Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 2 hoàng thị diễm hương

ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
Chương 2
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Ví dụ : Kiểm tra 3 sp. Gọi X là số sp đạt yêu cầu trong 3 sp kiểm tra.
X = 3
X = 1
X = 2
X = 0
Đỏ : Đạt yêu cầu
Xanh : Không đạt
X có thể nhận các giá trị khác
nhau tương ứng với các biến cố
khác nhau.
X đgl đại lượng ngẫu nhiên.
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
•
Khi thực hiện một phép thử, bằng một quy tắc (hay một hàm) ta có thể gán các
giá trị bằng số cho các kết quả của phép thử đó. Quy tắc đó đgl một đại lượng
ngẫu nhiên.
•
Khi thực hiện phép thử, ĐLNN sẽ nhận 1 và chỉ 1 giá trị nào đó trong tập hợp các
giá trị mà nó có thể nhận. Việc 1 ĐLNN nhận 1 giá trị cụ thể là 1 biến cố.

Lưu ý : Không có P(X) chung chung mà chỉ có P(X = x
1
), P(X = x
2

),…,
P(a < X < b),…
Phân loại ĐLNN:
•
ĐLNN đgl rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là 1 tập hữu hạn
hoặc vô hạn đếm được.
•
ĐLNN đgl liên tục nếu các giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín cả 1
khoảng trên trục số.
Cho ví dụ?
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Một hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận với
các xác suất tương ứng đgl phân phối xác suất của ĐLNN.
•
Bảng phân phối xác suất.
•
Hàm mật độ xác suất
•
Hàm phân phối xác suất.
Giả sử ĐLNN X có thể nhận 1 trong các giá trị x
1
, x
2
,…, x
n
với các xác suất
tương ứng là p
1

, p
2
,…, p
n
(tức là p
i
= P(X = x
i
), ).
Khi đó, bảng phân phối xác suất của X có dạng:
•

X x
1
x
2
… x
k
P p
1
p
2
… p
k
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Bảng phân phối xác suất :
n
i
i = 1
p = 1

∑
Ví dụ : Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sp loại A và 4 sp loại B. Lấy
ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sp. Gọi X là số sp loại A có trong 3 sp lấy ra. Lập bảng
phân phối xác suất của X.
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Bảng phân phối xác suất :
6A 4B
3 sp
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
X
P
Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục X, ký hiệu là f(x), thỏa mãn các điều
kiện sau:
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hàm mật độ xác suất :
+
-
b
a
(i) f(x) 0, x
(ii) f(x)dx = 1
(iii) P(a < X < b) = f(x)dx
∞
∞
≥ ∀ ∈
∫
∫
¡
Minh họa hình học :
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Hàm mật độ xác suất :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
P(a < X < b)
a
b
f(x)
Đối với ĐLNN rời rạc :
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nhận xét : dựa vào bảng PPXS và hàm mật độ XS, ta thấy:
Đối với ĐLNN liên tục :
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X (ký hiệu F(x)) được định nghĩa bởi
biểu thức:
F(x) = P(X < x)
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hàm phân phối xác suất :
Đối với ĐLNN rời rạc :
Đối với ĐLNN liên tục :
i
i
x < x

F(x) = p
∑
x
-
F(x) = f(t)dt
∞
∫
III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu với mỗi giá trị có thể có của ĐLNN X, qua hàm f(X) ta xác định được 1
giá trị của ĐLNN Y thì Y đgl hàm của ĐLNN X: Y = f(X).
Ví dụ : Tìm phân phối xác suất của Y = X
2
, biết rằng X là ĐLNN rời rạc có
bảng phân phối xác suất như sau:
Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên :
X
-2 0 1 2
P
0,1 0,3 0,4 0,2
III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên :
X
P
III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu ứng với mỗi bộ giá trị có thể nhận của (X
1
, X
2
,…, X
n

