Bài giảng toán rời rạc phần các phương pháp duyệt cây

Cây

8.3. Các phương pháp duyệt cây
Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học , K. H.
Rosen, người dòch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thònh, Nhà xuất bản Khoa học
và kỹ thuật, 1998.
Tài liệu lưu hành nội bộ

10/01/15

8.3. Các phương

1


Hệ đòa chỉ phổ dụng
•

•

•

Hệ đòa chỉ phổ dụng là cách gán nhãn cho tất cả các đỉnh bằng
phương pháp truy hồi như sau:
– Gán nhãn cho gốc bằng số nguyên 0. Sau đó k đỉnh con của nó
(ở mức 1) từ trái sang phải được gán các nhãn là 1, 2, 3,…, k.
– Với mọi đỉnh v ở mức n có nhãn là A, thì kv đỉnh con của nó từ
trái sang phải được gán các nhãn là A.1, A.2,…, A.kv .
Nhận xét: Theo thủ tục này, đỉnh v ở mức n, với n ≥ 1, có nhãn là
x1.x2…xn , trong đó đỉnh xi ở mức i.
Ứng dụng: sắp tất cả các đỉnh của cây theo thứ tự từ điển của các

nhãn của chúng trong hệ đòa chỉ phổ dụng.

10/01/15

8.3. Các phương

2


Hệ đòa chỉ phổ dụng
•

Ví dụ 1. Gán nhãn theo đòa chỉ phổ dụng cho tất cả các đỉnh của cây
sau. Thứ tự từ điển của các nhãn là: 0 < 1 < 1.1 < 1.2 < 1.3 < 2 < 3 < 3.1 <
3.1.1 < 3.1.2 < 3.1.2.1 < 3.1.2.2 < 3.1.2.3 < 3.1.2.4 < 3.1.3 < 3.2 < 4 < 4.1 <
5 < 5.1 < 5.1.1 < 5.2 < 5.3
0
1

2

3

3.1

1.1 1.2 1.3

4

3.2

5

4.1 5.1 5.2 5.3

3.1.2
3.1.1
3.1.2.1

5.1.1

3.1.3
3.1.2.4

3.1.2.2 3.1.2.3

10/01/15

8.3. Các phương

3


Các thuật toán duyệt cây
•

Đònh nghóa 1. Giả sử T là cây có gốc và được sắp thứ tự với gốc r.
– Nếu T chỉ có r thì r là cách duyệt tiền thứ tự của T;
– nếu không thì gọi T1, T2,…, Tn là các cây con tại r từ trái qua phải
của T.

° Duyệt tiền thứ tựï sẽ viếng thăm r đầu tiên;
° tiếp tục duyệt T theo kiểu tiền thứ tự, sau đó duyệt T theo
1
2
kiểu tiền thứ tự,… cho đến khi Tn được duyệt theo kiểu tiền
thứ tự.

10/01/15

8.3. Các phương

4


Các thuật toán duyệt cây
•

Duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự
r

10/01/15

Bước 1: thăm r

T1

T2

Tn

Bước 2:
thăm T1
kiểu tiền thứ tự

Bước 3:
thăm T2
kiểu tiền thứ tự

Bước n + 1:
thăm Tn
kiểu tiền thứ tự

8.3. Các phương

5


Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 2. Duyệt kiểu tiền thứ tự sẽ viếng thăm các đỉnh của cây có
gốc và được sắp dưới đây theo thứ tự nào?
a
b

k

f

h i

l

j
n

d

g

e

10/01/15

c

o

m

p

8.3. Các phương

6


Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 2. (tiếp theo)

a

c

b
e

d g h i

l
n

o

m

p

p

b e j

k

f c

n

o

p
a

10/01/15

c

j

m

l

a

f

e

k
h i

j
o

b

g

f

k

n

a

d

d g l

b e j

m h i

k n o p f c

8.3. Các phương

d g l

7

m h i


Các thuật toán duyệt cây
•

•
•

•
•
•

•

Thuật toán 1. Duyệt kiểu tiền thứ tự
procedure preorder(T: cây có gốc và được sắp)
r := gốc của T
liệt kê r
for mỗi cây con c của r từ trái sang phải
begin
T(c) := cây con với gốc c
preorder(T(c))
end

10/01/15

8.3. Các phương

8


Các thuật toán duyệt cây
•

Đònh nghóa 2. Giả sử T là cây có gốc và được sắp thứ tự với gốc r.
– Nếu T chỉ có r thì r là cách duyệt trung thứ tự của T;
– nếu không, thì gọi T1, T2,…, Tn là các cây con tại r từ trái qua phải
của T,

° duyệt trung thứ tựï sẽ bắt đầu bằng việc duyệt T theo kiểu
1
trung thứ tựï,
° sau đó viếng thăm r,
° tiếp tục duyệt T theo kiểu trung thứ tự, tiếp tục duyệt T theo
2
3
kiểu trung thứ tự,… cho đến khi Tn được duyệt theo kiểu trung
thứ tự.

