đạo hàm theo hướng; ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng; sơ đồ matlab để vẽ tiếp tuyến; định lý (cách tính đạo hàm theo hướng); pháp tuyến – tiếp diện của mặt cong; khai triển taylor

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 3


Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa:
Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một

r
a
hướng cho bởi vector .

r
Đạo hàm của f theo hướng a tại M0:
∂f ( M 0 )
r = lim
t →0
∂a

r
f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 )
t

r
∂f ( M 0 )
chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a
r
∂a


Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng

r
Xét đường cong L : z ( t ) = f ( M 0 + ta )
r
f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 )

∂f ( M 0 )
r = lim
t →0
∂a
t
z ( t ) − z ( 0)
= lim
= z′ ( 0 )
t →0
t

là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M0.


Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến
r
S : z = f ( x, y ) , M 0 ( x0 , y0 ) , a = ( a1 , a2 )
1. Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0.
r
2. Vẽ đường cong L : z ( t ) = f ( M 0 + ta )
x = x0 + ta1 , y = y0 + ta2 , z = f ( x0 + ta1 , y0 + ta2 )
3. Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi
r
u = ( a1 , a2 , z ′ ( 0 ) )
qua M0 và nhận

làm vector
chỉ phương.




Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng)

r
Nếu hàm f khả vi tại M0, e = ( e1, e2 )
là
r
e
vector đơn vị, đạo hàm theo hướng tại M tồn tại,
0

khi đó:
∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 )
∂f ( M 0 )
r =
e1 +
e2
∂x
∂y
∂e
Hàm 3 biến cũng được tính tương tự.


Công thức tổng quát
r

a là vector tùy ý:
∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) a1 ∂f ( M 0 ) a2
r =
r +
r
∂a
∂x
a
∂y
a
(hàm 2 biến)
∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) a1 ∂f ( M 0 ) a2 ∂f ( M 0 ) a3
r =
r +
r +
r
∂a
∂x
a
∂y
a
∂z
a
(hàm 3 biến)


Ví dụ
1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox
tại điểm (-2,1) của hàm số
2

2

f ( x, y ) = xy − 2 x y
Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là:
r
e = ( 1,0 )
∂f ( −2,1)
r = f x′ ( −2,1) .1 + f y′ ( −2,1) .0
∂e
= 9 .1 −12 .0 = 9


r
2. Tìm đạo hàm theo hướng a = ( 1,1, −1) tại
f ( x, y, z ) = x 2 + 2 xz − 3 y 2 z 3

M = ( 2,1,2 ) của
r
a
1
( 1,1, −1) = ( e1, e2 , e3 )
r =
a
3

∂f ( M )
r = f x′ ( M ) .e1 + f y′ ( M ) .e2 + f z′ ( M ) .e3
∂a
1

1
 1  15
= 0.
+ 6.
+ ( −9 ) . −
÷=
3
3
3
3



Vector Gradient
rr r
Gọi i , j , k là các vector đơn vị trên các

( )

trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại
M 0 ( x0 , y0 ) . Gradient của f tại M là:
0

(

∇f ( M 0 ) = grad ( M 0 ) = f x′ ( M 0 ) , f y′ ( M 0 )

)

r

r
= f x′ ( M 0 ) .i + f y′ ( M 0 ) . j


Liên hệ
∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 )
∂f ( M 0 )
r
e1 +
e2 = ( ∇f ( M 0 ) , e )
r =
∂e
∂x
∂y
∂f ( M 0 )
r
r = ∇f ( M 0 ) . e .cos ϕ = ∇f ( M 0 ) .cos ϕ
∂e

ϕ là góc giữa
∂f ( M 0 )
r
∂e

gradf ( M 0 )

r
&e

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:

cos ϕ = 1 ⇔ ϕ = 0


Tổng quát
Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f
tăng nhanh nhất.
∂f ( M 0 )
r
∂a

r

a 
=  ∇f ( M 0 ) , r ÷
a 



Ví dụ
∂f (2, −3,0)
r
1/ Tìm grad f (2, −3,0),
∂a
yz r
Với: f ( x, y, z ) = x.e , a = (2, −3,0)

(

) (

∇f ( x, y, z ) = f x′, f y′ , f z′ = e yz , xze yz , xye yz

)

