đề cương ôn tập giải tích 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP – MÔN GIẢI TÍCH 2
Chương 1: Tính độ cong của đường cong được xác định bởi hàm vectơ ⃗( )
-

Nếu ⃗( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉 thì độ cong
( )=

-

| ⃗ ( ) × ⃗ ( )|
| ⃗ ( )|

Nếu đường cong phẳng có phương trình y = f(x) thì độ cong
|

( )|

1+

( )

( )=

Chương 2:
Dạng 1: Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến z = f(x,y)
-

Bước 1: Giải hệ

-

Bước 2: Tính

=0
. Tìm các điểm tới hạn
=0
=

=

.

( ,

).

−

+ Nếu D(M) < 0 thì M không là cực trị.
+ Nếu D(M) > 0 và

( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M).

Nếu D(M) > 0 và

( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M).

+ Nếu D(M) = 0 thì xét dấu Δ ( ) = (

+Δ ,

+Δ )− ( ,

) (với Δ ≠ 0

và Δ ≠ 0 là các số gia của biến x và biến y).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) không xác định dấu thì M không là cực trị.
Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện (sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange)
1) Hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0.
Bước 1: Xét hàm

( , , )= ( , )+

Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Xét dấu
1|

Nếu

(

=

, ) > 0 thì

( , )

=0
= 0 . Tìm các điểm tới hạn

( , )=0
+

( ,

).

+2

là điểm cực tiểu. Tính

(

).

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


-

Nếu

(

, ) < 0 thì

-

Nếu

(

, ) không xác định dấu thì xét dấu Δ (

(

là điểm cực đại. Tính

).
) với điều kiện

Nếu Δ (

) > 0 thì

là điểm cực tiểu. Tính

(

).

Nếu Δ (

) < 0 thì

là điểm cực đại. Tính

(

).

(

) = 0.

( ,

, ).

(

) = 0.

2) Hàm ba biến: Tìm cực trị hàm u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0.
Bước 1: Xét hàm

( , , , )= ( , , )+

( , , )

=0
=0
Bước 2: Giải hệ phương trình
. Tìm các điểm tới hạn
=0
⎨
⎩ ( , , )=0
⎧

Bước 3: Xét dấu

=

+

+

+2

+

+

-

Nếu

(

, ) > 0 thì

là điểm cực tiểu. Tính

(

).

-

Nếu

(

, ) < 0 thì

là điểm cực đại. Tính

(

).

-

Nếu

(

, ) không xác định dấu thì xét dấu Δ (

) với điều kiện

Nếu Δ (

) > 0 thì

là điểm cực tiểu. Tính

(

).

Nếu Δ (

) < 0 thì

là điểm cực đại. Tính

(

).

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến z = f(x,y) trên một miền đóng và bị chặn D.
-

Nếu
-

=0
. Tìm các điểm tới hạn
=0

Bước 1: Giải hệ phương trình
∈

thì tính

(

( ,

).

).

Bước 2: xét trên các đường biên của D, thay phương trình đường biên của D vào f để f
trở thành hàm một biến, quay lại bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm một biến trên
một đoạn. Tính giá trị của f tại các điểm biên và các điểm làm cho đạo hàm của f bằng
0.

-

Bước 3: so sánh tất cả các giá trị của f tại các điểm tìm được ở bước 1 và bước 2 để
tìm ra GTLN và GTNN.

Chương 3
Dạng 1: Tính tích phân hai lớp
=

( , )

Cách 1: Dùng tọa độ Đề - Các, mô tả D về dạng miền loại I hoặc loại II.
2|

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


Miền loại I:

= {( , )| ≤

( )≤

≤ ,

≤

( )}. Khi đó

( )

=

( , )
( )

Miền loại II:

= {( , )| ≤

( )≤

≤ ,

≤

( )}. Khi đó

( )

( , )

=
( )

= cos
, | |= ,
= sin

Cách 2: Dùng tọa độ cực, đặt

≤
( )≤

≤
≤

( )

. Khi đó

( )

( cos , sin ).

=
( )

Cách 3: Dùng tọa độ cực suy rộng (chỉ trong trường hợp D là miền elip)
+
Đặt

=
=

cos
, | |=
sin

0≤
≤

,

≤1

≤1
(tùy điều kiện đầu bài để suy ra miền
≤

. Khi đó

của

(

=

sin )

cos ,

Dạng 2: Ứng dụng của tích phân hai lớp
Cho một bản phẳng không đồng chất choán một miền D có hàm tỷ trọng là
-

Diện tích miền D là
=

-

.

Khối lượng của bản phẳng là
( , )

=
-

Tọa độ trọng tâm của bản phẳng là
̅=

-

1

3|

( , ).

