Bài giảng nguyên lý chuồng bồ câu trần vĩnh đức

Nguyên lý chuồng bồ câu

Nguyên lý chuồng bồ câu1
Trần Vĩnh Đức
HUST

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

1

Tham khảo: R. A. Brualdi, Introductory Combinatorics, Fifth Edition
.
.
.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

1 / 44


Nội dung

1 Nguyên lý chuồng bồ câu
2 Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát
3 Định lý Ramsey

4 Chứng minh định lý Ramsey
5 Ví dụ và tổng qt hóa

.

.

.

.

.

.


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. ịnh lý
Đ
Nếu bỏ n + 1 đối tượng vào n hộp thì có ít nhất một hộp có nhiều hơn
hoặc bằng hai đối tượng.
.
.. í dụ
V
Trong 13 người có ít nhất 2 người sinh cùng tháng.
.
.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

3 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. í dụ
V
Cho m số nguyên a1 , a2 , . . . , am , luôn tồn tại các số nguyên k và ℓ
với 0 ≤ k < ℓ ≤ m sao cho
ak+1 + ak+2 + · · · + aℓ
chia hết cho m.
.

Nói cách khác, ln có dãy liên tiếp các ai sao cho tổng của chúng
chia hết cho m.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

4 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. hứng minh.
C
Ta xét m tổng
a1 , a1 + a2 , . . . , a1 + a2 + · · · + am .

.
.

.

.

.

.

.


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. hứng minh.
C
Ta xét m tổng
a1 , a1 + a2 , . . . , a1 + a2 + · · · + am .
Nếu có một tổng chia m vậy ta có Đpcm.

.
.

.

.

.

.

.


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. hứng minh.

C
Ta xét m tổng
a1 , a1 + a2 , . . . , a1 + a2 + · · · + am .
Nếu có một tổng chia m vậy ta có Đpcm.
Nếu khơng có tổng nào chia hết cho m, có nghĩa rằng phần dư của
chúng cho m là một trong các số 1, 2, . . . , m − 1. Vậy thì có hai số k, ℓ
và k < ℓ sao cho a1 + · · · + ak và a1 + · · · + aℓ có cùng phần dư là r khi
chia cho m:
a1 + a2 + · · · + ak = bm + r,

a1 + a2 + · · · + aℓ = cm + r

Trừ hai tổng này ta được ak+1 + · · · + aℓ = (c − b)m. Vậy
ak+1 + ak+2 + · · · + aℓ chia hết cho m.
.
.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

5 / 44

Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. í dụ
V
Trong một tháng 30 ngày một đội bóng chuyền phải thi đấu mỗi ngày ít
nhất một trận, nhưng khơng chơi q 45 trận. Chứng minh rằng có
những ngày liên tiếp trong tháng đội chơi đúng 14 trận.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

6 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. hứng minh.
C
Gọi ai là tổng số trận thi đấu của đội cho đến ngày thứ i. Khi đó
a1 , a2 , . . . , a30 là một dãy tăng chặt và thỏa mãn 1 ≤ ai ≤ 45. Và
a1 + 14, a2 + 14, . . . , a30 + 14 cũng là dãy tăng chặt và thỏa mãn
15 ≤ ai + 14 ≤ 59
Dãy sau gồm 60 số nguyên dương
a1 , a2 , . . . , a30 , a1 + 14, a2 + 14, . . . , a30 + 14
nhưng đều nhỏ hơn 59. Vậy phải có hai trong các số này bằng nhau.
Nhưng vì hai dãy trên đều có các phần tử phân biệt, vậy có số hai số i, k
sao cho ai = ak + 14. Có nghĩa rằng có một giai đoạn từ ngày k đến
ngày i đội thi đấu đúng 14 trận.
.
.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

7 / 44

Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. í dụ
V
Một cờ thủ có 11 tuần để chuẩn bị đấu giải. Anh ta quyết tâm chơi mỗi
ngày một trận, nhưng để giữ sức anh ta quyết không chơi quá 12 trận
một tuần. Chứng minh rằng có một giai đoạn (gồm những ngày liên tiếp)
anh ta chơi đúng 21 trận.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

8 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. í dụ

V
Chọn 101 số từ 200 số nguyên 1, 2, . . . , 200. Chứng minh rằng trong các
số vừa chọn có hai số sao cho một số chia hết cho số kia.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

9 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

.. hứng minh.
C
Bằng cách chia liên tiếp cho 2 ta thấy rằng mọi số nguyên có thể viết
dưới dạng 2k × a, với k ≥ 0 và a là số lẻ. Với các số nguyên giữa 1 và
100, a là một trong 100 số 1, 3, . . . , 199. Vậy trong 101 số được chọn có
ít nhất hai số viết được dưới dạng 2r × a và 2s × a và r > s. Vậy số thứ

nhất chia hết cho số thứ hai.
Chú ý rằng số 101 là giá trị nhỏ nhất có thể chọn vì ta có thể chọn 100
số từ 1, 2, . . . , 100 mà khơng có số nào là ước của số nào (ví dụ, 100 số
101, 102, . . . , 199, 200).
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

10 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

Hai số nguyên là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng
là 1. Vậy 12 và 35 là nguyên tố cùng nhau, nhưng 12 và 15 thì khơng phải.
.. í dụ (Định lý phần dư Trung Hoa)
V
Xét m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, và xét a và b là hai số nguyên

với 0 ≤ a ≤ m và 0 ≤ b ≤ n − 1. Vậy có một số nguyên x sao cho x chia
cho m dư a và x chia cho n dư b; có nghĩa rằng x có thể viết dưới dạng
.

x = pm + a

và

x = qn + b.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

11 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

Chứng minh. Xét dãy n số nguyên

a, m + a, 2m + a, . . . , (n − 1)m + a

(1)

Ta sẽ chỉ ra rằng các phần dư của n số này chia cho n là khác nhau từng
đôi một. Thậy vậy, giả sử ngược lại rằng có hai số 0 ≤ i < j ≤ n − 1 sao
cho im + a và jm + a có cùng phần dư là r khi chia cho n. Có nghĩa rằng
im + a = qi n + r và

jm + a = qj n + r.

