Bài giảng tích phân bội ba

TÍCH PHÂN BỘI BA


ĐỊNH NGHĨA
Cho Ω đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z)
xác định trong Ω.
Phân hoạch Ω thành những miền con Ωk với
thể tích V(Ωk), d là đường kính phân hoạch.
Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi
tổng tích phân là

n

Sn = ∑ f (Mk )V (Ωk )
k =1


n

Sn = ∑ f (Mk )V (Ωk )
k =1

∫∫∫
Ω

f ( x , y , z)dxdydz = lim Sn
d →0

gọi là tp bội ba của f trên Ω.

Tính chất hàm khả tích
Cho Ω là miền đóng và bị chận

1 / V (Ω ) =

∫∫∫

(thể tích Ω)

1dxdydz

Ω

2/

∫∫∫

∫∫∫

c.f = c.

Ω

∫∫∫

f,

Ω

Ω

(f + g ) =

∫∫∫ ∫∫∫
f+

Ω

Ω

3 / Ω = Ω1 U Ω 2 , Ω1 vaø Ω 2 khoâng daãm nhau

∫∫∫
Ω UΩ
1

f=
2

∫∫∫
∫∫∫
Ω
Ω
f+

1

2

f

g


Cách tính tích phân bội ba
•Giả sử Ω là vật thể hình trụ được giới hạn
trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z
= z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có
đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên
của miền D đóng và bị chận trong Oxy.
•Hình chiếu của Ω lên Oxy là D.

∫∫∫Ω

f ( x , y , z )dxdydz =

 z2 ( x , y )


f ( x , y , z )dz ÷dxdy

÷
 z1 ( x ,y )


∫∫D ∫


Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D

1.Biến tính trước được chọn tương ứng với
biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa Ω.
2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.


VÍ DỤ
1/ Tính: I =

∫∫∫
Ω

ydxdydz
2

Ω Là miền ghạn bởi : y = x , z + y = 1, z = 0
Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z
(z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0).

D = hc Ω : y = x 2 ,1 − y = 0
Oxy


2

D : y = x ,1 − y = 0

∫∫∫

z = 1− y, z = 0
1

ydxdydz

Ω

=

∫∫ ∫
D

=

 1− y

 ydz ÷dxdy

÷
 0


∫∫
D
1

-1

1

y (1 − y )dxdy
1

1

 1 x4 x6 
8
= dx y (1 − y )dy = 2  − + ÷dx =
6
2
3
35
2


−1
x
0

∫ ∫

∫


Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp

∫∫∫

ydxdydz =

Ω

 1− y

 ydz ÷dxdy

÷
 0


∫∫ ∫
D

1

1

1− y

−1

x2

0

1

= ∫ dx ∫ dy ∫ ydz
-1

1

2

Ω : y = x , z + y = 1, z = 0
Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y

y = x2, y = 1− z
D = hc Ω : z = 0,1 − z = x

x
2

1

Oxz

∫∫∫
Ω
=

ydxdydz
 1− z

 ydy ÷dxdz
 2
÷
x


∫∫D ∫

1

-1


 1− z

∫∫ ∫
D


 2
x
x


1
÷
ydy dxdz =
dx
÷
2

−1
1

∫

1− x 2

(1
−
z
)
(
∫

2

4

)

− x dz

0

1
1

1

z

-1

6

1 1 2x

8
4
=
− x ÷dx =
 +
2 3 3
35

−1

∫


y + z =1
D = hc Ω :
Oxz

y = x2

z=0
D = hc Ω :
Oxy


2/ Tính: I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz,
Ω

Ω gh bởi:

x + y + z = 3, 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0, z = 0

z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z :
z = 3 – y – x và z = 0

D = hc Ω :
3x
y
+2
=6

=3
3x+y

Oxy

3–
x

3x + y = 3,3x + 2 y = 6, y = 0,
–y

=0

(3 − x − y = 0)


I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz,

D

∫

= dy
0

2−

2y
3

∫

1−

y
3

=
3x+y

3

3

0

11
( x + y )(3 − x − y )dx =
4

=6

∫∫ ∫





( x + y )dz ÷dxdy
÷


y
+2

=

 3− x − y

3x

Ω

3–
x

–y

=0

3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau:
2

x 2

4

∫0 ∫0 ∫0

I = dx

dy zdz

∫ ∫ ∫

sau đó viết lại I theo thứ tự :I = dy dz zdx
Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác
định trên R2 và 2 mặt không có giao tuyến)
Hình chiếu lên Oxy của miền :0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ x/2


Hình chiếu lên Oxy của miền :0 ≤ x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ x/2
Vậy miền lấy tp gh bởi các
mặt sau:
y

2
/
x
=

z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2,
y=0
2


z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0


z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0