứng minh một tỉ lệ thức.
Cách 5: ta có
1 1
a c b d b d a b c d
b d a c a c a c

= = = =
Trong cách này, từ tỉ lệ thức đã cho
ta biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh bằng cách hoán vị, tính chất của đẳng thức.
Ví dụ2 : cho a + d = b + c và a
2
+ d
2
= b
2
+ c
2
(b, d 0). Chứng minh rằng 4 số a, b, c, d có

thể lập thành một tỉ lệ thức.
Giải: từ a + d = b + c suy ra (a + d)
2
= (b + c)
2
a
2
+ 2ad + d
2
= b
2
+ 2bc + c
2
(1)
vì a
2
+ d
2
= b
2
+ c
2
nên từ (1) 2ad = 2bc hay ad = bc nên
a c
b d
=
Ta đã dựa vào tính chất: nếu có 4 số, mà tích của hai số này bằng tích của hai số kia thì 4 số
đó lập thành một tỉ lệ thức.
-Tuy nhiờn khi gii bi tp dng ny tụi khụng mun dng li nhng bi tp SGK m tụi
mun gii thiu thờm mt s bi tp in hỡnh v mt s phng phỏp gii cỏc bi tp ú

giỳp cho hc sinh lm quen mt s bi tp nõng cao, m rng v t l thc.
Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
Bài toán 1: Tìm hai số x và y biết
32
yx
=
và
20
=+
yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt
x y
= =k
2 3
,
x=2k
,
y=3k
; theo giả thiết:
x+y 20 2k+3k 20 5k 20 k=4
= = =
; Do đó:
2.4 8; x = =
y 3.4 12= =
; KL:
x=8 , y=12
Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau ta có:
x y x+y 20

= = = =4
2 3 2+3 5
; Do đó:
84
2
==
x
x
;
y
4 y=12
3
=
; KL:
x=8 , y=12
Cách 3: (phuơng pháp thế) Từ giả thiết
x y 2y
= x=
2 3 3


mà
2y
x+y=20 +y=20 5y=60 y=12
3

Do đó:
2.12
x= =8
3

; KL:
12,8
==
yx
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết:
x y
=
3 4
,
y z
=
3 5
và
2x-3y+z=6
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:
12943
yxyx
==
(1) ;
y z y z
= =
3 5 12 20

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
==
(*)

Ta có:
x y z 2x 3y z 2x-3y+z 6
= = = = = = = =3
9 12 20 18 36 20 18-36+20 2
; (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau) Do đó:
273
9
==
x
x
;
363
12
==
y
y
;
z
=3 z=60
20

; KL:
x=27; y=36; z=60


6
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
x y z
= = =k

9 12 20
(sau đó giải nh cách 1 của VD1).
Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết:
y z 3z
= y=
3 5 5

;
3z
3.
x y 3y 9z
5
= x= = =
3 4 4 4 20

mà
9z 3z z
2x-3y+z=6 2. -3. +z=6 =60 z=60
20 5 10

; Suy ra:
36
5
60.3
==
y
,
27
20
60.9

==
x
; KL:
x=27; y=36; z=60
Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng:
x y
=
2 5
và
x.y=40
; Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt
x y
= =k 0
2 5

, suy ra
x=2k
,
y=5k
; Theo giả thiết:
244010405.240.
22
=====
kkkkkyx
+ Với
2
=
k
ta có:

x=2.2=4
;
y=5.2=10
; + Với
k =-2
ta có:
x=2.(-2)=-4
;
y=5.(-2)=-10
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
==
yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x
0

; Nhân cả hai vế của
52
yx
=
với x ta đợc:
8
5
40
52
2

===
xyx
2
16 4x x = =
+ Với
4
=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
===
y
y
; + Với
4
=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
=

==

y
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
==
yx
Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 b)2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải: Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc các em
lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức.
Từ đó các em có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:
Ta có: 3x = 5y
24
y
40
x
hay
8
1
.
3
y

8
1
.
5
x
3
y
5
x
===
5y = 8z
15
z
24
y
hay
3
1
.
5
z
3
1
.
8
y
5
z
8
y

===

2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40
x
==
++
++
===
x = 40 . 2 = 80; y = 24 . 2 = 48; z = 15 . 2 = 30; Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung
nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán nh sau: ta có BCNN(3; 5; 8) =
120


