Phương trình lượng giác dùng cho ôtđh

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được

ĐT: 0942.79.83.83

ÔTĐH: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
3) (cos2x – 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin22x

2) Tìm nghiệm x  [0;14] của phương trình:
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

cos2x
1
 sin 2 x  sin 2x
1 + tanx
2
x
x



6) sin 2    . tan 2 x  cos 2  0
2
2 4


3
9) cos 4 x  sin 4 x  cos  x -  sin  3x -    0

4 
4 2


7) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
8) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

x
10) cot x + sinx. 1 + tanx.tan   4

13) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx

4) cot x - 1 =

2



11) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
12) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
sin 4 x  cos 4 x 1
1
 cot 2x 5sin2x
2
8sin2x
2
 2  sin 2x  .sin 3x
18) tan 4 x  1 
cos 4 x

17)

x
19) tanx + cosx – cos x = sinx(1 + tanx.tan )
2
2sinx + cosx + 1
20) Cho phương trình:
m
sinx - 2cosx + 3
1
a) Giải phương trình khi m = .
3
2

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
25)

 2  3  cos x  2sin

2

x 
  
 2 4  1

5) cot x - tanx + 4sin2x =



2

sin2x



2 sin 6 x  cos 6 x  s inx.cosx

9)

2  2sinx

0

2

x
x
14)  sin  cos   3cosx = 2
2
2

15) Tìm nghiệm x  (0; 2 ) của phương trình:
cos3x + sin3x 

5  sinx +
  cos2x + 3
1 + 2sin2x 


16) Xác định m để phương trình sau có ít nhất


1 nghiệm thuộc đoạn [0; ]:
2

4(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x – m = 0
21)

1
 s inx
8cos 2 x

22) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.
23) cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2.
24) 3cos4x – 9cos6x + 2cos2x + 3 = 0.
26)

2cos x  1
28)
2 cos 4 x
27) cot x  tan x 
sin 2 x
29)
3
30) (sinx + cosx) - 2 (sin2x + 1) + sinx + cosx
31)
- 2 = 0.

cos 2 x.(cos x  1)
 2(1  sin x)
sin x  cos x

sin(  cosx) = 1.
1
tan2x – tanx = cosx.sin3x
3
sin 3 x sin 5 x

3
5
1  sin x  cos x  0

32) Cho PT: cos2x + (2m – 1)cosx + 1 – m = 0
33)
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm 34) sin2x + 4(cosx – sinx) = 4.
1
35) 2cos2x – 8cosx + 7 =
.
 
trong khoảng  ;   .
cos x
2 
36) 2sin3x + cos2x – cosx = 0.
2
2
4sin 2 x  6sin x  9  3cos 2 x
38) sin2x + sin22x + sin23x = 2.
37)
0
cos x
40) Cho PT: sin2x – 3m 2 (sinx + cosx) + 1 –

2
39) sinx.cos4x + cos2x.sin3x = 0
6m
= 0.
6
6
41) Cho PT: sin x + cos x = m.sin2x
a) Giải phương trình khi m = 1.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm để phương trình có nghiệm.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được

ĐT: 0942.79.83.83

2
44) sinx + sin2x + sin3x – 3 (cosx + cos2x + 42) tan2x + cotx = 8cos x
sin 6 x  cos6 x 13
cos3x) = 0.
43)
 tan 2 x
cos 2 x  sin 2 x 8
45) 3cosx(1 – sin x ) – cos2x = 2 sin x sin2x – 1


48) sinx.cosx + cosx = -2sin2x – sinx + 1.
46) sin3(x + ) = 2 sinx
4
4x
x
49) cos  cos 2
2  cos x  sin x 
1
3
3
47)

1
tan x  cot 2 x
cot x  1
50) sin4x + cos4x – cos2x + sin22x = 0
4
51) sin3x = cosx.cos2x.(tan2x + tan2x)

