Bài giảng tích phân mặt loại 2

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2


PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG.
Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S
•L là đường cong trong S đi
r
n

qua M. Tiếp tuyến của L tại M
gọi là tiếp tuyến của S tại M.
•Các tiếp tuyến này cùng thuộc
1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp
diện của S tại M.
•Pháp tuyến của mặt tiếp
diện tại M gọi là pháp tuyến
của S tại M.


PHÁP TUYẾN MẶT CONG
Giả sử L ⊂ S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t)
M = (x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L
Vt chỉ
phương
của
tiếp
tuyến
tại
M
là
:

r
u = ( x ′(t 0 ), y ′( y 0 ), z′(t 0 ) )
M∈ S: F(x,y,z) = 0, ta có:

Fx′ (M ) x ′(t 0 ) + Fy′ (M ) y ′(t 0 ) + Fz′ (M )z′(t 0 ) = 0

⇒ ( x ′(t0 ), y ′(t0 ), z′(t 0 ) ) ⊥ ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) )


( x′(t0 ), y ′(t0 ), z′(t0 ) ) ⊥ ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) )
(đúng với mọi đường cong trong S và qua M)

r
⇒ n = ± ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) ) và các vector tỷ lệ
là pháp vector của S tại M
Một ký hiệu khác:

gradF (M ) = ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) )
(gradient của F tại M)


Một số ví dụ tìm pháp vector
2

2

2

a/ Mặt cầu S : x + y + z = R

2

uuuuur
M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,2z0 )
(và các vector tỷ lệ)

ur
n

uuur
OM ( x0 , y 0 , z0 )

ur
n



Một số ví dụ tìm pháp vector
2

2

a/ Mặt trụ S : x + y = R

M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S ,

M

2

uuuuur
n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 )
(và các vector tỷ lệ)

ur
n

uuuur
OM ′ = ( x0 , y 0 , 0)


Một số ví dụ tìm pháp vector
2

2

2

a/ Mặt nón S : x + y = z ⇔ z = ± x 2 + y 2

uuuuur
M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 , −2z0 )


uuuuur
n (M )
z0

M ( x0 , y 0 , z0 )
M ′ = ( x0 , y 0 ,0)

−z0

( x0 , y 0 , − z0 )


MẶT ĐỊNH HƯỚNG
S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu
cho pháp vector tại M∈S di chuyển dọc theo 1
đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm
xuất phát vẫn không đổi chiều.
Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi
là mặt không định hướng (mặt 1 phía ).
Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector
hướng từ chân lên đầu.
(Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)


Mặt một phía


Mặt hai phía


Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong
2

2

2

a/ Mặt cầu S : x + y + z = R

2

M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S ,

ur
n = ( x0 , y 0 , z0 )
ur
n
uuur
OM ( x0 , y 0 , z0 )

pháp VT ngoài

ur
n = −( x0 , y 0 , z0 )
pháp VT trong


2

2

b/ Mặt trụ S : x + y = R

M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S ,

PVT trong

2

uuuuur
n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 )

M ur

n = ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoài


M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S ,

c/ Mặt nón

z0

PVT trong

ur
n = ( x0 , y 0 , − z0 )

PVT ngoài

−z0


Pháp vector đơn vị
z

ur
n

γ
α
x

β

y

r
n = (cos α ,cos β ,cos γ )


ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định
hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là

r
n = (cos α ,cos β ,cos γ )
Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định
nghĩa bởi

∫∫
S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

∫∫

S

r
(P ,Q, R ).nds


∫∫

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

S

=

∫∫
S

(P cos α + Q cos β + R cos γ )ds


VÍ DỤ
1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu
2

2

2

z = R − x − y , tính

I=

∫∫

xdydz + ydzdx + zdxdy

S

Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là

ur ( x , y , z )
n=
R


r
( x , y , z)
I = ∫∫ (P ,Q, R ).nds = ∫∫ ( x , y , z ).
ds
R
S
S
=

∫∫
S

2

2

2

x +y +z
ds =
R

∫∫
S

2

R
ds = R
R

∫∫
S

ds

= 2π R

3


2/ Cho S là của phần mp x + y + z = 1
bị chắn bởi các mặt tọa độ, lấy phía trước
nhìn từ phía dương trục Oz, tính

I=

∫∫

( x − y )dydz + zdxdy

S

ur  1 1 1 
n= , , ÷
 3 3 3
ur
1 1 1 

hay n = −  , , ÷
 3 3 3


Phía trên nhìn từ Oz+ ⇒ thành phần thứ 3
của n phải không âm

ur  1 1 1 
n= , , ÷
 3 3 3


I=

∫∫

( x − y )dydz + zdxdy

S

=

∫∫

ur
( x − y ,0, z ).nds

S

=−

∫∫
S

1 1 1 

( x − y ,0, z ). , , ÷ds
 3 3 3

1
=−
3

∫∫
S

( x − y + z )ds


S: z = 1 – x – y , hc S = D : x = 0, y = 0, x + y = 1
Oxy

1

1

1
I=−
3

∫∫

( x − y + z )ds

1
=−
3

∫∫D

( x − y + 1 − x − y ) 3dxdy

S

1

1− y

∫ ∫

= − dy
0

0

1
(1 − 2 y )dx = −
6


CÁCH TÍNH TP MẶT LOẠI 2
Vì pháp vector đơn vị thông thường rất
phức tạp nên ta có thể dùng cách tính sau
để thay thế:

I=

∫∫

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

S

=

∫∫

S

Pdydz +

∫∫
S

Qdzdx +

∫∫
S

Rdxdy = I1 + I 2 + I3