Ý nghĩa hình học trong đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Phương trình tiếp tuyến của đường cong
Giải Tích 12
ĐẠO HÀM

1. Nhắc lại:
1/ Hệ số góc của đường thẳng:
● (d) : y = ax + b
a : hệ số góc của (d)
y
x
O
ϕ
(d)
a = tgϕ
a > 0 ⇔ ϕ nhọn
a < 0 ⇔ ϕ tù
ϕ
(d)
● Hệ số góc của đường thẳng
qua A(x
A
,y
A
) và B(x
B
,y

B
) là:
( )
B A
A B
B A
y y
k x x
x x
−
= ≠
−
y
x
O
A
x
A
y
A
ϕ
B
x
B
y
B
● Phương trình của đường thẳng
qua M
0
(x

0
,y
0
) có hệ số góc k là:
0 0
( ) : ( )d y k x x y= − +

2/ Tiếp tuyến của đường cong:
M
M
M
0
.
(C)
Cho đường cong (C) và M
0
∈ (C).
Tiếp tuyến của (C) tại M
0
là vị trí giới hạn
của cát tuyến M
0
M khi điểm M di động
trên (C) dần tới M
0
.
3/ Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a,b)
và x
0

∈(a,b),đạo hàm của y = f(x) tại x
0
là:
0
0
0
0
0
/
( ) ( )
( ) lim lim
x x x
f x f x
y
f x
x x x
→ ∆ →
−
∆
= =
− ∆
Hãy liên kết các kiến thức vừa được nhắc lại trên đây
ta sẽ có Ý NGHIÃ HÌNH HỌC của ĐẠO HÀM.

y
xO
x
0
M
0

.
f(x
0
)
x
M
f(x)
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho (C): y = f(x) và M
0
(x
0
,f(x
0
))∈(C).
Lấy M(x,f(x))∈(C).
Hệ số góc của cát tuyến M
0
M là:
0
0
( ) ( )f x f x
y
x x x
−
∆
=
− ∆
Khi x →x
0

tức là M → M
0
thì
( )
0
0
0
0
/
( ) ( )
lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
và cát tuyến M
0
M → tiếp tuyến M
0
T
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến M
0
T là
0
/
( )f x

● Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C):y = f(x)
tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) ∈ (C) là đạo hàm f
/
(x
0
).
∆y
∆x
@
T

3. Phương trình tiếp tuyến:
● Loại 1:
Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
,y
0
)∈(C):
0 0 0
/
( ) : ( )( )d y f x x x y= − +

Ví dụ:
Cho
2
2 3( ) : ( )P y f x x x= = − −
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của (P) và trục Ox.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm thuộc (P) có tung dộ là –4.
2 2
/ /
( )y f x x= = −
1/ Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 3 0 1 3,x x x x− − = ⇔ = − =
▪ x
0
=-1,y
0
=0:
1 4
/
( )f − = −
Phương trình tiếp tuyến:
4 1( )y x= − +
4 4hay y x= − −
▪ x
0
=3,y
0
=0:
3 4
/

( )f =
Phương trình tiếp tuyến:
4 3( )y x= −
4 12hay y x= −
2/
2
4 4 2 3 1.y x x x= − ⇒ − = − − ⇒ =
1 0
/
( )f =
Phương trình tiếp tuyến: y = – 4
@