∇f (2, −3,0) = ( 1,0, −6 )
r
∂f (2, −3,0)
2, −3,0 )
a
(
= ∇f (2, −3,0). r = ( 1,0, −6 ) .
r
∂a
a
13


KHAI TRIỂN TAYLOR
Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0,
y0), khi đó trong lân cận này ta có:

d k f ( x0 , y0 )
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ∑
+ Rn
k!
k =1
n

Cụ thể:
n

k

1 ∂
∂

f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ∑  ∆x + ∆y ÷ f ( x0 , y0 ) + Rn
∂y 
k =1 k ! ∂x

1
Rn =
d n +1 ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) Phần dư Lagrange
(n + 1)!


Có thể thay Rn bởi o( ρn) (Peano) (là VCB bậc cao hơn
ρn khi ρ→ 0),
2

2

n

ρ = ∆x + ∆y , o ( ρ )
Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin
1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano.
2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến
trong kt Taylor hàm nhiều biến.
3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy

thừa của ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0)


Ví dụ
1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho

z = f(x, y) = xy

f x′ = yx y −1, f y′ = x y ln x ⇒ df (1,1) = ∆x + 0.∆y
′′ = y ( y − 1) x
f xx
y

y −2

,

y −1
y −1
′′
f xy = x + yx ln x,

2

′′ = x ln x
f yy
2

2

⇒ d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x∆y + 0.∆y

2


df (1,1) = ∆x + 0.∆y
2

2

d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x∆y + 0.∆y

2

2

df (1,1) d f (1,1)
z = f ( x, y ) = f (1,1) +
+
+ o( ρ 2 )
1!
2!
∆x 2∆x∆y
z = 1+
+
+ o( ρ 2 )
1!
2!
2

= 1 + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o( ρ )


Ví dụ
2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho

1
z = f ( x, y ) =
1 + x + y − xy
Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2

1
2
2
z=
= 1 − u + u + o(u )
1+ u
2

2

= 1 − ( x + y − xy ) + ( x + y − xy ) + o(u )
= 1 − x − y + x 2 + 3 xy + y 2 + o( ρ 2 )


Ví dụ
3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho

z = f ( x, y ) = e

x 2 + xy

Đặt X = x, Y = y – 1,

z=e

X + X 2 + XY
2

= 1 + X + X + XY
2

2

2

3

( X + X + XY ) ( X + X + XY )
3
+
+
+ o( ρ )
2
6


2

z = 1 + X + X + XY

2

2

2

3

( X + X + XY ) ( X + X + XY )
3
+
+
+ o( ρ )
2
6
3 2
7 3
2
3
= 1 + X + X + XY + X + X Y + o( ρ )
2
6
3 2
7 3
2
3
z = 1 + x + x + x ( y − 1) + x + x ( y − 1) + o( ρ )
2
6

Ví dụ
4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho
z = f ( x, y ) = x sin( y − 2). Suy ra f”xy(1, 2)
Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành
3

Y
3 
z = ( X + 1)sin Y = ( X + 1)  Y − + o(Y ) ÷
6


3
Y
= Y + XY − + o( ρ 3 )
6
3
( y − 2)
3
= ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) −
+ o( ρ )
6


3

( y − 2)
3
f ( x, y ) = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) −

+ o( ρ )
6
2

d f (1,2)
= ( x − 1)( y − 2) = ∆x∆y
2!
2

⇔

= dxdy

′′ (1,2) ∆y
f xx′′ (1,2)∆x + 2 f xy′′ (1,2) ∆x∆y + f yy
2
⇒ f”xy(1, 2) = 1

2

= ∆ x∆ y


PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG.
Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S
r
n

•L là đường cong trong S đi qua M.
Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp

tuyến của S tại M.
•Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt
phẳng gọi là tiếp diện của S tại M.


PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG

Giả sử L ⊂ S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t)
M = (x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L
Vector chỉ phương của tiếp tuyến tại M là :
r
u = ( x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) )
M∈ S: F(x,y,z) = 0, ta có:

Fx′ ( M ) x′(t0 ) + Fy′ ( M ) y′(t0 ) + Fz′( M ) z ′(t0 ) = 0