MỘT số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC và CÁCH GIẢI

hoctoancapba.com

BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Người thực hiện:
- Họ và tên: Cao Văn Sóc
- Năm sinh: 25/09/1982
- Đơn vị công tác: Trường THPT Trà Cú
- Chức vụ hiện tại: Giáo viên dạy lớp.
- Trình độ chuyên môn: ĐHSP TOÁN TIN.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI
3. Nội dung sáng kiến: gồm 7 phần chính
+ Thứ I: Phương trình lượng giác cơ bản.
+ Thứ II: Phương trình bậc 2 hay bậc cao đối với một số hàm số lượng giác.
+ Thứ III: Phương trình có mũ cao và chẵn đối với hàm số sinx và cosx.
+ Thứ IV: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ Thứ V: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
+ Thứ VI: Phương trình dạng f  sin x  cos x,sin x.cos x   0
+ Thứ VII: Biến đối phương trình về dạng tích.
4. Thời gian thực hiện sáng kiến: từ tháng ……/…. đến tháng ………/năm.
5. Phạm vi áp dụng: áp dụng tại lớp 11A1 Trường THPT Trà Cú.
6. Hiệu quả: Học sinh dễ tiếp thu, tính toán thành thạo, đạt hiệu quả cao.
Thời gian
Trước khi áp dụng
Sau khi áp dụng

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

%

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

1

NGƯỜI BÁO CÁO


hoctoancapba.com

NỘI DUNG SÁNG KIẾN
A. Lời nói đầu.
Phương trình lượng giác là kiến thức rất quan trọng trong bộ môn toán nói chung và môn toán 11 nói
riêng. Tuy nhiên khi giải phương trình lượng giác thì học sinh thường lúng túng không biết nên giải như thế
nào hay dùng phương pháp nào để giải.
Vì vậy Tôi viết sáng kiến “ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI”
nhằm củng cố và giải tôt bài toán PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

B. Nội dung:
Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
1. Phương trình cos x  m
* Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu m  1 thì cos x  m  x   arccos m  k 2 , k 
Đặc biệt: cos x  cos   x    k 2

2. Phương trình sin x  m
* Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu m  1 thì sin x  m  x   1 arcsin m  k , k 
 x  arcsin m  k 2

 x    arcsin m  k 2
k

Đặc biệt: sin x  sin   x   1   k
 x    k 2

; k
 x      k 2
3. Phương trình tan x  m
* tan x  m  x  arctan m  k , k 
* tan x  tan   x    k , k 
4. Phương trình cot x  m
* cot x  m  x  arc cot m  k , k 
* cot x  cot   x    k , k 
 Các giá trị đặc biệt cần nhớ:

cos x  1  x  k 2
cos x  0  x   k
k

2

sin x  0  x  k

tan x  1  x 


4

 k

sin x  1  x 


2

cos x  1   2k  1 

 k 2

tan x  1  x  


4

sin x  1  x  


2

 k 2

 k .

Bài tập áp dụng:

1. Giải các phương trình sau:


a) 2cos x  1  0 b) 2sin  x    3  0
4


c) sin x  cos x  0
2

d) tan 5x  tan 3x


hoctoancapba.com
2. Giải các phương trình sau:
a)

sin 4 x
1
cos 6 x

b)

1  tan x
 tan 3x
1  tan x

c) tan 2x.tan 7 x  1

d) 8cos x.cos 2 x.cos 4 x 

sin 6 x
sin x

Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hay bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ: Giải phương trình
a) 2 cos 2 x  cos x  1  0
b) 3 tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0
Giải:
 x  k 2
cos x  1
2


, k
1) 2 cos x  cos x  1  0 
 x   2  k 2
cos x  1
3

2

2) 3 tan x  tan x  tan x  1  0
Đặt tan x  t , ta có pt:
Pt  3t 3  t 2  t  1  0   t  1  3t 2  2t  1  0
3

2

t  1  0

 t 1
 2
3
t

2
t

1

0
Vn




Vậy: tan x  1  x 



4

 k , k  .

Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a) 2sin 2 3 x  sin 2 6 x  2
2) Giải các phương trình:
a) sin8 x  cos8 x 

17
cos2 2 x
16

b) cos 4 x  cos 2 x  2sin 6 x  0
b) tan x  2cot x 1  0

Vấn đề 3: Phương trình có số mũ cao và chẵn đối với hai hàm số sin x và cos x
Cách giải: Người ta thường dùng phương pháp hạ bậc để giải các phương trình loại này. Công thức
hạ bậc
1  cos 2 x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin 2 x 
; cos2 x 
; tan 2 x 
2
2
1  cos 2 x
2
2
2
2
Ví dụ: Giải phương trình: sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x (1)
Giải:
1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x 1  cos8x



2

2
2
2
 cos 2x  cos 4x  cos6x  cos8x  2co3x.cos x  2cos7 x.cos x
 cos x  cos 7 x  cos 3 x   0

(1)  sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4x 



 x  2  k

cos x  0
k

 x 
, k

5
cos 7 x  cos 3x

 x  k

2

Vậy: phương trình có các họ nghiệm: x 


2

 k ; x 
3

k
, k .
5


hoctoancapba.com
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
a) sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  sin 2 5 x  2
5
 cos4 x  sin4 x 
6
1
cos8 x  sin8 x 
8
4
4
sin x  cos x  a (a là tham số)
1
sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x 
2
6
6
cos x  sin x 1
 .tan 2 x
cos 2 x  sin 2 x 4

b) cos6 x  sin 6 x 
c)
d)
e)
f)

Vấn đề 4: Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x .
Dạng: a.sin x  b.cos x  c (*) với a, b, c là các hằng số và a 2  b 2  0
Cách giải:
(*) 

a
a b
2

2

b

sin x 

a b
2

2

cos x 

2

c
a  b2
2

2


 

a
b
Ta thấy:  2 2    2 2   1 nên ta đặt
 a b   a b 
c
(*)  sin x.cos   cos x.sin   2 2
a b
c
 sin  x    
.
a 2  b2

a
a b
2

2

 cos  ;

b

a  b2
2

 sin 

Vậy ta đã biến (*) về dạng phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
c

(*) có nghiệm 

 1  a 2  b2  c2

a b
(*) vô nghiệm  a  b 2  c 2
2

2

2

Ghi nhớ:
 Chia 2 vế pt cho a 2  b 2
 Pt (*) có nghiệm  a 2  b 2  c 2
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
2) Cho pt: sin x  m cos x  1 (1)
a. Giải pt với m   3
b. Định m để mọi nghiệm của pt (1) cũng là nghiệm của pt m sin x  cos x  m 2
3) Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
a.  2m  1 cos x  m sin x  3m  1

b. m cos 2x  sin 2x  1  m
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a. y 

cos x  2sin x
2  sin x

4


hoctoancapba.com

2cos x  sin x  1
2  cos x  sin x
5) Chứng minh x  , ta có:
4  71
2sin x  cos x
4  71


11
sin x  2 cos x  4
11
Vấn đề 5: Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x

b. y 

Dạng:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0
a sin 3 x  b sin 2 x cos x  c sin x cos 2 x  d cos3 x  0

a sin 4 x  b sin 3 x cos x  c sin 2 x cos 2 x  d sin x cos3 x  e cos 4 x  0

…
( a, b, c, d , e là các hằng số)
Các phương trình trên được gọi là các phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba, bậc bốn, … đối với
sin x và cos x
Mọi số hạng trong phương trình đẳng cấp bậc k đều phải có tính chất: tổng số bậc của sin x và cos x
đều bằng k .
Cách giải:

 Xét xem cos x  0  x   k có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Chú ý
2

cos x  0  sin x  1
2

 Sau đó chia hai vế của phương trình cho cos 2 x (đối với phương trình đẳng cấp bậc hai) hay cos 3 x
(đối với phương trình đẳng cấp bậc ba) …để đưa về dạng phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với
tan x .
Chú ý:
Cũng có thể xét riêng trường hợp sin x  0  x  k , rồi chia 2 vế cho sin 2 x hay sin 3 x , … để được
phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với cot x .
Ví dụ: Giải phương trình 2sin 2 x  3sin x cos x  3cos 2 x  2 (1)
Giải:

 Khi cos x  0 , ta có VT (1) = VP (1) = 2 do đó pt (1) có họ nghiệm x   k , k 
 Khi cos x  0 , chia 2 vế cho cos x , ta được:
(1)  2 tan 2 x  3tan x  3  2 1  tan 2 x 

2

2

1
 1
 tan x    x  arctan     k
3
 3

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x 



 1
 k ; x  arctan     k ; k  .
2
 3

Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a. sin 2 x  2sin 2 x  3cos 2 x  0
b. 3 sin 2 x  1  3 sin x cos x  cos2 x  1  3  0





c. 2sin x  4sin x cos x  sin x cos 2 x  2 cos3 x  0
2) Xác định m để các phương trình sau đây có nghiệm.
3

2

5


hoctoancapba.com
Nhận xét:
 Ta có thể giải và biện luận phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x cách dung công
thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng: A sin 2x  B cos 2x  C .
 Bằng phương pháp tương tự như trên còn giúp ta tìm GTLN, GTNN của hàm số có dạng:
y  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d hoctoancapba.com
Vấn đề 6: Phương trình dạng: f  sin x  cos x,sin x.cos x   0 .
Bằng cách biến đổi biến số ta có thể chuyển phương trình này về dạng phương trình đại số hữu tỉ.
 Xét phương trình f  sin x  cos x,sin x.cos x   0


Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x  
4




Vậy: t  2 và t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x 

t 2 1
2

Thay vào phương trình đã cho, ta được phượng trình hữu tỉ theo t
 Phương trình a  sin x  cos x   b sin x  c  0 được gọi là phương trình đối xứng của sin x và cos x .

Phương trình này là trường hợp đặc biệt của phương trình trên.
Ví dụ: Giải phương trình: sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0
Giải:
sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0



Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   . Vậy t  2 và t 2  1  sin 2 x . Thay vào phương trình đã
4




cho, ta có:
t  1
 12t  13  0  
t  13  L 


x   k 2

 1




2 sin  x    1  sin  x   
 sin 
; k
2


4
4
4
2


 x    k 2

1  t   12t  12  0  t
2

Vậy

2

Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình sau
a. sin 3 x  cos3 x  2  sin x  cos x   1
b. 4sin x cos x  2  sin x  cos x   1  0
c. sin 3 x  cos3 x 

2
2

2. Giải các phương trình sau
1
2
b. sin x cos x  6  sin x  cos x  1

a. sin3 x  cos3 x  1  sin 2 x

c. 5  sin x  cos x   sin 3x  cos3x  2 2  2  sin 2x 

6


hoctoancapba.com
d.  sin x  cos x   2 1  sin 2 x   sin x  cos x  2  0
3

e. 2  sin x  cos x   tan x  cot x
3. Giải các phương trình sau
1
1
10
 sin x 

cos x
sin x 3
3
1  cos x
b. tan 2 x 
1  sin 3 x
4. Cho phương trình: sin x  cos x  m 1  sin x cos x

a. cos x 

a. Định m để phương trình có nghiệm.
b. Giải phương trình khi m 

2
.
3

Vấn đề 7: Biến đổi về phương trình dạng tích.
 Nếu phương trình f  x   0 được biến đổi về dạng f1  x  f 2  x  ... f n  x   0 thì tập nghiệm của
phương trình f  x   0 là tập hợp các nghiệm của phương trình f1  x   0 ; f 2  x   0 ; …
fn  x   0 .

 Để biến đổi phương trình về dạng tích ta chú ý các vấn đề sau: hoctoan capba.com
- Dạng: a sin x  b sin 2 x  c sin 3 x  0  sin x  4sin x  2 cos x  a  3c   0 .
- Để đặt thừa số chung cần chú ý :
a) sin 2 x; sin 3 x; tan x; tan 3 x; tan 2 x có nhân tử chung là sin x .
b) sin 2 x; cos 3x; tan 2 x; cot 3x; cot x có nhân tử chung là cos x
x
x
2
2
x
x
d) sin 2 ; tan 2 ; sin 2 x; tan 2 x có nhân tử là 1  cos x .
2
2
e) cos 2 x; cot 2 x; 1  sin 2 x; 1  tan x; 1  cot x; tan x  cot x có nhân tử chung là sin x  cos x .
f) cos 2 x; cot 2 x; 1  sin 2 x; 1  tan x; 1  cot x; tan x  cot x có nhân tử chung là cos x  sin x .
Ví dụ: Giải phương trình  2sin x  1 2sin 2 x  1  3  4 cos 2 x (1)

c) cos2 ; cot 2 ; sin 2 x; tan 2 x có nhân tử là 1  cos x .

