Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 4 hoàng thị diễm hương

Chương 4
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Định nghĩa :
ĐLNN 2 chiều là 1 bộ gồm 2 ĐLNN X và Y. Ký hiệu: (X, Y).
Nếu X và Y rời rạc thì (X, Y) đgl vectơ ngẫu nhiên rời rạc. Ngược lại
thì (X, Y) liên tục.
* Mở rộng: ĐLNN n chiều (hay còn gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều)
là một bộ gồm n ĐLNN (X
1
, X
2
,…, X
n
).
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Bảng phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều:
y
1
y
2
… y
m
x
1
p
11
p
12

… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
ij i j
p = P[(X = x )(Y = y )], (i = 1,n, j = 1,m)
m n
ij
j = 1 i = 1
p = 1⇒
∑∑
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Từ bảng PPXS, ta tìm được PPXS đối với từng thành phần X, Y (gọi là
phân phối lề, hay phân phối biên) như sau:
X x
1
x
2
… x
n
P p
1
p
2
… p
n
Y y
1
y
2
… y
m
P q
1
q
2
… q
m
m
i ij
j = 1
p = p (i = 1,n)

∑
n
j ij
i = 1
q = p (j = 1,m)
∑
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Từ bảng PPXS suy ra: Nếu p
ij
= p
i
.q
j
(∀i, j) thì: P[(X=x
i
)(Y=y
j
)] =
P(X=x
i
).P(Y=y
j
)
⇔ X, Y độc lập.
y
1
y
2
… y

m
x
1
p
11
p
12
… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Ví dụ : Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 5 sp loại I, 3 sp
loại II và 2 sp loại III. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ kiện ra 2 sp.
Gọi X
1
, X
2
tương ứng là số sp loại I, loại II có trong 2 sp lấy ra. Lập
bảng phân phối xác suất đồng thời của (X
1
, X
2
).
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Ví dụ :
5I 3II 2III
2 sp
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Ví dụ :
0 1 2
0
1
2
5I 3II 2III
2 sp
X
2X
1
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Hàm mật độ xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu là f(x,y)) là
hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
2 2
1 1
2
+ +
- -
x y
1 2 1 2
x y
(i) f(x, y) 0, (x, y)
(ii) f(x, y)dxdy = 1
(iii) P[(x < X < x )(y < Y < y )] = f(x,y)dxdy
∞ ∞
∞ ∞
≥ ∀ ∈
∫ ∫
∫ ∫
¡
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu F(x,y))
được định nghĩa như sau:
F(x,y) = P[(X < x)(Y < y)] (x, y ∈ )
Đối với ĐLNN rời rạc :
Đối với ĐLNN liên tục :
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
i j
i j
x < x y < y

F(x,y) = P[(X = x )(Y = y )]
∑ ∑
y
x
- -
F(x,y) = f(u,v)dudv
∞ ∞
∫ ∫
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần :

Nếu (X, Y) rời rạc: Từ các bảng phân phối biên của từng ĐLNN X,
Y, ta dễ dàng tìm được E(X), E(Y), Var(X), Var(Y), Mod(X),
Mod(Y),…
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần :

Nếu (X, Y) liên tục:
Suy ra cách tính
đối với E(Y),
Var(Y)?
+ +
- -
E(X) = xf(x,y)dxdy
∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫
+ +

2 2
- -
Var(X) = x f(x,y)dxdy - [E(X)]
∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hiệp phương sai : Cov(X,Y)
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
= E(XY) – E(X).E(Y)
Nếu (X,Y) rời rạc:
n m
i j ij
i = 1 j = 1
Cov(X,Y) = x y p - E(X).E(Y)
∑∑
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hiệp phương sai : Cov(X,Y)
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
= E(XY) – E(X).E(Y)
Nếu (X,Y) liên tục:
+ +
- -
Cov(X,Y) = xyf(x,y)dxdy - E(X).E(Y)

∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hiệp phương sai : Cov(X,Y)
Nếu Cov(X,Y) = 0: X, Y đgl không tương quan.
Nếu cov(X,Y) ≠ 0: X, Y đgl có tương quan.
Nếu X, Y độc lập thì X, Y có tương quan
không?
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Tính chất của hiệp phương sai:

Cov(X,Y) = Cov(Y,X).

Cov(X,X) = E(X
2
) – [E(X)]
2
= Var(X).

Var(aX ± bY) = a
2
Var(X) + b
2

Var(Y)
± 2ab.Cov(X,Y).
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hệ số tương quan :

Tính chất của hệ số tương quan :

|ρ
XY
| ≤ 1.

Nếu Y = aX + b thì ρ
XY
= ± 1 (a ≠ 0).

ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X,Y), với a, b, c, d là các hằng số và ac ≠
0.
XY
X Y
cov(X,Y)
ρ =
σ σ
Ví dụ : Giả sử hai loại cổ phiếu A, B có mức lãi suất (X, Y) có bảng
phân phối xác suất như sau:
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
-2% 0% 5% 10%

0% 0 0,05 0,05 0,1
4% 0,05 0,1 0,25 0,15
6% 0,1 0,05 0,1 0
Y
X
a) Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức độ
rủi ro là bao nhiêu?
b) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì nên
đầu tư vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào?
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
-2% 0% 5% 10%
0% 0 0,05 0,05 0,1
4% 0,05 0,1 0,25 0,15
6% 0,1 0,05 0,1 0
Y
X
c) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư
vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ như thế nào?
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG
TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Phân phối xác suất có điều kiện:
Nếu cho X = x
k
cố định, ta có các công thức xác suất có điều kiện
sau:
y
1
y
2

… y
m
x
1
p
11
p
12
… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
j k

j k
k
kj
k
P(Y = y /X = x )
P[(Y = y )(X = x )]
=
P(X = x )
p
= (j = 1,m)
p
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG
TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Phân phối xác suất có điều kiện:
Tương tự, nếu cho Y = y
h
cố định, ta có các công thức xác suất có
điều kiện sau:
y
1
y
2
… y
m
x
1
p
11
p
12

… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
i h
i h
h
ih
h
P(X = x /Y = y )
P[(X = x )(Y = y )]
=
P(Y = y )

p
= (i = 1,n)
q
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG
TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Phân phối xác suất có điều kiện:
Từ đó ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y và X như
sau:
Y/x
k
y
1
… y
m
P(Y/x
k
) P(Y = y
1
/x
k
) … P(Y = y
m
/x
k
)
X/y
h
x
1
… x

n
P(X/y
h
) P(X = x
1
/y
h
) … P(X = x
n
/y
h
)
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG
TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Kỳ vọng toán có điều kiện:
Từ các bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy ra kỳ vọng toán
có điều kiện, phương sai có điều kiện,…
0 1 2
0 1/45 6/45 3/45
1 10/45 15/45 0
2 10/45 0 0
X
2X
1
E(X
1
/X
2
= 0)?
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG

TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Hàm hồi quy:
Hàm hồi quy của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (với
điều kiện X=x)
g(x) = E(Y/X = x)
Ý nghĩa: g(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như thế
nào khi X nhận các giá trị khác nhau.
Tương tự, ta có hàm hồi quy của X đối với Y.
IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ : Một hộp có 10 sp, trong đó có 5 sp loại A, 3 sp loại B, 2 sp
loại C. Giá bán 1 sp loại A, B, C lần lượt là 10, 8, 6 (ngàn đồng). Lấy
bất kỳ từ hộp ra 2 sp để bán. Tìm phân phối xác suất của số tiền thu
được.