,

=

1

( , ).

Mômen quán tính của bản phẳng theo các trục tọa độ là
=

-

( , ). Khi đó

( , ).

,

=

( , ).

Mômen quán tính của bản phẳng theo gốc tọa độ là
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


(

=
-

) ( , )

+

Thể tích vật thể giới hạn bởi phía dưới là mặt có phương trình
là mặt

=

( , ), phía trên

( , ), hình chiếu của vật xuống xOy là miền D:
( , )−

=


=

( , )

Chú ý: Nếu bản phẳng đồng chất thì hàm tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k.

Dạng 3: Tính tích phân ba lớp
( , , )

=

Cách 1: Dùng tọa độ Đề các, mô tả V theo một trong ba trường hợp
TH1:

= {( , , )|( , ) ∈

⊂

( , )≤

,

≤

( , )}. Khi đó

( , )

( , , )

=
( , )

TH2:

= {( , , )| ( , ) ∈

⊂

,

( , )≤

≤

( , )} .

⊂

,

( , )≤

≤

( , )}

Thay vào I tương tự
= {( , , )| ( , ) ∈

TH3:

Thay vào I tương tự
Cách 2: Dùng tọa độ trụ, đổi biến theo một trong các trường hợp
= cos
= sin , | | = ,
=

TH1: đặt

( )

≤

( )≤
( , )≤

( ) . Khi đó
( , )

( , )

( cos , sin , ).

=
( )

4|

≤
≤
≤

( , )

TH2: đặt

= cos
= sin . Thay vao I tương tự như trên.
=

TH3: đặt

= cos

= sin . Thay vao I tương tự như trên.
=
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


Cách 3: dùng tọa độ cầu, đặt
= cos sin
= sin sin ,
= cos

| |=

sin

( cos sin

=

≤
≤
≤

,

≤
≤
≤

, cos ).

, sin sin

sin

Dạng 4: Ứng dụng của tích phân ba lớp
a) Tính thể tích vật thể
=
b) Tính khối lượng vật thể V có hàm tỷ trọng là

( , , )

( , , )

=

( , , )

c) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể V có hàm tỷ trọng là
̅=

1

( , , ).
̅=

,
1

=

1

( , , ).

,

( , , ).

d) Tính mômen quán tính theo các trục tọa độ của vật thể V có hàm khối lượng riêng là
( , , )
=
=
M =


( , , ). (

+

)

,

( , , )(

+

)

,

ρ(x, y, z)(x + y )dxdydz

Chú ý: Nếu vật thể đồng chất thì tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k.

Chương 4:
Dạng 1: Tính tích phân đường
a) Tích phân đường loại 1 trong mặt phẳng
=

5|

( , )

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


= {( , )|

Cách 1: đưa về biến x, mô tả

, ( )

=

= ( ),

≤ }. Khi đó

= ( ), ≤

≤ }. Khi đó

( )

1+

= {( , )|

Cách 2: đưa về biến y, mô tả

≤

( ( ), ) 1 +

=

= {( , )|

Cách 3: đưa về biến t, mô tả

( ), ( )

=

( )

= ( ),

= ( ),

( )+

( )

≤ ≤ }. Khi đó

b) Ứng dụng của tích phân đường loại 1
-

Tính độ dài của một dây L nằm trong mặt phẳng
=

-

( , )

=
-

( , )

Tính khối lượng của một dây L nằm trong mặt phẳng có hàm tỷ trọng là

Tìm tọa độ trọng tâm của một dây L nằm trong phẳng có hàm tỷ trọng
̅=

1

( , ).

,

=

1

( , )

( , ).

c) Tính tích phân đường loại 2 trong mặt phẳng
=

= {( , )|

Cách 1: đưa về biến x, mô tả
=
Cách 2: đưa về biến y, mô tả
=
Cách 3: đưa về biến t, mô tả
=

6|

( , )

[

+ ( , )

= ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó

, ( ) + ( , ( ).
= {( , )|

= ( ),

( )]
∈ 〈 , 〉 }. Khi đó

[ ( ( ), ) ( ) + ( ( ), )]
= {( , )|
( ), ( )

= ( ),

( )+

= ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó

( ), ( )

( )

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


Cách 4 (áp dụng trong trường hợp L là đường kín giới hạn một miền kín D trong mặt
phẳng, đi trên L theo chiều dương – công thức Green)
=

−

Dạng 2: Tính tích phân mặt
a) Tính tích phân mặt loại 1
( , , )

=

Cách 1: đưa về biến x và y, tìm hình chiếu D của S lên mp(xOy)
, , ( , )

=

1+

+

Cách 2: đưa về biến y,z, tìm hình chiếu D của S xuống mặt yOz
( ( , ), , ) 1 +

=

+

Cách 3: đưa về biến z, x, tìm hình chiếu D của S xuống mặt zOx
( , ( , ), ) 1 +

=

+

b) Tính tích phân mặt loại 2
=

( , , )

Cách 1: Tính lần lượt

+ ( , , )

( ⃗,

( ( , ), , )

) < 90 , lấy dấu (-) nếu

=

( , ( , ), )

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xOz, lấy dấu (+) nếu
> 90 .
=±

7|

+

> 90 .

