Bài giảng chuỗi lũy thừa

CHUỖI LŨY THỪA


ĐỊNH NGHĨA
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:
∞

∑ an ( x − x0 )

n =1

n

, an ∈ R là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:
∞


n
D =  x ∈ R : ∑ an ( x − x0 ) hoäi tuï 
n =1


∞

n
a
X
Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành ∑ n ,
n =1

nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi
này.


Định lý Abel
Nếu

∞

n
a
x
∑ n hội tụ tại x0 ≠ 0 thì hội tụ

n =1

tuyệt đối trong ( − x0 , x0 )
Hệ quả:
Nếu

∞

n
a
x
∑ n phân kỳ tại x0 thì phân kỳ

n =1

tại mọi x ∉ [ − x0 , x0 ]


Chng minh nh lý



Neỏu

n
n
a
x
hoọ
i
tuù
taù
i
x

0
thỡ
lim
a
x
n
0
n 0 =0
n

n =1

M > 0 :
n

an x =

n
an x0

n
an x0

M , n
n

x
x
M
ữ
x0
x0

n

x
x ( x0 , x0 ) :
<1
x0

n =0

x
x0

n

hoọi tuù





n =0

an x n hoọi tuù


Bán kính hội tụ
Số R >0 sao cho

∞

n
a

x
∑ n hội tụ trong ( − R, R )

n =1

và phân kỳ bên ngoài [ − R, R ] gọi là bán kính
hội tụ của chuỗi.

( − R, R ) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi.
Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của
chuỗi chỉ cần xét thêm tại ±R


Trường hợp chuỗi tổng qt
∞

∑ an ( x − x0 )

n

n =1

Số R >0 sao cho

∞

n
a
(
x

−
x
)
hội tụ trong
∑ n
0

n =1

( x0 − R, x0 + R ) và phân kỳ bên ngoài [ x0 − R, x0 + R ]
gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

Khoảng hội tụ:

( x0 − R, x0 + R )


Cách tìm bán kính hội tụ
Tính: α = lim

n→∞

n

an

hoặc

an +1
α = lim

n→∞ an

0, α = +∞
 1
⇒ R =  , 0 < α < +∞ (BKHT)
α
+∞, α = 0

 R = 0 : MHT ={ 0} ( hoaëc { x0 } cho chuoãi TQ )

 R = ∞ : MHT = ( −∞, +∞ )


Lưu ý
1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau:
an
1
R = lim
hay R = lim
n→∞ n a
x →∞ an +1
n
2. Trường hợp R = 0 hay R = ∞, không được
gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm
cho dễ sử dụng.
3. Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra
khoảng ht. Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này
để chỉ ra MHT.

Ví dụ
∞

n

(−1) n
1 / Tìm miền hội tụ ∑
x
n =1 n

(−1)
an =
n

n

1
n
R = lim
= lim n = 1 ⇒ Khoảng ht: (−1,1)
n→∞ n a
n →∞
n
∞

(−1) n
x = 1 : chuỗi trở thành ∑
, ht theo tc L.
n =1∞ n
1

x = −1: chuỗi trở thành ∑ , phân kỳ
n =1 n
Vậy miền hội tụ là: D = ( −1,1]


∞

2

(n!) n
2 / Tìm baùn kính hoäi tuï: ∑
x
n =1 (2n)!
2

(n!)
an =
(2n)!
an
R = lim
n→∞ an +1

2

(n!)
(2n)!
= lim
n→∞ [ ( n + 1)!] 2
(2n + 2)!
(2n + 1)(2n + 2)

= lim
=4
2
n→∞
(n + 1)


∞

( x − 1)
3 / Tìm mieàn hoäi tuï ∑ 2 n
n =1 n 2

n

1
an = 2 n
n 2

1
n 2 n
R = lim
= lim n 2 = 2
n→∞ n a
n →∞
n
⇒ Khoảng ht: (1 − 2,1 + 2) = (−1,3)
∞

∞

n

n

(−2)
( −1)
x = −1 : ∑ 2 n = ∑ 2 , ht theo tc L.
n =1 n 2
n =1 n
∞

2

n

∞

1
x = 3 : ∑ 2 n = ∑ 2 ht .
n =1 n 2
n =1 n

⇒ D = [ −1,3]


∞

( x + 3)
4 / Tìm miền hội tụ ∑

n
n =1 5
∞

n

∞

n

n

( x + 3)
x + 3

∑ n = ∑  5 ÷ : chuỗi cấp số nhân

n =1 5
n =0 
x+3
< 1 ⇔ −8 < x < 2
Điều kiện hội tụ:
5
Vậy miền hội tụ là: D = ( −8,2 )


