Bài giảng toán cao cấp bài 4 các dạng toán về KGVT

( PHẦN 1 )
BÀI 4
Dạng 1
XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT
PP: Dùng định nghĩa
. x, y, z thuộc tập hợp V
. p thuộc trường K
. hai phép toán (+ , .)
(V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi
(V,+, .)
1. x+y = y+x
5. 1.x = x
6. p.(q.x) = (p.q). x
7. (p+q).x = p.x + q.x
8. p(x+y) = p.x + p.y
0 0
0
c
2. x+(y+z) = (x+y)+z
3. V: x+ = x
4. (-x) V: (-x)+x =
c
x+y = (x
1
+y
1
, x
2
+y
2
, . . ., x

n
+y
n
)
p.x =
x = (x
1
, x
2
, . . ., x
n
)
, y = (y
1
, y
2
, . . ., y
n
)
(px
1
, px
2
, . . ., px
n
)
(V, +, .)
x, y
C
V

, p
C
K
Ví dụ 1:
(V,+,.) =
V =
K=
R
n
R
R
n
C
n
C
n
C
C
n
( , C)
(x
1
, x
2
)+(y
1
, y
2
)
= (x

1
+y
2
, x
2
+y
1
)
p(x
1
,x
2
) = (px
1
, px
2
); p R
C
Ví dụ 2:
( , +, . )
R
2
là KGVT?
ĐK1:
x+y = y+x
Chọn:
x=(0,1)
, y=(1,1)
x+y =
(1,2)

y+x =
(2,1)
x+y = y+x
( , +, . )
R
2
không là
KGVT
Ví dụ 3:
= (px
1
, x
2
); p R
C
x = (1, 2)
, p=3, q=4
(p+q).x = p.x + q.x
7(1, 2)=
(x
1
, x
2
)+(y
1
, y
2
)
= (x
1

+y
1
, x
2
+y
2
)
(7, 2)
( , +, . )
R
2
là KGVT?
ĐK7:
3(1, 2)+ 4(1, 2)
= (3, 2)+ (4, 2) (7, 4)
=
Vậy:
(p+q).x = p.x + q.x
p(x
1
,x
2
)
(p+q)x =
px+qx =
( , +, . )
R
2
không là
KGVT

Dạng 2
XÉT XEM W CÓ LÀ KGC
PP1: Dùng định nghĩa
Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC
của V khi:
W với hai phép toán (+) và (.) được định
nghĩa trên V cũng là một KGVT
PP2: Dùng định lý
Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC
của V khi thỏa một trong 2 đk sau:
° x+y
W

c
x,y
W,
c
° mx
W

c
m
K,
c
mx+y
W

c
1.
2.

Chú ý
V và { } là hai
KGC của KGVT
V
0
W = { x = (x
1
,x
2
,x
3
) /x
1
+x
2
+x
3
= 0 }
Ví dụ 1:
CMR: W là KGC của R
3
mx+y
=
m
(x
1
,x
2
,x
3

)
+
(y
1
,y
2
,y
3
)
( , ,
)
=
mx
1
+y
1
mx
2
+y
2
mx
3
+y
3
mx
1
+y
1
+
mx

2
+y
2
+mx
3
+y
3
=
m(x
1
+x
2
+x
3
)
+
(y
1
+y
2
+y
3
)
=
m.
+
0
0
=
0

mx+y
c
W W là KGC
m
x, y
W
c
R,
c
mx+y
c
W
CM:
W = { x = (x
1
,x
2
,x
3
) /x
1
+x
2
+x
3
= 1 }
Ví dụ 2:
CMR: W không là KGC
của R
3

° x+y
W

c
x,y
W,
c
° mx
W

c
m
K
c
1.
Chọn:
x=(1,0,0)
y=(0,1,0)
x+y= (1,1,0)
x+y
Không thuộc W
y
thuộc W
x
thuộc W
W không là KGC của R
3
( PHẦN 2 )
BÀI 4
PP: Dùng định lý

Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC
của V khi thỏa một trong 2 đk sau:
° x+y
W

c
x,y
W,
c
° mx
W

c
m
K,
c
mx+y
W

c
1.
2.
Chú ý
V và { } là hai
KGC của KGVT
V
0
W = { x=(x
1
,x

2
,x
3
)/ }
Ví dụ 3:
CMR: W là KGC của R
3
- x
3
x
1
+ = 0 x
2
2x
1
+ = 0
3x
2
1 1
3
2 -1
0
0
A =
0
1 1
1 0 -1
0
0
0

d2-2d1
x
1
+
= 0
x
2
= 0
- x
3
x
2
x
1
+
= 0
x
2
= 0
- x
3
x
2
x
3
= t
x
2
= t
x

1
= -t
(t R)
C
x
3
= t
x
2
= t
x
1
= -t
x = ( -t, t, t )
y = ( -m, m, m )
K R
C
W = { x = ( -t, t, t ) / }
(t R)
C
kx+y = ( , , ) -kt-m kt+m kt+m
Đặt: p=kt+m
kx+y = (-p, p, p)
kx+y
W

c
W là KGC của
R
3

c W

Ví dụ 4:
CMR: Nếu U và W là KGC
của V thì:
U+W = { x+y/ x U và y W }
c
c
U W = { x/ x U và x W }
c
c
là KGC của
V
U+W
m
u, v
R,
mu+v
U+W
U+W
c c
c
c
x
U,
u=x+y, c
y
W
c
u

U+W
c
z
U,
v=z+t, c
t
Wc
v
U+W
mu+v = m(x+y) +(z+t)
= (mx+my)
+(z+t)
= (mx+z)+( my+t)
c
U
c
W
mu+v
U+W
c
U+W là
KGC
U
U
W
c
u
U và
c
u

W
c
u
U
U W
c
v
U và
c
v
W
c
v
U
U W
c
u
U
c
v
U
mu+v
c
U
c
u
W
c
v
W

mu+v c
W
mu+v c
U
U W
là
KGC
U
U W
Ví dụ 5:
M={x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
U
V
<M>={y/ y là thtt của x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
CMR: <M> là KGC của V
u=
c
u

<M>
i=1
n
t
i
x
i
v=
c
v
<M>
i=1
n
k
i
x
i
m
u, v
<M>
c
K,
c
mu+v
c
<M>
CM:
u=
i=1
n

t
i
x
i
v=
i=1
n
k
i
x
i
m
u, v
<M>
K,
mu+v
<M>
CM:
cc c
mu+v=
i=1
n
k
i
x
i
=
t
i
x

i
m
+


i=1
n
i=1
n
(mt
i
+k
i
)x
i
=
i=1
n
p
i
x
i
mu+v
<M>
c
<M> là KGC của
V
U+W:
là tổng của U và W
U

U W: là giao của U và W
GHI
CHÚ:
Nếu U và W là KGC của V
thì các tập hợp sau đây cũng
là KGC của V
U + W:
là tổng trực tiếp của U và
W
U
U W=
<M>:
là KGC sinh bởi M
Dạng 3
ĐỘC LẬP TUYẾN
TÍNH PHỤ THUỘC
TUYẾN TÍNH
PP1: Dùng định nghĩa
PP2: Dùng tính chất
PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết
với hệ vectơ
PP1: Dùng định nghĩa
t
1
= t
2
=. . . = t
n
= 0
t

1
x
1
+ t
2
x
2
+. . . + t
n
x
n
=
0
{x
1
, x
2
, . . . , x
n
}

ĐLTT
Ví dụ1:
Xét sự
ĐLTT PTTT
của hệ
x = (1+i, i)
trong C
2
(R) và

C
2
(C)
y = (-1+i, -1)
{x
1
, x
2
, . . . , x
n
}

PTTT khi không
ĐLTT
t
1
x + t
2
y =
0
( , )
( , )
( , )
= (0, 0)
it
1
-t
2
= (0, 0)
t

1
+it
1
it
1
t
1
-t
2
+i(t
1
+t
2
)
-t
2
+it
2
-t
2

+
t
1
-t
2
+i(t
1
+t
2

) = 0
-t
2
+it
1
= 0
(*)
C
2
(R)
(t
1
, t
2
R)
c
(*)
t
1
-t
2
= 0
-t
2
= 0
t
1
= 0
t
1

+t
2
= 0
t
1
(1+i,i)
0
t
1
= 0
t
2
= 0
{ x, y } đltt
+ t
2
(-1+i,-1) =
1-i+i(1+i) = 0
-i+i

= 0
(*)
C
2
(R)
(t
1
, t
2
C)

c
{ x, y } pttt
Chọn t
1
= 1, t
2
= i
t
1
, t
2
thỏa (*)
t
1
-t
2
+i(t
1
+t
2
) = 0
-t
2
+it
1
= 0
(*)