), qua hàm Z =
ϕ(X
1
, X
2
,…, X
n
), ta có 1 giá trị có thể nhận của ĐLNN Z thì Z đgl hàm của n
ĐLNN (X
1
, X
2
,…, X
n
).
Ví dụ :
Cho X là ĐLNN có thể nhận các giá trị 0, 1, 2;
Y là ĐLNN có thể nhận các giá trị -1, 0, 3.
Khi đó: X + Y
Hàm của hai hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên :
III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hai ĐLNN đgl độc lập với nhau nếu phân phối xác suất của ĐLNN này không
phụ thuộc gì vào việc ĐLNN kia nhận giá trị bằng bao nhiêu.
•
Nếu X, Y độc lập với nhau thì:
P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b)
•
Nếu Y phụ thuộc vào X thì:
P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b/X = a)
Sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên :

III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên :
7A 3B
3 sp
6A 4B
3 sp
X
1
, X
2
là số sp loại A trong 3 sp lấy
từ hộp 1, hộp 2.
7A 3B
3 sp
6A 4B
3 sp
Y
1
, Y
2
là số sp loại A
trong 3 sp lấy từ hộp 1,
hộp 2.
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị x
1
, x
2

,…, x
n
với các xác suất tương
ứng p
1
, p
2
,…, p
n
thì kỳ vọng toán của X được xác định bởi biểu thức:
Kỳ vọng toán : E(X)
Ví dụ : Tìm kỳ vọng của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất như sau:
X -2 0 1 2
P
0,1 0,3 0,4 0,2
n
i i
i = 1
E(X) = x p
∑
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng toán được
xác định bởi:
Kỳ vọng toán : E(X)
Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
toán?
+
-
E(X) = xf(x)dx
∞

∞
∫
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ : Giả sử ta có 1 cái túi đựng 10 quả cam, trong đó có 2 quả nặng 200g,
5 quả nặng 250g, 3 quả nặng 300g. Gọi X là khối lượng của 1 quả cam được
lấy ngẫu nhiên từ túi trên. Khi đó X là ĐLNN có bảng phân phối xác suất:
Kỳ vọng toán : E(X)
X 200 250 300
P
0,2 0,5 0,3
⇒ E(X) = 200x0,2 + 250x0,5 + 300x0,3 = 255
⇒ E(X) chính là giá trị trung bình của ĐLNN X.
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN rời rạc :
Phương sai : Var(X) hoặc D(X)
Ví dụ : Tìm phương sai của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất như sau:
X -2 0 1 2
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Var(X) = E[(X – E(X))
2
] = E(X
2
) – [E(X)]
2
2
n n n
2 2
i i i i i i
i=1 i=1 i=1

Var(X) = [x - E(X)] p = x p - x p
 
 ÷
 
∑ ∑ ∑
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN liên tục :
Phương sai : Var(X) hoặc D(X)
Var(X) = E[(X – E(X))
2
] = E(X
2
) – [E(X)]
2
Ý nghĩa của phương sai?
Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của
ĐLNN xung quanh giá trị trung bình.
2
+ + +
2 2
- - -
Var(X) = [(x - f(x)] f(x)dx = x f(x)dx- xf(x)dx
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Độ lệch chuẩn : σ(X)

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với ĐLNN.
Giá trị tin chắc nhất : Mod(X)
Nếu X rời rạc : Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng
phân phối xác suất.
Nếu X liên tục : Mod(X) là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ đạt giá
trị cực đại.
σ(X) = Var(X)
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
X -2 0 1 2
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Giá trị tin chắc nhất : Mod(X)
Ví dụ : Tìm Mod(X), với X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như
sau:
Lưu ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.
Trung vị : Med(X)
Là giá trị chia phân phối của ĐLNN thành 2 phần bằng nhau.
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
•
E(C) = C (với C là hằng số).
•
E(CX) = C.E(X) (với C là hằng số).
•
E(X
1
+ X
2
+ … + X
n
) = E(X

1
) + E(X
2
)
+ … + E(X
n
)
•
E(X
1
X
2
…X
n
) = E(X
1
).E(X
2
)…E(X
n
)
(nếu các ĐLNN này độc lập với nhau)
Các tính chất của kỳ vọng toán và phương sai: