ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán

CHUYÊN
ĐỀ:Ứngdụngphântíchđathứcthànhnhântửvàoviệc
giảitoán
Người thực hiện Hoàng Thị Mạnh-ĐHSP TOÁN K55
LỜI MỞ ĐẦU
Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương
tŕnh lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài
tập trong chương tŕnh đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học
sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử là vấn đó rất quan trọng. Trong chuyên đề này tôi giới thiệu thêm các
phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số
hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm
nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử để làm một số dạng bài tập.
Để giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải
có sự tư duy và khả năng phán đoán cao. Mặt khác đây là kiến thức được áp dụng
rất đa dạng vào việc giải các bài toán có liên quan như tìm x, rút gọn biểu thức,
tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
PHẦN NỘI DUNG
Cácphươngphápphântíchđathứcthànhnhântử:
1- Phươngphápphântíchđathứcthànhnhântửbằngphươngphápđặtnhântửchung:
2 - Phươngphápdùnghằngđẳngthức:Sửdụngbảyhằngđẳngthứcđángnhớdưới
“dạngtổnghoặchiệu” đưavề “dạngtích”
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
2. A
2

- 2AB + B
2
= (A - B)
2
3. A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3
5. A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
= (A - B)
3
6. A

3
+ B
3
= (A+B)(A
2
– AB + B
2
)
7. A
3
- B
3
= (A-B)(A
2
+ AB + B
2
)
3 - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
4 - Phối hợp nhiều phương pháp.
5-Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm,
bớt hạng tử.
6 - Phương pháp đặt ẩn phụ.
7- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân
tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của
chúng.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
3 2

5x 1 1 2x 2
1 1 1
A
x x x x
+ −
= − −
− + + −
Giải : Ta có
3 2 2 2
5x 1 1 2x 2 5x 1 2x-1 2
1 1 1 ( 1)( 1) 1 1
A
x x x x x x x x x x
+ − +
= − − = + +
− + + − − + + + + −
Mẫu thức của các phân thức
2
( 1)( 1)x x x− + +
Do đó
2
2 2 2
5x 1 (2x-1)(x-1) 2( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x
A
x x x x x x x x x
+ + +
= + +
− + + − + + − + +

2 2 2
2 2
5x 1 2x 2x 1 2x 2x 2 4( 1) 4
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x x
A
x x x x x x x
+ + − − + + + + + +
= = =
− + + − + + −
Vídụ 2: Rútgọnbiểuthức:
2
2
3 4
2
x x
B
x x
+ −
=
+ −
Giải: Ta thấytửthứccónghiệmlà 1; mẫuthứccũngcónghiệmlà1 ;nên ta có
2
2
3 4
2
x x
B
x x
+ −

=
+ −
=
2
2
4 4
2 2
x x x
x x x
− + −
− + −
2
2
( ) (4 4) x( 1) 4( 1) ( 1)( 4) 4
( ) (2 2) x( 1) 2( 1) ( 1)( 2) 2
x x x x x x x x
x x x x x x x x
− + − − + − − + +
= = =
− + − − + − − + +
Dạng2:Chứng minh chia hết
Đểgiảibàitoánchứng minh đathứcA chia hếtchođathức B cónhiềucáchgiảinhưng ở
đâytôichỉtŕnhbàyphươngphápvậndụngphântíchđathứcthànhnhântửđểgiải.
Vídụ 1:Chứng minh rằngvớimọisốnguyên n, ta có:
(4n+3)
2
– 25 chia hếtcho 8
Giải: Ta có (4n + 3)
2
– 25 = (4n + 3)

2
– 5
2
= (4n + 3 + 5)(4n + 3 - 5)
= (4n + 8)(4n - 2) = 8(n + 2)(2n – 1) chia hếtcho 8 vớimọisốnguyên n.
Vídụ 2:Chứng minh rằngvớimọisốnguyên n biểuthức.
A=
623
32
nnn
++
làsốnguyên.
Ta có:
2 3 2 3
2 3
3 2 6 6
n n n n n n+ +
+ + =
Muốnchứngminhbiểuthức là sốnguyênchỉcầnchứngminh
2n + 3n
2
+ n
3
chia hếtcho 6 vớimọisốnguyên n.
Ta có: 2n + 3n
2
+ n
3
= n (2 + 3n + n
2

