Bài giảng chương 3 tích phân đường (phần 1)

Chương 3:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Phần 1:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1


NỘI DUNG
1.Tham số hóa đường cong
2.Định nghĩa tích phân đường loại 1
3.Tính chất tích phân đường loại 1
4.Cách tính tích phân đường loại 1


THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Tổng quát: (C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t)
VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) và B(b1,b2)

 x = a1 + t (b1 − a1 )
,0 ≤ t ≤ 1

 y = a2 + t (b2 − a2 )
x = t
2/ Đường cong y = f(x): 
 y = f (t )


THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
3/ Đường tròn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

 x = a + R cos t
⇔
,0 ≤ t ≤ 2π
 y = b + R sin t
x2 y 2
4/ Ellipse: 2 + 2 = 1
a
b
 x = a cos t
⇔
,0 ≤ t ≤ 2π
 y = b sin t


THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
5/ Đường cong trong tọa độ cực: r = r(ϕ)

 x = r (ϕ )cos ϕ

 y = r (ϕ )sin ϕ
VD: đường tròn : r = 2sinϕ có dạng tham
số

 x = 2sin ϕ cos ϕ
,0
≤
ϕ
≤
π


2
 y = 2sin ϕ

Lưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ là
tham số tăng


THAM SỐ HÓA ĐC TRONG KHÔNG GIAN
B1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích
hợp
B2: Tham số hóa cho đường cong hình
chiếu (trong mặt phẳng)
B3: Tham số hóa cho biến còn lại


Ví dụ
1/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt
trụ x2 + y2 = 4 và mặt phẳng z = 3
Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy là đtròn:
x2 + y 2 = 4
Vậy dạng tham số là:

x = 2cos t , y = 2sin t , z = 3


2/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt
cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mặt phẳng z = 3 – x
Hình chiếu gtuyến của 2 mặt lên mp Oxy là :
x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x) ⇔ 2x2 + y2 =9

3
3
x=
cos t , y = 3sin t , z = 3 −
cos t
2
2


ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1
Cho AB là đường cong hữu hạn trong mặt
phẳng Oxy, f(x,y) xác định trên đường cong.
B

A

Phân hoạch cung AB thành
những cung Ck, trên mỗi cung
Ck lấy Mk, ∆lk là độ dài cung Ck,
tính tổng tích phân
n

Sn = ∑ f (Mk )∆l k
k =1


n

Sn = ∑ f (Mk )∆l k

k =1

∫

f ( x , y )dl = lim Sn : tp đường loại 1 của f
n →∞
trên AB
AB

Trong R3, tp đường loại 1 cũng định nghĩa
tương tự.


TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1
1/ Tp đường loại 1 không phụ thuộc chiều
đường đi
2 / L = ∫ 1dl = độ dài cung AB
AB

3 / ∫ c.fdl = c ∫ fdl
AB

AB

∫ (f + g )dl = ∫ fdl + ∫ gdl

AB

AB

AB

5 / C = C1 ∪ C2 ⇒ ∫ fdl = ∫ fdl + ∫ fdl
C

C1

C2


CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1
TH1: (C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2

∫

t2

∫

f ( x , y )dl = f ( x (t ), y (t ))

C

[ x ′(t ) ]

2

+ [ y ′(t ) ] dt
2

t1

TH2: (C) viết dạng y = y(x), a ≤ x ≤ b

∫

C

b

∫

f ( x , y )dl = f ( x , y ( x )) 1 + [ y ′( x ) ] dx
a

2


CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1
TH3: (C) viết dạng r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β

∫

C

β

∫α

2

2
′
f ( x , y )dl = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) r + r dϕ


(C) là đường cong trong không gian
(C) viết dạng tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 ≤ t ≤ t2

∫

C

t2

∫

f ( x , y , z)dl = f ( x (t ), y (t ), z(t )) [ x ′(t ) ] + [ y ′(t ) ] + [ z′(t ) ] dt
t1

2

2

2


Lưu ý: nếu C = C1 ∪ C2 (trong R2 )đối xứng

qua Oy
• f lẻ theo x:
f ( x , y )dl = 0

∫

C

• f chẵn theo x:

∫

C

∫

f ( x , y )dl = 2 f ( x , y )dl
C1

* Trên R3, xét tính đối xứng qua các mặt
tọa độ.