=±

( ⃗,

+

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOz, lấy dấu (+) nếu

) < 90 , lấy dấu (-) nếu

Trong đó

=

, ,
=±

Trong đó

+ ( , , )

, , ( , )
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc

=


Trong đó
( ⃗,

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) nếu

) < 90 , lấy dấu (-) nếu

=

> 90 .

Cách 2: đưa về tích phân ba lớp (trong trường hợp S là mặt kín giới hạn một vật thể V
- sử dụng công thức Ostrograsky, tích phân lấy theo phía ngoài của mặt S)
=

+

+

Dạng 3: Ứng dụng của tích phân mặt
a) Tính diện tích mặt
ặ

=
( , , )

b) Tính khối lượng của mặt S có hàm tỷ trọng là
=

( , , )
( , , )

c) Tìm tọa độ trọng tâm của mặt S có hàm tỷ trọng là

̅=

1

( , , ).

,

=

1

( , , ).

,

̅=

1

( , , ).

d) Tính thông lượng của trường vectơ ⃗ = 〈 ( , , ), ( , , ), ( , , )〉 qua mặt S
Φ=

+

+

Chương 5

Dạng 1: Giải phương trình vi phân cấp một ( , )
a) Nếu

=

+ ( , )

=0

(∗)

thì (*) là phương trình vi phân toàn phần, nghĩa là
( , )

+ ( , )

=

( , )

Trong đó hàm u(x,y) được xác định bằng một trong hai cách sau, chọn ( ,

) là một

điểm thuộc miền xác định của P(x,y) và Q(x,y)
Cách 1:
( , )=

( ,

)

+

( , )

+

Cách 2:
8|

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


( , )=

b) Nếu

=

( )
( )

( , )

+

thì (*) là phương trình biến số phân ly, nghĩa là
∫ ( )

c) Nếu

( , )

+

=

=∫ ( )

thì (*) là phương trình thuần nhất, khi đó đặt

=

và đưa về

phương trình biến số phân ly hàm u biến x.
d) Nếu

= − ( ). + ( ) thì (*) là phương trình tuyến tính, sử dụng công thức

nghiệm để giải.
(∗) ⇔

+ ( ).

= ( )

Nghiệm tổng quát
=

e) Nếu
vế cho

∫ ( )

+ ∫ ( ).

= − ( ). + ( ).
( ớ

∫ ( )

( ≠ 0; 1) thì (*) là phương trình Bernoulli, chia hai

≠ 0) và đặt

=

để đưa về phương trình tuyến tính hàm z

biến x.
Dạng 2: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
+ .

+ .

= ( ) (1)

Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
+ .

được nghiệm tổng quát

+ .

=0

(2)

( ).

+ . +

Giải phương trình đặc trưng

=

(3)

,

thì

( )

=

=

thì

( )

=(

- Nếu (3) có 2 nghiệm phân biệt
- Nếu (3) có nghiệm kép

=0

- Nếu (3) có nghiệm phức liên hợp

±

thì

( )

+

=

)

+
(

cos

+

sin

)

Bước 2: Tìm nghiệm riêng của (1)

9|

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc


TH1:

( )=

.

( ), nếu

là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng thì

nghiệm riêng của (1) có dạng
( )

TH2:
-

Nếu

( )=

±
( )

-

Nếu

.

.

( )

+

( ) sin

)

là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

=

±
( )

( ( ) cos

=

. . ( ( ) cos

( ) sin

+

),

= max{ , }

không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
=

( ( ) cos

+

( ) sin

),

= max{ , }

Bước 3: viết nghiệm tổng quát của (1)
( )

=

( )

+

( )

Dạng 3: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
+
+

= ( ) (1)
= ( ) (2)

+
+

Bước 1: Đạo hàm hai vế của (1)
+

+

=

( ) (3)

Bước 2: Rút z’ từ (2) và z từ (1) thay vào (3) để (3) trở thành phương trình tuyến tính
cấp hai hàm y biến x. Giải phương trình này để tìm y.
Bước 3: Thay vào để tìm z.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chúc các em thi tốt
Không sử dụng tài liệu nhé nếu không muốn học lại một lần nữa!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10 |

GV Nguyễn Thị Minh Ngọc