Bài giảng ứng dụng hình học của tích phân kép

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN KÉP


NỘI DUNG
• Tính diện tích miền phẳng
• Tính thể tích vật thể trong R3
• Tính diện tích mặt cong


TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG
D là miền đóng và bị chận trong R2:
S (D) =

∫∫D dxdy

Có thể dùng cách tính của tp xác định
trong GT1 cho những bài không đổi biến.


Ví dụ
1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
2

y = x ,y = x
y=x
y= x

2

S (D ) =

∫∫D

1

dxdy
x

∫ ∫ dy

= dx
0

x2

1
=
3


2/ Tính diện tích miền D là phần nằm ngoài
2

2

đường tròn x + y = 1 và nằm trong đường tròn
2
2
2
x +y =

x
3
Đổi biến: x = rcosϕ, y = rsinϕ
Tọa độ giao điểm

x 2 + y 2 = 1

⇒ 2
2
2
x
x + y =
3



x 2 + y 2 = 1
r = 1


⇔

 2
2
3
2
x
cos ϕ =
x + y =
2

3

− π ≤ ϕ ≤ π
 6
6
D:
2
1 ≤ r ≤
cos ϕ

3
S (D ) =

π
2
cos ϕ
6 dϕ
3
rdr
π
1
−
6

∫

∫

r = 1


⇔
π
ϕ = ± 6

3 π
=
−
6 18


Nếu sử dụng tính đối xứng của D
Miền D đối xứng qua Ox
D1 = D∩ {x,y)/ y ≥ 0} ⇒ S(D) = 2S(D1)

0 ≤ ϕ ≤ π

6
D1 : 
2
1 ≤ r ≤
cos ϕ

3
S (D) =

π
2
cos ϕ
6 dϕ
3

rdr
0
1

∫

∫


BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Xét vật thể hình trụ Ω được giới hạn trên bởi
mặt cong z = f2(x, y), mặt dưới là z = f1(x, y),
bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh //
Oz và đường chuẩn là biên của miền D
đóng và bị chận trong Oxy.

V (Ω) = ∫∫ [ f2 ( x , y ) − f1 ( x , y ) ] dxdy
D

Khi đó, hình chiếu của Ω lên Oxy là D.


Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D

B1: chọn hàm tính tích phân:
Chọn hàm tương ứng với biến chỉ xuất hiện
2 lần trong các pt giới hạn miền tính thể
tích (Ω).
VD: z chỉ xuất hiện 2 lần : z = f1(x, y),
z = f2(x,y), hàm tính tp là

z = |f2(x,y) – f1(x,y)|


Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D

B2: Xác định miền tính tp D
Gs hàm tính tp là z = f(x,y), D là hình chiếu
của Ω lên mp Oxy và được xác định từ các
yếu tố sau:
1.Điều kiện xác định của hàm tính tp
2.Các pt không chứa z giới hạn miền Ω.
3.Hình chiếu giao tuyến của z = f1(x,y) và
z = f2(x,y) (có thể không sử dụng)


Hình chiếu giao tuyến
1.Được tìm bằng cách khử z từ các pt chứa z.
2. Các TH sử dụng hc giao tuyến.
Tìm được từ đk 1,2

g
Hc

Hc gt

t

Không sử dụng

Sử dụng

f1 > f 2
D1

Hc gt

D2

f2 > f 1

Sử dụng để xác định dấu của f2 – f1


Ví dụ
1/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi:
y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1
Cách 1: z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là
z = 1 – x và z = 0 (các hàm xác định trên R2)

D = hc Ω
Oxy

1

•các pt không chứa z

y = 0, y = x

D

•Hc giao tuyến: 1 − x = 0
1


V (Ω) =

∫∫

[(1 − x ) − 0]dxdy

D

1

1

∫0 ∫

= dy

(1 − x )dx

y2

1

1

0

y

4
= dy (1 − x )dx =
15
2

∫ ∫


Ω : y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1

Cách 2: y xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là

D = hc Ω

y = 0, y = x

Oxz

x
x

•Đk xác định của
hàm tính tp: x ≥ 0

+
z
=1

•Các pt không chứa y:

x + z = 1, z = 0
z

•Hc giao tuyến:

x =0⇔ x=0


V (Ω) =

∫∫

[ x − 0]dxdz

D

1− x

1

∫ ∫

= dx
0

xdz

0

1

=

(∫ x
0

1/2

−x

3/2

)

4
dx =
15


Ω : y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1
Cách 3: x xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là
2

y = x ⇒ x = y , x = 1− z

1

z

D = hc Ω
z=1–y

Oyz

2

•Đk xác định hàm: y ≥ 0
•Các pt không chứa x:

y = 0, z = 0
1

y

•Hc giao tuyến: 1 − z = y 2


V (Ω) =

∫∫

2

[(1 − z) − y ]dydz

D

1

∫

= dy
0

1− y 2

∫
0

4
(1 − z − y )dz =
15
2


D = hc Ω
Oyz

D = hc Ω
Oxz

D = hc Ω
Oxy



y= x

y= x


y= x


x + z =1

y= x


x + z =1

y= x