3 x  1
  3x 
   sin   
 10 2  2
 10 2 

53) sin 

52)

cos x(cos x  2sin x)  3sin x(sin x  2)
1
sin 2 x  1

55) cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 54) sin2000x + cos2000x = 1.
2.
1  sin 2 x  1  sin 2 x
56)
 4cos x
57) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
sin x
1
58) sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
60) 2tanx + cot2x = 2sin2x +
sin 2x
59) Cho hàm số: f(x) = cos22x + 2(sinx +
4
6
61) sin x + cos2x + 4cos x = 0.
cosx)3 – 3sin2x + m.
2
3
4
2
62) sinx + sin x + sin x + sin x = cosx + cos x +
a) Giải phương trình f(x) = 0 với m = -3.
cos3x + cos4x.
b) Tìm theo m giá trị max và min của f(x).
63) Giải và biện luận theo tham số m:
Từ đó tìm m để [f(x)]2  36 với mọi x.

cos 2 x  sin 2 x
64) cosx.sinx + |cosx + sinx| = 1.
m.cot 2 x 
cos6 x  sin 6 x
65) Tìm nghiệm phương trình: cos7x –
66)

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x






tan   x  tan   x 
4
4





3 sin7x = - 2 thỏa mãn:

67) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

69) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2.
2k cos x  k  1
70) Cho hàm số: yk 

cos x  sin x  2

a) Tìm max và min của hàm số y1 khi k = 1.
b) Xác định k sao cho max của yk là nhỏ nhất.
73) tanx + 2cot2x = sin2x
74) 1 + 3tanx = 2sin2x
75)

1
1
2


cos x sin 2 x sin 4 x

1
78) cos3xcos x – sin3xsin x = cos 4x + .
4
1
2
79) 48  4  2 1  cot 2 x.cot x   0 .
cos x sin x
1
1
10
81) cos x 
 sin x 

cos x
sin x 3

2
82) 2 + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
sin x
3

3

2
6
.
 x
5
7

3

68)



1
1  cos x  cos x cos 2 x  sin 4 x
2



71) Cho PT: cos3x + sin3x = ksinx.cosx
a) Giải phương trình khi k = 2 .
b) Tìm k để phương trình có nghiệm.
72) Tìm max và min của hàm số:

y

3cos 4 x  4sin 2 x
3sin 4 x  2 cos 2 x

76) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
77) Tìm k để min của hàm số sau nhỏ hơn -1:
y

k sin x  1
cos x  2

80) Chứng minh rằng không tồn tại tam giác
mà cả ba góc trong của nó đều là nghiệm của
PT: (4cosx – 1)(7sin2x –

1
sin2x – 6) = 0.
2

83) Cho phương trình: 2cos2x + sin2xcosx +
84) sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
sinxcos2x = m(sinx + cosx)
85) Tìm các nghiệm x   0;   của phương trình
a) Giải phương trình khi m = 2.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được
sau:

sin 3x  sin x

b) Tìm m để phương trình có ít nhất 1

 sin 2 x  cos 2 x .

1  cos 2 x
2

ĐT: 0942.79.83.83

2



nghiệm thuộc đoạn [0; ].

2

85) sin x + sin 3x – 3cos 2x = 0.
88) cos(2x -


4



) + cos(2x +

4

2

) + 4sinx = 2 +

8

2

3 + 4[sin x + cos(
2



)cos(x 

8

3

a) Giải phương trình khi m =

) + 2cos2(x -

- x)cos(


3


8

)=

+ x)]

2

94) 2cos2x + sin x.cosx + cos x.sinx = 2(sinx +
cosx).
95) sin2x + cos2x + tanx = 2
96) 2 cos 2

x
2

89) Cho pt: cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

90) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
91) 3cot2x + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx


x
2

87) sin 4  cos4  1  2sin x

2 (1 – sinx)

92) 2 3 sin(x -

86) 2cosx - |sinx| = 1.

3
.
2

 3
b) Tìm m để PT đã cho có n0 x   ; 
2 2 
2
 1  3a  0
cos x
1
a) Giải phương trình khi a = .
2

93) Cho PT: 1  a  tan 2 x 

b) Tìm a để phương trình có nhiều hơn 1

3x
4x
 1  3cos
5

5

n0 trong khoảng (0;

2

2


2

).