Tính chất của chuỗi lũy thừa
Cho chuỗi lũy thừa

∞

n
a
x
∑ n có bán kính

n =1

hội tụ R, gọi S ( x) là tổng chuỗi.
1/ S ( x) liên tục trên miền hội tụ.
2 / S ′( x) =
x

∞

n −1
na
x
∑ n , ∀x ∈ ( − R, R )

n =1

∞

an n+1
3 / ∫ S (t )dt = ∑
x , ∀∈ ( − R, R )
n =1 n + 1
0

Chú ý
1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định
2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)
của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích
phân) tương ứng.
3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi
tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.
∞

∞

n =0

n =1

S ( x) = ∑ an x n ⇒ S ′( x) = ∑ nan x n−1


Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi
Nhắc lại:
∞

1
x =
,
∑
1− x
n =0
n

Điều kiện: |x| < 1

∞

x
x =
∑
1− x
n =1
n


∞

n

x
1/ S ( x) = ∑
n =1 n
S ′( x) =

∞

∑x

n −1

n =1

MHT: D = [ −1,1)
=

∞

∑x

n

n =0

1
=
, ∀x ∈ ( −1,1)
1− x

dt
⇒ S ( x) − S (0) = ∫
= − ln(1 − x), ∀x ∈ ( −1,1)
0 1− t
x

Do S (0) = 0 ⇒ S ( x) = − ln(1 − x), x < 1
S (−1) = lim S ( x) = − ln 2
x →−1+


2 / S ( x) =
x

∞

∑ (n + 1)x

n =1

∞

x
∫0 S (t )dt = ∑
n =1

n

n +1

∞

MHT: D = ( −1,1)

, x ∈ ( −1,1)

= x ∑ x , x ∈ ( −1,1)
n

n =1
2

x
=

, x ∈ ( −1,1)
1− x
′
2
2
 x 
2x − x
⇒ S ( x) = 
, x ∈ ( −1,1)
÷ =
2
(1 − x)
1 − x 


3 / S ( x) =

∞

∑ nx

MHT: D = ( −1,1)

n

n =1

∞

S ( x) = x ∑ nx

n −1

n =1

 ∞ n ′
x ′

= x ∑ x ÷ = x
, x ∈ ( −1,1)
÷

÷
1 − x 
 n =1 
x
=
,
x
∈
−
1,1
(
)
2
(1 − x)


CHUỖI TAYLOR
Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa

có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên
tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong
khoảng htụ.
f ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + L + an ( x − x0 ) n + L
f ′( x) = a1 + 2.a2 ( x − x0 ) + 3.a3 ( x − x0 ) 2 +L

f

( n)

( x) = n!an + (n + 1)!an +1( x − x0 ) +L


 f ( x0 ) = a0 , f ′( x0 ) = a1, f ′′( x0 ) = 2!a2 ,L,
⇒  ( n)
 f ( x0 ) = n!an ,...
a0 = f ( x0 ), a1 = f ′( x0 )

f ′′( x0 )
a2 =
2!

⇒
...


f ( n ) ( x0 )
,...
an =


n!


CHUỖI TAYLOR
Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0
khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là
∞
f ( n ) ( x0 )
n
(
x
−
x
)
∑ n!
0
n =0
Chuỗi Taylor trong lân cận x0 = 0 gọi là
chuỗi Maclaurin.


Định lý
Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại
C > 0, R > 0 sao cho
f

( n)

( x) ≤ C , ∀x ∈ ( x0 − R, x0 + R )
n

Khi đó
∞

f ( x) = ∑
n =0

f

(n)

( x0 )
n
( x − x0 ) , ∀x ∈ ( x0 − R, x0 + R )
n!


Định lý
Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại
C > 0, R > 0 sao cho
f

( n)

( x) ≤ C , ∀x ∈ ( x0 − R, x0 + R )

Khi đó
∞

f ( x) = ∑

n =0

f

( n)

( x0 )
n
( x − x0 ) , ∀x ∈ ( x0 − R, x0 + R )
n!


Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi
1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản .
2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n
với hàm f cho trước.
3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,
đó chính là miền mà hàm f được khai triển
thành chuỗi Taylor.


Chuỗi Maclaurin cơ bản
∞

n
x
1/ e x = ∑ ,
MKT: D = R
n!

n=0
∞
∞
1
1
n
n n
2/
=∑x ,
= ∑ (−1) x , D = ( −1,1)
1 − x n =0
1 + x n =0
∞

α (α − 1)...(α − n + 1) n
3 / ( 1+ x) = 1+ ∑
x
n!
n =1
α

α ∈N
 R,
[ −1,1] , α > 0

D=
( −1,1] , − 1 < α < 0
( −1,1) , α ≤ −1