Giải:
Ta có 3  4cos2 x  3  4 1  sin 2 x   4sin 2 x  1   2sin x  1 2sin x  1

1   2sin x  1 2sin x  1   2sin x  1 2sin x  1  0
  2sin x  1  2sin x  1   2sin x  1  0
  2sin x  1 2sin 2 x  2sin x   0
 2sin x  2sin x  1 2 cos x  1  0

7


hoctoancapba.com
 x  k


sin x  0
 x    k 2

6

1
 sin x   
,k 
5

2
 k 2
x 
6



1
cos x 



2
 x    k 2
3


Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
a) cos 2x  cos8x  cos6x  1 .
b) sin 4 x  4sin x   cos 4 x  4 cos x   1 .
c) 3sin x  2cos x  2  3tan x
d) 2 cos3 x  cos 2 x  sin x  0
2. Giải các phương trình:
a) 4cos x  2cos 2x  cos 4x  1
sin x  sin 2 x  sin 3x
 3
cos x  cos 2 x  cos3x
1
c) cos x  cos 2 x  cos3x 
2
d) 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0

b)

Vấn đề 8: Phương pháp đặt ẩn phụ.

Một số phương trình lượng giác có thể giải bằng cách quy về phương trình đại số qua phép đặt ẩn
phụ.
Các phép đặt ẩn phụ thường gặp:
 Đặt t  sin x; t  cos x thì t  1


Đặt t  tan x; t  cot x thì t 

 Đặt t  a sin x  b cos x thì t  a 2  b 2
 Đặt t  tan x  cot x thì t  2 …
Ví dụ: Giải phương trình cos 2 x  4sin 2 x  8cos 6 x
Giải:
1  cos 2 x   1  t 
 
 ;
2

  2 
2


Đặt t  cos 2 x; t  1 . Ta có: sin 2 x  

Pt trở thành:

t  1  t   1  t 
2

3

 t 3  2t 2  4t  0
 t t 2  2t  4  0



t 0

Vậy: cos 2 x  0  2 x 
Bài tập áp dụng:




2

 k  x 


4

k


2

; k .

8

2

 1  cos 2 x   1  t 
cos 6 x  
 

2

  2 
3

3


hoctoancapba.com
1. Giải các phương trình sau:
x
2
b) 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x

a) 2  cos x  2 tan

1
1
 cos x 
2
cos x
cos x
1
1 


d) cos 2 x  2  2  cos x 
 1
cos x
cos x 


c) cos2 x 

2. Giải các phương trình sau:
1
5
 cot 2 x   tan x  cot x   2  0
2
cos x
2
6
b) 3cos x  4sin x 
6
3cos x  4sin x  1
c) 9sin 3 x  5sin x  2 cos3 x  0 .
d) tan 2 x  cot x  8cos 2 x .

a)

C. Lời kết: hoctoancapba.com
Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh giải “ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” tốt hơn; tuy nhiên
do thời gian có hạn nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót, mong quý Thầy cô trong Tổ góp ý. Xin
chân thành cám ơn.

ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI
Thời gian thực hiện: Từ tháng …….đến tháng…..
Tác giả: Cao Văn Sóc
Chức vụ: Giáo viên
Bộ phận công tác: Tổ Toán- Trường THPT Trà Cú.
TỔ CHUYÊN MÔN
Nhận xét:

HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG
Nhận xét:

…………………………………………… ……………………………………………
9


hoctoancapba.com
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

Xếp loại (Đạt, không đạt)…………

Xếp loại (Đạt, không đạt)…………

Ngày…...tháng…..năm ………
Tổ trưởng

Ngày…..tháng…..năm ………
Hiệu trưởng

10