98) cos3x + 2  cos 3x = 2(1 + sin 2x)

99) Biện luận theo m số nghiệm x  0;   của 97) Tìm các nghiệm x   ;3  của PT:
2

phương trình: cos2x + (m – 1)cosx + m + 2 = 0.
5 
7 


sin  2 x 
6
  3cos  x 
  1  2sin x
101) 3cos x  4sin x 
6
2 

2 


3cos x  4sin x  1
100) 2 (2sinx – 1) = 4(sinx – 1) – cos(2x +
3
1
102) 8sin x 



) – sin(2x + ).
cos x sin x
4
4
104) Cho phương trình: (2sinx – 1)(2cos2x +
sin
x

sin
2
x  sin 3x
103)
 3
2sinx + m) = 3 – 4cos2x.
cos x  cos 2 x  cos 3x
a) Giải phương trình với m = 1.
105) tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm 106) sinx + cosx + cos2x – 2sinx.cosx = 0.
thỏa mãn 0  x   .

107) Tìm các n0 của phương trình: sinx.cos4x
108) 2sin3x – sinx = 2cos3x – cosx + cos2x
 x
+ 2sin22x = 1 – 4 sin 2    thỏa mãn hệ bất




109) sin  3x    sin 2 x.sin  x  
 4 2


4



4

 x 1  3
phương trình:  2

110) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx.
111) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x.
113) cosxcos2xcos3x – sinxsin2xsin3x =
115) tan2x + sin2x =

1
.
2

3
cotx
2

117) 2cosx(1 – cos2x) + sin2x = 1 + 2sinx
118) 2 2 cos 2 x  sin 2 x.cos  x 


121)

3sin 2 x  2sin x
2
sin 2 x.cos x

3
4




  4sin  x    0
4



 x  3   x

112) 2sin  2 x    4cos x  1  0
6



114) 2 sin  2 x    2  3cos x  sin x
4

1
1
116) sin 2 x  cos x 

 2 cot 2 x  0
2cos x sin 2 x

119) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x


120) Tìm nghiệm x   0;  của phương trình:
 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được

ĐT: 0942.79.83.83

122) cos2x + 5 = 2(2 – cosx)(sinx – cosx)
123) sin x.tan 2 x  3  sin x  3 tan 2 x   3 3

x
3 




4sin 2      3 sin   2 x   1  2 cos 2  x 

2
4 

2


125) Tìm nghiệm của phương trình: cosx + cos2x 124) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = 2  3 2 .
8
+ sin3x = 2 thỏa mãn: |x – 1| < 3.

126)

127) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1.
128) cos23x.cos2x – cos2x = 0.

sin 2 x  sin x  4  cos x  2  0

2sin x  3
cos x.  cos x  1
130)
 2 1  sin x 

sin x  cos x
sin 3 x.sin 3 x  cos3 x.cos 3 x
1
132)

  
8

tan  x   tan  x  
6
3





1
3x 7

2
4 2
x
x
 x
131) 1  sin sin x  cos sin 2 x  2 cos2   
2
2
 4 2

129) 4 cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x  cos

2

133) sin 3 x. 1  cot x   cos3 x. 1  tan x   2sin 2 x
1

135) Tìm tổng tất cả các nghiệm x   2; 40 của 134) cos 3x  cos 2 x  cos x 
2
phương trình: sinx – cos2x = 0.
1
8
2
137) 2cosx + cos (x + 3  ) =
+ sin2(x 



3
3
136) tan  x   . tan  x   .sin 3x  sin x  sin 2 x
6
3


21
1
) + sin2x
 ) + 3cos(x +




2 sin   x 
4
 1  sin 2 x  1  tan x
138)


cos x
sin 6 x  cos 6 x 1
141)
 tan 2 x
cos 2 x  sin 2 x 4

144) cos x  8sin 3  x  
6


2

2

2

3

3

139) tan x – tan x.sin x + cos3x – 1 = 0.
140) 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0.
142) cot x  3  tan x  2 cot 2 x  3

sin 2 x cos 2 x

 tan x  cot x
cos x
sin x
1
1
145) 4  cos 2 x  4  cos 2 x  1
2
2

143)