Trừ hai vế ta được
(j − i)m = (qj − qi )n.
Vậy n là ước của (j − i)m. Vì m và n nguyên tố cùng nhau nên n phải là
ước của j − i, nhưng vì i < j < n − 1, nên điều này mâu thuẫn. Vậy phần
dư của các số trong dãy (1) chia cho n là đôi một phân biệt.
.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

12 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu

Vậy theo nguyên lý chuồng chim bồ câu, phần dừ của các số trong dãy (1)
chia cho n phải là
0, 1, . . . , n − 1
trong đó có số b. Xét x là số nguyên dạng pm + a chia cho n dư b. Khi đó
số
x = pm + a và x = qn + b
là số thỏa mãn yêu cầu.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

13 / 44

Nội dung

1 Nguyên lý chuồng bồ câu
2 Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát
3 Định lý Ramsey
4 Chứng minh định lý Ramsey
5 Ví dụ và tổng qt hóa

.

.

.

.

.

.


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

.. ịnh lý
Đ
Xét các số nguyên dương q1 , q2 , . . . , qn . Nếu
q1 + q2 + · · · + qn − n + 1
đối tượng được đặt trong n chiếc hộp, vậy hộp thứ nhất chứa ít nhất q1
đối tượng, hoặc hộp thứ hai chứa ít nhất q2 đối tượng, . . . , hoặc hộp thứ
n

. chứa ít nhất qn đối tượng.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

15 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

Nguyên lý chuồng chim bồ câu
Nguyên lý chuồng chim bồ câu là trường hợp riêng khi
q1 = q2 = · · · = qn = 2
Tức là nếu có
2 + 2 + · · · + 2 − n + 1 = 2n − n + 1
=n+1
đối tượng đặt trong n chiếc lồng, thì có lồng chứa ít nhất hai đối tượng.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

16 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

.. ệ quả
H
Xét hai số nguyên dương r và n. Nếu
n(r − 1) + 1
đối tượng được đặt trong n chiếc hộp, vậy có hộp chứa ít nhất r đối
tượng.
.
Đây là trường hợp khi
q1 = q2 = · · · = qn = r

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

17 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

Nguyên lý trung bình 1

Hệ quả trước có thể phát biểu dưới dạng nguyên lý trung bình
.. guyên lý trung bình
N
Nếu trung bình của các số nguyên không âm m1 , m2 , . . . , mn lớn hơn
r − 1, tức là
m1 + m2 + · · · + mn
> r − 1.
n
Vậy có ít nhất một số mi lớn hơn hoặc bằng r.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

18 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

Nguyên lý trung bình 2

Một nguyên lý trung bình khác
.. guyên lý trung bình
N
Nếu trung bình của các số nguyên không âm m1 , m2 , . . . , mn nhỏ hơn
hơn r + 1, tức là
m1 + m2 + · · · + mn
< r + 1.
n
Vậy có ít nhất một số mi nhỏ hơn hoặc bằng r.

.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

19 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

.. í dụ
V
Một giỏ quả gồm ba loại táo, chuối, và cam. Hỏi trong giỏ cần ít nhất
bao nhiêu quả để chắc rằng trong đó có ít nhất 8 quả táo hoặc ít nhất 6
quả chuối hoặc ít nhất 9 quả cam?
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

20 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng qt

.. í dụ
V
Có hai đĩa kích thước khác nhau. Mỗi đĩa chia thành 200 sector.
Trên đĩa lớn, ta chọn ngẫu nhiên 100 sector và sơn chúng màu đỏ;
100 sector còn lại sơn màu xanh.
Trên đĩa nhỏ ta sơn hoặc màu xanh hoặc mầu đỏ một cách ngẫu
nhiên lên mỗi sector.
Đặt đĩa nhỏ lên trên đĩa lớn sao cho đồng tâm. Chứng minh rằng ta có
thể điều chỉnh hai đĩa sao cho số lượng sector của đĩa nhỏ có màu trùng
với sector tương ứng của đĩa lớn ít nhất là 100.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

21 / 44


Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng qt

.. í dụ (Erdưs và Szekeres, 1935)
V
Hãy chứng minh rằng trong mọi dãy gồm n2 + 1 số thực
a1 , a2 , . . . , an2 +1
đều chứa một dãy con không giảm gồm n + 1 số hoặc một dãy con
không tăng gồm n + 1 số.
.

.

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng 2 năm 2014

.

.

.

.

.

22 / 44


Nội dung

1 Nguyên lý chuồng bồ câu
2 Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát
3 Định lý Ramsey
4 Chứng minh định lý Ramsey
5 Ví dụ và tổng qt hóa

.

.

.

.

.

.