)
= n (2 + 2n + n + n
2
) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]
= n (n + 1) (n + 2).
Ta thấy n (n + 1) (n + 2) làtíchcủabasốnguyênliêntiếpnênít nhấtcómộtthừasố chia
hếtcho 2 vàmộtthừasố chia hếtcho3 .Mà 2 và 3
làhaisốnguyêntốcùngnhaunêntíchnày chia hếtcho 6.
Vậymọisốnguyên n biểuthức A=
623
32
nnn
++
làsốnguyên.
Vídụ 3:Chứngminhđathức: x
50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1 chia hếtchođathức
x
16
+ x
15
+ + x
2
+ x + 1.
Ta thấyđathứcbị chia có 51 sốhạng, đathức chia có 17 sốhạng, ta
phântíchđathứcbị chia nhưsau: x

50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1
= (x
50
+ x
49
+ + x
35
+ x
34
) +(x
33
+ x
32
+ + x
18
+ x
17
) + x
16
x
2
+ x + 1.
= (x
34
) (x

16
+x
15
+ +x
2
+x+1)+x
17
(x
16
+x
15
+ +x
2
+x+1)+ (x
16
+x
2
+ x + 1)
= (x
16
+ x
15
+ +x
2
+ x + 1) (x
34
+ x
17
+ 1)
Rõràng: x

50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1 chia hếtcho x
16
+ x
15
+ x + 1. Kếtquảcủaphép
chia là : x
34
+ x
17
+ 1
Vídụ 4: Chứng minh đathức a
3
+ b
3
+c
3
- 3abc chia hếtchođathức a +b +c
Đặt A = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc; B = a + b + c.Dựđoánđathức A
phântíchthànhnhântửcómộtnhântửlà a + b + c.

Ta có: A = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
= a
3
+a
2
b+a
2
c+b
2
+b
3
+b
2
c+c
2
a +c
2
b +c
3
-a
2
b-ab
2
-abc-a

2
c-acb-ac
2
-acb-b
2
c - bc
2
= a
2
(a+b+c) + c
2
(a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc)
= B. (a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc)
VậyđathứcA chia hếtchođathức B.
Vídụ 5: Cho
cbacba ++
=++

1111
CMR:
nnnnnn
cbacba ++
=++
1111
với n lẻ.
Ta có:
cbaabc
abacbc
cbacba ++
=
++
=>
++
=++
11111
=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc.
=>abc + b
2
c + bc
2
+ a
2
c + abc + ac
2
+ a
2
b + ab
2

+ abc = abc
=> (abc + b
2
c) + (bc
2
+ ac
2
) + (a
2
c + abc) + (a
2
c + ab
2
) = 0
=>bc (a + b) + c
2
(a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0
=> (a + b) (bc + c
2
+ ac + ab) = 0
=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 -> (a + b) (b + c) (a + c) =0
=> a + b = 0 => a = - hoặc b + c = 0 => b = - c
Hoặc a + c = 0 => a = - c
VÌ n lẻnên a
2
= -b
n
hoặcb
n
= - c

2
hoặc a
n
= - c
n
Thayvào ta suyrađi?uphảichứng minh.
Dạng 3: Ápdụngphântíchđathứcthànhnhântửđểgiảimộtsốdạngphươngtŕnh.
a) Giảiphươngtŕnhnghiệmnguyên.
Vídụ 1:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtŕnh: xy – x – y = 2
Ta có: xy – x – y = 2
⇔
x(y – 1) – (y - 1) = 3
⇔
(x – 1)(y – 1) = 3
Ta cócáctrườnghợpsau:
Trườnghợp 1:
1 1 2
(TM)
1 3 4
x x
y y
− = =
 
⇔
 
− = =
 
Trườnghợp 2:
1 1 0
(TM)