146) Cho PT: 3cos2x + 2|sinx| = m
a) Giải phương trình khi m = 2.
5x
2 
2 9x
147)
cos3x
+
sin7x
=
2sin
(
)
–
2cos

b) Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm

4 2
2


148) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0.
x thuộc   ;  .
 4 4





x

149) tan x(sin x  1)  2sin 2     sin 2 x  2 
150) sin3x = cosx.cos2x.(tan2x + tan2x)
 4 2
2
151) 3 sin2x.(2cosx + 1) + 2 = cos3x + cos2x –
cos x  cos3 x  1
152) cos 2 x  tan 2 x 
3cosx
cos 2 x

154) 2cos6x + 2cos4x - 3 cos2x = sin2x + 3
153) 2sin 2  x    2sin 2 x  tan x
4
155) sin2x - 2 2 (sinx + cosx) = 5.

2

157) 3 (2cos x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx
tan 2 x  tan x
2


156)

sin  x  
2
= 0.
tan x  1
2
4

2

159) tanx = cotx + 4cos 2x
158)(1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2(2x + )




4

1

160) 2sin  x    sin  2 x   
3
6
2







162) 3sin x  cos 2 x  sin 2 x  4sin x cos 2
3



 2 x   2sin   x 
 5

5


164) sin 





x
2



2

161) sin  2 x    sin  x   
4
4 2


2
3
163) cos x + cosx + sin x = 0



165) sin 3 x  cos3 x  cos 2 x.tan  x   .tan  x  
4
4








---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được

166) 2cosxcos2xcos3x + 5 = 7cos2x
168)  sin x 

3
1
cos2 x  cos x 
2
2

1
8
cos2(x +  ) =
+ sin2x +
3
3

1
3cos  x   + sin2x
2
2


167) 2cosx +

1



2

1

169) cos 2  x    cos 2  x     sin x  1
3
3  2



170) Cho PT: sin3x + 3msinx.cos2x + (m –
3)sin2xcosx + (1 – 2m)cosx = 0 (1)
a. Giải phương trình khi m = -1.


171) 2 2 cos3  x    3cos x  sin x  0


4

2

172) 2cos x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = (2sin2x +
1)cos4x
173) Tìm nghiệm thuộc  0;   của PT:

sin 3

2



182) (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0
185) Tìm nghiệm thuộc [0;10] của PT:
sin x  1
sin 2 x
187) 4 cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x
1
189) sin 8 x  cos8 x 
8
2 cos 2 x  cot 2 x 


192) sin 2 x  2 2 cos x  2sin  x    3  0
4

cos x  sin 2 x
 3
2 cos 2 x  sin x  1

3
sin x



sin    x  .cot   4 x 
2
 1
200)


sin   7 x 

2


1  tan 2 x
202) 16 cos4  x    4.
 2sin 4 x
4
1  tan 2 x



1
x
1
x
180)  cos 2  sin 2
4
3 2
2
2
2
183) 3cot x  2 2 sin x  2  3 2 cos x



186) cos6 x  sin 6 x 

190) tanx + tan2x + tan3x = cotx + cot2x + cot3x

+

x





184) 2  3 cos 2 x  sin 2 x  4 cos 2 3x

3

197) 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 =



177) sin x. cos 4 x  2sin 2 2 x  1  4sin2   
4 2

179) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
181) 3cos x 1  sin x   cos 2 x  2 sin x .sin 2 x  1

194)



b. Tìm để đoạn 0;  chứa nhiều hơn 1
 4
nghiệm của phương trình (1).
x
x

 cos3
1
2
2
 cos x
174)
2  sin x
3



176) 9 cos   x   6 cos   x   3sin 2 x  8  cos 2 x

x
3 

 3 cos 2 x  1  2 cos 2  x 

2
4 

sin 2 x sin 2 2 x
175)

2
sin 2 2 x sin 2 x
3  sin x  tan x 
178)
 2 cos x  2
tan x  sin x

4sin 2



ĐT: 0942.79.83.83

2
cos x

13
cos 2 2 x
8



2 sin   x  1  sin 2 x 
4

188)
 1  tan x
cos x
191) cos 2 x  1  sin 2 x  2 sin x  cos x
193) sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x)
6 tan 2 x
3
195) 8 tan 4 x  10 tan 2 x 