10/01/15

8.3. Các phương

9


Các thuật toán duyệt cây
•

Duyệt cây theo kiểu trung thứ tự
r

T1

Bước 2: thăm r

T2

Tn

Bước 1:
Bước 3:
Bước n + 1:
thăm T1
thăm T2
thăm Tn
kiểu trung thứ tự kiểu trung thứ tự kiểu trung thứ tự

10/01/15

8.3. Các phương

10


Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 3. Duyệt trung thứ tự sẽ viếng thăm các đỉnh của cây có gốc
và được sắp dưới đây theo thứ tự nào?
a
b

k

f

h i
l

j
n

d

g

e

10/01/15

c

o

m

p

8.3. Các phương

11


Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 3. (tiếp theo)
a

b
e

c

n

10/01/15

m

l

o

p

f

a

c

l

g

m

d

h i

f

a

c

l

g

m

d

h i

p

o

j

d h i

n

m

l

j

l

j

h i

k

a c g

f

k

g

f

b

e

d

j

e

n

k

e

k

b

n

o

p

o

p

b

8.3. Các phương

12

Các thuật toán duyệt cây
•

Thuật toán 2. Duyệt kiểu trung thứ tự
procedure inorder(T: cây có gốc và được sắp);
r := gốc của T
if r là lá then liệt kê r
else
begin
l := con đầu tiên từ trái sang phải của r
T(l) := cây con với gốc l
inorder(T(l))
liệt kê r
for mỗi cây con c của r từ trái sang phải trừ l
T(c) := cây con với gốc c
inorder(T(c))
end

10/01/15

8.3. Các phương

13


Các thuật toán duyệt cây
•

Đònh nghóa 3. Giả sử T là cây có gốc và được sắp thứ tự với gốc r.

– Nếu T chỉ có r thì r là cách duyệt hậu thứ tự của T;
– nếu không, thì gọi T1, T2,…, Tn là các cây con tại r từ trái qua phải
của T,
° duyệt hậu thứ tựï sẽ bắt đầu bằng việc duyệt T theo kiểu hậu
1
thứ tựï, tiếp tục duyệt T2 theo kiểu hậu thứ tự,,… cho đến khi
Tn được duyệt theo kiểu hậu thứ tự.
°

10/01/15

cuối cùng viếng thăm r.

8.3. Các phương

14


Các thuật toán duyệt cây
•

Duyệt cây theo kiểu hậu thứ tự
r

10/01/15

Bước n + 1: thăm r

T1

T2

Tn

Bước 1:
thăm T1
kiểu hậu thứ tự

Bước 2:
thăm T2
kiểu hậu thứ tự

Bước n:
thăm Tn
kiểu hậu thứ tự

8.3. Các phương

15


Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 4. Duyệt kiểu hậu thứ tự sẽ viếng thăm các đỉnh của cây có
gốc và được sắp dưới đây theo thứ tự nào?
a
b

k

f

h i
l

j
n

d

g

e

10/01/15

c

o

m

p

8.3. Các phương

16

Các thuật toán duyệt cây
•

Ví dụ 4. (tiếp theo)
c

b

d

f

g

e
k
o

h i

n

o

h

i

d a

i

d a

m

l

j

m

l

p

p

j

10/01/15

g

b c

k

f

j
n

e

a

j

k

n

o

n o

e f

b c l

m

g

h

p
p k

e f

b c l

8.3. Các phương

m

g

h

17

i

d a


Các thuật toán duyệt cây
•

Thuật toán 3. Duyệt kiểu hậu thứ tự
procedure postorder(T: cây có gốc và được sắp)
r := gốc của T
for mỗi cây con c của r từ trái sang phải
begin
T(c) := cây con với gốc c
postorder(T(c))
end

liệt kê r

10/01/15

8.3. Các phương

18


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
•

Biểu thức số học chứa các toán tử +, −, ∗, /, ↑ (luỹ thừa)
– Dùng dấu ngoặc để biểu thò thứ tự các phép toán.
– Biểu diển biểu thức bằng cây có gốc và được sắp:
° đỉnh trong biểu thò các phép toán,
° lá biểu thò các số hay các biến,
° mỗi phép toán tác động lên các cây con bên trái và bên
phải (theo thứ tự này).

10/01/15

8.3. Các phương

19


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
•

Ví dụ 5. Tìm cây có gốc biểu diễn biểu thức
((x + y) ↑ 2) + ((x − 4) / 3).
– Xây dựng cây nhò phân cho biểu thức trên từ dưới lên.
+

−
+

x

x

y

4

↑

↑
+

/
2

+

10/01/15

y

x

2

3

−

3

−

x
x

/

y

x

4

8.3. Các phương

20

4

Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
– Nhận được dạng trung tố của biểu thức khi duyệt cây có gốc
theo kiểu trung thứ tự và dùng các dấu ngoặc mỗi khi gặp một
phép toán.

10/01/15

8.3. Các phương

21


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
•

+

+
/

+

+
x

x

+
y

x

(x + y) / (x + 3)

3

3
/

y

x

/

+

y
x

((x + (y/x)) + 3

x
x + (y/(x + 3))

Duyệt kiểu trung tố các cây nhò phân trên đều dẫn tới biểu
thức trung tố x + y / x + 3. Cần dùng ngoặc đơn trong cách
duyệt trung thứ tự mỗi khi gặp một phép toán!

10/01/15

8.3. Các phương

22

3


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
– Nhận được dạng tiền tố của biểu thức khi duyệt cây có gốc theo
kiểu tiền thứ tự.
– Biểu thức dưới dạng tiền tố được gọi là ký pháp Ba lan.

10/01/15

8.3. Các phương

23


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
•

Ví dụ 6. Dạng tiền tố của biểu thức ((x + y) ↑ 2) + ((x − 4) / 3)
– Duyệt cây nhò phân biểu diển biểu thức trên theo kiểu tiền thứ
tự
∀ ⇒ Dạng tiền tố: + ↑ + x y 2 / − x 4 3

10/01/15

8.3. Các phương

24


Các ký pháp trung tố, tiền tố và hậu tố
• Ví dụ 7. Tính giá trò của biểu thức tiền tố
∀+ − * 2 3 5 / ↑ 2 3 4
+ − * 2 3 5 / ↑ 2 3 4
2↑3=8

+ − * 2 3 5 / 8 4
8/4=2

+ − * 2 3 5 2
2*3=6

+ − 6 5 2
6−5=1

+ 1 2

1+2=3

10/01/15

8.3. Các phương

25