1 3 2
x x
y y
− = − =
 
⇔
 
− = − = −
 
Trườnghợp 3:
1 3 4
(TM)
1 1 2
x x
y y
− = =
 
⇔
 
− = =
 
Trườnghợp 4:
1 3 2
(TM)
1 1 0
x x
y y
− = − = −
 
⇔

 
− = − =
 
Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (2;4); (0;-2); (4;2); (-2;0)
Vídụ 2:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtrình: 3xy + x – y = 1
Ta có: 3xy + x – y = 1
⇔
9xy + 3x – 3y = 3
⇔
(9xy + 3x) – 3y = 3
⇔
3x(3y + 1) –(3y + 1) = 2
⇔
(3x - 1)(3y + 1) = 2
Ta cócáctrườnghợpsau:
Trườnghợp 1:
2
3 1 1 3 2
3

3 1 2 3 1 1
3
x
x x
y y
y

=

− = =

 

⇔ ⇔
  
+ = =
 

=


(TM)
Trườnghợp 2:
3 1 1 3 0 0

3 1 2 3 3 1
x x x
y y y
− = − = =
  
⇔ ⇔
  
+ = − = − = −
  
(TM)
Trườnghợp 3:
3 1 2 3 3 1

3 1 1 3 0 0
x x x
y y y

− = = =
  
⇔ ⇔
  
+ = = =
  
(TM)
Trườnghợp 4:
1
3 1 2 3 1
3

3 1 1 3 2 2
3
x
x x
y y
y
−

=

− = − = −
 

⇔ ⇔
  
+ = − = − −
 


=


(TM)
Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (0;-1); (1;0)
Vídụ 3:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtŕnh: x + xy + y +2 = 0
Ta có: x + xy + y +2 = 0
⇔
x(y +1) + (y + 1) = -1
⇔
(x + 1)(y+1) = -1
Ta cócáctrườnghợpsau:
Trườnghợp 1:
1 1 0

1 1 2
x x
y y
+ = =
 
⇔
 
+ = − = −
 
(TM)
Trườnghợp 2:
1 1 2

1 1 0
x x

y y
+ = − = −
 
⇔
 
+ = =
 
(TM)
Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (0;-2); (-2;0)
b)Giảiphươngtrìnhbậccao
Vídụ 1:Giảiphươngtŕnh: ( 3x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
Giải: Ta có: ( 2x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
⇔
( 2x - 5 + x - 1 )(2x - 5 - x + 1) = 0
⇔
( 3x - 6)(x - 4) = 0
3x 6 0 2
4 0 4
x
x x
− = =
 

⇔ ⇔
 
− = =
 
Vậytậpnghiệmcủaphươngtŕnhđãcho là: S = {2; 4}
Vídụ 2:Giảiphươngtŕnh: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = 0
Giải : Ta có (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = 0
⇔
[(x + 1))(x+ 4)][(x + 2)(x+ 3)] - 24 = 0
⇔
(x
2
+ 5x +4)(x
2
+ 5x +6) – 24 = 0
Đặt t = x
2
+ 5x + 5 ta đượcphươngtrình: (t – 1)(t + 1) – 24 = 0
⇔
t
2
– 1 – 24 = 0
⇔
t
2
– 5
2
= 0
⇔
(t – 5)(t + 5) = 0

⇔
5 0 5
5 0 5
t t
t t
+ = = −
 
⇔
 
− = =
 
Với t = - 5 ta có: x
2
+ 5x + 5 = -5
⇔
x
2
+ 5x + 10 = 0
⇔
x
2
+ 2.x.
5 25 15
2 4 4
+ +
= 0
⇔
(x +
5
2

)
2
+
15
4
= 0 phươngtrìnhvônghiệm.
Với t = 5 ta có: x
2
+ 5x + 5 = 5
⇔
x
2
+ 5x = 0
⇔
x(x + 5) = 0
⇔
0 0
5 0 5
x x
x x
= =
 
⇔
 
+ = = −
 
Vậytậpnghiệmcủaphươngtŕnhđãcholà: S = {0; -5}
Dạng 4 : Tìmgiátrịlớnnhất, nhỏnhấtcủabiểuthức:
Vídụ 1: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: A= 15- 2x – x
2

Ta có A = 15- 2x – x
2
= 16 – (x
2
+ 2x + 1) = 16 – (x + 1)
2
≤
16
Dấu “=” xảyra
⇔
x + 1 = 0
⇔
x = -1
Vậy Max A = 16
⇔
x = -1
Vídụ 2: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: B = 1 + 2x – 2x
2
Ta có: B = 1 + x – x
2
= 1 – 2(x
2
– x ) = 1 – (x
2
– 2.x.
1
2
+
1
4

-
1
4
)
= 1 – (x
2
– 2.x.
1
2
+
1
4
) +
1
2
=
3
2
-
2
1
2
x
 
−
 ÷
 
≤
3
2

Dấu “=” xảyra
⇔
x -
1
2
= 0
⇔
x =
1
2
Vậy Max B =
3
2
⇔
x =
1
2
Vídụ 3: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: C = x
2
+6x – 3
Ta có C = x
2
+6x – 3 = (x
2
+2.x.3 + 9 – 9) - 3 = (x + 3)
2
-12
≥
-12
Dấu “=” xảyra

⇔
x + 3 = 0
⇔
x = -3
Vậy Min C = -12
⇔
x = - 3
Vívụ 4: tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: D = 2x
2
+ 3x + 5
Ta có: D = 2x
2
+ 3x + 5 = (2x
2
+3x) + 5 = 2(x
2
+
3
2
x) + 5
= 2(x
2
+2.
3
4
x +
9
16
−
9

16
) + 5 = 2(x
2
+2.
3
4
x +
9
16
) – 2.
9
16
+ 5
= 2
2
3
4
x
 
+
 ÷
 
+
31
8
≥
31
8
Dấu “=” xảyra
⇔

x +
3
4
= 0
⇔
x =
3
4
−
Vậy Min D =
31
8
⇔
x =
3
4
−
Bàitậpvậndụng:
Phântíchcácđathứcthànhnhântử.
1) x
3
- 4x
2
+ 8x - 8
2) x
2
y + xy
2
+ x
2

z + xz
2
+ yz
2
+ 2xyz
3) x
2
+ 7x + 10
4) y
2
+ y - 2
5) n
4
- 5n
2
+ 4
6) 15x
3
+ x
2
– 2x
7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
9) x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1

10) x
4
- 4x
3
+ 10x
2
- 12x + 9
11) (x
2
+ x) (x
2
+ x + 1) - 2
12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
13) Từnhnhanhsốtrícủabiểuthứcsauvới.
a) x = - 5
4
3
P = (x+ 2)
2
- 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)
2
b) a = 5,75; b = 4,25
Q = a
3
- a
2
b - ab
2
+ b
3

14) CMR biểuthức (2n + 3)
2
- 9 chia hếtcho 4 vớimọi n nguyên.
15) CM biểuthức
24812
32
nnn
++
làsốnguyênvớimọisốchẵn n.
16) Chứng minh đathức:
x
79
+ x
78
+ + x
2
+ x+ 1 chia hếtchođathức x
19
+ x
18
+ + x
2
+ x + 1.
17) Cho a + b + c = 0. Tínhgiátrịbiểuthức:\
A = (a – b)c
3
+ (c-a)b
3
+ (b – a)a
3

18) Cho cácsố x, y, z thỏamãnđiềukiện: x + y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1
Tínhgiátrịbiểuthức M = x
2014
+ y
2014
+ z
2014
19) Cho a, b, c làbasốdương.
Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + d) = 8 abc
⇔
a = b = c
20) Giảiphươngtrình: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 3 = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 15- 2x – x
2
Ta có A = 15- 2x – x
2
= 16 – (x
2
+ 2x + 1) = 16 – (x + 1)
2
≤
16
Dấu “=” xảyra
⇔

x + 1 = 0
⇔
x = -1
Vậy Max A = 16
⇔
x = -1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 2x
2
+ 3x + 5
Ta có: D = 2x
2
+ 3x + 5 = (2x
2
+3x) + 5 = 2(x
2
+
3
2
x) + 5
= 2(x
2
+2.
3
4
x +
9
16
−
9
16

) + 5 = 2(x
2
+2.
3
4
x +
9
16
) – 2.
9
16
+ 5
= 2
2
3
4
x
 
+
 ÷
 
+
31
8
≥
31
8
Dấu “=” xảyra
⇔
x +

3
4
= 0
⇔
x =
3
4
−
Vậy Min D =
31
8
⇔
x =
3
4
−