7
Từ 3x = 5y = 8z
120
1
.z8
120
1

.y5
120
1
.x3
==
Hay
2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40
x
==
++
++
===
(Tơng tự nh trên có ) Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thơng. Điều đó đã hớng cho các
em tìm ra cách giải sau:
Từ 3x = 5y = 8z
240
120
79
158
8

1
5
1
3
1
zyx
8
1
z
5
1
y
3
1
x
==
++
++
===
x =
80240.
3
1
=
; y =
48240.
5
1
=
; z =

30240.
8
1
=
; Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các em sẽ lựa
chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hớng giải
khác và vận dụng để giải các phần b và c.
Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải có t duy
một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z

840
210
15
60
15
1
.7
21
1
.5
10
1
.3
y7z5x3
21
1

z
15
1
y
10
1
x
==
+
+
===
x =
84840.
10
1
=
; y =
56840.
15
1
=
; z =
40840.
21
1
=
Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hng giải cho phần c và tự cho đợc ví dụ về
dạng toán này.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng

a)
12zy2xvà
2
2z
3
2y
5
1x
=+

=

=

; b)
50zy3x2và
4
3z
3
2y
2
1x
=+

=

=

Để tìm đợc lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện
đợc tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10

Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có
hớng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời
giải của bài toán nh sau:
a) Ta có :
x-1 y-2 z-2 2(y-2) 2y-4
= = = =
5 3 2 2.3 6

x-1+2y-4-(z-2) x+2y-z-3 12-3
= = = =1
5+6-2 9 9
x - 1 = 5 x = 6; y - 2 = 3 y = 5; z - 2 = 2 z =4
Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:


8
Đặt
k
2
2z
3
2y
5
1x
=

=

=

x - 1 = 5k x = 5k + 1; y - 2 = 3k y = 3k + 2; z - 2 = 2k
z = 2k + 2; Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12; 9k + 3 = 12;
k = 1; Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6; y = 3 . 1 + 2 = 5; z = 2 . 1 + 2 = 4
Với các phơng pháp cụ thể của từng hớng đi các em đã vận dụng để tự
giải phần (b) và của bài toán 5.
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:
zyx
1
z
3yx
y
2zx
x
1zy
++
=
+
=
++
=
++
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ kiến thức
nào? Điều đó yêu cầu các em phải t duy có chọn lọc để xuất hiện
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã
có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Điều kiện: x, y, z 0 ; Ta có:
2
zyx

)zyx(2
zyx
3yx2zx1zy
z
3yx
y
2zx
x
1zy
=
++
++
=
++
+++++++
=
+
=
++
=
++

1
=2
x+y+z
x+y+z =
5,0
2
1
=

x+y = 0,5 - z y + z = 0,5 - x x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
+)
y+z+1 0,5-x+1
2 2
x x
= =
0,5-x+1=2x ;1,5=3 x = 0,5
+)
x+z+2 0,5-y+2
2
y y
=
2,5-y = 2y 2,5 = 3y y =
6
5
+)
3 0,5 3
2 2
x y z
z z
+
= =
-2,5 - z = 2z -2,5 = 3z z =
6
5

Vậy (x; y; z) = ( 0,5;
6
5

; -
6
5
)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
x y z
= =
10 6 21
và
2825
=+
zyx
b)
x y
=
3 4
,
y z
=
5 7
và
2x+3y-z 124=

c)
2x 3y 4z
= =
3 4 5
và

x+y+z=49
d)
32
yx
=
và
54
=
xy

e)
x y
=
5 3
và
2 2
x -y =4
f)
x y z
= = =x+y+z
y+z+1 z+x+1 x+y-2
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
3x=2y; 7y=5z
và
x-y+z=32
b)
x-1 y-2 z-3
= =
2 3 4

và
2x+3y-z=50

c)
2x=3y=5z
và
x+y-z=95
d)
x y z
= =
2 3 5
và
xyz=810


9
Với các phng pháp trên, trong phng pháp giảng dạy học sinh giỏi môn toán 7 đã làm
cho các em t duy rất tốt, rèn luyện đợc ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ
lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học
sinh. Ngoài ra phơng pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng
toán có lời văn về phần đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ.
Dạng II. Các bài toán về đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ
nghịch, chia tỉ lệ.
Bài toán 1: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ
với 2; 3; 4. Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A biết số học sinh lớp 7A là 45 học sinh.
Giải: Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là x, y, z ( x, y, z

N
*
)

Theo đầu bài ta có :
2 3 4
x y z
= =
và x + y + z = 45; áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta có:
2 3 4
x y z
= =
=
45
5
2 3 4 9
x y z
+ +
= =
+ +
; x = 2 . 5 = 10; y = 3 . 5 = 15; z = 4 . 5 = 20
Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt l: 10; 15; 20 học sinh
Bài toán 2 : Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với
8 8 5
; ;
7 9 7
?
Giải : Gọi 3 phần đợc chia bởi số 136 là x; y; z ( x; y; z > 0)
Theo đề bài ta có:
z
7
5
y

9
8
x
7
8
==
(1) và x+ y + z = 136 (1)
Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN ( 8; 5 ) = 40 ta có:
x y z x+y+z 136
= = = = =1
35 45 56 35+45+56 136
x = 35 . 1 = 35; y = 45 . 1 = 45; z = 56 . 1 = 56; Vậy 3 phần đợc chia bởi số 136 là: 35;
45; 56
Bài toán 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó
nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3.
giải: Gọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:
a b c a+b+c
= = =
1 2 3 6
(1) Vì số phải tìm là bội của 72 nên
a+b+c 9M
;
Mà
3 a+b+c 27 a+b+c {9,18,27}
(2) Từ (1) suy ra
6cba
++
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
a+b+c=18

suy ra:
a=3.1=3; b=3.2=6; c=3.3=9
Vì số cần tìm chia hết cho 8 nên ta có số 936 thoả mãn điều kiện của đầu bài.

Ngoài việc hng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán, tôi còn
hớng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán
mới với phơng pháp giải tơng tự.
Dạng III: Tính giá trị của biểu thức.
Bài toán 1: Biết
x y z
= = =4
a b c
. Tính A =
x-3y+2z
a-3b+2c
Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:


10
Ta có:
x y z 3y 2z x-3y+2z
= = = = = =4
a b c 3b 2c a-3b+2c
Vậy A = 4
Bài toán 2: Cho
x+2y-3z
P=
x-2y+3z
Tính giá trị của biểu thức P biết các số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5;
4; 3

Giải: Theo đầu bài ta có:
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
5 4 3 8 9 5 8 9 5 8 9 4 6
x y z y z x y z x y z x y z x y z+ + + +
= = = = = = = =
+ +

x+2y-3z 4
P= =
x-2y+3z 6
Bài toán 3: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c
= =
b+c a+c a+b
Chứng minh giá trị của biểu thức M
b+c a+c a+b
= = = =-3
a b c
Giải:Ta có:
a b c
= =
b+c a+c a+b
Suy ra :
a b c
+1= +1= +1
b+c a+c a+b

a+b+c a+b+c a+b+c
= =
b+c a+c a+b

Mặt khác: a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a + b + c = 0 Suy ra: a + b = - c; b + c = - a; a + c = - b
Thay vào biểu thức M ta có:M =
-a -b -c
= = =(-1)+(-1)+(-1)=-3
a b c
(đpcm)
4.Hiu qu ca gii phỏp:
Vi phng phỏp thc hin nh trờn hc sinh ó t tỡm ra kin thc mt cỏch c lp tớch
cc.Do ú hc sinh hng thỳ, hiu bi sõu sc t ú vn dng tt cỏc phng phỏp trờn
gii cỏc bi toỏn v dng bi toỏn cú liờn quan n tỉ lệ thức. Đặc biệt với mỗi bài toán đa ra
các em luôn tìm tòi nhiều cách giải khác nhau và lựa chọn cách giải tối u nhất để làm. Qua
dy i chng v kim tra tụi thy cht lng hc tp c nõng lờn mt cỏch rừ rt, s hc
sinh yờu thớch toỏn ngy cng nhiu, hc sinh ngy cng hng say hc tp v thu c kt
qu tng i kh quan.
Lớp
Trớc khi thực hiện gii phỏp Sau khi thực hiện gii phỏp
7A2
Giỏi: 8 / 38

21,1%
Khá: 10 / 38

33,3%
Trung bình: 17/38

44,7%
Yếu: 3 / 38

16 %
Kém: 0%
Giỏi: 12/ 38

31,6%
Khá: 10 / 38

26,3%
Trung bình: 16/38

42,1%
Yếu : 0%
Kém: 0%
7A5
Gii: 1 / 39

2,5%
Khá: 6 / 39

15,4%
Trung bình: 12/39

30,8%
Yếu : 14

35.9 %
Kém: 6

15,4%
Giỏi: 5/ 39

12,8%
Khá: 13 / 39

33,3%
Trung bình: 15/39

38,5%
Yếu : 6

15,4%
Kém: 0%
III.K T LU N
1.í ngha gii phỏp:


11
Trong giai on mi hin nay, i mi phng phỏp ging dy l nhim v ht sc quan trng ,
bn thõn tụi mong mun lm th no nõng cao cht lng ca hc sinh nờn tụi c gng tỡm
tũi v ng dng nhng cỏi mi . Để làm tốt đợc bài tập dạng Tỉ lệ thứcnày học sinh cần
phải nắm chắc các kiến thức cơ bản nh : Định nghĩa, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau. Đối với ngời thầy Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán cần
truyền tải đến học sinh . Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan , có định hớng rõ
ràng , thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi đồng nghiệp tìm ra giải pháp tối u, trong triển
khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học,
các đề thi học sinh giỏi hàng năm. Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua
từng tiết học, bài tập cụ thể, hoàn thành các bài tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp
phần kiến thức mà mình đã lĩnh hội đợc, những khó khăn vớng mắc khi thực hiện phần
bài tập đợc giao, trao đổi những thông tin với bạn học qua đó rút ra phơng pháp học tập phù
hợp để đạt đợc kết quả cao .Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội

dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có nh vậy mới đạt đợc hiệu quả tốt.
2.Bi hc kinh nghim:

Trên đây l mt s dạng toán thờng gặp trong chơng trình toán THCS. Mỗi dạng toán có
những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên. Việc phân
dạng nh trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy đợc trong từng bài toán ta nên áp dụng
kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh
hiểu cách làm, song sau khi gii giỏo viờn nờn ch ra mt c im, mt hng gii quyt no
ú khi gp cỏc bi tng t hc sinh cú th liờn h c và từ đó để làm các bài tập mang
tính tơng tự và dần nâng cao lên. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội
dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó và các dạng rất phong phú, đa
dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự
phát triển khả năng t duy lôgíc. Bờn cnh ú mi giỏo viờn phi khụng ngng n lc nm bt
kp thi theo yờu cu i mi phng phỏp ging dy, tham kho cỏc ti liu liờn quan n
bi ging, cng c nõng cao chuyờn mụn nghip v, khi ging dy hay bi dng mt vn
no ú cú th t xõy dng cho mỡnh mt h thng phng phỏp ging dy phự hp.
3.í kin xut:

Xu hng hin i hoỏ giỏo dc ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy ang c
chỳ trng, mi khi giỏo viờn thc hin dy giỏo ỏn in t thỡ phi mt nhiu thi gian
chun b phũng dy. Vy ngh cỏc cp trờn quan tõm v u t nh trng cú nhng
phũng b mụn phc v cho cụng tỏc ging dy tt hn. Bờn cnh ú sỏch tham kho trng
cũn hn ch c v cht lng ln s lng u sỏch, cha ỏp ng c nhu cu ca giỏo
viờn v hc sinh. ngh phũng giỏo dc, nh trng u t thờm.
Vic i mi phng phỏp dy hc theo chiu hng tớch cc phỏt huy tớnh c lp sỏng
to ca hc sinh khụng th trong chốc lỏt m c mt quỏ trỡnh lõu di. Mc tiờu cui
cựng l hng dn hc sinh bit gii toỏn, hc toỏn v bit vn dng toỏn hc vo cỏc b
mụn khỏc cng nh vo thc t. Đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ
trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những
mảng kiến thức rất trọng tâm của chơng trình toán lớp 7.

12
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần tØ lÖ thøc,
cùng với sự góp ý của đồng nghiệp hy vọng rằng đề tài của tôi sẽ góp phần tăng thêm hiệu
quả học tập của học sinh . Do khả năng và kinh nghiệm
chưa nhiều nên không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được sự quan
tâm góp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để những năm tới ®Ò tµi cña t«i đạt
kết quả tốt hơn.
Tôi xin trân thành cảm ơn !
Bảo Lộc, ngày 20 tháng 9 năm 2014
Tác giả:

Huỳnh Bảo Ngọc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 7 - tập 1 (NXBGD – 2003)
2. Sách giáo viên toán 7 - tập 1 (NXBGD – 2003)
3. Sách bài tập toán 7 - tập 1 (NXBGD – 2003)
4. Nâng cao và phát triển toán 7- tập 1- VŨ HỮU BÌNH (NXBGD - 2004)
5. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học cơ sở môn Toán (NXBGD
– 2007)
6. Toán học tuổi trẻ (NXBGD - BỘ GDĐT)
7. Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 7-tập 1( NXB Hà Nội-2008)


13