20
2
cos x cos 4 x

196) 3(1 - 3 )cos2x + 3(1 + 3 )sin2x =

8(sinx + cosx)( 3 sin3x + cos3x) - 3 3 - 3
198) sin 3 x  sin x  2 cos x
1
2

199) 2sin 2 x  sin x.sin 2 x   tan 2 x  1  cos x
201) Tìm a để hai phương trình sau là tương
đương:
sinx.cos2x = sin2x.cos3x -

1
sin5x
2

a.cos2x + |a|cos4x + cos6x = 1
204) sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
203) 3 sin 2 x  2 cos 2 x  2 2  2 cos 2 x
205) tan2x.cot22x.cot3x = tan2x – cot22x +
206) sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x
cot3x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Sưu tầm và biên soạn: Gv Vũ Danh Được

ĐT: 0942.79.83.83

207) Tìm m để phương trình: sin2x + m = sinx +
3
2mcosx có đúng hai nghiệm thuộc 0;  .


208) 4sin 3 x  sin 3  x    3sin x  0


3

3

2

209) cos x + cos x + 2sinx – 2 = 0
 4 
2
7


211) 2 tan x  cot x  3 
210) sin 4 x  cos4 x  cot  x   tan   x 
sin 2 x
8
3

6


2
212) 3 (2cos x + cosx – 2) + sinx(3 – 2cosx) = 213) 2sin 4 x  4sin x  1  4 2 sin 5 x .cos  x   
2
2 4
0
sin 2 x
214) tan x  3 cot x  8 cos 2x sin x  3 cos x
215) (1 + tanx)(2sinx – cosx + cos3x) =
cos x
2009
2008

216) cos

x + sin

x=1

- 2sinx.tanx

1
8
217) 2cosx + cos(x + 3  ) = + sin2(x -  ) + 218) 1  cot 2 x cot x  2 sin 4 x  cos 4 x  3
3
3
cos 2 x
1



3cos(x + 10,5  ) + sin2x
219) sin 2( x  )  1  sin 3x  cos(  x)
3
4
2



220) sin2x(1 + tanx) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
221) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =
223)

sin 3 x  1
 cos 2 x
2sin x  1

sin

225)

23 2
8



cos



3  tan x 

4  cot x  1
sin x
cos x

222)



1  sin 3 x
 cot 2 x  2sin 2 x
sin 2 x

224) cosx(2sin2x + 2sinx + 1) = 2cos3x + sinx
+1
226) 1 – tanx.tan2x = cos3x
227) cos2x + cosx + sin3x = 0
228)

sin2x

+

2

sin 2 3x
(cos3x.sin3x
3sin 4 x

+

229) tan2x + cotx = 8cos x
sin3x.cos3x) = sinx.sin23x
230) Cho PT: cos4x = cos23x + m.sin2x

231) tan   x   5sin 2 x  4
a) Giải phương trình khi m = 0.
4

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
2
232) sin x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3

khoảng  0;  .
7x
3x
x
5x
233) sin .cos  sin .cos  sin 2 x.cos 7 x  0
 12 
1
1
234) 4  cos 2 x  4  cos 2 x  1
2
2
x  
x  
236)
6 sin   
2 cos   
 5 12 

 5 12 
x 2
3x 
2sin    - 2sin   
5 3 
 5 6

238) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
239) cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
x  
2  3 cos x  2sin   
 2 4  1
240)
2 cos x  1





2

2

2

2

2



235) cos3x + sin7x = 2sin2  

5x 
2 9x
 - 2cos
2 
2

4
2sin
x

cos
x

1
= 237) Cho PT:
a
sin x  2 cos x  3
1
a. Giải phương trình khi a  .
3

b. Tìm a để PT có nghiệm.
241)
242)



cos x  cos x  2sin x   3sin x sin x  2
sin 2 x  1
1  sin 2 x  1  sin 2 x
 4cos x
sin x

 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6
Cty Giáo Dục Đức – Anh – Minh, TP Hà Nội