Ví dụ

∫

1/ Tính I = ( x + y )dl

C là biên tam

C

giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0)
A y

1
O

y

=

x

1

I=

∫

OA

+

x

=

2

B
2

( x + y )dl +

∫

AB

( x + y )dl +

∫

OB

( x + y )dl


A y

1
y

O

=

x

1

∫

+

OA: y = x, 0 ≤ x ≤ 1
x

=

2

1

B
2

2

⇒ 1+ y′ = 1+1 = 2

∫

( x + y )dl = ( x + x ) 2dx

OA

0

AB: y = 2 – x , 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 1 + y ′2 = 1 + 1 = 2

∫

AB

2

∫

( x + y )dl = ( x + 2 − x ) 2dx
1


OB: y = 0 , 0 ≤ x ≤ 2

∫OB

2
′
⇒ 1+ y = 1+ 0 = 1

2

∫0

( x + y )dl = ( x + 0).1dx

7
⇒I = 2+

2
3


2/ Tính

I = ∫ xydl với C : x2 + y2 = 2x, y ≥ 0
C

Hai cách tham số hóa cho C:
C1: (x – 1)2 + y2 = 1, y ≥ 0
•

1

π

∫

2

 x = 1 + cos t , y = sint

0 ≤ t ≤ π
2

2

I = (1 + cos t )sin t sin t + cos tdt
0

π

∫

= (sin t + sin t cos t )dt = 2


C2: x= rcosϕ, y= rsinϕ
x2+y2 =2x ⇔ r = 2cosϕ, cosϕ ≥ 0
y ≥ r ⇔ sinϕ ≥ 0

 x = 2cos ϕ sin ϕ , y = 2sin 2 ϕ
C viết lại: 
0 ≤ ϕ ≤ π / 2
π 2

I=

∫
0

2

2

2
′
2cos ϕ 2cos ϕ sin ϕ r + r dϕ

π 2

=4

∫
0

3

2

2

cos ϕ sin ϕ 4cos ϕ + 4sin ϕ dϕ


3/ Tính I = ∫ 2 x 2 + z 2 dl , C là giao tuyến của
C

mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 và mp y = x
Hình chiếu của C lên mp Oxz là ellipse:
2x2 + z2 =1
C có dạng tham số là:

 x = 1 cos t , z = sin t , y = x = 1 cos t

2
2

0 ≤ t ≤ 2π

 x = 1 cos t , z = sin t ,

2

1

cos t
y = x =
2

0 ≤ t ≤ 2π

1 2 1 2
2
′
′
′
[ x (t )] + [ y (t )] + [ z (t )] = sin t + sin t + cos t = 1
2
2
2

I=

∫

C

2

2

2π
2

2

2 x + z dl =

∫
0

1.1dt = 2π


4/ Tính I = ∫ xzdl với C là phần giao tuyến của
C

mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và mặt nón z2 = x2 + y2,
x, z ≥ 0.
Tham số hóa của C:

x = cos t , y = sin t , z = 1

z = 1, x + y = 1 
⇔ π

π
x, z ≥ 0

− 2 ≤ t ≤ 2
=2
2

∫

I = xzdl =
C

2

π 2

∫π

−

2

2

cos t .1 sin t + cos t + 0dt
2


1

1

2

5/ Tính I = ∫ x dl với C là phần giao tuyến của
C

mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 và mp x + y + z = 0
Việc tham số hóa cho C rất phức tạp.
Nhận xét: vai trò của x, y, z như nhau trên
đường cong C.

1
I = x dl = y dl = z dl =
3

∫C

2

∫C

2

∫C

2

(∫ x

C

2

2

2

)

+ y + z dl